2020-2021学年北师大版数学八年级下册第一章三角形的证明专题训练(二)分类讨论在等腰三角形中的五种思路（Word版，附答案）

专题训练(二)　分类讨论在等腰三角形中的五种思路
?　思路一　关于边长不确定的讨论
1.等腰三角形两边的长分别为4
cm和8
cm,则它的周长为
(　　)
A.16
cm
B.17
cm
C.20
cm
D.16
cm或20
cm
2.已知等腰三角形的周长是20,其中一边长为6,则另外两边的长度分别是
(　　)
A.6,8
B.7,7
C.6,8或7,7
D.3,11
3.已知△ABC的周长为13,且各边长均为整数,那么这样的等腰三角形ABC有
(　　)
A.5个
B.4个
C.3个
D.2个
4.在长方形ABCD中,AB=8,AD=4,P是AB的中点,Q是长方形边上的一个点,若△APQ是等腰三角形,则PQ的长是　　　　　　.?
5.若等腰三角形的一个外角是60°,则它的顶角的度数是　　　　.?
6.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC=2,若以△ABC的边AC为一边的等腰三角形,它的第三个顶点在△ABC的斜边AB上,则这个等腰三角形的腰长为　　　　.?
?　思路二　关于角度不确定的讨论
7.已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1∶4,则这个等腰三角形顶角的度数为　　　　　.?
8.定义:等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”.若等腰三角形ABC中,∠A=80°,则它的特征值k=　　　　.?
?　思路三　关于高的位置不确定的讨论
9.在等腰三角形中,有一个角是40°,则它的一条腰上的高与底边的夹角是　　　　　　.?
10.已知等腰三角形ABC一腰上的高与另一腰的夹角为50°,求△ABC的三个内角的度数.
?　思路四　关于中线的位置不确定的讨论
11.已知等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12和15两部分,求这个三角形的三边长.
?　思路五　关于动点问题的讨论
12.如图2-ZT-1,在平面直角坐标系xOy中,已知A(0,2),B(0,6),动点C在直线y=x上.若以A,B,C三点为顶点的三角形是等腰三角形,则符合题意的点C有
(　　)
图2-ZT-1
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
教师详解详析
1.[解析]
C　已知等腰三角形的两边长分别为4
cm和8
cm,若腰长是4
cm,则三角形的三边长分别是4
cm,4
cm,8
cm,4+4=8(cm),不满足三角形的三边关系,舍去;若腰长是8
cm,则三角形的三边长分别是8
cm,8
cm,4
cm,此时满足三角形的三边关系,三角形的周长是20
cm.故选C.
2.[解析]
C　若腰长为6,则另一腰长也为6,
∴底边长为20-2×6=8.
∵6+6=12>8,∴三边能构成三角形.
若底边长为6,则腰长为(20-6)÷2=7.
∵7+7>6,∴三边能构成三角形.故选C.
3.[解析]
C　周长为13,边长为整数的等腰三角形的边长只能为3,5,5或4,4,5或6,6,1,共3个.故选C.
4.[答案]
4或4或2
5.[答案]
120°　
[解析]
等腰三角形的一个外角为60°,则与这个外角相邻的内角为120°.
因为三角形内角和为180°,如果这个内角为底角,内角和将超过180°,
所以120°角只可能是顶角.故答案为120°.
6.[答案]
2或2　
[解析]
如图,
在Rt△ACB中,∵∠ACB=90°,∠A=30°,BC=2,
∴AB=2BC=4,AC=BC=2.
当MA=MC时,作MT⊥AC于点T,则AT=AC=.
在Rt△ATM中,∵∠A=30°,
∴MT=AM.
由勾股定理,得MT2+AT2=AM2,∴AM=2,∴等腰三角形AMC的腰长为2.
当AC=AM'=2时,等腰三角形ACM'的腰长为2,故答案为2或2.
7.[答案]
120°或20°　
[解析]
设两个角的度数分别是x,4x.
①当x是底角时,根据三角形内角和定理,得x+x+4x=180°,解得x=30°,4x=120°,即底角为30°,顶角为120°;
②当x是顶角时,则x+4x+4x=180°,
解得x=20°,从而得到顶角为20°,底角为80°;
所以该三角形顶角的度数为120°或20°.
故答案为120°或20°.
8.[答案]
或
[解析]
①当∠A为顶角时,等腰三角形两底角的度数均为=50°,
∴特征值k==;
②当∠A为底角时,顶角的度数为180°-80°-80°=20°,
∴特征值k==.
综上所述,特征值k为或.
9.[答案]
20°或50°　
[解析]
若40°角为顶角,如图①,∵∠A=40°,∴∠B=∠ACB=70°,
∴∠BCD=180°-∠B-∠BDC=180°-70°-90°=20°.
若40°角为底角,如图②,∵∠B=40°,∴∠BCD=180°-∠B-∠BDC=180°-40°-90°=50°.
10.解:设等腰三角形ABC中,AB=AC.
分两种情况:(1)若∠BAC为锐角,如图①所示.
因为BD⊥AC,
所以∠ADB=90°.
又因为∠ABD=50°,
所以∠A=180°-∠ABD-∠ADB=180°-50°-90°=40°,
所以∠ABC=∠C=×(180°-40°)=70°,
即△ABC的三个内角的度数分别为40°,70°,70°;
(2)若∠BAC为钝角,如图②所示.
因为BD⊥AC,∠ABD=50°,所以∠BAC=90°+50°=140°,则∠ABC=∠C=×(180°-140°)=20°,即△ABC的三个内角的度数分别为140°,20°,20°.
综上所述,△ABC的三个内角的度数分别为40°,70°,70°或140°,20°,20°.
11.解:如图,在△ABC中,AB=AC,且AD=BD.设AB=x,BC=y,
(1)若AC+AD=15,BC+BD=12,则
解得
(2)若AC+AD=12,BC+BD=15,则
解得
以上两种情况下三角形的三边都符合三角形的三边关系,故这个三角形的三边长分别为10,10,7或8,8,11.
12.[解析]
B　如图,AB的垂直平分线与直线y=x相交于点C1.
∵A(0,2),B(0,6),
∴AB=6-2=4,以点A为圆心,以AB的长为半径画弧,与直线y=x的交点为C2,C3.
∵OB=6,∴点B到直线y=x的距离为6×=3.
∵3>4,
∴以点B为圆心,以AB的长为半径画弧,与直线y=x没有交点,故符合题意的点C有1+2=3(个).故选B.