第1章 三角形的证明 B卷-2020-2021学年北师大版八年级数学下册单元测试AB卷（Word版含答案）

第1章 三角形的证明 B卷
考试时间：90分钟；总分：120分
一、单选题（将唯一正确答案的代号填在题后括号内，每题3分，共30分）
1．下列说法中正确的是（ ）；
A．两个等边三角形全等
B．有一组对应边相等的两个等边三角形全等
C．两个等腰三角形全等
D．有一组对应边相等的两个等腰三角形全等
2．一个三角形的三边分别是6、8、10，则它的面积是（ ）
A．24 B．48 C．30 D．60
3．等腰三角形的一条边长为5，另一边长为11，则它的底边长为( )
A．5 B．11 C．6 D．5或11
4．下列各组数中以a，b，c为边的三角形不是直角三角形的是（　 　）
A．a=2，b=3，c=4 B．a=7，b=24，c=25
C．a=6，b=8，c=10 D．a=3，b=4，c=5
5．如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB、AC于E、F两点，再分别以E、F为圆心，大于长为半径作圆孤，两条圆弧交于点P，作射线AP，交CD于点M．若∠ACD=110°，则∠AMC的度数为（ ）
A．70° B．35° C．30° D．不能确定

5题图 6题图 7题图
6．如图所示，已知AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠DBC的度数（　　）
A．40° B．70° C．30° D．50°
7. 如图所示,在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交AC于点E，交BC的延长线于点F，若∠F=30°，DE=1，则BE的长为（ ）
A. 1 B. 2 C. 2.5 D. 3
8．满足下列条件的三角形中，是直角三角形的是（ ）
A．三边长的平方之比为3:4:5 B．三内角之比为3:4:5
C．三边长之比为5:12:13 D．三内角之比为5:12:13
9．如图，AB＝AC，∠BAC＝120°，AB的垂直平分线交BC于点D，那么∠ADC的度数为（　　）
A．120° B．30° C．60° D．80°

9题图 10题图
10．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以点A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M、N.再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于P点，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法中：①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D与AB中点的连线垂直平分AB；④SΔDAC:SΔABC=1:3；
正确的是( )
A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④
二、填空题（将正确答案填在题中横线上，每题3分，共24分）
11．若等腰三角形的两条边长分别为6cm和12cm，则它的周长为_____cm．
12．有一个与地面成30°角的斜坡，如图，现要在斜坡上竖一电线杆，当电线杆与斜坡成的∠1=_____°时，电线杆与地面垂直.

12题图 13题图
13．如图所示，在△ABC中，∠BAC=106°，EF、MN分别是AB、AC的垂直平分线，点E、N在BC上，则∠EAN= ．
14．如图，△ABC中，AD是角平分线，AC=4cm，DE⊥AB，E为垂足，DE=3cm，则△ADC的面积是_______cm2.

14题图 15题图 16题图
15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，AD＝5，AC＝4，则D点到AB的距离是_____．
16．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE垂直平分AB交BC于点E， AC=2，则BE的长为__________．
17．如图，在△ABC中，∠A为钝角，AB＝20 cm，AC＝12 cm，点P从点B出发以3 cm/s的速度向点A运动，点Q同时从点A出发以2 cm/s的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当△APQ是等腰三角形时，运动的时间是 .

17题图 18题图
18．如图，在 3×3的正方形网格中标出了∠1 和∠2，则∠2－∠1=_____°
三、解答题（本题共有8小题，共66分）
19．(本题8分)在△ABC中，D是BC的中点，延长AD至E使DE＝AD，且∠BAD＝75°∠DAC＝30°．求证：AE＝AC．
19题图
20．(本题8分)如图，在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD⊥AC于D，求∠DBC的度数．
20题图
21．(本题8分)如图，在△ABE中，∠A＝105°，AE的垂直平分线MN交BE于点C，且AB＋BC＝BE，求∠B的度数.
21题图
22．(本题8分)已知：∠AOB+∠CPD=180°，OM是∠AOB的平分线，将三角板的直角顶P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA、OB交于C、D．求证：PC=PD．
22题图
23．(本题8分)如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C， 且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
（1）说明△ADC≌△CEB；
（2）说明AD+BE=DE；
（3）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以说明．

