11章全等三角形学案
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第十一章 “全等三角形”单元备课
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本章的学习目标如下：
1．了解全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素。
2．探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式。
3．了解角的平分线的性质，能利用三角形全等证明角的平分线的性质，会利用角的平分线的性质进行证明。
二、本章编写特点
（一）注重探索结论
在“三角形全等的判定”一节设计了8个探究，让学生经历三角形全等条件的探索过程，突出体现新教材的设计思想：
探究1：两个三角形满足三条边对应相等，三个角对应相等这六个条件中的一个或两个，两个三角形是否一定全等；
探究2：三边对应相等，两个三角形是否一定全等；
探究3：两边及其夹角对应相等，两个三角形是否一定全等；
探究4：两边及其中一边所对的角对应相等，两个三角形是否一定全等；
探究5：两角和它们的夹边对应相等，两个三角形是否一定全等；
探究6：两角和其中一个角的对边对应相等，两个三角形是否一定全等；
探究7：三个角对应相等，两个三角形是否一定全等；
探究8：斜边和一条直角边对应相等，两个直角三角形是否一定全等。
探究2～7让学生探索两个三角形满足三条边对应相等，三个角对应相等六个条件中的三个，两个三角形是否一定全等。总的发展脉络是三边，两边一角（包括探究3，探究4两种情况），一边两角（包括探究5，探究6两种情况），三个角，这样学生容易把握探索的过程。
探究1、探究4、探究7是不一定能判定全等的情况，探究2、探究3、探究5、探究6是能判定全等的情况。这样的处理也与先给出可判定全等的情况再给出不一定能判定全等的情况的处理不同，尽量排除人为安排的因素，呈现更为自然。
学完三角形全等的判定方法，让学生将三角形全等的判定方法运用于直角三角形，讨论得出直角三角形全等的判定方法。其中，斜边和一条直角边对应相等不能运用三角形全等的判定方法，又需要学生进一步加以实验探索。
（二）注重推理能力的培养
本章在七年级下册第七章出现证明和证明格式的基础上，进一步介绍推理论证的方法。要求学生有理有据地推理证明，精练准确地表达推理过程，是比较困难的。为了解决这个难点，教科书做了一些努力。
1．注意减缓坡度，循序渐进。开始阶段，证明的方向明确，过程简单，书写容易规范化。这一阶段要求学生体会例题的证明思路及格式，然后再逐步增加题目的复杂程度，小步前进，每一步都为下一步做准备，下一步又注意复习前一步训练的内容。通过精心选择全等三角形的证明问题，减缓学生学习几何证明的坡度。
2．在不同的阶段，安排不同的练习内容，突出一个重点，每个阶段都提出明确要求，便于教师掌握。先让学生会证明两个三角形全等，然后安排通过证明三角形全等，证明两条线段或两个角相等的问题，从而熟悉证明的步骤和方法。在此之后安排的问题涉及以前学过的平行线等内容，重点培养学生分析问题、根据需要选择有关的结论去证明的能力。
3．注重分析思路，让学生学会思考问题，注重书写格式，让学生学会清楚地表达思考的过程。例如，在“三角形全等的判定”一节证明例1的结论“△ABD≌△ACD”以前，首先指出证题的思路：“要证△ABD≌△ACD，可看这两个三角形的三条边是否对应相等。”为了清楚地表达上述思考过程，引入“∵”“∴”及综合法证明的格式，把证明的过程简明地表达出来。
（三）注重联系实际
在“全等三角形”一节，教科书从实际例子引入全等形的概念，并让学生举出一些例子。这样做既可以使学生易于理解相关概念，也可以调动他们学习的积极性。又如，从分析平分角的仪器的原理引入角的平分线的画法。再如，通过确定集贸市场的位置的问题引出“角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”的结论，使学生看到理论来自实际的需要。
用三角形全等可以说明实际测量方法的道理，教科书在例题和习题中安排了测量池塘两端的距离、测量河两岸相对两点的距离、用卡钳测量工件的内槽宽等内容，还安排了利用三角形全等测量旗杆高度的数学活动。
三、几个值得关注的问题
（一）关于内容之间的联系
在“全等三角形”一节，让学生通过观察、思考得出平移、翻折、旋转前后的图形全等的结论。这样处理一方面可以复习巩固全等三角形的概念，另一方面也使学生在某些情况下容易找到全等三角形的对应元素。
在“三角形全等的判定”一节，把三角形的画法与三角形全等判定方法的探索相结合。也就是说，不直接给出三角形全等的判定方法，而是让学生画出与已知三角形某些元素对应相等的三角形，画完以后，再剪剪量量，在这个基础上启发学生思考，判定两个三角形全等需要什么条件。这样让学生自己动手画图实验，就会对相关结论印象深刻。这样做的另一个好处是，避免单独讲三角形画法的单调枯燥。
为了使学生更全面地认识“全等”和“全等三角形”，教科书安排了“阅读与思考 全等与全等三角形”。这篇阅读材料以师生对话的形式对“全等”和“全等三角形”的相关问题作了进一步的介绍。全等是几何中的重要概念，是学生今后几何学习的重要基础。以三角形为载体介绍全等的知识，原因主要包括两个方面：一是三角形是最简单的多边形，可使学生在相对简单的图形环境中学习全等；二是任意多边形都可以分解为若干三角形，从而有利于把全等的知识推广到其他多边形。对全等三角形的研究分为“性质”和“判定”两个方面，这两个方面是相辅相成的。认识到这一点，有利于学生今后对如平行四边形的性质和判定等知识的学习。
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备课者：孙鹏飞、杨晓利 备课时间： 8.25 上课时间：
11.1全等三角形
1．知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素；
2．知道全等三角形的性质，能用符号正确地表示两个三角形全等；
3．能熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边．
