第4章 因式分解 A卷-2020-2021学年北师大版八年级数学下册单元测试AB卷（Word版含答案）

第四章 因式分解A卷
考试时间：90分钟，总分：120
一、单选题（将唯一正确答案的代号填在题后括号内，每题3分，共30分）
1．下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．在多项式中，（1）（2）（3）（4）其中能用完全平方公式分解因式的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．已知x2+kx+9可以用完全平方公式进行因式分解，则k的值为（ ）
A．3 B．±3 C．6 D．±6
5．已知： 则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
6．若可以分解为，那么a+b的值为（ ）
A．2 B．1 C．-2 D．-1
7．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“和平数”．如因此4，12这两个数都是“和平数”．介于1到301之间的所有“和平数"之和为（ ）
A．5776 B．4096 C．2020 D．108
8．若M=a2-a，N=a-1，则M、N的大小关系是（ ）
A．M>N B．M9．计算：的结果是（ ）
A． B． C． D．
10．已知a=2021x+2020，b=2021x+2021，c=2021x+2022，则多项式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（将正确答案填在题中横线上，每题3分，共24分）
11．分解因式：am2－9a＝_______________
12．把多项式（x+2）（x?2）+（x?2）提取公因式（x?2）后，余下的部分是________.
13．已知，，则的值为_______．
14．若多项式有一个因式为，那么________．
15．一个单项式，加上多项式后等于一个整式的平方，则所有满足条件的单项式有________．
16．若二次三项式x2 +ax- 12能分解成两个整系数的一次因式的乘积， 则符合条件的整数a的个数是________________．
17．在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式x4﹣y4，因式分解的结果是（x﹣y）（x+y）（x2+y2），若取x=9，y=9时，则各个因式的值是：（x﹣y）=0，（x+y）=18，（x2+y2）=162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式4x3﹣xy2，取x=10，y=10时，用上述方法产生的密码是： （写出一个即可）．
18．已知496﹣1可以被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数是____________ ．
三、解答题（本题共有8小题，共66分）
19．（本题6分）因式分解：
（1）； （2）； （3）.
20．（本题6分）若m，n满足，求下列各式的值：
（1）3mn； .
21．（本题8分）如图，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小矩形，且mn，(长度单位：cm)，
(1)观察图形，发现代数式可以因式分解，请写出因式分解的结果；
(2)若每块小矩形的面积为7cm2，四个正方形的面积和为100cm2，试求图中所有裁剪线(虚线部分)长之和．
22．（本题8分）观察“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行的分解因式：
甲： 乙：
（分成两组） （分成两组）
（直接提公因式） （直接运用公式）
． （再用平方差公式）
请你在他们解法的启发下，把下列各式分解因式：
（1）； （2）．
23．（本题8分）若一个整数能表示成a2+b2（a，b是整数）的形式，则称这个数为“智慧数”．例如： 5是“智慧数”，因为5=22+12；再如：（x，y是整数），所以M也是“智慧数”．
（1）请你再写一个小于10的“智慧数” ，并判断29是否为“智慧数” （填是或者否）；
（2）已知（，是整数），k是常数 ，要使S为“智慧数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由；
（3）如果数m，n都是“智慧数”，试说明mn也是“智慧数”．
24．（本题10分）已知a，b，c是△ABC的三边，且有
（1）若c为整数，求c的值；
（2）若△ABC是等腰三角形，直接写出这个三角形的周长.
25．（本题10分）阅读下列材料，解决材料后的问题：
材料1：对于任意一个多位数，如果它的各位数字之和除以一个正整数n所得的余数与它自身除以这个正整数n所得的余数相同，我们就称这个多位数是n的“余同数”．例如：对于多位数2714，，且，则2714是3的“余同数”；
材料2：对于任意两个多位数A，B，若A除以正整数n所得的余数与B除以正整数n所得的余数相同，则A与B的差一定能被n整除．
（1）判断3142是否是5的“余同数”，并说明理由；
（2）若一个三位数是7的“余同数”，它的百位数字与十位数字之和小于9，个位数字比百位数字大1，求所有符合条件的三位数．
26．（本题10分）阅读下列材料：
材料1：将一个形如x2+px+q的二次三项式因式分解时，如果能满足q=mn且p=m+n，则可以把x2+px+q因式分解成，如，
材料2：因式分解：；
解：将“”看成一个整体，令，则原式
再将“A”还原，得：原式
上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法．
材料3：因式分解：x4+4．
分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢？
19世纪的法国数学家苏菲·热门抓住了该式只有两项，而且属于平方和(x2)2+22的形式，要使用公式就必须添一项4x2，随即将此项4x2减去，即可得： x4+4=x4+4x2+4-4x2=(x2+2)2-4x2=(x2+2)2-（2x）2=(x2+2x+2)(x2-2x+2).