24．(本题8分)如图,在等边△ABC中,过A、B、C三点在三角形内分别作∠1=∠2=∠3,三个角的边相交于D、E、F,
（1）△ABD，△BCE，△CAF是否全等？如果是，请选择其中一对进行证明．
（2）△DEF是否为正三角形？请说明理由．
24题图
25．(本题8分)图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C、D、E、F均在格点上，在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法．
（1）在图①中以线段AB为边画一个直角△ABM；
（2）在图②中以线段CD为边画一个轴对称△CDN，使其面积为5；
（3）在图③中以线段EF为边画一个轴对称四边形EFGH，使其面积为6．
26．(本题10分)如图，△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm，BC=4cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A﹣B﹣C﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）若点P在BC上，且满足PA=PB，求此时t的值；
（2）若点P恰好在∠ABC的角平分线上，求此时t的值；
（3）在运动过程中，当t为何值时，△ACP为等腰三角形．
26题图
第1章 三角形的证明 B卷参考答案
1．B. 解析：A.两个等边三角形全等，错误，因为两个等边三角形的边长不一定相等，故本选项错误；
B.有一边相等的两个等边三角形全等，根据SSS均能判定它们全等，故此选项正确；
C.两个等腰三角形全等，错误，因为顶角和腰长不一定相等，故本选项错误；
D.有一组对应边相等的两个等腰三角形全等，错误，因为最多只有两条边对应相等，无法证明，故本选项错误；故选B．
2．A. 解析：∵, ∴三角形是直角三角形, ∴面积为:．故选A．
3．A. 解析：若等腰三角形的底边为5，则两腰长为11，这时三角形三边关系满足，可以组成三角形，所以成立；
若等腰三角形的底边为11，则两腰长为5，这时三角形三边关系为，不能组成三角形，所以不成立；所以等腰三角形底边为5，选A
4．A. 解析：A、∵，∴2，3，4不能作为直角三角形的三边长，符合题意；
B、∵，∴7，24，25能作为直角三角形的三边长，不符合题意；
C、∵，∴6，8，10能作为直角三角形的三边长，不符合题意；
D ∵，∴3，4，5能作为直角三角形的三边长，不符合题意；
故选A．
5．B. 解析：由题意可得：AM平分∠CAB，
∵AB∥CD，∴∠C＋∠CAB=180°，
∵∠ACD=110°，∴∠CAB=70°，
∵AM平分∠CAB，∴∠MAB=35°．故选：B．
6．C. 解析：∵AB＝AC，∠A＝40°，∴∠ABC＝∠C＝70°，
∵MN是AB的垂直平分线，∴DA＝DB，
∴∠DBA＝∠A＝40°，∴∠DBC＝30°，故选：C．
7. B. 解析：∵∠ACB=90°, FD⊥AB, ∴∠ACB=∠FDB=90°.
∵∠F=30°,∴∠A=∠F=30°.
又AB的垂直平分线DE交AC于点E,
∴∠EBA=∠A=30°. ∴ Rt △DBE中，BE=2DE=2. 故选B.
8．C. 解析：选项A，三边长的平方之比为3:4:5，不符合勾股定理的逆定理，该三角形不是直角三角形；
选项B，三内角之比为3:4:5，根据三角形的内角和定理可求得该三角形三个内角的度数分别为40°、60°、75°，该三角形不是直角三角形；
选项C，三边长之比为5:12:13，符合勾股定理的逆定理，该三角形是直角三角形；
选项D，三内角之比为5:12:13，根据三角形的内角和定理可求得该三角形三个内角的度数分别为30°、72°、78°，该三角形不是直角三角形.
故选C.
9．C. 解析：因为AB＝AC，∠BAC＝120°，所以∠B=30°.
因为AB的垂直平分线交BC于点D，所以DB=DA，所以∠B=∠DAB=30°.
所以∠ADC=∠B+∠DAB=30°+30°=60°. 故选C.
10．D. 解析：根据作图可知：AD是∠BAC的平分线，所以①正确；
∵∠C=90°，∠B=30°，∴∠BAC=60°，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠CAD=∠BAD=30°，
∴∠ADC=60°，所以②正确；
∵∠B=∠BAD=30°，∴DA=DB，根据等腰三角形三线合一的性质知：点D与AB中点的连线垂直平分AB，所以③正确；
在直角△ADC中，∵∠CAD =30°，∴，∴，∴SΔDAC:SΔABC=1:3，所以④正确. 故选：D.
11．30. 解析：（1）当腰长为6cm时，三边是6cm，6cm，12cm时，6+6＝12cm，
不符合三角形的三边关系，应舍去；
（2）当腰长为12cm时，三边是6cm，12cm，12cm时，符合三角形的三边关系，此时周长是12+12+6=30（cm）；所以这个三角形的周长是30cm．
故答案为：30．
12．60°. 解析：因为在直角三角形BEF中,∠B=30°, 所以∠BEF=90°-30°=60°,
即∠1=60°.
13．32°. 解析：在△ABC中，∠BAC＝106°，
∴∠B＋∠C＝180°?∠BAC＝180°?106°＝74°，
∵EF、MN分别是AB、AC的中垂线，
∴∠B＝∠BAE，∠C＝∠CAN，
即∠B＋∠C＝∠BAE＋∠CAN＝74°，
∴∠EAN＝∠BAC?（∠BAE＋∠CAN）＝106°?74°＝32°．
故答案为32°．
14．6. 解析：作DF⊥AC，垂足为F，如图所示
∵AD是角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，DE=3cm，∴DF=DE=3cm，
又∵AC=4cm， ∴S△ADC=AC·DF=×4×3=6.
故答案为6.
15．3. 解析：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵AD＝5，AC＝4，∠C＝90°，
∴CD＝，DC⊥AC，
∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE＝CD＝3．故答案为：3．
16．4. 解析：∵DE垂直平分AB，∠B=15°,
∴EB=EA，∠EAB=∠B=15°,
∴∠AEC=30°，AE=2AC=4，
∴BE=4，故答案为：4.
17. 4 s. 解析：设运动的时间是xs，则AP=20-3x，AQ=2x， 当AP=AQ时，即20-3x=2x,
解得，x=4, 因此，答案为：4s.
18．45. 解析：如图，连接AC,BC,
根据勾股定理AC=BC=，AB=，因为，
∴∠ACB=90°，∠CAB=45°，
∵△ACH≌△FDE，△AOB≌△ABD（SAS），
∴∠CAH=∠2，∠OAB=∠1，
∵∠CAB=∠CAH-∠OAB=45°，
∴∠2-∠1=45°. 故答案为45.
19．证明：∵在△ABD与△ECD中
，
∴△ABD≌△ECD，
∴∠BAD＝∠E＝75°，
在△EAC中，∠EAC＝30°，∴∠ACE＝75°，
∴∠ACE＝∠E＝75°, ∴AE＝AC.
20．解：∵∠C=∠ABC=2∠A，
∴∠C+∠ABC+∠A=5∠A=180°，∴∠A=36°．
∴∠C=∠ABC=2∠A=72°．
∵BD⊥AC，∴∠DBC=90°-∠C=18°．
21．解：连接AC,
∵MN是 AE的垂直平分线，
∴AC=EC ， ∴∠CAE=∠E,
∵AB + BC = BE, BC + EC = BE
∴AB = EC = AC，∴∠B=∠ACB,
∵∠ACB=∠CAE+∠E=2∠E，∴∠B=2∠E，
∴∠BAE=180°-∠B-∠E=180°-3∠E，
∵∠BAE = 105°，∴∠E = 25° ，
∴∠B = 2∠E = 50°.

