第13章 实数全章学案
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第十三章 “实数”单元备课
人教版初中数学八年级上册第十三章 “实数”单元分析
课程教材研究所 左怀玲 李龙才
从《数学课程标准》看，关于数的内容，第三学段主要学习有理数和实数，它们是“数与代数”领域的重要内容。对于有理数和实数，本套教课书安排3章内容，分别是7年级上册第1章“有理数”，8年级上册第13章“实数”和9年级上册第21章“二次根式”。本章是在有理数的基础上认识实数，对于实数的学习，除本章外，还要在“二次根式”一章中通过研究二次根式的运算，进一步认识实数的运算。
本章的主要内容是平方根、立方根的概念和求法，实数的有关概念和运算。通过本章的学习，学生对数的认识就由有理数范围扩大到实数范围，本章之前的数学内容都是在有理数范围内讨论的，学习本章之后，将在实数范围内研究问题。虽然本章的内容不多，篇幅不大，但在中学数学中占有重要的地位，本章内容不仅是后面学习二次根式、一元二次方程以及解三角形等知识的基础，也为学习高中数学中不等式、函数以及解析几何等的大部分知识作好准备。
本章教学时间约需8课时，具体分配如下（仅供参考）：
13．1 平方根 3课时
13．2 立方根 2课时
13．3 实 数 2课时
数学活动
小 结 1课时
一、教科书内容和课程学习目标
（一）本章知识结构框图
1．本章知识的内在结构如下图所示：
2．本章知识的展开顺序如下图所示：
（二）教科书内容
本章主要内容包括算术平方根、平方根、立方根以及实数的有关概念和运算。本章的重点是算术平方根和平方根的概念和求法，本章难点是平方根和实数的概念。
教科书的第一节是平方根，本节先研究算术平方根，再研究平方根。教科书首先创设一个问题情景，抽象出这个情景中的数学问题，即已知正方形的面积求边长的问题，这是一个典型的求算术平方根的问题，这与学生以前熟悉的已知边长求面积是一个互逆的过程。通过对这类问题的探讨，引出算术平方根，给出算术平方根的概念和它的符号表示，这时教科书所涉及到的被开方数都是完全平方数。接着，教科书设置一个“探究”栏目，要求学生将两个面积为1的小正方形拼成一个面积为2的大正方形，并求出这个大正方形的边长。这也是一个已知正方形的面积求它的边长的问题，由于这个大正方形的面积为2，根据前面学过的算术平方根的概念和表示方法，可以求出这个大正方形的边长是，这样教科书就引进了用根号形式表示的无理数（但暂时不出现无理数的概念），这是教科书第一次出现这样的数。另外，通过学生将两个面积为1的小正方形拼成一个面积为2的大正方形的活动，也使学生感受到无理数是从现实世界中抽象出来的，是一种不同于有理数的数。出现以后，一个很自然的问题，就是要讨论的大小。教科书采用夹逼的方法，利用不足近似和过剩近似来估计的大小，通过一步一步的估计，得到的越来越精确的近似值，进而指出是一个无限不循环小数的事实，同时指出，，等也是无限不循环小数等，这就为后面认识无理数打下基础。会使用计算器求数的算术平方根是本章的一个教学要求，教科书通过一个例题，介绍了使用计算器求算术平方根的方法。用有理数估计无理数的大小，也是学习本章应该注意的一个问题，教科书结合一个实际例子介绍了用有理数估计无理数的常用方法。至此，教科书讨论了有关算术平方根的内容，包括算术平方根的概念、求法，无限不循环小数以及用有理数估计无理数等内容。接着，教科书设置一个“思考”栏目，对平方根展开讨论。在这个“思考”栏目中，要求学生算出平方等于9的数，通过对这个问题的探讨，找到解决问题的方法，利用这种方法进一步求出平方等于1，16，36……的数，由此归纳给出平方根的概念，进而引出开平方运算。开平方运算与平方运算是互逆运算，教科书通过举例分析了这两种运算的互逆过程，并用图示进一步说明。最后，教科书结合具体例子，通过具体计算一些数的平方根，探讨了数的平方根的特征，并通过一个“归纳”栏目，要求学生自己归纳给出“正数的平方根有两个，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根”等这些数的平方根的特征。
哈 拉 道 口 学 区 中 学 导 学 案 设 计
备课者：孙鹏飞、杨晓利 备课时间： 10.5 上课时间：
13.1平方根（1）
学习目标：了解数的算术平方根，并会用符号表示；
重点：了解数的算术平方根，会求某些非负数的算术平方根，会用根号表示一个数的算术平方根
难点：理解是非负数以及被开方数是非负数；
一 学习准备
1、什么样的运算是平方运算？ 2、你还记得1～20之间整数的平方吗？
二 自主学习
1 学校要举行美术作品比赛，小明很高兴，他想裁出一块面积为25dm 的正
方形画布，画上自己的得意之作参比赛，这块正方形画布的边长应取多少
2 填表：
正方形的面积 1 9 16 36 0.25
边长
上述1。2。问题是已知_____, 求_____,的问题.
一般地，如果一个 的平方等于a,即_____ =a,那么这个 叫做a的_____,
a的算术平方根记为_____,读作“根号a”，a叫做被开方数。
特殊：0的算术平方根是_____,记作：_____,
3．你能根据等式： =144说出144的算术平方根是多少吗？并用等式表示出来。
4．下列式子表示什么意思？你能求出它们的值吗；
5．例1 求下列各数的算术平方根：
（1）100 （2） （3）0.0001
思考：1. －4有算术平方根吗？
2..下列各式哪些有意义，哪些没有意义？
(1）- （2） （3） （4）
小结：算术平方根具有非负双重性.
