2020_2021学年新教材高中数学第十章概率10.2事件的相互独立性同步课件新人教A版必修第二册

(共39张PPT)
10.2　事件的相互独立性
必备知识·自主学习
相互独立事件
(1)定义与性质
相互独立事件
相关内容
定义
对任意两个事件A与B,如果P(AB)=_________,则称事件A
与事件B相互独立.
性质
若事件A与B相互独立,那么A与
,
与__,
与
也都
相互独立.
P(A)P(B)
B
(2)本质:在相同条件下进行的两个随机试验A与B,事件A发生不会影响事件B发生的概率.
(3)应用:①判断事件的独立性.②求相互独立事件同时发生的概率.
【思考】
(1)相互独立事件就是对立事件吗?
提示:不是.相互独立事件是指事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响,而对立事件首先应是互斥事件,是指不可能同时发生的两个事件.
(2)事件A与B相互独立可以推广到n个事件的一般情形吗?
提示:可以.对于n个事件A1,A2,…,An,如果其中任何一个事件发生的概率不受其他事件是否发生的影响,则称事件A1,A2,…,An两两相互独立.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)不可能事件与任何一个事件相互独立.
(　　)
(2)必然事件与任何一个事件相互独立.
(　　)
(3)若两个事件互斥,则这两个事件相互独立.
(　　)
提示:(1)√.不可能事件总不会发生,不受任何事件是否发生的影响.
(2)√.必然事件总会发生,不受任何事件是否发生的影响.
(3)×.因为两个事件互斥,所以二者不能同时发生,所以这两个事件不相互独立.
2.一个不透明的口袋中有黑、白两种颜色的球,这些球除颜色外完全相同,从中进行有放回地摸球,用A1表示第一次摸得白球,A2表示第二次摸得白球,则A1与A2是
(　　)　　　　　　　　
A.相互独立事件
B.不相互独立事件
C.互斥事件
D.对立事件
【解析】选A.事件A1是否发生对事件A2发生的概率没有影响,故A1与A2是相互独立事件.
3.(教材二次开发:例题改编)甲、乙两水文站同时进行水文预报,如果甲站、乙站各自预报的准确率为0.8和0.7.那么,在一次预报中,甲、乙两站预报都准确的概率为________.?
【解析】由题意知两个事件为相互独立事件,则甲、乙两站预报都准确的概率为0.8×0.7=0.56.
答案:0.56
关键能力·合作学习
类型一　相互独立事件的判断(数学抽象)
【题组训练】
1.甲、乙两名射击手同时向一目标射击,设事件A:“甲击中目标”,事件B:“乙击中目标”,则事件A与事件B
(　　)
A.相互独立但不互斥
B.互斥但不相互独立
C.相互独立且互斥
D.既不相互独立也不互斥
2.从一副不含大小王的扑克牌(52张)中任抽一张,记事件A为“抽得K”,记事件B为“抽得红牌”,则事件A与B________(填是或不是)相互独立事件.?
【解析】1.选A.对同一目标射击,甲、乙两射击手是否击中目标是互不影响的,
所以事件A与B相互独立;对同一目标射击,甲、乙两射击手可能同时击中目标,
也就是说事件A与B可能同时发生,所以事件A与B不是互斥事件.
2.P(A)=
,P(B)=
.事件AB即为“既抽得K又抽得红牌”,亦即“抽
得红桃K或方块K”,故P(AB)=
,从而有P(A)P(B)=P(AB),因此事件A与B
相互独立.
答案:是
【解题策略】
判断两个事件是否相互独立的两种方法
(1)根据问题的实质,直观上看一事件的发生是否影响另一事件发生的概率来判断,若没有影响,则两个事件就是相互独立事件;
(2)定义法:通过式子P(AB)=P(A)P(B)来判断两个事件是否独立,若上式成立,则事件A,B相互独立,这是定量判断.
【补偿训练】
下列事件中,A,B是相互独立事件的是
(　　)
A.一枚硬币掷两次,A=“第一次为正面”,B=“第二次为反面”
B.袋中有2个白球,2个黑球,不放回地摸两球,A=“第一次摸到白球”,B=“第二次摸到白球”
C.掷一枚骰子,A=“出现点数为奇数”,B=“出现点数为偶数”
D.A=“一个节能灯泡能用1
000小时”,B=“一个节能灯泡能用2
000小时”
【解析】选A.把一枚硬币掷两次,对于每次而言是相互独立的,其结果不受先后次序的影响,故A中A,B事件是相互独立事件;B中是不放回地摸球,显然A事件与B事件不相互独立;对于C,A,B事件应为互斥事件,不相互独立;D中事件B受事件A的影响.