1.什么样的两个三角形全等？2.全等三角形有什么性质？
1.问题导学
１.观察下列图案，指出这些图案中中形状与大小相同的图形
2．学生自己动手（同桌两名同学配合）
取一张纸，将自己事先准备好的三角板按在纸上，画下图形，照图形裁下来，纸样与三角板 、 完全一样．
3．获取概念
形状与大小都完全相同的两个图形就是 ．（要是把两个图形放在一起，能够完全重合，就可以说明这两个图形的形状、大小相同．）
即：全等形的准确定义：能够完全重合的两个图形叫做全等形．
推得出全等三角形的概念：
对应顶点： 、对应角： 、
对应边： 。 “全等”符号： 读作“全等于”
1.问题：将△ABC沿直线BC平移得△DEF；将△ABC沿BC翻折180°得到△DBC；将△ABC旋转180°得△AED．
议一议：各图中的两个三角形全等吗？
不难得出： ≌△DEF，△ABC≌ ，△ABC≌ ．
（注意强调书写时对应顶点字母写在对应的位置上）
启示：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但 、 都没有改变，所以平移、翻折、旋转前后的图形 ，这也是我们通过运动的方法寻求全等的一种策略．
观察与思考：
寻找甲图中两三角形的对应元素，它们的对应边有什么关系？对应角呢？
全等三角形的性质： ， 。
符号语言：
1、如图1，△OCA≌△OBD，C和B，A和D是对应顶点，说出这两个三角形中相等的边和角．
图1
2、如图2，已知△ABE≌△ACD，∠ADE=∠AED，∠B=∠C，指出其他的对应边和对应角．
图2
（1）全等三角形对应角所对的边是对应边；两个对应角所夹的边也是对应边．
（2）全等三角形对应边所对的角是对应角；两条对应边所夹的角是对应角．
1、已知如图3 △ABC≌△ADE，试找出对应边、对应角．
图3
2、P4：练习 ：1、2
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备课者：孙鹏飞、杨晓利 备课时间： 8.25 上课时间：
11.2 全等三角形的判定（1）(SSS)
1．三角形全等的“边边边”的条件．
2．了解三角形的稳定性．
3．经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程．
1.两个三角形全等应满足几个条件？最少条件是几个？
.问题导学
已知△ABC≌△A′B′C′，找出其中相等的边与角．
图中相等的边是： ．相等的角是：
问题：你能画一个三角形与△ABC全等吗？怎样画？
1．只给一个条件（一组对应边相等或一组对应角相等），画出的两个三角形一定全等吗？
2．给出两个条件画三角形时，有几种可能的情况，每种情况下作出的三角形一定全等吗？分别按下列条件做一做．
①三角形一内角为30°，一条边为3cm．
②三角形两内角分别为30°和50°．
③三角形两条边分别为4cm、6cm．
学生分组讨论、探索、归纳，最后以组为单位出示结果作补充交流．结果展示：
1．只给定一条边时： 只给定一个角时：
2．给出的两个条件：一边一内角、 两内角、 两边．
3. 给出三个条件画三角形，你能说出有几种可能的情况吗？
归纳：
已知一个三角形的三条边长分别为6cm、8cm、10cm．你能画出这个三角形吗？把你画的三角形剪下与同伴画的三角形进行比较，它们全等吗？
1．作图方法：
2．以小组为单位，把剪下的三角形重叠在一起，发现
3．要是任意画一个三角形ABC，根据前面作法，同样可以作出一个三角形A′B′C′，使AB=A′B′、AC=A′C′、BC=B′C′．将△A′B′C′剪下，发现两三角形重合．这反映了一个规律：三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”．
符号语言：
1、如图，△ABC是一个钢架，AB=AC，AD是连结点A与BC中点D的支架．求证：△ABD≌△ACD．
证明：
2.如图，已知AC=FE、BC=DE，点A、D、B、F在一条直线上，AD=FB．要用“边边边”证明△ABC≌△FDE，除了已知中的AC=FE，BC=DE以外，还应该有什么条件？怎样才能得到这个条件？
3、如图四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，你能把四边形ABCD分成两个相互全等的三角形吗 你有几种方法 你能证明你的方法吗 试一试．
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备课者：孙鹏飞、杨晓利 备课时间： 8.26 上课时间：
§11．2.2三角形全等的条件（2）(SAS)
1．三角形全等的“边角边”的条件．
2．经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程．
3．掌握三角形全等的“SＡS”条件，了解三角形的稳定性．
4．能运用“SＡS”证明简单的三角形全等问题．
两个三角形满足两边及其中一角对应相等时全等吗？
一、创设情境，复习提问
1．怎样的两个三角形是全等三角形？
2．全等三角形的性质？
3．三角形全等的判定Ⅰ的内容是什么？
二、导入新课
1． 如图2，AC、BD相交于O，AO、BO、CO、DO的长度如图所标，△ABO和△CDO是否能完全重合呢？
猜想：
如果两个三角形有两边和它们的夹角对应相等，那么这两个三角形 ．2．上述猜想是否正确呢？不妨按上述条件画图并作如下的实验：
(1)读句画图：①画∠DAE＝45°，②在AD、AE上分别取 B、C，使 AB＝3.1cm， AC＝2.8cm．③连结BC，得△ABC．④按上述画法再画一个△A＇B＇C＇．
(2)把△A＇B＇C＇剪下来放到△ABC上，观察△A＇B＇C＇与△ABC是否能够完全重合？
3．边角边
(简称“边角边”或“SAS”)
符号语言：
1．填空：
(1)如图3，已知AD∥BC，AD＝CB，要用边角边公理证明△ABC≌△CDA，需要三个条件，这三个条件中，已具有两个条件，一是AD＝CB(已知)，二是___________；还需要一个条件_____________(这个条件可以证得吗？)．
