6.3平面向量基本定理及坐标表示-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册课件（18张PPT）

第六章平面向量及其应用
6.3平面向量基本定理及坐标表示
理解平面向量基本定理及意义，了解向量基底的含义，会用基底表示平面向量
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掌握平面向量正交分解及其坐标表示
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会用平面向量表示向量的加减、乘除运算
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学习目标
平面向量基本定理
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平面向量基本定理 如果 ， 是同一平面内的两个不共线向量，对于这一平面内的任一向量 ,有且只有一堆实数 使 = .
若 ， 不共线，我们把（ ， ）叫做表示这一平面内使用向量的出一个基底.
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名师点拨
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（1）基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量，都可以作为基底，同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的
（2）基底给定时，分解形式唯一， 是被a，e1,e2,唯一确定的数值
（3）由于零向量与认识向量都是共线的，因此零向量不能作为基底中的向量
平面向量的正交分解及坐标表示

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不共线的两个向量相互垂直是一种重要的情形，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量的作正交分解.如图6.3-7，重力G沿互相垂直的两个方向分解就是正交分解，正交分解就是向量分解中常见而实用的一种情形.
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平面向量加、减运算的坐标表示
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两个向量的和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）.
如图6.3-12，作向量 , ,则
= -
=
=
因此，一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标
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平面向量数乘运算的坐标表示
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已知 ，即
这就是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
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平面向量数量积的坐标表示
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（1）两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.
（2）若 = ,则 = + ，或 = .
如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为 ， ，那么


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平面向量垂直的坐标表示
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设 = ， = ，则
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易错提醒
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点的坐标与向量的坐标的区别
（1）向量a=（x,y）中间用等号连接，而点的坐标A（x,y）中间没有等号
（2）点的坐标表示点在平面直角坐标系中的位置，而向量的坐标表示向量的大小及方向
例1
已知 、 ，且 A、B、C三点共线，则点C的坐标可以是（ ）
A．（-9,1） B．（9，-1）
C．（9,1） D．（-9，-1）
经典例题
解析
经典例题
【答案】C
【分析】
本题首先可设点的坐标为 ，然后通过题意得出 ，再然后写出 、 ，最后通过向量平行的相关性质即可列出算式并通过计算得出结果.
【详解】
设点的坐标为 ，
因为 A 、B 、C 三点共线，所以 ，
因为 ， ，所以 ， ，
则 ，整理得 ，
将 、 、 、 代入 中，只有 满足，
故选：C.
例2
经典例题
如图在矩形ABCD中，若 ＝5 ， ＝3 ，则 ＝（ ）
A． (5 ＋3 ) B． (5 －3 )
C． (3 －5 ) D． (5 －3 )
解析
经典例题
【答案】A
【分析】
利用平面向量的基本定理求解.
【详解】

故选：A
随堂练习
1．已知 ＝(－2，4)， ＝(2，6)，则 等于（ D ）
A．(0，5) B．(0，1) C．(2，5) D．(2，1)
随堂练习
2．下列说法中，正确说法的个数是（ C ）
①在△ABC中， ， 可以作为基底；
②能够表示一个平面内所有向量的基底是唯一的；
③零向量不能作为基底．
A．0 B．1 C．2 D．3
随堂练习
3．设 ， 是平面直角坐标系内分别与 x轴、y轴正方向相同的两个单位向量， O为坐标原点，若 ， ，则 的坐标是（ D ）
A．（1，-2） B.（7，6） C．（5,0） D．（11,8）
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