2020-2021学年人教版 九年级下册 第二十七章 相似 章末训练（word解析版）

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九年级下册
第二十七章
相似
章末训练
一、选择题
1.
2020·绍兴如图，三角尺在灯光照射下形成投影，三角尺与其投影的相似比为2∶5，且三角尺的一边长为8
cm，则投影三角尺的对应边长为(　　)
A．20
cm
B．10
cm
C．8
cm
D．3.2
cm　
2.
如图，在平面直角坐标系中，以原点O为中心，将△ABO扩大到原来的2倍，得到△A′B′O.若点A的坐标是(1,2)，则点A′的坐标是(　　)
A．(2,4)
B．(－1，－2)
C．(－2，－4)
D．(－2，－1)
3.
已知△FHB∽△EAD，它们的周长分别为30和15，且FH＝6，则EA的长为(　　)
A．3
B．2
C．4
D．5
4.
(2019?贺州)如图，在中，分别是边上的点，，若，则等于
A．5
B．6
C．7
D．8
5.
(2019?贵港)如图，在中，点，分别在，边上，，，若，，则线段的长为
A．
B．
C．
D．5
6.
（2020·营口）如图，在△ABC中，DE∥AB，且=，则的值为（　　）
A．
B．
C．
D．
7.
（2020·重庆A卷）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（1,2）,B（1,1），C（3,1），以原点为位似中心，在原点的同侧画△DEF，使△DEF与△ABC成位似图形，且相似比为2:1，则线段DF的长度为（
）
A．
B．
C．
D．
8.
2019·绍兴如图27－Y－5①，一个长、宽均为3，高为8的长方体容器放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6.将长方体容器绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图②是此时的示意图，则图②中的水面高度为(　　)
　　
A.　　
B.　　
C.　　
D.
二、填空题
9.
（2020·吉林）如图，在中，，分别是边，的中点．若的面积为．则四边形的面积为_______．
10.
(2019?郴州)若，则__________．
11.
（2020·东营）如图，P为平行四边形ABCD边BC边上一点，E、F分别为PA、PD上的点，且PA=3PE，PD=3PF，△PEF、△PDC、△PAB的面积分别记为、、，若=2，则+=
．
12.
(2020·绥化)在平面直角坐标系中，△ABC和△A1B1C1的相似比等于，并且是关于原点O的位似图形，若点A的坐标为(2，4)，则其对应点A1的坐标是______．
13.
如图，直线y＝－x－3交x轴于点A，交y轴于点B，P是x轴上一动点，以点P为圆心，以1个单位长度为半径作⊙P，当⊙P与直线AB相切时，点P的坐标是________________．
14.
(2019?泸州)如图，在等腰中，，，点在边上，，点在边上，，垂足为，则长为__________．
15.
（2020·苏州）如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、，点在第一象限内，连接、.已知，则_________.
16.
（2020·长沙）如图，点P在以MN为直径的半圆上运动，（点P与M,N不重合）PQ⊥MN，NE平分∠MNP，交PM于点E，交PQ于点F.
(1)
＝____________．
(2)若,则＝____________．
三、解答题
17.
（2020·凉山州）（7分）如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120
mm，高AD＝80mm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？
18.
（2020·杭州）如图，在中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，，．
（1）求证：．
（2）设，
①若BC＝12，求线段BE的长；
②若△EFC的面积是20，求△ABC的面积．
19.
(2019?张家界)如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线AC，延长AB至点E，使，连接DE，分别交BC，AC交于点F，G．
(1)求证：；
(2)若，，求FG的长．
20.
（2020·苏州）如图，在矩形中，是的中点，，垂足为.
（1）求证：；
（2）若，，求的长.
21.
(2019?菏泽)如图，和是有公共顶点的等腰直角三角形，．
(1)如图1，连接，，的廷长线交于点，交于点，求证：；
(2)如图2，把绕点顺时针旋转，当点落在上时，连接，，的延长线交于点，若，，求的面积．
22.
（2020·江苏徐州）我们知道：如图①，点B把线段AC分成两部分，如果，那么称点B为线段AC的黄金分割点.它们的比值为.
（1）在图①中，若AC=20cm，则AB的长为
cm；
（2）如图②，用边长为20cm的正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABCD得折痕EF，连接CE，将CB折叠到CE上，点B的对应点H，得折痕CG.试说明：G是AB的黄金分割点；
（3）如图③，小明进一步探究：在边长为a的正方形ABCD的边AD上任取点E（AE>DE），连接BE，作CF⊥BE，交AB于点F，延长EF、CB交于点P.他发现当PB与BC满足某种关系时，E、F恰好分别是AD、AB的黄金分割点.请猜想小明的发现，并说明理由.
图①
图
②
图③
23.