类型二　相互独立事件的简单应用(数学抽象、逻辑推理)
角度1　相互独立事件的性质?
【典例】设A与B是相互独立事件,则下列命题中正确的是　
(　　)　　　　　　　　　　　　　
A.A与B是对立事件
B.A与B是互斥事件
C.A与
是不相互独立事件
D.A与
是相互独立事件
【思路导引】依据互斥事件、对立事件、相互独立事件的概念与性质辨析.
【解析】选D.独立事件与对立事件、互斥事件没有绝对关系,故A和B错误.若A
和B是相互独立事件,则A与
是相互独立事件.
角度2　求相互独立事件同时发生的概率?
【典例】甲、乙2个人独立地破译一个密码,他们能译出密码的概率分别为
和
,求:
(1)2个人都译出密码的概率.
(2)2个人都译不出密码的概率.
(3)至多1个人译出密码的概率.
【思路导引】利用相互独立事件同时发生的概率公式求解.
【解析】记“甲独立地译出密码”为事件A,“乙独立地译出密码”为事件B,A
与B为相互独立事件,
且P(A)=
,P(B)=
.
(1)“2个人都译出密码”的概率为
P(AB)=P(A)P(B)=
×
=
.
(2)“2个人都译不出密码”的概率为
P(
)=P(
)P(
)=[1-P(A)]×[1-P(B)]=
(3)“至多1个人译出密码”的对立事件为“2个人都译出密码”,所以至多1个
人译出密码的概率为
1-P(AB)=1-P(A)P(B)=
【变式探究】
若本例条件不变,求:
(1)恰有1个人译出密码的概率.
(2)至少1个人译出密码的概率.
【解析】(1)“恰有1个人译出密码”可以分为两类,即甲译出乙未译出以及甲
未译出乙译出,且两个事件为互斥事件,
所以恰有1个人译出密码的概率为
P(A
+
B)=P(A
)+P(
B)
=P(A)P(
)+P(
)P(B)=
(2)“至少1个人译出密码”的对立事件为“2个人都未译出密码”,所以至少1
个人译出密码的概率为
1-P(
)=1-P(
)P(
)=
【解题策略】
相互独立事件概率求解的关注点
(1)应用相互独立事件同时发生的概率的乘法公式求概率的解题步骤:①确定各
事件是相互独立的;②确定各事件会同时发生;③先求每个事件发生的概率,再
求其积.
(2)解决这类问题的关键是将事件看作若干事件相互独立的情形,还要注意互斥
事件的拆分,以及对立事件概率的求法,即三个公式的联
用:P(A∪B)=P(A)+P(B)(A,B互斥),P(A)=1-P(
),P(AB)=P(A)P(B)(A,B相互独
立).
【题组训练】
1.已知A,B是相互独立事件,且P(A)=
,P(B)=
,则
P(A
)=________;P(
)=________.?
【解析】因为P(A)=
,P(B)=
.
所以
又A,B是相互独立事件,
所以A与
,
与
也是相互独立事件,
所以P(A
)=P(A)P(
)=
P(
)=P(
)P(
)=
答案:
　
2.掷三枚骰子,试求:
(1)没有一枚骰子出现1点或6点的概率.
(2)恰好有一枚骰子出现1点或6点的概率.
【解析】记“第一、二、三枚骰子出现1点或6点”分别为事件A,B,C,则A,B,C
是相互独立事件,且P(A)=P(B)=P(C)=
.
(1)没有一枚骰子出现1点或6点,也就是事件A,B,C全不发生,即事件
,
所以所求概率为
(2)恰好有一枚骰子出现1点或6点,即A,B,C恰有一个发生,用符号表示为事件
所求概率为P(
)
=P(
)+P(
)+P(
)=P(A)P(
)P(
)+P(
)P(B)P(
)+
P(
)P(
)P(C)=
【补偿训练】
设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5,购买乙种商品的概率为0.6,且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立,各顾客之间购买商品也是相互独立的.求:
(1)进入商场的1位顾客,甲、乙两种商品都购买的概率.
(2)进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率.
【解析】记A表示事件“进入商场的1位顾客购买甲种商品”,则P(A)=0.5;
记B表示事件“进入商场的1位顾客购买乙种商品”,则P(B)=0.6;
记C表示事件“进入商场的1位顾客,甲、乙两种商品都购买”;记D表示事件
“进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种”.
