第1章计数原理 专解2 求特定条件下方法种数 必备知识点+巩固练习-2020-2021学年人教A版高中数学选修2-3
文档属性
| 名称 | 第1章计数原理 专解2 求特定条件下方法种数 必备知识点+巩固练习-2020-2021学年人教A版高中数学选修2-3 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 80.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-04-24 20:25:01 | ||
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文档简介
【必备知识点】
1.排列的定义
一般地，从n个不同的元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
2.排列数的定义
从个不同元素中，任取（）个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数，用符号表示.
3.排列数公式
，其中n，m∈N+，且m≤n．
阶乘表示式
（1）全排列：
个不同元素全部取出的一个排列，叫做个不同元素的一个全排列.
全排列.
（2）阶乘的概念：
把正整数1到的连乘积，叫做的阶乘.表示：，即.
规定：．
（3）排列数公式的阶乘式：
所以．
5.组合定义：
一般地，从个不同元素中取出（）个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合．
6.组合数及其公式
（1）组合数的定义：
从个不同元素中取出（）个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数．记作．
（2）组合数的公式及推导
求从n个不同元素中取出m个元素的排列数，可以按以下两步来考虑：
第一步，先求出从这n个不同元素中取出m个元素的组合数；
第二步，求每一个组合中m个元素的全排列数．
根据分步计数原理，得到．
因此
这里n，m∈N+，且m≤n，这个公式叫做组合数公式．因为，所以组合数公式还可表示为：．
7.
组合数公式：
(1)（
、，且）
(2)
（
、，且）
8.组合数的性质
性质1：（、，且）
性质2：（、，且）
【典例展示】
例1（重庆高考）从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科，脑壳外和内科医生都至少有1人的选派方法种数是________（用数学作答）.
【解析】按每科选派人数分3,1,1和，2,2,1两类.
当选派人数为3，1,1时，有3类，共有.
当选派人数为2,1,1时，有3类，共有.
故共有200+390=590（种）
答案：590
例2：（浙江高考）若从1,2,3,……，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有（
）
A.60种
B.63种
C.65种
D.66种
答案：D
例3：（陕西高考）
两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有（
）
A.10种
B.15种
C.20种
D.30种
答案;C
【思路总结与方法】
思路：解决这个问题首先要确定所给问题的类别.再根据问题类别采用相应的计数原理进行计算求出方法的个数.
解题步骤：
①确定所给问题是“分类”问题还是“分步”问题
②根据分类加法计数原理或分步乘法计数原理列出算式.
③求出方法总数.
【巩固练习】
1.（山东）现有16张不同的卡片，期中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为（
）
A.232
B.252
C.472
D.484
解析：含有红色时，C(4,1)
C(12,2)=264种；
不含红色时，分为两种小情况：
1）含有三色，C(4,1)
C(4,1)
C(4,1)=64种；
2）含有两色，必然是1色1种，另一色2种。
先取出两色C(3,2)，然后(C4,1)
C(4,2)或C(4,2)
C(4,1)
所以有C(3,2)
[C(4,1)
C(4,2)+C(4,2)
C(4,1)]=144种。
根据分类原理，共有264+64+144=472种。
答案：C
2.某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，以为同学从中共选3门.若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有（
）种
A.30
B.35
C.42
D.48
答案：A
3.某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有（
）
A.4种
B.10种
C,18种
D.20种
答案：B
4.从5名男医生、4名女医生种选3名医生组成一个医疗小分队，要求期中男、女医生都有，则不同的组队方案共有（
）种
A.70
B.80
C.100
D,140
答案：A
5.将4名大学生分配到4个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有______种（用数字作答）
答案：36
6.7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动.若每天安排3人，则不同的安排方案共有_______种（用数字作答）
答案：140
【课后练习】
一、选择题
1．共个人，从中选1名组长1名副组长，不同的选法总数是（
）
A.
B．
C．
D．
2.
从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有（
）
A.140种
B.120种
C.35种
D.34种
3．三名教师教六个班的课，每人教两个班，分配方案共有（
）．
A．18种
B．24种
C．45种
D．90种
4．在1，2，3，4，5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为偶数的共有（
）．
A．36个
B．24个
C．18个
D．6个
5.