（2020?丽水）如图，在△ABC中，AB＝4，∠B＝45°，∠C＝60°．
（1）求BC边上的高线长．
（2）点E为线段AB的中点，点F在边AC上，连结EF，沿EF将△AEF折叠得到△PEF．
①如图2，当点P落在BC上时，求∠AEP的度数．
②如图3，连结AP，当PF⊥AC时，求AP的长.
24.
（2020·泰安）（12分）小明将两个直角三角形纸片如图（1）那样拼放在同一平面上，抽象出如图（2）的平面图形，∠ACB与∠ECD恰好为对顶角，∠ABC﹦∠CDE﹦90°，连接BD，AB﹦BD，点F是线段CE上一点．
探究发现：
（1）当点F为线段CE的中点时，连接DF（如图（2）），小明经过探究，得到结论：BD⊥DF．你认为此结论是否成立？___________．（填“是”或“否”）
拓展延伸：
（2）将（1）中的条件与结论互换，即：若BD⊥DF，则点F为线段CE的中点．请判断此结论是否成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
问题解决：
（3）若AB＝6，CE＝9，求AD的长．
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九年级下册
第二十七章
相似
章末训练-答案
一、选择题
1.
【答案】A　
2.
【答案】C　解析：根据以原点O为位似中心，图形的坐标特点得出，对应点的坐标应乘以－2，故点A的坐标是(1,2)，则点A′的坐标是(－2，－4)．
3.
【答案】A　
4.
【答案】B
【解析】∵，∴，
∴，即，解得：，故选B．
5.
【答案】C
【解析】设，，∴，
∵，∴，
∴，∴，
∴，，
∵，，∴，
∵，∴，
∴，
设，，∴，
∴，∴，∴，
故选C．
6.
【答案】A
【解析】利用平行截割定理求的值．∵DE∥AB，∴==，∵CE+AE=AC，∴=．
7.
【答案】D
【解析】∵A（1,2）,B（1,1），C（3,1），∴AB=1，BC=2,AC=.∵△DEF与△ABC成位似图形，且相似比为2，∴DF=2AB=2．
8.
【答案】A　[解析]
如图，过点C作桌面的垂线，垂足为F.设DE＝x，则AD＝8－x.根据题意，得(8－x＋8)×3×3＝3×3×6，解得x＝4，∴DE＝4.由勾股定理，得CD＝＝5.易知△CDE∽△CBF，∴＝，即＝，∴CF＝.故选A.
二、填空题
9.
【答案】
【解析】点，分别是边，的中点，
，即
又，
则四边形的面积为.
故答案为：．
10.
【答案】
【解析】∵，∴，
故2y=x，则，故答案为：．
11.
【答案】18
【解析】本题考查了相似三角形的判定、性质，三角形的面积，解题的关键是根据已知条件推出相似三角形，并由相似比得到面积比．
∵PA=3PE，PD=3PF，∠APD
=∠EPF，∴△PEF∽△PAD，相似比为1︰3，
∵△PEF的面积为=2，∴=9S=9×2=18，
∴+==18．
12.
【答案】(－4，－8)或(4，8)
【解析】∵△ABC和△A1B1C1的相似比等于，∴△A1B1C1和△ABC的相似比等于2．因此将点A(2，4)的横、纵坐标乘以±2即得点A1的坐标，∴点A1的坐标是(－4，－8)或(4，8)．
13.
【答案】(－，0)或(－，0)[解析]
如图，依题意可知A(－4，0)，B(0，－3)，
∴OA＝4，OB＝3，
∴AB＝＝5.
设⊙P与直线AB相切于点D，连接PD，则PD⊥AB，PD＝1.
易得△APD∽△ABO，
∴＝，即＝，
∴AP＝，∴OP＝或OP＝，
∴点P的坐标是(－，0)或(－，0)．
14.
【答案】
【解析】如图，过作于，则∠AHD=90°，
∵在等腰中，，，
∴，，
∴∠ADH=90°–∠CAD=45°=∠CAD，
∴，
∴CH=AC–AH=15–DH，
∵，∴，
又∵∠ANH=∠DNF，∴，
∴，∴，
∵，CE+BE=BC=15，∴，
∴，
∴，
∴，故答案为：．
15.
【答案】或2.8
【解析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，过点C作CD⊥y轴于点D，设AC交y轴于点E，∴CD∥x轴，∴∠CAO=∠ACD,
△DEC∽△OEA，∵，∴∠BCD=∠ACD,
∴BD=DE,设BD=DE=x，则OE=4-2x,∴=,即=,解得x=1.2．∴OE=4-2x=1.6，∴n=OD=DE+OE=1.2+1.6=2.8.
16.
