2020-2021学年 苏科版八年级数学下册 中心对称图形平行四边形压轴题复习（二）（Word版 含答案）

中心对称图形——平行四边形
压轴题复习（二）
1．如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F分别为边AB、CD的中点，连接DE、DB、BF．
（1）求证：∠DEB＝∠BFD；
（2）若∠ADB＝90°，证明：四边形BFDE是菱形．
2．如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点O是对角线BD的中点，过点O的直线分别交AB、CD边于点E、F．
（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；
（2）当DE＝DF时，求四边形DEBF的面积S四边形DEBF．
3．如图1，在正方形ABCD中，点E在AD的延长线上，P是对角线BD上的一点，且点P位于AE的垂直平分线上，PE交CD于点F．
（1）猜测PC和PE有什么大小及位置关系，并给出证明．
（2）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC＝120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系．并说明理由．
4．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是边BC上的中线，过点A作AE∥BC，过点D作DE∥AB，DE与AC，AE分别交于点O，E，连接EC．
（1）求证：四边形ADCE是菱形；
（2）若AB＝AO，OD＝1，则菱形ADCE的周长为　
　．
5．如图，四边形ABCD是平行四边形，AC，BD相交于点O，∠1＝∠2．它是一个矩形吗？为什么？
6．如图，在矩形ABCD中，F是CD的中点，连接AF交BC延长线于点E．求证：BC＝EC．
7．如图，四边形ABCD为矩形，连接对角线AC，分别作∠BAC、∠BCA、∠ACD、∠DAC的角平分线AE、CE、CF、AF．
（1）当AB＝BC时，求证：四边形AECF是菱形；
（2）设AB＝4，BC＝3，分别作EM⊥AC于点M，FN⊥AC于点N，求MN的长；
（3）分别作EG⊥BC于点G，FH⊥CD于点H，当GC＝3，HC＝4时，求矩形ABCD的面积．
8．如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）当四边形BEDF是菱形时，求DF的长．
9．已知P是正方形ABCD边BC上一点，连接AP，作PE⊥AP，且∠DCE＝45°．若PE和CE交于E点，连接AE交CD于F．
（1）求证：EP＝AP；
（2）若正方形的边长为4，CF＝3，求CE的长．
10．已知在△ABC中，AD平分∠BAC，交BC于点D，点E在边AC上AB＝AE，过点E作EF∥BC，交AD于点F，连接BF．
（1）如图1，求证：四边形BDEF是菱形；
（2）如图2，当AB＝BC时，在不添加辅助线的情况下，请直接写出图中度数等于∠BAD的2倍的所有的角．
11．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．
（1）OE　
　AE（填＜、＝、＞）；
（2）求证：四边形OEFG是矩形；
（3）若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的长．
12．已知，如图，在平行四边形ABCD中，BF平分∠ABC交AD于点F，AE⊥BF于点O，交BC于点E，连接EF．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若AE＝12，BF＝16，CE＝5，求四边形ABCD的面积．
13．如图，菱形ABCD中，E为AB边上的一点，F为BC延长线上的一点，且∠BED+∠F＝180°
求证：DE＝DF．
14．矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4．点E，F在对角线AC上，点M，N分别在边AD，BC上．
（1）如图1，若AE＝CF＝1，M，N分别是AD，BC的中点．求证：四边形EMFN为矩形．
（2）如图2，若AE＝CF＝0.5，AM＝CN＝x（0＜x＜2），且四边形EMFN为矩形，求x的值．
15．如图，在平行四边形ABCD中，线段AC的垂直平分线交AC于O，分别交BC，AD于E，F，连接AE，CF．
（1）证明：四边形AECF是菱形；
（2）在（1）的条件下，如果AC⊥AB，∠B＝30°，AE＝2，求四边形AECF的面积．
参考答案
1．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC＝AB且DC∥AB，
∵E，F分别为边AB、CD上的中点，
∴DF＝DC，BE＝AB，且DF∥BE，
