第1章 三角形的证明 A卷-2020-2021学年北师大版八年级数学下册单元测试AB卷（Word版含答案）

第1章 三角形的证明A卷
考试时间：90分钟；总分：120分
一、单选题（将唯一正确答案的代号填在题后括号内，每题3分，共30分）
1．等腰三角形的底角为40?，则这个等腰三角形的顶角为（ ）
A．40? B．80? C．100? D．100?或40?
2．以下列长度的线段为边，能构成直角三角形的是（　　）
A．2，3，4 B．4，5，6 C．8，13，5 D．1，，1
3．如图，点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E．已知PE=5，则点P到AB的距离是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6

3题图 4题图 5题图
4．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线DE交AB于点E，交BC于点D，若BC＝10，AC＝6，则△ACD的周长是（　　）
A．14 B．16 C．18 D．20
5．如图，矩形ABCD对角线相交于点O，∠AOB=60°，AB=4，则矩形的对角线AC为（　 ）
A．4 B．8 C． D．10
6．在△ABC中，命题：①若∠B＝∠C－∠A,则△ABC是直角三角形．②若a2＝(b＋c)(b－c),则△ABC是直角三角形．③若∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5，则△ABC是直角三角形．④若a∶b∶c＝5∶4∶3．则△ABC是直角三角形． 其中假命题个数为( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN交AB于点D，连接CD．若CD=AC，∠A=50°，则∠ACB的度数为（ ）
A． B． C． D．

7题图 8题图
8．如图，在等边三角形ABC中，点D是边AC上一点（不与点A，C重合），DE⊥BC，垂足为E，连结BD，将△BDE沿DE折叠得到△FDE，若AB=2，则当△CDF是等腰三角形时，DF的长为（ ）
A． B．2 C． D．1
9．如图，在边长为4的等边△ABC中，点P为BC边上任意一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，则PE+PF的长度和为( )
A．4 B．8 C． D．

9题图 10题图
10．如图，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，下列结论：
①∠AED=90°， ②∠ADE= ∠CDE， ③DE=BE， ④AD=AB+CD.
四个结论中成立的是（ ）
A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④
二、填空题（将正确答案填在题中横线上，每题3分，共24分）
11．三角形中两边的平方差恰好等于第三边的平方，则这个三角形是______三角形．
12．等腰△ABC中，AB=AC, BD⊥AC于点D,BD=6, AD=8，则CD的长为______．
13．如果，等腰△ABC中，AB=5，BC=4，边AB的垂直平分线交边AC于点E，那么△BCE的周长等于 .

13题图 14题图 15题图
14．如图，在△ABD中，∠C=90°，AD平分∠BAC，BC=32，AB=40，且BD︰DC=5:3。则△ADB的面积为____________。
15．如图,在△ABC中，AC=AB，点D在AB上，BC=BD,∠ACD=27°,则∠A =____ .
16．如图，已知△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6，若点D为AB边上任意一点，则线段CD的取值范围是______________．