(2)如图4，已知AB＝AC，AD＝AE，∠1＝∠2，要用边角边公理证明△ABD≌ACE，需要满足的三个条件中，已具有两个条件：_________________________(这个条件可以证得吗？)．
例1 已知： AD∥BC，AD＝ CB(图3)． 求证：△ADC≌△CBA．
问题：如果把图3中的△ADC沿着CA方向平移到△ADF的位置(如图5)，那么要证明△ADF≌ △CEB，除了AD∥BC、AD＝CB的条件外，还需要一个什么条件(AF＝ CE或AE ＝CF)？怎样证明呢？
例2 已知：AB＝AC、AD＝AE、∠1＝∠2(图4)．求证：△ABD≌△ACE．
1．已知：如图，AB＝AC，F、E分别是AB、AC的中点求证：△ABE≌△ACF．
2.已知：如图AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE
求证： △ABD≌△ACE
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备课者：孙鹏飞、杨晓利 备课时间： 8.26 上课时间：
11.2三角形全等的判定（3）(ASA AAS)
1、通过动手实践，自主探索，进一步掌握三角形全等的条件。
2学生探索出全等三角形的条件“ASA、AAS”结合图形能准确表达三角形全等。
3、能运用“ASA、AAS”的方法进行三角形全等的判定。
两个三角形在满足两角及其一边对应相等时是否全等？
一：快速回顾：
1.全等三角形的定义：
2.你学过的判定两个三角形全等的方法有：
二、自学P11 探究5
1. 先任意画出一个△ABC。再画一个△A′B′C′，使A′B′=AB，∠A′=∠A，∠B′=∠B（即使两角和它们的夹边对应相等）。把画好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，它们全等吗？你能得出什么结论？
2、在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，∠B＝∠E，BC＝EF（图11．2—9），△ABC与△DEF全等吗 能利用角边角条件证明你的结论吗
证明:
总结出结论：
符号语言是：
3、讨论：三角对应相等的两个三角形全等吗
1．如图，要测量河两岸相对的两点A，B的距离，可以在AB的垂线BF上取两点C，D，使BC=CD，再定出BF的垂线DE，使A，C，E在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长．为什么
2．如图，AB⊥BC，AD⊥DC，∠1＝∠2．求证AB=AD．
：
如图：∠1=∠2，∠3=∠4 求证：AC=AD
如图：D在AB上，E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C．求证AD＝AE．
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备课者：孙鹏飞、杨晓利 备课时间： 8.27 上课时间：
三角形全等的条件---直角三角形全等的判定（4）（HL）
1、经历探索直角三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程；
2、掌握直角三角形全等的条件，并能运用其解决一些实际问题。
3、在探索直角三角形全等条件及其运用的过程中，能够进行有条理的思考并进行简单的推理。
特殊三角形直角三角形会有特殊的判定方法吗？
提出问题，复习旧知
1、判定两个三角形全等的方法： 、 、 、
2、如图，Rt△ABC中，直角边是 、 ，
斜边是
3、如图，AB⊥BE于C，DE⊥BE于E，
（1）若∠A=∠D，AB=DE，
则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等” ）
根据 （用简写法）
（2）若∠A=∠D，BC=EF，
则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等” ）
根据 （用简写法）
（3）若AB=DE，BC=EF，
则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等” ）
根据 （用简写法）
（4）若AB=DE，BC=EF，AC=DF
则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等” ）
根据 （用简写法）
（动手操作）：已知线段a ，c (a1、按步骤作图： a c
作∠MCN=∠=90°，
在射线 CM上截取线段CB=a，
③以B 为圆心，C为半径画弧，交射线CN于点A，
④连结AB
2、与同桌重叠比较，是否重合？
3、从中你发现了什么？
符号语言：
1、如图，△ABC中，AB=AC，AD是高，
则△ADB与△ADC （填“全等”或“不全等” ）
根据 （用简写法）
如图，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E、F，
（1）若AC//DB，且AC=DB，则△ACE≌△BDF，根据
（2）若AC//DB，且AE=BF，则△ACE≌△BDF，根据
（3）若AE=BF，且CE=DF，则△ACE≌△BDF，根据
（4）若AC=BD，AE=BF，CE=DF。则△ACE≌△BDF，根据
（5） 若AC=BD，CE=DF（或AE=BF），则△ACE≌△BDF，根据
1、如图，B、E、F、C在同一直线上，AF⊥BC于F，DE⊥BC于E，
AB=DC，BE=CF，你认为AB平行于CD吗？说说你的理由
2、判断题：
（1）一个锐角和这个锐角的对边对应相等的两个直角三角形全等。（ ）
（2）一个锐角和锐角相邻的一直角边对应相等的两个直角三角形全等（ ）
（3）一个锐角与一斜边对应相等的两个直角三角形全等（ ）
（4）两直角边对应相等的两个直角三角形全等（ ）
（5）两边对应相等的两个直角三角形全等（ ）
（6）两锐角对应相等的两个直角三角形全等（ ）
（7）一个锐角与一边对应相等的两个直角三角形全等（ ）