从10名大学生毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为（
）
A
85
B
56
C
49
D
28
6．从正方体的8个顶点中选取4个，作为四面体的顶点，可得到不同的四面体的个数为（
）．
A．
B．
C．
D．
7．平面直角坐标系xOy中，平行直线x=n（n=0，1，2，…，5）与平行直线y=n
（n=0，1，2，…，5）组成的图形中，矩形共有（
）．
A．25个
B．36个
C．100个
D．225个
8．将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放人每个盒子里球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（
）．
A．10种
B．20种
C．36种
D．52种
二、填空题
9.平面上有7个点，问以这7点中任何两个为端点，构成有向线段有
条。
10.某校准备参加2004年全国高中数学联赛，把10个名额分配给高三年级2个班，每班至少1人，不同的分配方案有_____________种.
11．从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有________种.
A.8
B.12
C.16
D.20
12.
甲、乙、丙人站到共有级的台阶上，若每级台阶最多站人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是
（用数字作答）．
三、解答题
13．在200件产品中，有2件次品，从中任取5件．（注：可以只列式子，不必求结果）
（1）“其中恰有2件次品”的抽法有多少种？
（2）“其中恰有1件次品”的抽法有多少种？
（3）“其中没有次品”的抽法有多少种？
（4）“其中至少有1件次品”的抽法有多少种？
14.位实习教师全部分给高一年级的5个班级进行实习，每班至少1人，有多少种不同的分法？
15.
某篮球队共7名老队员，5名新队员，根据下列情况分别求出有多少种不同的出场阵容.
（1）某老队员必须上场，某2新队员不能出场；
（2）有6名打前锋位，4名打后卫位，甲、乙两名既能打前锋又能打后卫位.
【答案与解析】
1.【答案】C
【解析】(种)
2.
【答案】D
【解析】7人中任选4人，共C种选法，扣除只有男生的选法C，就可得有既有男生，又有女生的选法C－C=34.
3．【答案】D
【解析】
（种）．
4．【答案】A
【解析】
若各位数字之和为偶数，则只能两奇一偶，故（个），故选A．
5.
【答案】C
【解析】解析由条件可分为两类：一类是甲乙两人只去一个的选法有：，另一类是甲乙都去的选法有=7，所以共有42+7=49，即选C项。
6．【答案】A
【解析】
四个选项的思路是相同的．差别在于四点共面的情况有几种．6个表面及6组对棱构成的6个对角面都是四个顶点共面，不能构成四面体．
7．【答案】D
【解析】
垂直于x轴的6条直线中任取2条，垂直于y轴的6条直线中任取2条，可得一矩形，故共有（个）．
8．【答案】A
【解析】
4个小球分2组有：①（种），②（种），不同的分组方法．
在①中这3种分组方式可以随便放，∴种放法．
在②中只能有1种放法．故总种数为6+4=10（种）．
9.
【答案】21
【解析】两点确定一条直线，先从7个点中选2个点出来，共有=21种选法
10.
【答案】36
【解析】把10个名额分成2份，每份至少一个名额即可，用隔板法：
C=36.
11.
【答案】12
【解析】此题正面分析情形较多，若逆向思考，则转化为总体中除去3个面两两相邻的
情形：6个面中任意解取3个，共有C个，其中3个面两两相邻则对应于正方体的顶点个数，有8个，故所有不同选法有C-8=12（个）.
12.
【答案】336
【解析】对于7个台阶上每一个只站一人，则有种；若有一个台阶有2人，另一个是1人，则共有种，因此共有不同的站法种数是336种．
13．【解析】（1）要取5件，恰有2件次品，则3件正品要从198中抽取，有种．
（2）恰有l件次品，则4件正品要从198中抽取，有种．
（3）“没有次品”，则全为正品，有种．
（4）“至少有1件次品”，即要么l件次品，要么2件次品．即是（1）（2）中所得结果之和，为种．
14.
【解析】把实习教师先分成5组，人数分别为1，1，1，1，2，然后分给5个班级进行实习，共有C·C·C·C·C·A种分法.
但事实上有4个班级所分的实习老师数目相同，不用相互交换.因此上述分法种数是实际数的A倍，故应除以A.
所以不同分法种数应为=1800（种）.
15.
【解析】（1）C=126种.
（2）以2名既擅长前锋位又能打后卫位的队员是否上场，且上场后是前锋还是后卫作分类标准：①甲、乙都不上场有CC=120种；②甲、乙有一名上场，作前锋位有C（CC）种，作后卫位有C（CC）种，共C（CC）+C（CC）=340种；③甲、乙都上场，有CC+CC+C（CC）=176种.据分类计数原理，共有120+340+176=636种.