16题图 17题图 18题图
17．如图，点D、E分别是等边三角形ABC的边AB、AC的点，且AD=CE，BE与CD相交于点O．则∠BOD的度数为_______．
18．如图，△ABC的两条高线AD，BE交于点F，∠BAD=45°，∠C=60°，则∠ABF的度数为___．
三、解答题（本题共有8小题，共66分）
19．(本题8分)如图，四边形ABCD，AD∥BC，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E，若点F是CD的中点，求证：BF⊥AF．
19题图
20．(本题8分)如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝BC＝3，CD＝8，AD＝10.
（1）求∠BCD的度数；
（2）求四边形ABCD的面积．
20题图
21．(本题8分)如图所示，一辆汽车在笔直的公路AB上由A向B行驶，M、N分别是位于公路AB两侧的村庄，当汽车行驶到哪个位置时，与村庄M、N的距离相等．(尺规作图，保留作图痕迹，不用写作法)
21题图
22．(本题8分)已知：如图，D是△ABC的BC边的中点，DE⊥AB，DF⊥AC且DE=DF．
求证：△ABC是等腰三角形．
22题图
23．(本题8分)尺规作图：已知△ABC．请按要求作出图形，并保留作图痕迹．
（1）作出∠B的角平分线；
（2）在∠B的角平分线上确定一个点P，使它到顶点A和B的距离相等．
24．(本题8分)如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB的垂直平分线ED交AB于点E，交BC于点D，若CD＝3，求BD的长．
24题图
25．(本题8分)已知如图，三角形ABC中，AB=BC=AC=12cm，现有M、N两点分别从点A、点B同时出发，沿三角形边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为3cm/s，当点N第一次到达点B时，M、N同时停止运动．
（1）点M、N运动3秒后，以点A、M、N为顶点的三角形为________三角形；（填“等腰”、“等边”、“直角”）
（2）点M、N运动____秒后，以点C、M、N为顶点的三角形为等边三角形；
（3）当点M、N同时在AC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形BMN，如果能求出此时M、N运动的时间，如果不能，请说明理由．
25题图
26．(本题10分)点D，E分别在△ABC的边AC，BD上，BD、CE交于点F，连接AF，∠FAE＝∠FAD，FE＝FD．
（1）如图1，若∠AEF＝∠ADF，求证：AE＝AD；
（2）如图2，若∠AEF≠∠ADF，FB平分∠ABC，求∠BAC的度数；
（3）在（2）的条件下，如图3，点G在BE上，∠CFG＝∠AFB，若AG＝6，△ABC的周长为20，求BC长．
第1章 三角形的证明A卷参考答案
1．C. 解析：∵等腰三角形底角为40°，∴顶角=180°-2×40°=100°. 故选C.
2．D. 解析：A、因为22+32≠42，所以不能组成直角三角形；
B、因为52+42≠62，所以不能组成直角三角形；
C、因为52+82≠132，所以不能组成直角三角形；
D、因为12+12＝（）2，所以能组成直角三角形．故选：D．
3．C. 解析：如图，过点P作PF⊥AB于F，
∵AD是∠BAC的平分线，PE⊥AC，∴PF=PE=5，
即点P到AB的距离是5．故选C．
4．B. 解析：∵DE是AB的垂直平分线，∴AD＝BD．
∵AC＝6，BC＝10，∴△ACD的周长为：
AC+CD+AD＝AC+CD+BD＝AC+BC＝6+10＝16．故选B．
5．B. 解析：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=AC，OB=BD，AC=BD，∴OA=OB，
∵∠AOB=60°，∴△AOB是等边三角形，
∴OA=AB=4，∴AC=2OA=8；故选B．
6．A. 解析：①由∠B＝∠C－∠A，∴∠B+∠A＝∠C，又因为三角形内角和为180°，∴∠C=90°，所以△ABC是直角三角形，故此为真命题．
②若a2=（b+c）（b-c），则可知a2 =b2- c2所以a2+c2=b2，所以△ABC是直角三角形，故此为真命题．
C、若∠A︰∠B︰∠C=3︰4︰5，则设∠A=3x°，∠B=4x°，∠C=5x°，根据三角形内角和可得3x°+4x°+5x°=180°，解得x=15°，所以最大的∠C为75°，不是直角三角形，故此为假命题．
D、若a︰b︰c=5︰4︰3，设a=5k，b=4k，c=3k，∵，则△ABC是直角三角形，故此为真命题．
∴假命题共1个，故选：A．
7．C. 解析：，，，
，，
由图可知，是线段的垂直平分线，，
，
．故选：C．
8．C. 解析：在等边三角形ABC中，，
设EC=x，在中可得，，，
是等腰三角形，，
，，
由折叠的性质得，
，解得，
在中，由勾股定理得，
则，故选：C.
9．D. 解析： 如图，连接PA，过A做AD⊥BC于点D.
∴AD===2
∵S△ABP+S△ACP=S△ABC，∴AB?PE+AC?PF=BC?AD，
∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC，
∴BC（PE+PF）=BC?AD，
∴PE+PF=AD=2． 故选择：D.
10．A. 解析：过E作EF⊥AD于F，如图，
∵AB⊥BC，AE平分∠BAD，∴Rt△AEF≌Rt△AEB，
∴BE=EF，AB=AF，∠AEF=∠AEB；
而点E是BC的中点，∴EC=EF=BE，所以③错误；
∴Rt△EFD≌Rt△ECD，∴DC=DF，∠ADE=∠CDE，所以②正确；
∴AD=AF+FD=AB+DC，所以④正确；
∴∠AED=∠AEF+∠FED=∠BEC=90°，所以①正确. 故选A.
11．直角. 解析：设三角形的三边分别是a、b、c，则c2?a2＝b2，
∴a2＋b2＝c2，∴这个三角形是直角三角形，故答案为：直角．
12．2或18. 解析：如图1，当△ABC是锐角三角形时，