∴DF＝BE且DF∥BE，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴∠DEB＝∠BFD；
（2）证明：∵E为边AB的中点，
∴AE＝BE，
∵∠ADB＝90°，
∴△ADB为直角三角形
∴DE＝AB＝BE，
由（1）得，四边形BFDE是平行四边形，
∴平行四边形BFDE是菱形．
2．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴DC∥AB，
∴∠FDO＝∠EBO，
∵O是BD的中点，
∴DO＝BO，
在△DFO和△BEO中，
，
∴△DFO≌△BEO（ASA），
∴DF＝BE，
∵DC∥AB（即DF∥BE），
∴四边形DEBF是平行四边形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，
∵AB＝8，AD＝6，
∴BD＝＝＝10，
∵四边形DEBF是平行四边形，DE＝DF，
∴四边形DEBF是菱形，
∴DE＝BE，
设DE＝BE＝x，
在Rt△DAE中，AD2+AE2＝DE2，
即62+（8﹣x）2＝x2，
解得：x＝，
即BE＝，
∴四边形DEBF的面积S四边形DEBF＝BE×AD＝×6＝．
3．解：（1）PC＝PE，PC⊥PE
证明∵点P位于AE的垂直平分线上，
∴PA＝PE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AC，∠ADB＝∠CDB，
∵PD＝PD，
∴△ABP≌△CBP
（SAS）
∴PA＝PC，
∴PC＝PE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠ADP＝∠CBP，
∵PB＝PB，
∴△ADP≌△CDP
（SAS），
∴∠PAD＝∠PCD，
∵PA＝PE，
∴∠PAD＝∠E，
∴∠PCD＝∠E，
∵∠PFC＝∠DFE，
∴△CPF∽△EDF，
∴∠CPF＝∠FDE，
∵四边形ABCD是正方形，
，∴∠ADC＝90°，
∴∠FDE＝90°，
∴∠CPF＝90°，
∴PC⊥PE．
（2）PA＝CE．理由如下：
证明：∵点P位于AE的垂直平分线上，
∴PA＝PE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AC，∠ADB＝∠CDB，
∵PD＝PD，
∴△ABP≌△CBP，
∴PA＝PC
∴PC＝PE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD，∠ADP＝∠CBP，
∵PB＝PB，
∴△ADP≌△CDP，
∴∠PAD＝∠PCD，
∵PA＝PE，
∴∠PAD＝∠PED，
∴∠PCD＝∠PED，
∵∠PFC＝∠DFE，
∴△CPF∽△EDF，
∴∠CPF＝∠EDF，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°
∴∠ADC＝∠ABC＝120°
∴∠EDF＝180°﹣∠ADC＝60°
∴∠CPF＝60°
∵PE＝PC
∴△PCE是等边三角形
∴CE＝PE
∴AP＝CE．
4．（1）证明：∵AE∥BC，DE∥AB，
∴四边形ABDE为平行四边形，
∴AE＝BD，
∵AD是边BC上的中线，
∴BD＝CD，
∴AE＝CD，
∴四边形ADCE是平行四边形，
又∵∠BAC＝90°，AD是边BC上的中线，
∴AD＝BC＝CD，
∴平行四边形ADCE是菱形；
（2）解：∵四边形ADCE是菱形，
∴AD＝AE＝CE＝CD，AC⊥DE，OA＝OC，
∵BD＝CD，
∴OD是△ABC的中位线，
∴AB＝2OD＝2，
∴AO＝AB＝2，
∴AD＝＝＝，
∴菱形ADCE的周长＝4AD＝4，
故答案为：4．
5．解：四边形ABCD是矩形．理由如下：
证明：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OC＝AC，OB＝BD．
又∵∠1＝∠2，
∴OB＝OC，
∴BD＝AC，
∴?ABCD是矩形．
6．证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BE，AD＝BC，
∴∠ADF＝∠ECF，∠DAF＝∠CEF，
∵F是CD的中点，
∴DF＝CF，
∴在△ADF和△ECF中，
∴△ADF≌△ECF（AAS）．
∴AD＝EC，而AD＝BC
∴BC＝EC．
7．解：（1）∵四边形ABCD为矩形，
∴AB∥CD，
∴∠BAC＝∠DCA，
∵AE平分∠BAC，CF平分∠ACD，
∴∠EAC＝∠FCA，
∴AE∥CF，
同理，AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AB＝BC，
∴∠BAC＝∠ACB，
∵AE平分∠BAC，CE平分∠ACB，
∴∠EAC＝∠ECA，
∴AE＝CE，
∴四边形AECF是菱形；