3、如图，广场上有两根旗杆，已知太阳光线AB与DE是平行的，经过测量这两根旗杆在太阳光照射下的影子是一样长的，那么这两根旗杆高度相等吗？说说你的理由。
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备课者：孙鹏飞、杨晓利 备课时间： 8.28 上课时间：
11.3角的平分线的性质（第一课时）
1、通过探究理解角平分线的性质并会运用
2、掌握尺规作图作角平分线
1、怎样用尺规作角的平分线？
2、角的平分线上的点到角的两边的距离有什么关系？
（一）课前巩固
如图，AB＝AD，BC＝DC，求证AC是∠DAB的平分线
（二）自学：教材P19
（三）用尺规作一个角的平分线
1、已知：∠AOB， 2、练习，画出下列角的平分线
求作：∠AOB的平分线OC
3、练习，教材P19
角平分线的性质
1、探究，教材P20
2、归纳，角平分线的性质是：角平分线上的 到角两边的 相等。
3、用三角形全等证明性质，
如图，已知：∠BAF=∠CAF,点O在AF上，OE⊥ AB , OD⊥AC,垂足分别为E,D.求证：OE=OD
证明： F
符号语言：
△ABC中，AD是它的角平分线，且BD＝CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F,求证EB＝FC
如图，△ABC的∠B的外角平分线BD与∠C的外角的平分组CE相交于P,求证点P到三边AB，BC，CA所在直线的距离相等。
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备课者：孙鹏飞、杨晓利 备课时间： 8.29 上课时间：
11.3角的平分线的性质（第二课时）
1、会叙述角的平分线的性质及“到角两边距离相等的点在角的平分线上”．
2、能应用这两个性质解决一些简单的实际问题．
一个点到角的两边距离相等这个点一定在角的平分线上吗？
1、复习思考
（1）、画出三角形三个内角的平分线
你发现了什么特点吗？
（2）、如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等。
2、求证：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
（提示：先画图，并写出已知、求证，再加以证明）
1、比较角平分线的性质与判定
2、要在Ｓ区建一个集贸市场，使它到公路，铁路
距离相等且离公路，铁路的交叉处５00米，应建在何处？（比例尺 1：20 000）
2、如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE，CD相交于点O，OB＝OC，求证∠1＝∠2
如图，在四边形ABCD中，BC>BA，AD=DC,BD平分∠ABC,求证：∠A+∠C=180°
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备课者：孙鹏飞、杨晓利 备课时间： 8.29 上课时间：
课题：《11章复习》导学案
使用说明：学生利用自习先复习课本第2-25页15分钟，然后30分钟独立做完学案。正课由小组讨论交流然后展示点评，对于有疑问的题目教师点拨、拓展。建议使用2课时。
【学习目标】
1、掌握三角形全等的判定方法，利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式．
2、能用尺规进行一些基本作图．能用三角形全等和角平分线的性质进行证明。
3、极度热情、高度责任、自动自发、享受成功。
教学重点：用三角形全等和角平分线的性质进行证明有关问题
教学难点: 灵活应用所学知识解决问题，精炼准确表达推理过程
【学习过程】
一、本章知识结构梳理
三角形
二、方法指引
1、证明两个三角形全等的基本思路：
(1)已知两边
(2)已知一边一角
(3)已知两角
2、三角形全等是证明线段相等、角相等最基本、最常用的方法。
例题1、如图：AB=AC，ME⊥AB，MF⊥AC，垂足分别为E、F，ME=MF。
求证：MB=MC
例题2、已知，△ABC和△ECD都是等边三角形，且点B，C，D在一条直线上求证：BE=AD
3、当题目中有角平分线时，可通过构造等腰三角形或全等三角形来寻找解题思路，或利用角平分线性质去证线段相等
例题3、已知∠B=∠E=90°，CE=CB，AB∥CD.
求证：△ADC是等腰三角形
例题4、已知：如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DB=DC，
求证：EB=FC
4、证明线段的和、差、倍、分问题时，常采用“割长”、“补短”等方法
例题5、如图,已知AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E，求证AB=AC+BD
提示：要证明两条线段的和与一条线段相等时常用的两种方法：
（1）、可在长线段上截取与两条线段中一条相等的一段，然后证明剩余的线段与另一条线段相等。（割）
（2）、把一个三角形移到另一位置，使两线段补成一条线段，再证明它与长线段相等。（补））
三、你能用尺规进行下面几种作图吗？
1、已知三边作三角形
2、作一个角等于已知角
3、已知两边和它们的夹角作三角形
4、已知两角和它们的夹边作三角形
5、已知斜边和一直角边作直角三角形
6、作角的平分线
四、学以致用
1、如图：在△ABC中，∠C =90°，AD平分∠ BAC，DE⊥AB交AB于E，BC=30，BD：CD=3：2，则DE= 。
2、如图，已知E在AB上，∠1=∠2， ∠3=∠4，那么AC等于AD吗？为什么？
3、如图，已知，EG∥AF，请你从下面三个条件中，再选出两个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个正确的命题。（只写出一种情况）①AB=AC ②DE=DF ③BE=CF
已知：EG∥AF，________，__________
求证：_________
4、如图，在R△ABC中，∠ACB=45°，∠BAC=90°，AB=AC，点D是AB的中点，AF⊥CD于H交BC于F，BE∥AC交AF的延长线于E，求证：BC垂直且平分DE.