【答案】1；
【解析】本题考查了圆的基本性质，角平分线性质，平行相似，相似判定与性质，
（1）作EH⊥MN，又∵MN是直径，NE平分∠MNP，PQ⊥MN，∴易证出PE＝EH＝HF＝PF，EH∥PQ，∴△EMH∽△PMQ，∴，∴；
（2）由相似基本图射影型得：解得又∵，∴QN＝PM，设QN＝PM＝a，MQ＝b，由相似基本图射影型得：解得，∴解得或（舍去）∴；
因此本题答案为1；．
三、解答题
17.
【答案】
解：设这个正方形零件的边长为x
mm，则△AEF的边EF上的高AK＝(80－x)mm．
∵四边形EFHG是正方形，∴EF∥GH，即EF∥BC．∴△AEF∽△ABC．
∴，即．∴x＝48．∴这个正方形零件的边长是48
mm．
18.
【答案】
解：
（1）∵DE∥AC，∴∠BED＝∠C．∵EF∥AB，∴∠B＝∠FEC，∴△BDE∽△EFC．
（2）①∵EF∥AB，∴＝＝．∵BC＝12，∴＝，∴BE＝4．
②∵EF∥AB，∴△EFC△BAC，∴＝．∵＝，∴＝．又∵△EFC的面积是20，∴＝，∴S△ABC＝45，即△ABC的面积是45．
19.
【答案】
(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∵BE=AB，AE=AB+BE，
∴，
∴，
∴．
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴，
∴，即，
解得，．
20.
【答案】
解：
证明：（1）∵四边形是矩形，∴，.∴，
∵，∴.∴，∴.
解：（2）∵，∴.
∵，是的中点，∴.∴在中，.
又∵，∴，∴.
21.
【答案】
(1)∵和是有公共顶点的等腰直角三角形，，
∴，，，
即，
在与中，，
∴，∴，
∵，
∴，∴．
(2)在与中，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴的面积．
22.
【答案】
解：
（1）.解：∵，AC=20，∴AB=.
（2）延长CG交DA的延长线于点J，由折叠可知：∠BCG=∠ECG，
∵AD∥BC，∴∠J=∠BCG=∠ECG，∴JE=CE.由折叠可知：E、F为AD、BC的中点，∴DE=AE=10，
由勾股定理可得：CE=,∴EJ=，∴AJ=JE-AE=-10，
∵AJ∥BC，∴△AGJ∽△BGC，∴,∴G是AB的黄金分割点.
（3）PB=BC，理由如下：∵E为AD的黄金分割点，且AE>DE，∴AE=a.
∵CF⊥BE，∴∠ABE+∠CBE=∠CBE+∠BCF=90?,∴∠ABE=∠FCB,
在△BEA和△CFB中，∵，∴△BEA≌△CFB，∴BF=AE=a.
∴,∵AE∥BP，∴△AEF∽△BPF,∴,
∵AE=BF,∴PB=AB，∴PB=BC.
23.
【答案】
解：（1）如图1中，过点A作AD⊥BC于D．
在Rt△ABD中，AD＝AB?sin45°＝44．
（2）①如图2中，
∵△AEF≌△PEF，∴AE＝EP，∵AE＝EB，∴BE＝EP，∴∠EPB＝∠B＝45°，∴∠PEB＝90°，∴∠AEP＝180°﹣90°＝90°．
②如图3中，由（1）可知：AC，
∵PF⊥AC，∴∠PFA＝90°，∵△AEF≌△PEF，∴∠AFE＝∠PFE＝45°，
∴∠AFE＝∠B，∵∠EAF＝∠CAB，∴△AEF∽△ACB，
∴，即，∴AF＝2，在Rt△AFP，AF＝FP，
∴APAF＝2．
24.
【答案】
（1）是；
（2）结论成立．
理由如下：
∵BD⊥DF，ED⊥AD，
∴∠BDC＋∠CDF﹦90°，∠EDF＋∠CDF﹦90°．
∴∠BDC﹦∠EDF．
∵AB﹦BD，
∴∠A﹦∠BDC．
∴∠A﹦∠EDF．
又∵∠A﹦∠E，
∴∠E﹦∠EDF．
∴EF﹦FD．
又∠E＋∠ECD﹦90°，
∴∠ECD﹦∠CDF．
∴CF﹦DF．
∴CF﹦EF．
∴F为CE的中点．
（3）在备用图中，设G为EC的中点，则DG⊥BD．
∴GD﹦EC﹦．
又BD＝AB＝6，
在Rt△GDB中，GB＝
EQ
\r(62＋()2)
＝．
∴CB＝—＝3．
在Rt△ABC中，AC＝＝3．
由条件得：△ABC∽△EDC．
∴
EQ
\f(3,9)
＝．
∴CD＝
EQ
\f(9,5)
．
∴AD＝AC＋CD＝3＋
EQ
\f(9,5)
﹦
EQ
\f(24,5)
．
图（1）
图（2）
备用图