湖北省华中师大一附中2012届高三上学期期中检测数学（理）试题

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22~23题为选考题，其他题为必考题．考试用时120分钟．请把试题答案填写在答题卡相应的位置上．
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．由直线与曲线所围图形的面积 （ ）
A． B． C． D．
2．设，则大小关系为 （ ）
A． B． C． D．
3．设集合，，则 （ ）
A． 　 B． C． D．
4．，则的值为 （ ）
A． B． C． D．
5．函数（）的大致图像是 （ ）
6．函数在区间［0，］上的零点个数为 （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．已知直线及与函数的图像的交点分别为，与函数的图像的交点分别为，则直线与 （ ）
A．相交，且交点在坐标原点 B．相交，且交点在第一象限
C．相交，且交点在第二象限 D．相交，且交点在第三象限
8．定义在上的函数满足，则
A．1 B． C． D．2 （ ）
9．函数（）的最小正周期是，若其图像向左平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数的图像 （ ）
A．关于点对称 B．关于点对称
C．关于直线对称 D．关于直线对称
10．已知函数，()，若，，使得，则实数的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
11．下列各坐标系中是一个函数与其导函数的图像，其中一定错误的是 （ ）
12．已知函数，用表示不超过的最大整数，则函数的值域为 （ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题~第23题为选考题，考生根据要求作答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若函数在上是增函数，则实数的取值范围是 ．
14．函数（）的最小值是 ．
15．若不等式对任意正实数恒成立，则实数的取值范围是 ．
16．已知函数．
（Ⅰ）下列三种说法：①是偶函数；②；③当 时，取得极小值. 其中正确的说法有____________；（写出所有正确说法的序号）
（Ⅱ）满足的正整数的最小值为___________.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
如图，一人在地看到建筑物在正北方向，另一建筑物在北偏西方向，此人向北偏西方向前进到达处，看到在他的北偏东方向，在北偏东方向，试求这两座建筑物之间的距离．
18．（本小题满分12分）
（Ⅰ）设为正数，且，求证：；
（Ⅱ）设为正数，，求证： ．
19．（本小题满分12分）
某城市计划在如图所示的空地上竖一块长方形液晶广告屏幕，宣传该城市未来十年计划、目标等相关政策．已知四边形是边长为30米的正方形，电源在点处，点到边的距离分别为9米，3米，且，线段必过点，端点分别在边上，设米，液晶广告屏幕的面积为平方米．
（Ⅰ）求关于的函数关系式及其定义域；
（Ⅱ）当为何值时，液晶广告屏幕的面积最小？
20．（本小题满分12分）
已知函数，，用表示中的较大者，若，且，．
（Ⅰ）求实数的值及函数的解析式；
（Ⅱ）已知，若时，不等式恒成立，求的最大值．
21．（本小题满分12分）
已知二次函数及函数，函数在处取得极值．
（Ⅰ）求所满足的关系式；
（Ⅱ）是否存在实数，使得对（Ⅰ）中任意的实数，直线与函数在上的图像恒有公共点？若存在，求出的取值范围，若不存在，请说明理由．
请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．（本小题满分10分）选修4 －1：几何证明选讲
如图所示，是的直径，为延长线上的一点，是的割线，过点作的垂线，分别交延长线于点，过点作的切线，切点为．
（Ⅰ）证明：四点共圆；
（Ⅱ）若，求的值．
23．（本小题满分10分）选修4 －4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，直线的参数方程为，在极坐标系中（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴非负半轴为极轴），圆的方程为．
（Ⅰ）求圆的直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线与与圆交于点，求弦的中点的轨迹方程．
华中师大一附中2011—2012学年度上学期高三期中检测
数学（理科）试题参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B A C B A C A B C D C C
13． 14． 15． 16．（Ⅰ）①② ；（Ⅱ）
在中，由正弦定理得：， ……8分
在中，由余弦定理得：
………11分
答：这两座建筑物之间的距离为5km． ……………12分
18．（本小题满分12分）
证明: （Ⅰ）为正数，且，由柯西不等式有：
，
当且仅当，即时等号成立，
． ……………6分
②假设当时不等式成立，即，则当时，
是正数，，
， ，
所以当时不等式也成立，
综合①②得当为正数，时，成立． ……………12分
是正数，
，又，，，
即当为正数，时，成立．
19．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由题意在中，，，
……………2分
， ……………3分
，， ……………5分
，其定义域为． ……………6分
（Ⅱ）设，则
, ………8分
令得：， ……………10分
时，；时，，
时，取得最小值，
答：当米时，液晶广告屏幕的面积最小． ……………12分
． ……………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
解法一：，，， ……8分
当时，，，
恒成立，
即时，恒成立， ……………10分
当时，，
，，
要使对恒成立，则须，即
，，的最大值为． ……………12分
解法二：，，
时，恒成立，，
，可得：，， …9分
取，则时，
恒有，的最大值为． ……………12分
（Ⅱ）由题意得方程在时总有解，所以
在时总有解， ……………6分
设，则， ……………7分
①当且，时，，在时单调递减，，，； …8分
②当时，令得：，时，，单调递减，时，，单调递增，
，，
若，则，，
若，则，； ………9分
③当时，，在时单调递增，
，，； ……………10分
设集合，，
，，
所以要使直线与函数在上的图像恒有公共点，则实数的取值范围为：，所以存在实数满足题意，其取值范围为． …12分
（注：直接讨论直线与抛物线的位置关系求解，可参考上述评分标准评分）
22．（本小题满分10分）
解：（Ⅰ）由得：
， ……………2分
即：，由得：
，因而圆的直角坐标方程为：……4分
（Ⅱ）设点，点对应的参数分别为，将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程得：，
整理得：，，……6分
，
即，消去参数得：， ……8分
又因为直线和圆交于两点，所以，
，，，，
所以弦的中点的轨迹方程为（去掉点）． …10分
（注：把直线方程转化为普通方程，利用解析几何中求轨迹方程的方法求解，可参考上述评分标准评分）