五、课堂小结
学习全等三角形应注意以下几个问题
（1):要正确区分“对应边”与“对边”，“对应角”与 “对角”的不同含义；
（2）：表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上；
（3）：要记住“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个
三角形不一定全等；
（4）：时刻注意图形中的隐含条件，如 “公共角” 、“公共边”、“对顶角”
六、作业
4、必做：课本26页复习题11第2、5、6、8、9题；选做：27页10-12题。
1111
221
3
4
E
D
C
A
B
A
C
E
B
D
4
3
2
1
E
D
C
B
A
G
F
E
D
C
B
A
-
本章的学习目标如下：
1．了解全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素。
2．探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式。
3．了解角的平分线的性质，能利用三角形全等证明角的平分线的性质，会利用角的平分线的性质进行证明。
二、本章编写特点
（一）注重探索结论
在“三角形全等的判定”一节设计了8个探究，让学生经历三角形全等条件的探索过程，突出体现新教材的设计思想：
探究1：两个三角形满足三条边对应相等，三个角对应相等这六个条件中的一个或两个，两个三角形是否一定全等；
探究2：三边对应相等，两个三角形是否一定全等；
探究3：两边及其夹角对应相等，两个三角形是否一定全等；
探究4：两边及其中一边所对的角对应相等，两个三角形是否一定全等；
探究5：两角和它们的夹边对应相等，两个三角形是否一定全等；
探究6：两角和其中一个角的对边对应相等，两个三角形是否一定全等；
探究7：三个角对应相等，两个三角形是否一定全等；
探究8：斜边和一条直角边对应相等，两个直角三角形是否一定全等。
探究2～7让学生探索两个三角形满足三条边对应相等，三个角对应相等六个条件中的三个，两个三角形是否一定全等。总的发展脉络是三边，两边一角（包括探究3，探究4两种情况），一边两角（包括探究5，探究6两种情况），三个角，这样学生容易把握探索的过程。
探究1、探究4、探究7是不一定能判定全等的情况，探究2、探究3、探究5、探究6是能判定全等的情况。这样的处理也与先给出可判定全等的情况再给出不一定能判定全等的情况的处理不同，尽量排除人为安排的因素，呈现更为自然。
学完三角形全等的判定方法，让学生将三角形全等的判定方法运用于直角三角形，讨论得出直角三角形全等的判定方法。其中，斜边和一条直角边对应相等不能运用三角形全等的判定方法，又需要学生进一步加以实验探索。
（二）注重推理能力的培养
本章在七年级下册第七章出现证明和证明格式的基础上，进一步介绍推理论证的方法。要求学生有理有据地推理证明，精练准确地表达推理过程，是比较困难的。为了解决这个难点，教科书做了一些努力。
1．注意减缓坡度，循序渐进。开始阶段，证明的方向明确，过程简单，书写容易规范化。这一阶段要求学生体会例题的证明思路及格式，然后再逐步增加题目的复杂程度，小步前进，每一步都为下一步做准备，下一步又注意复习前一步训练的内容。通过精心选择全等三角形的证明问题，减缓学生学习几何证明的坡度。
2．在不同的阶段，安排不同的练习内容，突出一个重点，每个阶段都提出明确要求，便于教师掌握。先让学生会证明两个三角形全等，然后安排通过证明三角形全等，证明两条线段或两个角相等的问题，从而熟悉证明的步骤和方法。在此之后安排的问题涉及以前学过的平行线等内容，重点培养学生分析问题、根据需要选择有关的结论去证明的能力。
3．注重分析思路，让学生学会思考问题，注重书写格式，让学生学会清楚地表达思考的过程。例如，在“三角形全等的判定”一节证明例1的结论“△ABD≌△ACD”以前，首先指出证题的思路：“要证△ABD≌△ACD，可看这两个三角形的三条边是否对应相等。”为了清楚地表达上述思考过程，引入“∵”“∴”及综合法证明的格式，把证明的过程简明地表达出来。
（三）注重联系实际
在“全等三角形”一节，教科书从实际例子引入全等形的概念，并让学生举出一些例子。这样做既可以使学生易于理解相关概念，也可以调动他们学习的积极性。又如，从分析平分角的仪器的原理引入角的平分线的画法。再如，通过确定集贸市场的位置的问题引出“角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”的结论，使学生看到理论来自实际的需要。
用三角形全等可以说明实际测量方法的道理，教科书在例题和习题中安排了测量池塘两端的距离、测量河两岸相对两点的距离、用卡钳测量工件的内槽宽等内容，还安排了利用三角形全等测量旗杆高度的数学活动。
三、几个值得关注的问题
（一）关于内容之间的联系
在“全等三角形”一节，让学生通过观察、思考得出平移、翻折、旋转前后的图形全等的结论。这样处理一方面可以复习巩固全等三角形的概念，另一方面也使学生在某些情况下容易找到全等三角形的对应元素。
在“三角形全等的判定”一节，把三角形的画法与三角形全等判定方法的探索相结合。也就是说，不直接给出三角形全等的判定方法，而是让学生画出与已知三角形某些元素对应相等的三角形，画完以后，再剪剪量量，在这个基础上启发学生思考，判定两个三角形全等需要什么条件。这样让学生自己动手画图实验，就会对相关结论印象深刻。这样做的另一个好处是，避免单独讲三角形画法的单调枯燥。
为了使学生更全面地认识“全等”和“全等三角形”，教科书安排了“阅读与思考 全等与全等三角形”。这篇阅读材料以师生对话的形式对“全等”和“全等三角形”的相关问题作了进一步的介绍。全等是几何中的重要概念，是学生今后几何学习的重要基础。以三角形为载体介绍全等的知识，原因主要包括两个方面：一是三角形是最简单的多边形，可使学生在相对简单的图形环境中学习全等；二是任意多边形都可以分解为若干三角形，从而有利于把全等的知识推广到其他多边形。对全等三角形的研究分为“性质”和“判定”两个方面，这两个方面是相辅相成的。认识到这一点，有利于学生今后对如平行四边形的性质和判定等知识的学习。
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备课者：孙鹏飞、杨晓利 备课时间： 8.25 上课时间：
11.1全等三角形
1．知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素；