人们为了纪念苏菲·热门给出这一解法，就把它叫做“热门定理”．
请你解答下列问题：
（1）根据材料1，把x2-6x+8分解因式为____
（2）结合上述材料，完成下面小题：
①分解因式：；
②分解因式：．
③分解因式：．
第四章 因式分解A卷参考答案
1．D. 解析：因式分解是在整式范围内，将多项式写成乘积的形式．
A．等式的左边是单项式，故错误．
B．等式的右边不是乘积形式，故错误．
C．等式的右边出现分式，故错误．
D．符合定义，故正确．
故选：D．
2．D. 解析：A、原式=（a-2）（a+2），故本选项不符合题意．
B、a2+4不能进行因式分解，故本选项不符合题意．
C、原式不能进行因式分解，故本选项不符合题意．
D、原式=2（a2-4）=2（a+2）（a-2），故本选项符合题意．
故选：D．
3．B. 解析：（1）无法运用完全平方公式分解因式；
（2）无法运用完全平方公式分解因式；
（3），能运用完全平方公式分解因式；
（4），能运用完全平方公式分解因式；
故选B．
4．D. 解析：∵x2+kx+9可以用完全平方公式进行因式分解，∴k=±6，故选：D．
5．D. 解析：∵，，∴==，故选：D．
6．A. 解析：（x-2）（x+b）=x2+（-2+b）x-2b，
∵x2-ax-1可以分解为（x-2）（x+b），
∴-a=-2+b，-2b=-1，
∴a=，b=，∴a+b=2，故选：A．
7．A. 解析：设两个连续偶数为和（为自然数），则有
，
∵能被整除，∴“和平数”一定是4的倍数，
∴
∴介于到之间的最后一个“和平数”是
∴介于到之间的所有“和平数”之和为：
．
故选：A
8．C. 解析：M-N=a2-a-（a-1）=a2-a-a+1=a2-2a+1=（a-1）20，∴MN．故选C．
9．B. 解析：原式=
=
=
=．
故选：B．
10．C. 解析：∵a=2021x+2020，b=2021x+2021，c=2021x+2022，
∴a-b=-1，b-c=-1，a-c=-2，
．
故选：C．
11．. 解析：
故答案为：．
12．x+3. 解析：（x+2）（x?2）+（x?2）=（x﹣2）（x+2+1）=(x﹣2）（x+3）,
故答案为：x+3．
13．50. 解析：，
又，，原式．故答案为：50．
14．3. 解析：假设另一个因式为，则．
，，解得：，
故答案是：3．
15．3x或-5x或或. 解析：
①，，故此单项式为3x或-5x；
②，故此单项式是，
③，故此单项式是，
故答案为：3x或-5x或或．
16．6. 解析：∵-12=-1×12=1×（-12）=-2×6=6×（-2）=-3×4=3×（-4），
显然a即为分解的两个数的和，即a的值为±11，±4，±1共6个．故答案为：6．
17．103010 (答案不唯一) . 解析：4x3-xy2=x（4x2-y2）=x（2x+y）（2x-y），
∴当取x=10，y=10时，各个因式的值是：
x=10，2x+y=30，2x-y=10，
∴用上述方法产生的密码是：103010，101030或301010，
故答案为103010，101030或301010.
18．63，65. 解析：因式分解可得：496﹣1=（448+1）（448-1）
=（448+1）（424+1）（424-1）
=（448+1）（424+1）（412+1）（412-1）
=（448+1）（424+1）（412+1）（46+1）（46-1）
=（448+1）（424+1）（412+1）（46+1）（43+1）（43-1），
∵43+1=65，43-1=63，
∴496﹣1可以被60到70之间的某两个整数65,63整除，
故答案为：63，65
19．解：（1）==；
（2）=；
（3）=
==
20．解：（1）∵
∴①，②
①－②，得4mn=8 解得：mn=2 ∴=6；
（2）
=
=
=
=26
21．解：（1）矩形纸板由两块是边长都为的大正方形，两块是边长都为的小正方形，五块是长为，宽为的全等小矩形，且．
∴矩形纸板的面积，
观察图形，发现矩形纸板的长为，宽为，
∴矩形纸板的面积，
∴，
故答案为：；
（2）若每块小矩形的面积为，四个正方形的面积和为，
则，，
∴，
∴
∵，∴，
∴图中所有裁剪线（虚线部分）长之和为．
22．解：（1）
．
（2）
．
23．解：（1）∵8＝22＋22，∴8是智慧数，之一均可
，是智慧数；
故答案为之一均可；是；
（2）∵S＝x2＋4y2＋4x?12y＋k＝（x＋2）2＋（2y?3）2＋k?13
∴k＝13时，S是智慧数.
（3）， 都是“智慧数”，设，
∴===（ac＋bd）2＋（ad?bc）2
为整数，则和也是整数，∴mn是“智慧数”．
24．解：（1） ，
，，
，，＜＜，
为整数，或或．
（2）当为腰时，三角形的三边分别为：，
由＜，此时三角形不存在，故舍去，
当为腰时，三角形的三边分别为：，
由＞，三角形存在，
∴三角形的周长：5+5+2=12.
25．解：（1）3142不是5的“余同数”，理由如下：
∵，
∴3142不是5的“余同数”．
（2）设该三位数为M，它的百位数字为a，十位数字为b，则个位数字为（a+1），M的各位数字之和为N，
∴M=100a+10b+a+1=101a+10b+1，N=a+b+a+1=2a+b+1，
∴M-N=99a+9b=9(11a+b)
由题意可知，M-N是7的倍数，
∴11a+b是7的倍数，∵a+b＜9
∴a=1,b=3；a=2,b=6；a=3,b=2；a=5,b=1；a=7,b=0；
∴符合条件的三位数有132；263；324；516；708．
26．解：（1）x2-6x+8=（x-2）（x-4）；
（2）①令A=x-y，则原式=A2+4A+3=（A+1）（A+3），
所以（x-y）2+4（x-y）+3=（x-y+1）（x-y+3）；
②令B=m2+2m，则原式=（ m2+2m）（m2+2m-2）-3
=B（B-2）-3
=B2-2B-3
=（B+1）（B-3），
所以原式=（m2+2m+1）（m2+2m-3）
=（m+1）2（m-1）（m+3）．
③