图1 图2
，，
，，
，
，，
，
当△ABC是钝角三角形时，如图2，同法可得CD=AC+AD=10+8=18，
故答案为2或18．
13．9. 解析：∵DE为AB的线段垂直平分线，∴AE=EB，
又∵等腰△ABC中，AB=5，BC=4，∴AB=AC=5，
∴△BCE的周长是BE+EC+BC=AC+BC=5+4=9， 故答案为9.
14．240. 解析：作DE⊥AB于E,如图,
∵∠C=90°，AD平分∠BAC，∴DE=DC，
∵BC=32，BD:DC=5:3，
∴CD=×32=12，∴DE=12，
∴△ADB的面积=AB?DE=×40×12=240. 故答案为：240.
15．24°. 解析：设∠BCD=x，
∵AC=AB，∴∠B=∠ACB=x+27°．
∵BC=BD，∴∠BDC=∠BCD=x，
在△BCD中，
∵∠B+∠BCD+∠BDC=180°，即x+27°+x+x=180°，解得x=51°，
∴∠B=51°+27°=78°．∴∠A=180°-78°-78°=24°. 故答案为：24°.
16．4.8≤CD≤8. 解析：如图，作CE⊥AB于E.
∵∠A=90°，AB=10，BC=6，∴AC=，
∵?AC?BC＝?AB?CE，∴CE＝＝4.8，
∵点D在线段AB上，∴4.8≤CD≤8．故答案为：4.8≤CD≤8.
17．60°. 解析：∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AC，∠ACB=∠A=60°，
∵CE=AD，∴△BCE≌△CAD，∴∠CBE=∠ACD，
∴∠BOD=∠OBC+∠OCB=∠ACD+∠OCB=∠ACB=60°，
故答案为：60°.
18．15°. 解析：∵AD为△ABC的高线，∴∠ADC=90°，
∵∠C=60°，∴∠DAC=90°-∠C=30°，
∵BE为△ABC的高线， ∴∠AEF=90°，
∴∠AFE=90°-∠FAE=90°-30°=60°，
∵∠AFE是△BFA的外角，∴∠ABF=60°-45°=15°，
故答案为：15°．
19．解：∵AD∥BC，∴∠DAE=∠E，
又∵∠DAE=∠BAE，
∴∠E=∠BAE，∴BE=BA，
在△DAF与△CEF中，

∴△DAF≌△CEF，
∴AF=EF，又∵BE=BA，
∴BF⊥AF .
20．解：(1)连接AC， 在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝3，
根据勾股定理，得AC＝＝6，∠ACB＝45°，
∵CD＝8，AD＝10, ∴＝＋,
∴△ACD为直角三角形，即∠ACD＝90°，
则∠BCD＝∠ACB＋∠ACD＝135°；
(2)根据题意，得S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD
＝×3×3＋×6×8
＝9＋24
＝33.
故答案为(1)∠BCD＝135°； (2) S四边形ABCD＝33.
21．解：（1）连接MN；
（2）作线段MN的垂直平分线l，交直线AB于C点，则C点即为所求．
21题图
22．证明：∵D是△ABC的BC边的中点，∴ BD=CD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ △BDE和△CDF是直角三角形，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
BD=CD, DE=DF,
∴ Rt△BDE≌Rt△CDF (HL) ，
∴ ∠B=∠C，∴AB=AC，
∴ △ABC是等腰三角形．
23．解：（1）如图所示，
（2）如图所示，P点即为所求．
23题图
24．解：∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AD＝BD，
∵∠B＝30°，∴∠BAD＝∠B＝30°，
又∵∠C＝90°，∴∠CAB＝90°?∠B＝90°?30°＝60°，
∴∠DAC＝∠CAB?∠BAD＝60°?30°＝30°，
∴在Rt△ACD中，CD＝AD，
∴AD＝2CD＝2×3＝6，∴BD＝AD＝6．
25．解：（1）如图，
点M、N运动3秒后，AM=3，BN=9，
则AN=12-9=3，∴AM=AN，
又∵∠A=60°，∴△AMN为等边三角形．
故答案为：等边.
（2）如图，
∵∠C=60°，∴当CM=CN时，△CMN为等边三角形．
设两点运动时间为ts，
∴CM=12-t，CN=3t-24，
∴12-t=3t-24，∴t=9，
故答案为：9.
（3）不能.
当BM=BN时，△BMN是以MN为底边的等腰三角形
由已知当点N没有超过M点时如图，
∵BM=BN，∴∠BNM=∠BMN，
则∠BNA=∠BMC，
又∵∠C=∠A=60°，AB=BC，
∴?BNA≌?BMC，∴AN=MC，
∴12-t=3t-12，
解得t=6，此时M、N重合，不符合题意；
由当点N超过点M时，如图

同理AN=MC.
设两点同时运动时间为ts,
∴AM=t，NC=24-3t, ∴t =24-3t, 解得t=6,
∴t=6时，M、N点重合，不能得到以MN为底边的等腰三角形BMN．
综上，不能得到以MN为底边的等腰三角形BMN．
26．（1）如图1， ∵∠FAE＝∠FAD，∠AEF＝∠ADF，FE＝FD.
∴△AEF≌△ADF，∴AE=AD.

图1 图2 图3
（2）过F点分别作AB、BC、AC边上的高FP、FQ、FN，点P、Q、N为垂足.
∵AF、BF分别平分∠BAC和∠ABC，∴FP=FQ，FP=FN，
∴FQ=FN，且FN⊥AC，FQ⊥BC，∴CF平分∠ACB.
∴.
∵，
∴
.
∵，∴，∴，∴，
∴.
∴且，
∴.
（3）在BC上取点R，使CR=CA，如图3，
∵，，∴.
∴，.
∵，∴，
∴，
∵，
∴，.
∴.
∵，，∴.
∴.
∵，
∴.