（2）过E作EH⊥BC于点H，EG⊥AB于点G，
∵∠B＝90°，
∴四边形BHEG为矩形，
∵AE平分∠BAC，CE平分∠ACB，
∴EM＝EG＝EH，
∴四边形BHEG是正方形，
∴BG＝BH，
∵EM＝EG＝EH，AE＝AE，CE＝CE，
∴Rt△AEG≌Rt△AEM（HL），Rt△CEH≌Rt△CEM（HL），
∴AM＝AG，CM＝CH，
∵AB＝4，BC＝3，
∴AC＝5，
设AM＝AG＝x，CM＝CH＝y，BH＝BG＝z，则
，
解得，，
∴AM＝3，CM＝2，
∵由（1）知四边形AECF是平行四边形，
∴AF＝CE，AF∥CE，
∴∠FAN＝∠ECM，
∵∠ANF＝∠CME＝90°，
∴△ANF≌△CME（AAS），
∴AN＝CM＝2，
∴MN＝AM﹣AN＝3﹣2＝1；
（3）过E作EK⊥AB于点K，EL⊥AC于点L，如图，
∵矩形ABCD中AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ACD，
∵AE、CF分别平分∠BAC和∠ACD，
∴∠KAE＝∠HCF，
∵四边形AECF是平行四边形，
∴AE＝CF，
∵∠AKE＝∠CHF＝90°，
∴△AEK≌△CHF（AAS），
∴AK＝CH＝4，
∵AE平分∠BAC，CE平分∠ACB，
∴EK＝EL＝EG，
∵AE＝AE，CE＝CE，
∴Rt△AEK≌Rt△AEL（HL），Rt△CEG≌Rt△CEL（HL），
∴AK＝AL＝4，CG＝CL＝3，
∴AC＝AL+CL＝4+3＝7，
∵EK＝EG，∠EKB＝∠B＝∠EGB＝90°，
∴四边形BGEK为正方形，
∴BG＝BK，
∴矩形ABCD的面积＝AB?BC＝24．
8．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，O是BD的中点，
∴∠A＝90°，AD＝BC＝4，AB∥DC，OB＝OD，
∴∠OBE＝∠ODF，
∴△BOE≌△DOF（ASA），
∴EO＝FO，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）解：当四边形BEDF是菱形时，BD⊥EF，
设BE＝x，则
DE＝x，AE＝6﹣x，
在Rt△ADE中，DE2＝AD2+AE2，
∴x2＝42+（6﹣x）2，
解得：x＝，
∵DF＝．
9（1）证明：连接AC，过P点作PG⊥BC交AC于G点，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB＝45°，∠BCD＝90°，
∵PG⊥BC，
∴∠GPC＝90°，
∴∠PGC＝45°，
∴PG＝PC，
∵∠DCE＝45°，
∴∠AGP＝∠ECP＝90°+45°＝135°，
∵AP⊥PE，
∴∠APE＝∠GPC＝90°，
∴∠APG＝∠EPC＝90°﹣∠GPE，
在△PAG和△PEC中
∴△PAG≌△PEC（ASA），
∴PE＝PA；
（2）解：延长CB到Q，使BQ＝DF，过E作EH⊥BC，EH交BC延长线于H，连接AQ，PF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D＝∠DAB＝∠ABC＝90°，AD＝AB，
∴∠ABQ＝∠D＝90°，
在△ABQ和△ADF中
∴△ABQ≌△ADF（SAS），
∴AQ＝AF，∠DAF＝∠QAB，
∵∠APE＝90°，AP＝PE，
∴∠PAE＝∠AEP＝45°，
∴∠AQP＝∠QAB+∠BAP＝∠DAF+∠BAP＝∠DAB﹣∠PAE＝90°﹣45°＝45°＝∠PAE，
在△QAP和△FAP中
∴△QAP≌△FAP（SAS），
∴QP＝PE，
∵EH⊥BC，∠ABP＝90°，∠APE＝90°，
∴∠ABP＝∠H＝90°，∠APB＝∠PEH＝90°﹣∠EPH，
在△PEH和△APB中
∴△PEH≌△APB（AAS），
∴BP＝EH，
∵∠H＝90°，∠DCE＝45°，
∴∠ECH＝45°＝∠CEH，
∴CH＝EH＝BP，
设EH＝CH＝BP＝x，
∴PC＝4﹣x，PF＝BQ+BP＝DF+BP＝4﹣3+x＝1+x，
在Rt△PCF中，由勾股定理得：（1+x）2＝（4﹣x）2+32，
解之得：x＝，
即CH＝EH＝，
∴在Rt△CHE中，由勾股定理得：CE＝CH＝．
10．解：（1）证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠EAD，
∵AB＝AE，AD＝AD，
∴△ABD≌△AED（SAS），
∴DB＝DE，∠BDA＝∠EDA．
∵EF∥BC，
∴∠EFD＝∠BDA，
∴∠EFD＝∠EDF，
∴EF＝ED，
∴EF＝BD，
∵EF∥BD，
∴四边形BDEF为菱形．
（2）∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠BAD，
∵AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA＝2∠BAD，