1.排列的定义
一般地，从n个不同的元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
2.排列数的定义
从个不同元素中，任取（）个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数，用符号表示.
3.排列数公式
，其中n，m∈N+，且m≤n．
阶乘表示式
（1）全排列：
个不同元素全部取出的一个排列，叫做个不同元素的一个全排列.
全排列.
（2）阶乘的概念：
把正整数1到的连乘积，叫做的阶乘.表示：，即.
规定：．
（3）排列数公式的阶乘式：
所以．
5.组合定义：
一般地，从个不同元素中取出（）个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合．
6.组合数及其公式
（1）组合数的定义：
从个不同元素中取出（）个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数．记作．
（2）组合数的公式及推导
求从n个不同元素中取出m个元素的排列数，可以按以下两步来考虑：
第一步，先求出从这n个不同元素中取出m个元素的组合数；
第二步，求每一个组合中m个元素的全排列数．
根据分步计数原理，得到．
因此
这里n，m∈N+，且m≤n，这个公式叫做组合数公式．因为，所以组合数公式还可表示为：．
7.
组合数公式：
(1)（
、，且）
(2)
（
、，且）
8.组合数的性质
性质1：（、，且）
性质2：（、，且）
【典例展示】
例1（重庆高考）从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科，脑壳外和内科医生都至少有1人的选派方法种数是________（用数学作答）.
【解析】按每科选派人数分3,1,1和，2,2,1两类.
当选派人数为3，1,1时，有3类，共有.
当选派人数为2,1,1时，有3类，共有.
故共有200+390=590（种）
答案：590
例2：（浙江高考）若从1,2,3,……，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有（
）
A.60种
B.63种
C.65种
D.66种
答案：D
例3：（陕西高考）
两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有（
）
A.10种
B.15种
C.20种
D.30种
答案;C
【思路总结与方法】
思路：解决这个问题首先要确定所给问题的类别.再根据问题类别采用相应的计数原理进行计算求出方法的个数.
解题步骤：
①确定所给问题是“分类”问题还是“分步”问题
②根据分类加法计数原理或分步乘法计数原理列出算式.
③求出方法总数.
【巩固练习】
1.（山东）现有16张不同的卡片，期中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为（
）
A.232
B.252
C.472
D.484
解析：含有红色时，C(4,1)
C(12,2)=264种；
不含红色时，分为两种小情况：
1）含有三色，C(4,1)
C(4,1)
C(4,1)=64种；
2）含有两色，必然是1色1种，另一色2种。
先取出两色C(3,2)，然后(C4,1)
C(4,2)或C(4,2)
C(4,1)
所以有C(3,2)
[C(4,1)
C(4,2)+C(4,2)
C(4,1)]=144种。
根据分类原理，共有264+64+144=472种。
答案：C
2.某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，以为同学从中共选3门.若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有（
）种
A.30
B.35
C.42
D.48
答案：A
3.某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有（
）
A.4种
B.10种
C,18种
D.20种
答案：B
4.从5名男医生、4名女医生种选3名医生组成一个医疗小分队，要求期中男、女医生都有，则不同的组队方案共有（
）种
A.70
B.80
C.100
D,140
答案：A
5.将4名大学生分配到4个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有______种（用数字作答）
答案：36
6.7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动.若每天安排3人，则不同的安排方案共有_______种（用数字作答）
答案：140
【课后练习】
一、选择题
1．共个人，从中选1名组长1名副组长，不同的选法总数是（
）
A.
B．
C．
D．
2.
从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有（
）
A.140种
B.120种
C.35种
D.34种
3．三名教师教六个班的课，每人教两个班，分配方案共有（
）．
A．18种
B．24种
C．45种
D．90种
4．在1，2，3，4，5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为偶数的共有（
）．
A．36个
B．24个
C．18个
D．6个
5.