(1)易知C=AB,则P(C)=P(AB)=P(A)P(B)=0.5×0.6=0.3.
(2)易知D=(A
)∪(
B),则P(D)=P(A
)+P(
B)
=P(A)P(
)+P(
)P(B)=0.5×0.4+0.5×0.6=0.5.
类型三　相互独立事件的综合应用(数学建模、逻辑推理)
【典例】已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为0.2.
(1)假定有5门这种高炮控制某个区域,求敌机进入这个区域后未被击中的概率.
(2)要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中,需至少布置几门高炮?(lg
2≈0.301)
【思路导引】(1)5门高炮均未击中敌机的概率.
(2)“被击中”即“未被击中”的反面,结合(1)可求解.
【解析】(1)设敌机被第k门高炮击中的事件为Ak(k=1,2,3,4,5),那么5门高炮都
未击中敌机的事件为
因为事件A1,A2,A3,A4,A5相互独立,
所以敌机未被击中的概率为
P(
)=P(
)P(
)P(
)P(
)P(
)
=(1-0.2)5=
所以敌机未被击中的概率为
(2)至少需要布置n门高炮才能有0.9以上的概率击中敌机,由(1)可得敌机被击
中的概率为1-
,
所以令1-
≥0.9,所以
两边取常用对数,得n≥
≈10.3.
因为n∈N+,所以n=11.
所以至少需要布置11门高炮才能有0.9以上的概率击中敌机.
【解题策略】
概率问题中的数学思想
(1)正难则反:灵活应用对立事件的概率关系(P(A)+P(
)=1)
简化问题,是求解概率问题最常用的方法.
(2)化繁为简:将复杂事件的概率转化为简单事件的概率,即寻找所求事件与已
知事件之间的关系.“所求事件”分几类(考虑加法公式转化为互斥事件)还是
分几步组成(考虑乘法公式转化为相互独立事件).
(3)方程思想:利用有关的概率公式和问题中的数量关系,建立方程(组),通过解
方程(组)使问题获解.
【跟踪训练】
三个元件T1,T2,T3正常工作的概率分别为
将它们中的某两个元件并联后
再和第三个元件串联接入电路,如图所示,求电路不发生故障的概率.
【解析】记“三个元件T1,T2,T3正常工作”分别为事件A1,A2,A3,则
P(A1)=
,P(A2)=
,P(A3)=
.
不发生故障的事件为(A2∪A3)A1,
所以不发生故障的概率为P=P[(A2∪A3)A1]=P(A2∪A3)P(A1)=
[1-P(
)P(
)]P(A1)=
核心知识
易错提醒
核心素养
方法总结
数学运算：利用相互独立事件的概率公式计算概率
数学抽象：体现在相互独立事件的判断
区分互斥事件与相互独立事件的关键是看两个事件能否同时发生
公式：P(AB)=P(A)P(B)
事件的相互独立性
相互独立事件的性质
课堂检测·素养达标
1.某人提出一个问题,甲先答,答对的概率为0.4,如果甲答错,
由乙答,答对的概率为0.5,则问题由乙答对的概率为
(　　)
A.0.2
B.0.8
C.0.4
D.0.3
【解析】选D.由相互独立事件同时发生的概率可知,问题由乙答对的概率为P=0.6×0.5=0.3.
2.(教材二次开发:练习改编)种植两株不同的花卉,若它们的成活率分别为p和q,则恰有一株花卉成活的概率为
(　　)
A.pq
B.p+q
C.p+q-pq
D.p+q-2pq
【解析】选D.恰有一株花卉成活的概率为p(1-q)+(1-p)q=p+q-2pq.
3.某天上午,李明要参加“青年文明号”活动.为了准时起床,他用甲、乙两个闹钟叫醒自己.假设甲闹钟准时响的概率是0.80,乙闹钟准时响的概率是0.90,则两个闹钟至少有一个准时响的概率是________.?
【解析】至少有一个准时响的概率为1-(1-0.90)×(1-0.80)=
1-0.10
×0.20=0.98.
答案:0.98
4.加工某零件需经过三道工序,每道工序均为正品时该零件才为正品.设第一、
二、三道工序的次品率分别为
且各道工序互不影响,则加工出来的
零件的正品率为________.?
【解析】加工出来的零件的正品率为
答案: