7.1.1 数系的扩充和复数的概念-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第二册同步练习（Word含解析）

2020-2021学年高一数学人教A版（2019）必修第二册
7.1.1
数系的扩充和复数的概念
同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________学号：___________
一．选择题
若a，R，i是虚数单位，，则?
???
A.
B.
C.
D.
给出下列说法：
若R，则是纯虚数；
若a，R且，则；
若是纯虚数，则实数；
两个虚数不能比较大小．
其中说法正确的是?
???
A.
B.
C.
D.
设，i是虚数单位，则“”是“复数为纯虚数”的
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件
已知复数R，R，并且，则的取值范围为?
???
A.
B.
C.
D.
给出下列说法，其中正确说法的个数是
如果两个复数的实部与虚部分别相等，那么这两个复数相等；
若a，R且，则；
如果复数是实数，则，；
复数不是实数．
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
已知方程R有实根b，且，则复数z等于?
???
A.
B.
C.
D.
如果为纯虚数，则实数m的值为
A.
1
B.
0
C.
D.
或1
多选题对于复数R，下列结论错误的是?
???
A.
若，则为纯虚数
B.
若，则，
C.
若，则为实数
D.
多选题下列命题中，错误的是
若x，C，则的充要条件是
B.
若a，R且，则
C.
若，则
D.
的虚部为
二．填空题
已知，R，，，且，则_______．
若实数x，y满足，则xy的值是_______．
已知x，R，，则??????????，??????????．
已知，，其中，，则a的值为_________．
定义运算，如果x，R，，那么??????????，??????????．
已知集合2，，，若，则实数________．
已知关于x的方程R有实根n，且，则复数_________．
三．解答题
分别求满足下列条件的实数x，y的值．
；
．
如果，求自然数m，n的值．
实数m分别为何值时，复数是实数；虚数；纯虚数．
已知复数，，、，，，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查复数的概念，属于基础题根据复数相等可得a，b的值，即可求解．
【解答】
解：因为，所以，，
所以．
故选D．
2.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了命题真假的判定、复数的概念，解题时逐一分析即可，属于基础题．
【解答】
解：对于，若时，是实数，故错；
对于，若a，且，是虚数不能比较大小，故错；
对于，是纯虚数时，则且，解得，故错；
对于，两个虚数不能比较大小，正确．
所以D正确．
故选：D．
3.【答案】A
【解析】解：由，得，．
而由，得或2．
所以“”是“复数为纯虚数”的充分不必要条件．
故选：A．
由能得到复数复数为纯虚数为纯数，反之，复数为纯虚数得到或1，则答案可求．
本题考查了复数的基本概念，考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，复数为纯虚数的充要条件是不等于0且虚部不等于0，是基础题．
4.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查了复数的运算，以及三角函数的性质．
由复数相等的条件得，利用二次函数的性质求解．
【解答】
解：由，得，，
得
，
当时，?有最小值，
当时，?有最大值7，
得．
故选D．
5.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查复数的基本概念，复数的相等，属于基础题．
直接利用复数的基本概念，复数的相等对各选项逐一进行判定即可．
【解答】
解：对于，如果两个复数的实部与虚部分别相等，那么这两个复数相等，满足复数相等的条件，所以正确
对于，因为只有两个复数都是实数时才能比较大小，所以不正确
对于，如果复数是实数，只需即可，所以不正确
对于，当，时，是实数，所以不正确．
故选A．
6.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查复数的四则运算，复数的相等，是基础题．
把b代入方程，化简利用复数相等的条件，求a，b即可得到复数z．
【解答】
解：方程有实根b，
．
故且，
，，，
故选A．
7.【答案】B
【解析】解：由题意得：
，
解得：，
故选：B．
根据纯虚数的定义判断即可．
本题考查了纯虚数的定义，考查对应思想，是一道基础题．
8.【答案】A，
B
【解析】
【分析】
本题考查复数的相关概念，属于基础题．
立足复数的相关概念对各选项逐一展开判定即可．
【解答】
解：A，根据纯虚数概念，若且，则为纯虚数，故A不正确；
?B，若，即，则故B不正确；
C，若，则为实数，故C正确；
D，由虚数单位的定义，故D正确．
故选AB．
9.【答案】A
B
C
【解析】
【分析】
本题主要考查复数的概念、复数相等的充要条件等，属于基础题根据复数的概念、复数相等的充要条件逐个判断即可．
【解答】
解：对于A，由于x，C，所以x，y不一定是的实部和虚部，故A是假命题；
对于B，由于两个虚数不能比较大小，故B是假命题；
C是假命题，如，但，；
对于D，由复数的概念知是正确的．
故选ABC．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了复数的相等应用，解题时由推出再进行求解即可，属于基础题．
【解答】
解：由复数相等的充要条件，知即
由得????，即，所以．
所以答案为．
11.【答案】1
【解析】
【分析】
本题主要考查复数相等的应用，属于基础题．
根据复数相等的列方程组求解可得．
【解答】
解：由题意得，，
故答案为：1．
12.【答案】
【解析】
【分析】本题考查了复数相等的充要条件，由复数相等的充要条件得解出即可．
【解答】解：，y是实数，根据两个复数相等的充要条件，
可得解得
13.【答案】0
【解析】
【分析】本题考查复数为实数的条件，属于基础题．
由，可得两复数为实数，且，即可得出a的范围．
【解答】
解：，
即
故．
14.【答案】，
2
【解析】
【分析】
本题考查了复数相等的充要条件，由新定义得，由复数相等的充要条件得出方程组，解出即可．
【解答】
解：由，得，
故．
因为x，y为实数，
所以解得
故答案为；2
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查复数相等的充要条件，交集的运算，属于基础题，
解题时根据可知，，然后得到，即可得到实部为3，虚部为零，依次解出a的值．
【解答】解：由知，，即有，
所以解得．
故答案为．
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查复数相等的条件．
由题意得，?
即根据复数相等，得到m，n的方程，解得m，n的值，即可得到答案．
【解答】
由题意知，?
即，
由复数相等可得
解得即．
故答案为
17.【答案】解：，且，
由复数相等的条件得
解得．
且，
由复数相等的条件得
解得．
【解析】本题考查由复数相等求参数的取值，属于基础题．
由已知得到求解即可
由已知得到求解即可．
18.【答案】解：因为，
所以是实数．
从而有
由得，或．
由得，，
当时，得，又n为自然数，所以；
当时，得，与n是自然数矛盾．
综上可得，，．
【解析】本题考查复数概念以及对数不等式的求解，属于基础题．
因为只有实数才能比较大小，所以，得到m的值，然后代入对数中解不等式，再根据n为自然数得到n的值．
19.【答案】解：要使所给复数为实数，必使复数的虚部为0．
故若使z为实数，则，
解得所以当时，z为实数．
要使所给复数为虚数，必使复数的虚部不为0．
故若使z为虚数，则，且，
所以当且时，z为虚数．
要使所给复数为纯虚数，必使复数的实部为0，虚部不为0．
故若使z为纯虚数，则
解得或．
所以当或时，z为纯虚数．
【解析】本题考查复数的概念，属于基础题。
复数为实数则有虚部为零即可，还要注意分母不为零，可解出m的值；
复数为虚数，则虚部不为零，分母不为零，解出m即可；
复数为纯虚数则复数的实部为0，虚部不为0，分母不为零，解出m即可．
20.【答案】解：，
由两复数相等的充要条件得，
，
，．
由二次函数的性质知．
的取值范围是．
【解析】本题考查了两复数相等的充要条件、二次函数的单调性、正弦函数的图象与性质等基础知识与基本技能方法，属于中档题．
利用两复数相等的充要条件得，消去m，再利用二次函数的单调性、正弦函数的图象与性质即可得出．