（1）任何非负实数的算术平方根都为______数 （2） 被开方数都为_______数
三 课堂跟踪反馈 练习；1 ：P69练习 1、2
2： 判断：
（1）5是25的算术平方根； （2）-6是 36 的算术平方根；
（3）0的算术平方根是0； （4）0.01是0.1的算术平方根；
（5）-5是-25的算术平方根。
3．填空
（1 ）非负数的算术平方根表示为___，225的算术平方根是____，0的算术平方根是____（2） 的算术平方根是_____,
的算术平方根____
（3） 若是49的算术平方根，则=_____,
4 。求下列各式的值:
(1)- ； (2)+ ； (3) +
5、若 =2,求2x+5的算术平方根.
小结：
本节课主要就平方根中的算术平方根进行讨论,求一个数的算术平方根与求一_________的平方正好是互逆的过程,因此,求一个非负数的算术平方根实际上可以转化为求一个数的_________运算,只不过, ____________是没有算术平方根的.
四 课后作业
必做题:
(1)课本p75习题13.1第1，2题
选做题。1：要使代数式有意义，则的取值范围是____________
2.若，求的值
3：已知的算术平方根是3，的算术平方根是4，是的整数部分，求的算术平方根
4已知、都是有理数，且，求的算术平方根．
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备课者：孙鹏飞、杨晓利 备课时间： 10.5 上课时间：
13.1平方根（二）
学习目标：1、会用计算器求一个数的算术平方根；理解被开方数扩大（或缩小）与它的算术平方根扩大（或缩小）的规律.
2、能用夹值法求一个数的算术平方根的近似值.
3、体验“无限不循环小数”的含义，感受存在着不同于有理数的一类新数。
教学重点：夹值法及估计一个（无理）数的大小。
教学难点：夹值法及估计一个（无理）数的大小的思想。
一 学习准备
我们已经知道：正数x满足=a,则称x是a的 ．当a恰是一个数的平方数时，我们已经能求出它的算术平方根了，例如，= ；但当a不是一个数的平方数时，它的算术平方根又该怎祥求呢？例如课本第161页的大正方形的边长等于多少呢？
二 自主学习
探究：1.怎样用两个面积为1的正方形拼成一个面积为2的大正方形
2 . 讨论：有多大呢？
3 .（提出问题）：你对正数a的算术平方根的结果有怎样的认识呢？
的结果有两种情：当a是完全平方数时，是一个 ；当a不是一个完全平方数时，是一个
4、 例2 用计算器求下列各式的值：
（1）（2）（精确到0.001）
例3 .估计大小：写出所有符合下列条件的数
(1) 大于小于的所有整数; (2) 绝对值小于的所有整数.
例3 小丽想用一块面积为400cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为3∶2.不知能否裁出来，正在发愁.小明见了说“别发愁，一定能用一块面积大的裁出一块面积小的纸片”，你同意小明的说法吗？小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？
分析:要注意是否弄清了题意；然后分析解题思路：能否裁出符合要求的纸片，就是要比较两个图形的边长，而由题意，易知正方形的边长是20 cm，所以只需求出长方形的边长，设长方形的长和宽分别是3xcm和2xcm,求得长方形的长为3cm后，接下来的问题是比较3和20的大小.
探究：被开方数扩大（或缩小）与它的平方根扩大（或缩小）的规律是怎样的呢？
若,则___________.
三、练习：
课本P72的练习 1、2
(3).已知a为的整数部分,b-1是400的算术平方根,求.
(4)．某农场有一块长30米,宽20米的场地,要在这块场地上建一个鱼池为正方形,使它的面积为场地面积的一半,问能否建成 若能建成,鱼池的边长为多少 (精确到0.1米)
四、小结：
1、利用计算器可以求出任意正数的算术平方根的近似值.
2、被开方数扩大（或缩小）与它的算术平方根扩大（或缩小）的规律是怎样的呢？
3、怎样的数是无限不循环小数？
五、作业课本：
P75-76习题13.1 第5、6、9、10题；
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备课者：孙鹏飞、杨晓利 备课时间： 10.5 上课时间：
13.1平方根（三）
一、学习目标 1、掌握平方根的概念，明确平方根和算术平方根之间的联系和区别.
2、能用符号正确地表示一个数的平方根，理解开平方运算和乘方运算之间的互逆关系.
教学重点：平方根的概念和求数的平方根。
教学难点：平方根和算术平方根的联系与区别
二、学习准备：
1、什么数的平方是49？ 2、平方得81的数有几个？分别是什么？
3、一对互为相反数的平方有什么关系？
总结：由问题出发，认识到平方得一个正数的数有 个，并且互为
三 ：合作交流，解读探究
自主探索：独立看书，自学教材
想一想：到底什么是平方根，它和我们已经认识的算术平方根有何关系？
⑴什么叫一个数的平方根？如何用符号表示？
⑵根据平方根的定义，只有什么数才有平方根？ ⑶什么叫开方？
[⑴如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根或二次方根，用符号表示为：若；⑵只有非负数才有平方根；⑶求一个数的平方根的运算叫做开平方运算。]
练一练：求下列数的平方根
⑴100 ⑵ ⑶0.25 ⑷ ⑸ 0
总结归纳：
正数有 平方根，它们互为 0的平方根是 负数
讨论：平方根与算术平方根之间有什么关系？
总结：1、平方根与算术平方根之间的区别
⑴定义不同：如果，那么叫做的平方根。一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，是0本身；负数没有平方根。如果，并且，那么叫做的算术平方根。一个正数的算术平方根只有一个，非负数的算术平方根一定是非负数
⑵表示方法不同：正数的平方根表示为；正数的算术平方根为
⑶平方根等于本身的数是0；算术平方根等于本身的数是0或1
平方根与算术平方根之间的联系
⑴二者有着包含关系：平方根中包含算术平方根，算术平方根是平方根中的非负的那一个
⑵存在条件相同，非负数才有平方根和算术平方根 ⑶0的平方根和0的算术平方根都是0
四 应用迁移，巩固提高
例1 说出下列各数的平方根
⑴0.04 ⑵ ⑶ ⑷
例2 说出下列各数的平方根各是什么？
⑴64 ⑵0 ⑶ ⑷ ⑸ ⑹
例3 计算
⑴ ⑵ ⑶
例4 求下列各数中的值
⑴ ⑵ ⑶ ⑷
㈤课堂跟踪反馈 练习课本P75 练习1、2、3
补充：1判断下列说法是否正确
⑴5是25的算术平方根 （ ） ⑵是的一个平方根 （ ）
⑶的平方根是－4 （ ） ⑷ 0的平方根与算术平方根都是0 （ ）
2、⑴⑵⑶⑷
3、若，则，的平方根是
4、的平方根是（ ） A. B. C. D.