22．解：过P分别作PE⊥OB于E，PF⊥OA于F，
∴∠CFP=∠DEP=90°，
∵OM是∠AOB的平分线，∴PE=PF，
∵∠1+∠FPD=90°，∠AOB=90°，∴∠FPE=90°，
∴∠2+∠FPD=90°，∴∠1=∠2，
在△CFP和△DEP中，
，
∴△CFP≌△DEP（ASA），∴PC=PD．
22题图
23．解：（1）∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC=∠CEB=90°，
∵∠ACB=90°，∴∠DCA+∠BCE=90°，
∵∠DCA+∠CAD=90°，∴∠BCE=∠CAD，
∵AC=CB，∴△BCE≌△CAD（AAS）；
（2）由（1）得：△BCE≌△CAD，∴AD=CE，BE=CD，
∵DE=DC+CE，∴DE=AD+BE；
（3）AD=DE+BE，理由如下：
∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC=∠CEB=90°，
∵∠ACB=90°，∴∠DCA+∠BCE=90°，
∵∠DCA+∠CAD=90°，∴∠BCE=∠CAD，
∵AC=CB，∴△BCE≌△CAD（AAS），
∴DC=BE，AD=CE，
∵CE=CD+DE，∴AD=DE+BE．
24．解：（1）∵△ABC是正三角形，
∴∠CAB=∠ABC=∠BCA=60°，AB=BC，
∵∠ABD=∠ABC-∠2，∠BCE=∠ACB-∠3，∠2=∠3，
∴∠ABD=∠BCE，
在△ABD和△BCE中，
，
∴△ABD≌△BCE（ASA）；
（2）△DEF是正三角形；理由如下：
∵△ABD≌△BCE≌△CAF，
∴∠ADB=∠BEC=∠CFA，
∴∠FDE=∠DEF=∠EFD，
∴△DEF是正三角形；
25．解：（1）


（2）
（3）
26．解：在Rt△ABC中，由勾股定理得AC=3.
（1）根据题意得AB+BP=2t，所以BP=2t-AB=2t-5，
则AP=2t-5，PC=BC-PB=4-(2t-5)=9-2t.
Rt△APC中，由勾股定理得：AC2+PC2=AP2,即32+(9-2t)2=(2t-5)2,解得t=.
(2)过点P作PD⊥AB于点D.
因为BP平分∠ABC，∠C=90°，所以PD=PC，BD=BC.
根据题意得，AB+BC+CP=2t，所以CP=2t-9，
则DP=2t-9，AP=3-(2t-9)=12-2t.
Rt△APD中，AD=AB-BD=5-4=1，由勾股定理得：
PD2+AD2=AP2，即12+(2t-9)2=(12-2t)2，解得t=.
(3) 如图1，当AP=AC时，AP=3，2t=3，t=.
如图2，当CA=CP，点P在AB上时，过点C作CD⊥AB于点D，则AD=PD.
因为CD×AB=AC×BC，所以5CD=3×4，CD=.
Rt△ACD中，由勾股定理得AD=.
因为AP=2AD，所以t=2AD÷2=AD=.
如图3，当CA=CP，点P在BC上时，CP=CA=3.
则BP=BC-BP=4-3=1，AB+BP=5+1=6.
所以t=6÷2=3.
如图4，当PA=PC时，过点P作PD∥BC交AC于点D，则PD垂直平分AC，
所以AP=BP=，t=÷2=.
综上所述，当t=，，3，时，△ACP为等腰三角形．