2．知道全等三角形的性质，能用符号正确地表示两个三角形全等；
3．能熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边．
1.什么样的两个三角形全等？2.全等三角形有什么性质？
1.问题导学
１.观察下列图案，指出这些图案中中形状与大小相同的图形
2．学生自己动手（同桌两名同学配合）
取一张纸，将自己事先准备好的三角板按在纸上，画下图形，照图形裁下来，纸样与三角板 、 完全一样．
3．获取概念
形状与大小都完全相同的两个图形就是 ．（要是把两个图形放在一起，能够完全重合，就可以说明这两个图形的形状、大小相同．）
即：全等形的准确定义：能够完全重合的两个图形叫做全等形．
推得出全等三角形的概念：
对应顶点： 、对应角： 、
对应边： 。 “全等”符号： 读作“全等于”
1.问题：将△ABC沿直线BC平移得△DEF；将△ABC沿BC翻折180°得到△DBC；将△ABC旋转180°得△AED．
议一议：各图中的两个三角形全等吗？
不难得出： ≌△DEF，△ABC≌ ，△ABC≌ ．
（注意强调书写时对应顶点字母写在对应的位置上）
启示：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但 、 都没有改变，所以平移、翻折、旋转前后的图形 ，这也是我们通过运动的方法寻求全等的一种策略．
观察与思考：
寻找甲图中两三角形的对应元素，它们的对应边有什么关系？对应角呢？
全等三角形的性质： ， 。
符号语言：
1、如图1，△OCA≌△OBD，C和B，A和D是对应顶点，说出这两个三角形中相等的边和角．
图1
2、如图2，已知△ABE≌△ACD，∠ADE=∠AED，∠B=∠C，指出其他的对应边和对应角．
图2
（1）全等三角形对应角所对的边是对应边；两个对应角所夹的边也是对应边．
（2）全等三角形对应边所对的角是对应角；两条对应边所夹的角是对应角．
1、已知如图3 △ABC≌△ADE，试找出对应边、对应角．
图3
2、P4：练习 ：1、2
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备课者：孙鹏飞、杨晓利 备课时间： 8.25 上课时间：
11.2 全等三角形的判定（1）(SSS)
1．三角形全等的“边边边”的条件．
2．了解三角形的稳定性．
3．经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程．
1.两个三角形全等应满足几个条件？最少条件是几个？
.问题导学
已知△ABC≌△A′B′C′，找出其中相等的边与角．
图中相等的边是： ．相等的角是：
问题：你能画一个三角形与△ABC全等吗？怎样画？
1．只给一个条件（一组对应边相等或一组对应角相等），画出的两个三角形一定全等吗？
2．给出两个条件画三角形时，有几种可能的情况，每种情况下作出的三角形一定全等吗？分别按下列条件做一做．
①三角形一内角为30°，一条边为3cm．
②三角形两内角分别为30°和50°．
③三角形两条边分别为4cm、6cm．
学生分组讨论、探索、归纳，最后以组为单位出示结果作补充交流．结果展示：
1．只给定一条边时： 只给定一个角时：
2．给出的两个条件：一边一内角、 两内角、 两边．
3. 给出三个条件画三角形，你能说出有几种可能的情况吗？
归纳：
已知一个三角形的三条边长分别为6cm、8cm、10cm．你能画出这个三角形吗？把你画的三角形剪下与同伴画的三角形进行比较，它们全等吗？
1．作图方法：
2．以小组为单位，把剪下的三角形重叠在一起，发现
3．要是任意画一个三角形ABC，根据前面作法，同样可以作出一个三角形A′B′C′，使AB=A′B′、AC=A′C′、BC=B′C′．将△A′B′C′剪下，发现两三角形重合．这反映了一个规律：三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”．
符号语言：
1、如图，△ABC是一个钢架，AB=AC，AD是连结点A与BC中点D的支架．求证：△ABD≌△ACD．
证明：
2.如图，已知AC=FE、BC=DE，点A、D、B、F在一条直线上，AD=FB．要用“边边边”证明△ABC≌△FDE，除了已知中的AC=FE，BC=DE以外，还应该有什么条件？怎样才能得到这个条件？
3、如图四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，你能把四边形ABCD分成两个相互全等的三角形吗 你有几种方法 你能证明你的方法吗 试一试．
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备课者：孙鹏飞、杨晓利 备课时间： 8.26 上课时间：
§11．2.2三角形全等的条件（2）(SAS)
1．三角形全等的“边角边”的条件．
2．经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程．
3．掌握三角形全等的“SＡS”条件，了解三角形的稳定性．
4．能运用“SＡS”证明简单的三角形全等问题．
两个三角形满足两边及其中一角对应相等时全等吗？
一、创设情境，复习提问
1．怎样的两个三角形是全等三角形？
2．全等三角形的性质？
3．三角形全等的判定Ⅰ的内容是什么？
二、导入新课
1． 如图2，AC、BD相交于O，AO、BO、CO、DO的长度如图所标，△ABO和△CDO是否能完全重合呢？
猜想：
如果两个三角形有两边和它们的夹角对应相等，那么这两个三角形 ．2．上述猜想是否正确呢？不妨按上述条件画图并作如下的实验：
(1)读句画图：①画∠DAE＝45°，②在AD、AE上分别取 B、C，使 AB＝3.1cm， AC＝2.8cm．③连结BC，得△ABC．④按上述画法再画一个△A＇B＇C＇．
(2)把△A＇B＇C＇剪下来放到△ABC上，观察△A＇B＇C＇与△ABC是否能够完全重合？
3．边角边
(简称“边角边”或“SAS”)
符号语言：
1．填空：
(1)如图3，已知AD∥BC，AD＝CB，要用边角边公理证明△ABC≌△CDA，需要三个条件，这三个条件中，已具有两个条件，一是AD＝CB(已知)，二是___________；还需要一个条件_____________(这个条件可以证得吗？)．
(2)如图4，已知AB＝AC，AD＝AE，∠1＝∠2，要用边角边公理证明△ABD≌ACE，需要满足的三个条件中，已具有两个条件：_________________________(这个条件可以证得吗？)．
例1 已知： AD∥BC，AD＝ CB(图3)． 求证：△ADC≌△CBA．
问题：如果把图3中的△ADC沿着CA方向平移到△ADF的位置(如图5)，那么要证明△ADF≌ △CEB，除了AD∥BC、AD＝CB的条件外，还需要一个什么条件(AF＝ CE或AE ＝CF)？怎样证明呢？
例2 已知：AB＝AC、AD＝AE、∠1＝∠2(图4)．求证：△ABD≌△ACE．
1．已知：如图，AB＝AC，F、E分别是AB、AC的中点求证：△ABE≌△ACF．
2.已知：如图AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE
求证： △ABD≌△ACE
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备课者：孙鹏飞、杨晓利 备课时间： 8.26 上课时间：
11.2三角形全等的判定（3）(ASA AAS)
1、通过动手实践，自主探索，进一步掌握三角形全等的条件。
2学生探索出全等三角形的条件“ASA、AAS”结合图形能准确表达三角形全等。
3、能运用“ASA、AAS”的方法进行三角形全等的判定。
两个三角形在满足两角及其一边对应相等时是否全等？
一：快速回顾：
1.全等三角形的定义：
2.你学过的判定两个三角形全等的方法有：
二、自学P11 探究5
1. 先任意画出一个△ABC。再画一个△A′B′C′，使A′B′=AB，∠A′=∠A，∠B′=∠B（即使两角和它们的夹边对应相等）。把画好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，它们全等吗？你能得出什么结论？
2、在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，∠B＝∠E，BC＝EF（图11．2—9），△ABC与△DEF全等吗 能利用角边角条件证明你的结论吗
证明:
总结出结论：
符号语言是：
3、讨论：三角对应相等的两个三角形全等吗
1．如图，要测量河两岸相对的两点A，B的距离，可以在AB的垂线BF上取两点C，D，使BC=CD，再定出BF的垂线DE，使A，C，E在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长．为什么
2．如图，AB⊥BC，AD⊥DC，∠1＝∠2．求证AB=AD．
：
如图：∠1=∠2，∠3=∠4 求证：AC=AD
如图：D在AB上，E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C．求证AD＝AE．
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备课者：孙鹏飞、杨晓利 备课时间： 8.27 上课时间：
三角形全等的条件---直角三角形全等的判定（4）（HL）
1、经历探索直角三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程；
2、掌握直角三角形全等的条件，并能运用其解决一些实际问题。
3、在探索直角三角形全等条件及其运用的过程中，能够进行有条理的思考并进行简单的推理。
特殊三角形直角三角形会有特殊的判定方法吗？
提出问题，复习旧知
1、判定两个三角形全等的方法： 、 、 、
2、如图，Rt△ABC中，直角边是 、 ，
斜边是
3、如图，AB⊥BE于C，DE⊥BE于E，
（1）若∠A=∠D，AB=DE，
则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等” ）
根据 （用简写法）
（2）若∠A=∠D，BC=EF，
则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等” ）
根据 （用简写法）
（3）若AB=DE，BC=EF，
则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等” ）
根据 （用简写法）
（4）若AB=DE，BC=EF，AC=DF
则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等” ）
根据 （用简写法）
（动手操作）：已知线段a ，c (a
作∠MCN=∠=90°，
在射线 CM上截取线段CB=a，
③以B 为圆心，C为半径画弧，交射线CN于点A，
④连结AB
2、与同桌重叠比较，是否重合？
3、从中你发现了什么？
符号语言：
1、如图，△ABC中，AB=AC，AD是高，
则△ADB与△ADC （填“全等”或“不全等” ）
根据 （用简写法）
如图，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E、F，
（1）若AC//DB，且AC=DB，则△ACE≌△BDF，根据
（2）若AC//DB，且AE=BF，则△ACE≌△BDF，根据
（3）若AE=BF，且CE=DF，则△ACE≌△BDF，根据
（4）若AC=BD，AE=BF，CE=DF。则△ACE≌△BDF，根据
（5） 若AC=BD，CE=DF（或AE=BF），则△ACE≌△BDF，根据
1、如图，B、E、F、C在同一直线上，AF⊥BC于F，DE⊥BC于E，
AB=DC，BE=CF，你认为AB平行于CD吗？说说你的理由
2、判断题：
（1）一个锐角和这个锐角的对边对应相等的两个直角三角形全等。（ ）
（2）一个锐角和锐角相邻的一直角边对应相等的两个直角三角形全等（ ）
（3）一个锐角与一斜边对应相等的两个直角三角形全等（ ）
（4）两直角边对应相等的两个直角三角形全等（ ）
（5）两边对应相等的两个直角三角形全等（ ）
（6）两锐角对应相等的两个直角三角形全等（ ）
（7）一个锐角与一边对应相等的两个直角三角形全等（ ）
3、如图，广场上有两根旗杆，已知太阳光线AB与DE是平行的，经过测量这两根旗杆在太阳光照射下的影子是一样长的，那么这两根旗杆高度相等吗？说说你的理由。
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备课者：孙鹏飞、杨晓利 备课时间： 8.28 上课时间：
11.3角的平分线的性质（第一课时）
1、通过探究理解角平分线的性质并会运用
2、掌握尺规作图作角平分线
1、怎样用尺规作角的平分线？