5、给出下列各数： ，其中有平方根的数共有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
6、若一个数的平方根等于它本身，数的算术平方根也等于它本身，试求的平方根。
选作题：（1）如果一个正数的两个平方根为和，请你求出这个正数
（2） 已知，求：的平方根
（3）请你试着求等式中的值．
(4)．要使有意义，的取值范围是______________
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备课者：孙鹏飞、杨晓利 备课时间： 10.7 上课时间：
13.1 平方根训练题
：
一．选择题：
1、下列命题中,正确的个数有( )
①1的算术平方根是1;②(-1)2的算术平方根是-1;③一个数的算术平方根等于它本身,这个数只能是零；④-4没有算术平方根.毛
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2、一个自然数的算术平方根是x,则下一个自然数的算术平方根是( )
A.+1 B. C. D.x+1
3、设x=(-)2,y= ,那么xy等于( )
A.3 B.-3 C.9 D.-9
4、(-3)2的平方根是( )
A.3 B.-3 C.±3 D.±9
5、x是16的算术平方根,那么x的算术平方根是( )
A.4 B.2 C. D.±4
二、填空：
6、36的算术平方根是______,36的平方根是_____.
7、如果a3=3,那么a=______. 如果=3,那么a=_______.
8、一个正方体的表面积是78,则这个正方体的棱长是_______.
9、算术平方根等于它本身的数是_______.
10=_______, -=_______.±=______,=________.
11、 的算术平方根是________.
三、解答题：
12、求满足下列各式的x的值:
(1)169x2=121 (2)x2-3=0
13 求下列各式的值。
（1）， （2）－， （3） （4），
14 和都是的平方根，求和的值．
15．已知的平方根为，的平方根为，求的平方根．
16 已知，满足，求的平方根
17 一个开口的长方体盒子，是从一块正方形的马口铁的每个角剪掉一个36cm2的正方形后，再把它的边折起来做成的，如图，量得这个盒子的容积是150cm2，求原正方形的边长是多少？
1．由题意可知剪掉正方形的边长为______________cm．
2．设原正方形的边长为cm，请你用表示盒子的容积．
________________________________．
3．由1，2的分析，请你列出方程，并解答，求原正方形的
18 已知，求的值．
1．由式子可以得出的取值范围是什么？
_________________________________________________________
2．由1，你能将等式中的绝对值去掉吗？
___________________________________________________________
3．由2，你能求出的值吗？
___________________________________________________________
4．讨论总结：求的值．
_______________________________________________________________________．
学后反思：
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13.2 立方根
学习目标：了解立方根的概念，会用符号表示一个数的立方根
教学重点：了解立方根的概念，用立方运算求某些数的立方根；，会用计算器求某些数的立方根
教学难点：明确平方根与立方根的区别，能熟练地求某些数的立方根
一 学习准备
1.问题：要制作一种容积为27 m的正方体形状的包装箱，这种包装箱的边长应该是多少？
2 在学习平方根的运算时,首先是找出一些数的平方值,然后才根据其逆运算过程确定某数的平方根,同样,我们先来算一算一些数的立方.
23=____ ;(-2)3=_____0.53=___;(-0.5)3=____;()3=_____;-()3=_____ ; 03=______.
(1)经计算发现正数,0,负数的立方值与平方值有何不同之处
二 自主学习
1什么是立方根
如果一个数的立方等于，这个数叫做的立方根（也叫做三次方根），即如果，那么叫做的立方根
2、探究： 根据立方根的意义填空，看看正数、0、负数的立方根各有什么特点
因为，所以8的立方根是（ ） 因为，所以0.125的立方根是（ ） 因为，所以0的立方根是（ ）因为，所以8的立方根是（ ） 因为，所以8的立方根是（ ）
【总结归纳】 一个正数有 立方根 ，一个负数有 立方根， 0的立方根是
任何数都有 立方根
一个数的立方根，记作，读作：“三次根号”，其中叫被开方数，3叫根指数，不能省略，若省略表示平方。例如：表示27的立方根，；表示的立方根，.
3、探究： 因为所以 =
因为，所以 =
利用开立方和立方互为逆运算关系，求一个数的立方根，就可以利用这种互逆关系，检验其正确性，求负数的立方根，可以先求出这个负数的绝对值的立方根，再取其相反数，即。于是可归纳出其规律: =-,而,的意义不同,其值也不同,若a>0时, -表示a的算术平方根的相反数无意义;若a<0,则-无意义.
4、 例1:求下列各数的立方根。
①-27; ②; ③-0.216。
例2 求下列各式的值：
； （2）； （3） （4）； （5）； （6）
探究：1 有多大呢？ (2)比较-4、-5、-的大小.
事实上，很多有理数的立方根都是无限不循环小数．我们用有理数近似地表示它们．
2、、利用计算器来求一个数的立方根：
操作 用计算器求数的立方根的步骤及方法：用计算器求立方根和求平方根的步骤相同，只是根指数不同。
2、利用计算器计算，并将计算结果填在表中，你发现了什么吗？
… …
3、、用计算器计算（结果个有效数字）。并利用你发现的规律说出，，的近似值。
三 .课堂跟踪反馈 练习：课本P79练习1、2、3
补充；1.当 时，有意义；当 时，有意义
2 . 的立方根是 ，的平方根是 ，的立方根是
3. 一个自然数的算术平方根是，那么与这个自然数相邻的下一个自然数的平方根是 ，立方根是
4 .解下列⑴ ⑵ ⑶
四、作业： P80习题13.2第1、2 ，3、5、6， 8题
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13.3实数(1)
学习目标:了解无理数和实数的概念，知道实数和数轴上的点一一对应，能估算无理数的大小；
重点：实数的意义和实数的分类；
难点：体会数轴上的点与实数是一一对应的；
学前准备
1、填空 有理数的分类
有理数 有理数
2、探究 使用计算器计算，把下列有理数写成小数的形式，你有什么发现？
3 ， ， ， ， ，
二、探究新知
1、归纳： 任何一个有理数都可以写成_______小数或________小数的形式。反过来，任何______小数或____________小数也都是有理数
观察 通过前面的探讨和学习，我们知道，很多数的_____根和______根都是____________小数， ____________小数又叫无理数，也是无理数
结论： _______和_______统称为实数
你能举出一些无理数吗？
2、试一试 把实数分类
像有理数一样，无理数也有正负之分。例如，，是____无理数，，，是____无理数。由于非0有理数和无理数都有正负之分，所以实数也可以这样分类：
实数
3、我们知道，每个有理数都可以用数轴上的点来表示。无理数是否也可以用数轴上的点来表示呢？
（1）如图所示，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点O′，点O′的坐标是多少？
从图中可以看出OO′的长时这个圆的周长______，点O′的坐标是_______
这样，无理数可以用数轴上的点表示出来
（2）
总结 ①事实上，每一个无理数都可以用数轴上的__________表示出来，这就是说，数轴上的点有些表示__________，有些表示__________
当从有理数扩充到实数以后，实数与数轴上的点就是__________的，即每一个实数都可以用数轴上的__________来表示；反过来，数轴上的__________都是表示一个实数
与有理数一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数______
学以致用
例1、把下列各数分别填入相应的集合里：
正有理数{ }
负有理数{ }
正无理数{ }
负无理数{ }
2、下列实数中是无理数的为（ ）A. 0 B. C. D.
练习：1 P86练习1
二、判断下列说法是否正确：
1.实数不是有理数就是无理数。 （ ）
2.无限小数都是无理数。 （ ）
3.无理数都是无限小数。 （ ）
4.带根号的数都是无理数。 （ ）
5.两个无理数之和一定是无理数。 （ ）
6.所有的有理数都可以在数轴上表示，反过来，数轴上所有的点都表示有理数。（ ）
7、 把下列各数填入相应的集合内：
有理数集合{ } 无理数集合{ }
整数集合{ } 分数集合{ }
实数集合{ }
8、下列各数中，是无理数的是（ ）A. B. C. D.
四、总结反思
1、什么叫做无理数？ 2、什么叫做有理数？
有理数和数轴上的点一一对应吗？
无理数和数轴上的点一一对应吗？
实数和数轴上的点一一对应吗？
无理数的特征:
1．圆周率及一些含有的数 2．开不尽方的数
3．有一定的规律，但循环的无限小数 注意:带根号的数不一定是无理数
作业1 P86 1 ，2，
2 预习 实数（2）
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备课者：孙鹏飞、杨晓利 备课时间： 10.7 上课时间：
13.3实数(2)
学习目标：能估算无理数的大小；了解实数的运算法则及运算律，会进行实数的运算，会用计算器进行实数的运算 能估算无理数的大小；
重点：了解实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义实数的运算法则及运算律
难点了解实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义；准确地进行实数范围内的运算
一 学前准备
=
2 . 回顾相反数、倒数、绝对值的意义
二、探究新知
1．讨论 当数从有理数扩充到实数以后，有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数吗？
总结 数的相反数是______，这里表示任意____________。一个正实数的绝对值是______；一个负实数的绝对值是它的______；0的绝对值是______
例1 (1)分别写出- , 的相反数;
(2)指出
(3)求
(4)已知一个数的绝对值是 求这个数
练习1.求下列各数的相反数和绝值:
2、 的相反数是 ，绝对值
3、绝对值等于 的数是 ， 的平方是
4
5、求绝对值
2 当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开方运算，任意一个实数可以进行开立方运算。在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用。
例2 计算下列各式的值：
⑴ ⑵
练习
计算:
例3.计算
（ 精确到0.01） （结果保留3个有效数字）
总结 在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出结果的近似值时，可以按照所要求的精确度用相应的近似有限小数去代替无理数，再进行计算
练习:
P86 第3，题
㈢应用迁移，巩固提高
例1 为何值时，下列各式有意义？
例2 计算
⑴求5的算术平方根与它的平方根之和（保留3位有效数字）
⑵（精确到0.01）
⑶ （）（精确到0.01）
例3 已知实数在数轴上的位置如下，化简
㈤课堂跟踪反馈
1、是实数，下列命题正确的是（ ）
A. ，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
2、的相反数是 ， 的相反数是
3、已知、、在数轴上如图，化简
4 ，在两个连续整数和之间，即，那么、的值是
作业1 P86、3，4，5，6，8，9
例1 求下列各数的算术平方根：
（1）100 （2） （3）0.0001
O
O
人教版初中数学八年级上册第十三章 “实数”单元分析
课程教材研究所 左怀玲 李龙才
从《数学课程标准》看，关于数的内容，第三学段主要学习有理数和实数，它们是“数与代数”领域的重要内容。对于有理数和实数，本套教课书安排3章内容，分别是7年级上册第1章“有理数”，8年级上册第13章“实数”和9年级上册第21章“二次根式”。本章是在有理数的基础上认识实数，对于实数的学习，除本章外，还要在“二次根式”一章中通过研究二次根式的运算，进一步认识实数的运算。
本章的主要内容是平方根、立方根的概念和求法，实数的有关概念和运算。通过本章的学习，学生对数的认识就由有理数范围扩大到实数范围，本章之前的数学内容都是在有理数范围内讨论的，学习本章之后，将在实数范围内研究问题。虽然本章的内容不多，篇幅不大，但在中学数学中占有重要的地位，本章内容不仅是后面学习二次根式、一元二次方程以及解三角形等知识的基础，也为学习高中数学中不等式、函数以及解析几何等的大部分知识作好准备。
本章教学时间约需8课时，具体分配如下（仅供参考）：
13．1 平方根 3课时
13．2 立方根 2课时
13．3 实 数 2课时
数学活动
小 结 1课时
一、教科书内容和课程学习目标
（一）本章知识结构框图
1．本章知识的内在结构如下图所示：
2．本章知识的展开顺序如下图所示：
（二）教科书内容
本章主要内容包括算术平方根、平方根、立方根以及实数的有关概念和运算。本章的重点是算术平方根和平方根的概念和求法，本章难点是平方根和实数的概念。
教科书的第一节是平方根，本节先研究算术平方根，再研究平方根。教科书首先创设一个问题情景，抽象出这个情景中的数学问题，即已知正方形的面积求边长的问题，这是一个典型的求算术平方根的问题，这与学生以前熟悉的已知边长求面积是一个互逆的过程。通过对这类问题的探讨，引出算术平方根，给出算术平方根的概念和它的符号表示，这时教科书所涉及到的被开方数都是完全平方数。接着，教科书设置一个“探究”栏目，要求学生将两个面积为1的小正方形拼成一个面积为2的大正方形，并求出这个大正方形的边长。这也是一个已知正方形的面积求它的边长的问题，由于这个大正方形的面积为2，根据前面学过的算术平方根的概念和表示方法，可以求出这个大正方形的边长是，这样教科书就引进了用根号形式表示的无理数（但暂时不出现无理数的概念），这是教科书第一次出现这样的数。另外，通过学生将两个面积为1的小正方形拼成一个面积为2的大正方形的活动，也使学生感受到无理数是从现实世界中抽象出来的，是一种不同于有理数的数。出现以后，一个很自然的问题，就是要讨论的大小。教科书采用夹逼的方法，利用不足近似和过剩近似来估计的大小，通过一步一步的估计，得到的越来越精确的近似值，进而指出是一个无限不循环小数的事实，同时指出，，等也是无限不循环小数等，这就为后面认识无理数打下基础。会使用计算器求数的算术平方根是本章的一个教学要求，教科书通过一个例题，介绍了使用计算器求算术平方根的方法。用有理数估计无理数的大小，也是学习本章应该注意的一个问题，教科书结合一个实际例子介绍了用有理数估计无理数的常用方法。至此，教科书讨论了有关算术平方根的内容，包括算术平方根的概念、求法，无限不循环小数以及用有理数估计无理数等内容。接着，教科书设置一个“思考”栏目，对平方根展开讨论。在这个“思考”栏目中，要求学生算出平方等于9的数，通过对这个问题的探讨，找到解决问题的方法，利用这种方法进一步求出平方等于1，16，36……的数，由此归纳给出平方根的概念，进而引出开平方运算。开平方运算与平方运算是互逆运算，教科书通过举例分析了这两种运算的互逆过程，并用图示进一步说明。最后，教科书结合具体例子，通过具体计算一些数的平方根，探讨了数的平方根的特征，并通过一个“归纳”栏目，要求学生自己归纳给出“正数的平方根有两个，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根”等这些数的平方根的特征。
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备课者：孙鹏飞、杨晓利 备课时间： 10.5 上课时间：
13.1平方根（1）
学习目标：了解数的算术平方根，并会用符号表示；
重点：了解数的算术平方根，会求某些非负数的算术平方根，会用根号表示一个数的算术平方根
难点：理解是非负数以及被开方数是非负数；
一 学习准备
1、什么样的运算是平方运算？ 2、你还记得1～20之间整数的平方吗？
二 自主学习
1 学校要举行美术作品比赛，小明很高兴，他想裁出一块面积为25dm 的正
方形画布，画上自己的得意之作参比赛，这块正方形画布的边长应取多少
2 填表：
正方形的面积 1 9 16 36 0.25
边长
上述1。2。问题是已知_____, 求_____,的问题.
一般地，如果一个 的平方等于a,即_____ =a,那么这个 叫做a的_____,
a的算术平方根记为_____,读作“根号a”，a叫做被开方数。
特殊：0的算术平方根是_____,记作：_____,
3．你能根据等式： =144说出144的算术平方根是多少吗？并用等式表示出来。
4．下列式子表示什么意思？你能求出它们的值吗；
5．例1 求下列各数的算术平方根：
（1）100 （2） （3）0.0001
思考：1. －4有算术平方根吗？
2..下列各式哪些有意义，哪些没有意义？
(1）- （2） （3） （4）
小结：算术平方根具有非负双重性.
（1）任何非负实数的算术平方根都为______数 （2） 被开方数都为_______数
三 课堂跟踪反馈 练习；1 ：P69练习 1、2
2： 判断：
（1）5是25的算术平方根； （2）-6是 36 的算术平方根；
（3）0的算术平方根是0； （4）0.01是0.1的算术平方根；
（5）-5是-25的算术平方根。
3．填空
（1 ）非负数的算术平方根表示为___，225的算术平方根是____，0的算术平方根是____（2） 的算术平方根是_____,
的算术平方根____
（3） 若是49的算术平方根，则=_____,
4 。求下列各式的值:
(1)- ； (2)+ ； (3) +
5、若 =2,求2x+5的算术平方根.
小结：
本节课主要就平方根中的算术平方根进行讨论,求一个数的算术平方根与求一_________的平方正好是互逆的过程,因此,求一个非负数的算术平方根实际上可以转化为求一个数的_________运算,只不过, ____________是没有算术平方根的.
四 课后作业
必做题:
(1)课本p75习题13.1第1，2题
选做题。1：要使代数式有意义，则的取值范围是____________
2.若，求的值
3：已知的算术平方根是3，的算术平方根是4，是的整数部分，求的算术平方根
4已知、都是有理数，且，求的算术平方根．
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13.1平方根（二）
学习目标：1、会用计算器求一个数的算术平方根；理解被开方数扩大（或缩小）与它的算术平方根扩大（或缩小）的规律.
2、能用夹值法求一个数的算术平方根的近似值.
3、体验“无限不循环小数”的含义，感受存在着不同于有理数的一类新数。
教学重点：夹值法及估计一个（无理）数的大小。
教学难点：夹值法及估计一个（无理）数的大小的思想。
一 学习准备
我们已经知道：正数x满足=a,则称x是a的 ．当a恰是一个数的平方数时，我们已经能求出它的算术平方根了，例如，= ；但当a不是一个数的平方数时，它的算术平方根又该怎祥求呢？例如课本第161页的大正方形的边长等于多少呢？
二 自主学习
探究：1.怎样用两个面积为1的正方形拼成一个面积为2的大正方形
2 . 讨论：有多大呢？
3 .（提出问题）：你对正数a的算术平方根的结果有怎样的认识呢？
的结果有两种情：当a是完全平方数时，是一个 ；当a不是一个完全平方数时，是一个
4、 例2 用计算器求下列各式的值：
（1）（2）（精确到0.001）
例3 .估计大小：写出所有符合下列条件的数
(1) 大于小于的所有整数; (2) 绝对值小于的所有整数.
例3 小丽想用一块面积为400cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为3∶2.不知能否裁出来，正在发愁.小明见了说“别发愁，一定能用一块面积大的裁出一块面积小的纸片”，你同意小明的说法吗？小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？
分析:要注意是否弄清了题意；然后分析解题思路：能否裁出符合要求的纸片，就是要比较两个图形的边长，而由题意，易知正方形的边长是20 cm，所以只需求出长方形的边长，设长方形的长和宽分别是3xcm和2xcm,求得长方形的长为3cm后，接下来的问题是比较3和20的大小.
探究：被开方数扩大（或缩小）与它的平方根扩大（或缩小）的规律是怎样的呢？
若,则___________.
三、练习：
课本P72的练习 1、2
(3).已知a为的整数部分,b-1是400的算术平方根,求.
(4)．某农场有一块长30米,宽20米的场地,要在这块场地上建一个鱼池为正方形,使它的面积为场地面积的一半,问能否建成 若能建成,鱼池的边长为多少 (精确到0.1米)
四、小结：
1、利用计算器可以求出任意正数的算术平方根的近似值.
2、被开方数扩大（或缩小）与它的算术平方根扩大（或缩小）的规律是怎样的呢？
3、怎样的数是无限不循环小数？
五、作业课本：
P75-76习题13.1 第5、6、9、10题；
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13.1平方根（三）
一、学习目标 1、掌握平方根的概念，明确平方根和算术平方根之间的联系和区别.
2、能用符号正确地表示一个数的平方根，理解开平方运算和乘方运算之间的互逆关系.
教学重点：平方根的概念和求数的平方根。
教学难点：平方根和算术平方根的联系与区别
二、学习准备：
1、什么数的平方是49？ 2、平方得81的数有几个？分别是什么？
3、一对互为相反数的平方有什么关系？
总结：由问题出发，认识到平方得一个正数的数有 个，并且互为
三 ：合作交流，解读探究
自主探索：独立看书，自学教材
想一想：到底什么是平方根，它和我们已经认识的算术平方根有何关系？
⑴什么叫一个数的平方根？如何用符号表示？
⑵根据平方根的定义，只有什么数才有平方根？ ⑶什么叫开方？
[⑴如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根或二次方根，用符号表示为：若；⑵只有非负数才有平方根；⑶求一个数的平方根的运算叫做开平方运算。]
练一练：求下列数的平方根
⑴100 ⑵ ⑶0.25 ⑷ ⑸ 0
总结归纳：
正数有 平方根，它们互为 0的平方根是 负数
讨论：平方根与算术平方根之间有什么关系？
总结：1、平方根与算术平方根之间的区别
⑴定义不同：如果，那么叫做的平方根。一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，是0本身；负数没有平方根。如果，并且，那么叫做的算术平方根。一个正数的算术平方根只有一个，非负数的算术平方根一定是非负数
⑵表示方法不同：正数的平方根表示为；正数的算术平方根为
⑶平方根等于本身的数是0；算术平方根等于本身的数是0或1
平方根与算术平方根之间的联系
⑴二者有着包含关系：平方根中包含算术平方根，算术平方根是平方根中的非负的那一个
⑵存在条件相同，非负数才有平方根和算术平方根 ⑶0的平方根和0的算术平方根都是0
四 应用迁移，巩固提高
例1 说出下列各数的平方根
⑴0.04 ⑵ ⑶ ⑷
例2 说出下列各数的平方根各是什么？
⑴64 ⑵0 ⑶ ⑷ ⑸ ⑹
例3 计算
⑴ ⑵ ⑶
例4 求下列各数中的值
⑴ ⑵ ⑶ ⑷
㈤课堂跟踪反馈 练习课本P75 练习1、2、3
补充：1判断下列说法是否正确
⑴5是25的算术平方根 （ ） ⑵是的一个平方根 （ ）
⑶的平方根是－4 （ ） ⑷ 0的平方根与算术平方根都是0 （ ）
2、⑴⑵⑶⑷
3、若，则，的平方根是
4、的平方根是（ ） A. B. C. D.
5、给出下列各数： ，其中有平方根的数共有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
6、若一个数的平方根等于它本身，数的算术平方根也等于它本身，试求的平方根。
选作题：（1）如果一个正数的两个平方根为和，请你求出这个正数
（2） 已知，求：的平方根
（3）请你试着求等式中的值．
(4)．要使有意义，的取值范围是______________
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13.1 平方根训练题
：
一．选择题：
1、下列命题中,正确的个数有( )
①1的算术平方根是1;②(-1)2的算术平方根是-1;③一个数的算术平方根等于它本身,这个数只能是零；④-4没有算术平方根.毛
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2、一个自然数的算术平方根是x,则下一个自然数的算术平方根是( )
A.+1 B. C. D.x+1
3、设x=(-)2,y= ,那么xy等于( )
A.3 B.-3 C.9 D.-9
4、(-3)2的平方根是( )
A.3 B.-3 C.±3 D.±9
5、x是16的算术平方根,那么x的算术平方根是( )
A.4 B.2 C. D.±4
二、填空：
6、36的算术平方根是______,36的平方根是_____.
7、如果a3=3,那么a=______. 如果=3,那么a=_______.
8、一个正方体的表面积是78,则这个正方体的棱长是_______.
9、算术平方根等于它本身的数是_______.
10=_______, -=_______.±=______,=________.
11、 的算术平方根是________.
三、解答题：
12、求满足下列各式的x的值:
(1)169x2=121 (2)x2-3=0
13 求下列各式的值。
（1）， （2）－， （3） （4），
14 和都是的平方根，求和的值．
15．已知的平方根为，的平方根为，求的平方根．
16 已知，满足，求的平方根
17 一个开口的长方体盒子，是从一块正方形的马口铁的每个角剪掉一个36cm2的正方形后，再把它的边折起来做成的，如图，量得这个盒子的容积是150cm2，求原正方形的边长是多少？
1．由题意可知剪掉正方形的边长为______________cm．
2．设原正方形的边长为cm，请你用表示盒子的容积．
________________________________．
3．由1，2的分析，请你列出方程，并解答，求原正方形的
18 已知，求的值．
1．由式子可以得出的取值范围是什么？
_________________________________________________________
2．由1，你能将等式中的绝对值去掉吗？
___________________________________________________________
3．由2，你能求出的值吗？
___________________________________________________________
4．讨论总结：求的值．
_______________________________________________________________________．
学后反思：
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13.2 立方根
学习目标：了解立方根的概念，会用符号表示一个数的立方根
教学重点：了解立方根的概念，用立方运算求某些数的立方根；，会用计算器求某些数的立方根
教学难点：明确平方根与立方根的区别，能熟练地求某些数的立方根
一 学习准备
1.问题：要制作一种容积为27 m的正方体形状的包装箱，这种包装箱的边长应该是多少？
2 在学习平方根的运算时,首先是找出一些数的平方值,然后才根据其逆运算过程确定某数的平方根,同样,我们先来算一算一些数的立方.
23=____ ;(-2)3=_____0.53=___;(-0.5)3=____;()3=_____;-()3=_____ ; 03=______.
(1)经计算发现正数,0,负数的立方值与平方值有何不同之处
二 自主学习
1什么是立方根
如果一个数的立方等于，这个数叫做的立方根（也叫做三次方根），即如果，那么叫做的立方根
2、探究： 根据立方根的意义填空，看看正数、0、负数的立方根各有什么特点
因为，所以8的立方根是（ ） 因为，所以0.125的立方根是（ ） 因为，所以0的立方根是（ ）因为，所以8的立方根是（ ） 因为，所以8的立方根是（ ）
【总结归纳】 一个正数有 立方根 ，一个负数有 立方根， 0的立方根是
任何数都有 立方根
一个数的立方根，记作，读作：“三次根号”，其中叫被开方数，3叫根指数，不能省略，若省略表示平方。例如：表示27的立方根，；表示的立方根，.
3、探究： 因为所以 =
因为，所以 =
利用开立方和立方互为逆运算关系，求一个数的立方根，就可以利用这种互逆关系，检验其正确性，求负数的立方根，可以先求出这个负数的绝对值的立方根，再取其相反数，即。于是可归纳出其规律: =-,而,的意义不同,其值也不同,若a>0时, -表示a的算术平方根的相反数无意义;若a<0,则-无意义.
4、 例1:求下列各数的立方根。
①-27; ②; ③-0.216。
例2 求下列各式的值：
； （2）； （3） （4）； （5）； （6）
探究：1 有多大呢？ (2)比较-4、-5、-的大小.