从10名大学生毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为（
）
A
85
B
56
C
49
D
28
6．从正方体的8个顶点中选取4个，作为四面体的顶点，可得到不同的四面体的个数为（
）．
A．
B．
C．
D．
7．平面直角坐标系xOy中，平行直线x=n（n=0，1，2，…，5）与平行直线y=n
（n=0，1，2，…，5）组成的图形中，矩形共有（
）．
A．25个
B．36个
C．100个
D．225个
8．将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放人每个盒子里球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（
）．
A．10种
B．20种
C．36种
D．52种
二、填空题
9.平面上有7个点，问以这7点中任何两个为端点，构成有向线段有
条。
10.某校准备参加2004年全国高中数学联赛，把10个名额分配给高三年级2个班，每班至少1人，不同的分配方案有_____________种.
11．从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有________种.
A.8
B.12
C.16
D.20
12.
甲、乙、丙人站到共有级的台阶上，若每级台阶最多站人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是
（用数字作答）．
三、解答题
13．在200件产品中，有2件次品，从中任取5件．（注：可以只列式子，不必求结果）
（1）“其中恰有2件次品”的抽法有多少种？
（2）“其中恰有1件次品”的抽法有多少种？
（3）“其中没有次品”的抽法有多少种？
（4）“其中至少有1件次品”的抽法有多少种？
14.位实习教师全部分给高一年级的5个班级进行实习，每班至少1人，有多少种不同的分法？
15.
某篮球队共7名老队员，5名新队员，根据下列情况分别求出有多少种不同的出场阵容.
（1）某老队员必须上场，某2新队员不能出场；
（2）有6名打前锋位，4名打后卫位，甲、乙两名既能打前锋又能打后卫位.
【答案与解析】
1.【答案】C
【解析】(种)
2.
【答案】D
【解析】7人中任选4人，共C种选法，扣除只有男生的选法C，就可得有既有男生，又有女生的选法C－C=34.
3．【答案】D
【解析】
（种）．
4．【答案】A
【解析】
若各位数字之和为偶数，则只能两奇一偶，故（个），故选A．
5.
【答案】C
【解析】解析由条件可分为两类：一类是甲乙两人只去一个的选法有：，另一类是甲乙都去的选法有=7，所以共有42+7=49，即选C项。
6．【答案】A
【解析】
四个选项的思路是相同的．差别在于四点共面的情况有几种．6个表面及6组对棱构成的6个对角面都是四个顶点共面，不能构成四面体．
7．【答案】D
【解析】
垂直于x轴的6条直线中任取2条，垂直于y轴的6条直线中任取2条，可得一矩形，故共有（个）．
8．【答案】A
【解析】
4个小球分2组有：①（种），②（种），不同的分组方法．
在①中这3种分组方式可以随便放，∴种放法．
在②中只能有1种放法．故总种数为6+4=10（种）．
9.
【答案】21
【解析】两点确定一条直线，先从7个点中选2个点出来，共有=21种选法
10.
【答案】36
【解析】把10个名额分成2份，每份至少一个名额即可，用隔板法：
C=36.
11.
【答案】12
【解析】此题正面分析情形较多，若逆向思考，则转化为总体中除去3个面两两相邻的
情形：6个面中任意解取3个，共有C个，其中3个面两两相邻则对应于正方体的顶点个数，有8个，故所有不同选法有C-8=12（个）.
12.
【答案】336
【解析】对于7个台阶上每一个只站一人，则有种；若有一个台阶有2人，另一个是1人，则共有种，因此共有不同的站法种数是336种．
13．【解析】（1）要取5件，恰有2件次品，则3件正品要从198中抽取，有种．
（2）恰有l件次品，则4件正品要从198中抽取，有种．
（3）“没有次品”，则全为正品，有种．
（4）“至少有1件次品”，即要么l件次品，要么2件次品．即是（1）（2）中所得结果之和，为种．
14.
【解析】把实习教师先分成5组，人数分别为1，1，1，1，2，然后分给5个班级进行实习，共有C·C·C·C·C·A种分法.
但事实上有4个班级所分的实习老师数目相同，不用相互交换.因此上述分法种数是实际数的A倍，故应除以A.
所以不同分法种数应为=1800（种）.
15.
【解析】（1）C=126种.
（2）以2名既擅长前锋位又能打后卫位的队员是否上场，且上场后是前锋还是后卫作分类标准：①甲、乙都不上场有CC=120种；②甲、乙有一名上场，作前锋位有C（CC）种，作后卫位有C（CC）种，共C（CC）+C（CC）=340种；③甲、乙都上场，有CC+CC+C（CC）=176种.据分类计数原理，共有120+340+176=636种.