∵EF∥BC，
∴∠FEC＝∠BCA＝2∠BAD，
∵∠ABF＝∠AEF，
∴∠ABF＝2∠BAD．
所以图中度数等于∠BAD的2倍的所有的角：
∠BAC，∠BCA，∠ABF，∠AEF．
11．（1）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵E是AD的中点，
∴OE＝AD＝AE，
故答案为：＝；
（2）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴OB＝OD，
∵E是AD的中点，
∴OE是△ABD的中位线，
∴OE∥FG，
∵OG∥EF，
∴四边形OEFG是平行四边形，
∵EF⊥AB，
∴∠EFG＝90°，
∴平行四边形OEFG是矩形；
（3）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，AB＝AD＝10，
∴∠AOD＝90°，
∵E是AD的中点，
∴OE＝AE＝AD＝5；
由（1）知，四边形OEFG是矩形，
∴FG＝OE＝5，
∵AE＝5，EF＝4，
∴AF＝＝＝3，
∴BG＝AB﹣AF﹣FG＝10﹣3﹣5＝2．
12．解：（1）证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AFB＝∠FBE，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠EBF，
∴∠AFB＝∠ABF，
∴AF＝AB，
∵AE⊥BF，
∴∠AOB＝∠EOB＝90°，
OB＝OB，
∠ABO＝∠EBO，
∴△ABO≌△EBO（ASA），
∴AB＝BE，
∴AF＝BE，
又AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB＝BE，
∴平行四边形ABEF是菱形．
（2）如图，作AG⊥BC于点G，
∵四边形ABEF是菱形，
OA＝OE＝AE＝6，
OB＝OF＝BF＝8，
∴AB＝＝10，
BE＝10，
设BG＝x，则EG＝BE﹣BG＝10﹣x，
∴在Rt△ABG和Rt△AEG中，
根据勾股定理，得AG2＝AB2﹣BG2＝AE2﹣EG2
即102﹣x2＝122﹣（10﹣x）2
解得x＝，
∴AG＝＝．
∴四边形ABCD的面积为：BC?AG＝15×＝144．
13．解：如图，过点D作DN⊥AB于N，DM⊥BC于F，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∵S菱形ABCD＝AB×DN＝BC×DM，
∴DN＝DM，
∵∠BED+∠F＝180°，∠BED+∠AED＝180°，
∴∠F＝∠AED，
又∵∠DNE＝∠DMF，
∴△DNE≌△DMF（AAS）
∴DE＝DF．
14．（1）证明：连接MN，如图1所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD＝BC，∠B＝90°，
∴∠EAM＝∠FCN，AC＝＝＝5，
∵M，N分别是AD，BC的中点，
∴AM＝DM＝BN＝CN，AM∥BN，
∴四边形ABNM是平行四边形，
又∵∠B＝90°，
∴四边形ABNM是矩形，
∴MN＝AB＝3，
在△AME和△CNF中，，
∴△AME≌△CNF（SAS），
∴EM＝FN，∠AEM＝∠CFN，
∴∠MEF＝∠NFE，
∴EM∥FN，
∴四边形EMFN是平行四边形，
又∵AE＝CF＝1，
∴EF＝AC﹣AE﹣CF＝3，
∴MN＝EF，
∴四边形EMFN为矩形．
（2）解：连接MN，作MH⊥BC于H，如图2所示：
则四边形ABHM是矩形，
∴MH＝AB＝3，BH＝AM＝x，
∴HN＝BC﹣BH﹣CN＝4﹣2x，
∵四边形EMFN为矩形，AE＝CF＝0.5，
∴MN＝EF＝AC﹣AE﹣CF＝4，
在Rt△MHN中，由勾股定理得：32+（4﹣2x）2＝42，
∴x＝2﹣．
15．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠OAF＝∠OCE，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴OA＝OC，EF⊥AC，
在△AOF和△COE中，，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴AF＝CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵EF⊥AC，
∴四边形AECF是菱形；
（2）解：由（1）得：四边形AECF是菱形，EF⊥AC，
∴CE＝AE＝2，OA＝OC，OB＝OD，
∵AC⊥AB，
∴EF∥AB，
∴∠OEC＝∠B＝30°，
∴OC＝CE＝1，OE＝OC＝，
∴AC＝2OC＝2，EF＝2OE＝2，
∴四边形AECF的面积＝AC×EF＝×2×2＝2．