事实上，很多有理数的立方根都是无限不循环小数．我们用有理数近似地表示它们．
2、、利用计算器来求一个数的立方根：
操作 用计算器求数的立方根的步骤及方法：用计算器求立方根和求平方根的步骤相同，只是根指数不同。
2、利用计算器计算，并将计算结果填在表中，你发现了什么吗？
… …
3、、用计算器计算（结果个有效数字）。并利用你发现的规律说出，，的近似值。
三 .课堂跟踪反馈 练习：课本P79练习1、2、3
补充；1.当 时，有意义；当 时，有意义
2 . 的立方根是 ，的平方根是 ，的立方根是
3. 一个自然数的算术平方根是，那么与这个自然数相邻的下一个自然数的平方根是 ，立方根是
4 .解下列⑴ ⑵ ⑶
四、作业： P80习题13.2第1、2 ，3、5、6， 8题
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13.3实数(1)
学习目标:了解无理数和实数的概念，知道实数和数轴上的点一一对应，能估算无理数的大小；
重点：实数的意义和实数的分类；
难点：体会数轴上的点与实数是一一对应的；
学前准备
1、填空 有理数的分类
有理数 有理数
2、探究 使用计算器计算，把下列有理数写成小数的形式，你有什么发现？
3 ， ， ， ， ，
二、探究新知
1、归纳： 任何一个有理数都可以写成_______小数或________小数的形式。反过来，任何______小数或____________小数也都是有理数
观察 通过前面的探讨和学习，我们知道，很多数的_____根和______根都是____________小数， ____________小数又叫无理数，也是无理数
结论： _______和_______统称为实数
你能举出一些无理数吗？
2、试一试 把实数分类
像有理数一样，无理数也有正负之分。例如，，是____无理数，，，是____无理数。由于非0有理数和无理数都有正负之分，所以实数也可以这样分类：
实数
3、我们知道，每个有理数都可以用数轴上的点来表示。无理数是否也可以用数轴上的点来表示呢？
（1）如图所示，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点O′，点O′的坐标是多少？
从图中可以看出OO′的长时这个圆的周长______，点O′的坐标是_______
这样，无理数可以用数轴上的点表示出来
（2）
总结 ①事实上，每一个无理数都可以用数轴上的__________表示出来，这就是说，数轴上的点有些表示__________，有些表示__________
当从有理数扩充到实数以后，实数与数轴上的点就是__________的，即每一个实数都可以用数轴上的__________来表示；反过来，数轴上的__________都是表示一个实数
与有理数一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数______
学以致用
例1、把下列各数分别填入相应的集合里：
正有理数{ }
负有理数{ }
正无理数{ }
负无理数{ }
2、下列实数中是无理数的为（ ）A. 0 B. C. D.
练习：1 P86练习1
二、判断下列说法是否正确：
1.实数不是有理数就是无理数。 （ ）
2.无限小数都是无理数。 （ ）
3.无理数都是无限小数。 （ ）
4.带根号的数都是无理数。 （ ）
5.两个无理数之和一定是无理数。 （ ）
6.所有的有理数都可以在数轴上表示，反过来，数轴上所有的点都表示有理数。（ ）
7、 把下列各数填入相应的集合内：
有理数集合{ } 无理数集合{ }
整数集合{ } 分数集合{ }
实数集合{ }
8、下列各数中，是无理数的是（ ）A. B. C. D.
四、总结反思
1、什么叫做无理数？ 2、什么叫做有理数？
有理数和数轴上的点一一对应吗？
无理数和数轴上的点一一对应吗？
实数和数轴上的点一一对应吗？
无理数的特征:
1．圆周率及一些含有的数 2．开不尽方的数
3．有一定的规律，但循环的无限小数 注意:带根号的数不一定是无理数
作业1 P86 1 ，2，
2 预习 实数（2）
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13.3实数(2)
学习目标：能估算无理数的大小；了解实数的运算法则及运算律，会进行实数的运算，会用计算器进行实数的运算 能估算无理数的大小；
重点：了解实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义实数的运算法则及运算律
难点了解实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义；准确地进行实数范围内的运算
一 学前准备
=
2 . 回顾相反数、倒数、绝对值的意义
二、探究新知
1．讨论 当数从有理数扩充到实数以后，有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数吗？
总结 数的相反数是______，这里表示任意____________。一个正实数的绝对值是______；一个负实数的绝对值是它的______；0的绝对值是______
例1 (1)分别写出- , 的相反数;
(2)指出
(3)求
(4)已知一个数的绝对值是 求这个数
练习1.求下列各数的相反数和绝值:
2、 的相反数是 ，绝对值
3、绝对值等于 的数是 ， 的平方是
4
5、求绝对值
2 当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开方运算，任意一个实数可以进行开立方运算。在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用。
例2 计算下列各式的值：
⑴ ⑵
练习
计算:
例3.计算
（ 精确到0.01） （结果保留3个有效数字）
总结 在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出结果的近似值时，可以按照所要求的精确度用相应的近似有限小数去代替无理数，再进行计算
练习:
P86 第3，题
㈢应用迁移，巩固提高
例1 为何值时，下列各式有意义？
例2 计算
⑴求5的算术平方根与它的平方根之和（保留3位有效数字）
⑵（精确到0.01）
⑶ （）（精确到0.01）
例3 已知实数在数轴上的位置如下，化简
㈤课堂跟踪反馈
1、是实数，下列命题正确的是（ ）
A. ，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
2、的相反数是 ， 的相反数是
3、已知、、在数轴上如图，化简
4 ，在两个连续整数和之间，即，那么、的值是
作业1 P86、3，4，5，6，8，9
例1 求下列各数的算术平方根：
（1）100 （2） （3）0.0001
O
O