2、角的平分线上的点到角的两边的距离有什么关系？
（一）课前巩固
如图，AB＝AD，BC＝DC，求证AC是∠DAB的平分线
（二）自学：教材P19
（三）用尺规作一个角的平分线
1、已知：∠AOB， 2、练习，画出下列角的平分线
求作：∠AOB的平分线OC
3、练习，教材P19
角平分线的性质
1、探究，教材P20
2、归纳，角平分线的性质是：角平分线上的 到角两边的 相等。
3、用三角形全等证明性质，
如图，已知：∠BAF=∠CAF,点O在AF上，OE⊥ AB , OD⊥AC,垂足分别为E,D.求证：OE=OD
证明： F
符号语言：
△ABC中，AD是它的角平分线，且BD＝CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F,求证EB＝FC
如图，△ABC的∠B的外角平分线BD与∠C的外角的平分组CE相交于P,求证点P到三边AB，BC，CA所在直线的距离相等。
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备课者：孙鹏飞、杨晓利 备课时间： 8.29 上课时间：
11.3角的平分线的性质（第二课时）
1、会叙述角的平分线的性质及“到角两边距离相等的点在角的平分线上”．
2、能应用这两个性质解决一些简单的实际问题．
一个点到角的两边距离相等这个点一定在角的平分线上吗？
1、复习思考
（1）、画出三角形三个内角的平分线
你发现了什么特点吗？
（2）、如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等。
2、求证：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
（提示：先画图，并写出已知、求证，再加以证明）
1、比较角平分线的性质与判定
2、要在Ｓ区建一个集贸市场，使它到公路，铁路
距离相等且离公路，铁路的交叉处５00米，应建在何处？（比例尺 1：20 000）
2、如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE，CD相交于点O，OB＝OC，求证∠1＝∠2
如图，在四边形ABCD中，BC>BA，AD=DC,BD平分∠ABC,求证：∠A+∠C=180°
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备课者：孙鹏飞、杨晓利 备课时间： 8.29 上课时间：
课题：《11章复习》导学案
使用说明：学生利用自习先复习课本第2-25页15分钟，然后30分钟独立做完学案。正课由小组讨论交流然后展示点评，对于有疑问的题目教师点拨、拓展。建议使用2课时。
【学习目标】
1、掌握三角形全等的判定方法，利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式．
2、能用尺规进行一些基本作图．能用三角形全等和角平分线的性质进行证明。
3、极度热情、高度责任、自动自发、享受成功。
教学重点：用三角形全等和角平分线的性质进行证明有关问题
教学难点: 灵活应用所学知识解决问题，精炼准确表达推理过程
【学习过程】
一、本章知识结构梳理
三角形
二、方法指引
1、证明两个三角形全等的基本思路：
(1)已知两边
(2)已知一边一角
(3)已知两角
2、三角形全等是证明线段相等、角相等最基本、最常用的方法。
例题1、如图：AB=AC，ME⊥AB，MF⊥AC，垂足分别为E、F，ME=MF。
求证：MB=MC
例题2、已知，△ABC和△ECD都是等边三角形，且点B，C，D在一条直线上求证：BE=AD
3、当题目中有角平分线时，可通过构造等腰三角形或全等三角形来寻找解题思路，或利用角平分线性质去证线段相等
例题3、已知∠B=∠E=90°，CE=CB，AB∥CD.
求证：△ADC是等腰三角形
例题4、已知：如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DB=DC，
求证：EB=FC
4、证明线段的和、差、倍、分问题时，常采用“割长”、“补短”等方法
例题5、如图,已知AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E，求证AB=AC+BD
提示：要证明两条线段的和与一条线段相等时常用的两种方法：
（1）、可在长线段上截取与两条线段中一条相等的一段，然后证明剩余的线段与另一条线段相等。（割）
（2）、把一个三角形移到另一位置，使两线段补成一条线段，再证明它与长线段相等。（补））
三、你能用尺规进行下面几种作图吗？
1、已知三边作三角形
2、作一个角等于已知角
3、已知两边和它们的夹角作三角形
4、已知两角和它们的夹边作三角形
5、已知斜边和一直角边作直角三角形
6、作角的平分线
四、学以致用
1、如图：在△ABC中，∠C =90°，AD平分∠ BAC，DE⊥AB交AB于E，BC=30，BD：CD=3：2，则DE= 。
2、如图，已知E在AB上，∠1=∠2， ∠3=∠4，那么AC等于AD吗？为什么？
3、如图，已知，EG∥AF，请你从下面三个条件中，再选出两个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个正确的命题。（只写出一种情况）①AB=AC ②DE=DF ③BE=CF
已知：EG∥AF，________，__________
求证：_________
4、如图，在R△ABC中，∠ACB=45°，∠BAC=90°，AB=AC，点D是AB的中点，AF⊥CD于H交BC于F，BE∥AC交AF的延长线于E，求证：BC垂直且平分DE.
五、课堂小结
学习全等三角形应注意以下几个问题
（1):要正确区分“对应边”与“对边”，“对应角”与 “对角”的不同含义；
（2）：表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上；
（3）：要记住“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个
三角形不一定全等；
（4）：时刻注意图形中的隐含条件，如 “公共角” 、“公共边”、“对顶角”
六、作业
4、必做：课本26页复习题11第2、5、6、8、9题；选做：27页10-12题。
1111
221
3
4
E
D
C
A
B
A
C
E
B
D
4
3
2
1
E
D
C
B
A
G
F
E
D
C
B
A