(共47张PPT)
10.1.3 古
典
概
型
必备知识·自主学习
1.概率
对随机事件发生___________的度量(数值)称为事件的概率,事件A的概率用
_____表示.
可能性大小
P(A)
2.古典概型
(1)古典概型的特征及概率公式
古典概型
具有以下特征的试验称为古典概型试验,其数学模型称
为古典概率模型,简称古典概型.
特征
①样本空间的样本点只有_______;
②每个样本点发生的可能性_____.
有限个
相等
概率公式
若试验E是古典概型,样本空间Ω包含n个样本点,事件A
包含其中的k个样本点,则事件A的概率:
P(A)=__=_______.
其中,n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数.
(2)本质:事件包含的样本点在样本空间中包含的样本点中所占的比例大小.
(3)应用:计算随机事件的概率.
【思考】
(1)若一次试验样本空间的样本点的个数是有限个,则该试验是古典概型吗?
提示:不一定,还要看每个样本点发生的可能性是否相同,若相同才是,否则不是.
(2)“在区间[2,8]上任取一个数,这个数恰为大于3的概率是多少?”这个概率模型属于古典概型吗?
提示:不是,因为在区间[2,8]上任取一个数,其试验结果有无限个,故其样本点有无限个,所以不是古典概型.
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)从装有三个大球、一个小球的袋中,取出一球的试验是古典概型.
( )
(2)一个古典概型的基本事件数为n,则每一个基本事件出现的概率都是
.
( )
(3)古典概型中的任何两个样本点都是互斥的.
( )
提示:(1)×.取出一球,是大球还是小球的可能性不一样.
(2)√.由古典概型的概率公式可得.
(3)√.古典概型中任何两个样本点都不能同时发生,所以是互斥的.
2.(教材二次开发:例题改编)若书架上放有数学、物理、化学书分别是5本、
3本、2本,则随机抽出一本是物理书的概率为( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.基本事件总数为10,“抽出一本是物理书”包含3个基本事件,
所以其概率为
.
3.从甲、乙、丙三人中任选两人担任课代表,甲被选中的概率为 .?
【解析】从甲、乙、丙三人中任选两人有:(甲、乙)、(甲、丙)、(乙、丙)共
3种情况,其中,甲被选中的情况有2种,故甲被选中的概率为P=
.
答案:
关键能力·合作学习
类型一 古典概型的判断(数学抽象)
【题组训练】
1.下列是古典概型的是( )
A.任意抛掷两枚骰子,所得点数之和作为样本点
B.求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率,将取出的正整数作为样本点
C.从甲地到乙地共n条路线,求某人正好选中最短路线的概率
D.抛掷一枚均匀硬币首次出现正面为止
2.袋中有大小相同的3个白球,2个红球,2个黄球,每个球有一个区别于其他球的编号,从中随机摸出一个球.
(1)把每个球的编号看作一个样本点建立的概率模型是不是古典概型?
(2)把球的颜色作为划分样本点的依据,有多少个样本点?以这些样本点建立的概率模型是不是古典概型?
【解析】1.选C.A项中由于点数的和出现的可能性不相等,故A不是;B项中的基本事件是无限的,故B不是;C项满足古典概型的有限性和等可能性,故C是;D项中基本事件既不是有限个也不具有等可能性,故D不是.
2.(1)因为样本点个数有限,而且每个样本点被摸出的可能性相同,所以是古典概型.
(2)把球的颜色作为划分样本点的依据,可得到“取得一个白色球”“取得一个红色球”“取得一个黄色球”,共3个样本点.这些样本点个数有限,但“取得一个白色球”的概率与“取得一个红色球”或“取得一个黄色球”的概率不相等,即不满足等可能性,故不是古典概型.
【解题策略】
判定古典概型的方法
关键是抓住古典概型的两个特征——有限性和等可能性,二者缺一不可.
【补偿训练】
1.向一个圆面内随机地投一个点,如果该点落在圆内任意一点都是等可能的,你认为这是古典概型吗?为什么?
2.如图所示,射击运动员向一靶心进行射击,这一试验的结果只有有限个:命中10环,命中9环,…,命中1环和命中0环(即不命中).你认为这是古典概型吗?为什么?
【解析】1.试验的所有可能结果是圆面内的所有点.试验的所有可能结果数是无限的.因此,尽管每一个试验结果出现的可能性相同,这个试验不是古典概型.
2.试验的所有可能结果只有11个,但是命中10环,命中9环,…,命中1环和命中0环(即不命中)的出现不是等可能的,这个试验不是古典概型.
类型二 样本点的列举(数学抽象)
【题组训练】
1.4张卡片上分别写有数字1,2,3,4,从这4张卡片中随机抽取2张,则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的所有样本点数为( )
A.2
B.3
C.4
D.6
2.口袋中有2个白球和2个黑球,这4个球除颜色外完全相同,4个人按顺序依次从中摸出一球,求样本点的总数.
【解析】1.选C.用列举法列举出“数字之和为奇数”的可能结果为(1,2),(1,4),(2,3),(3,4),共4种可能.
2.把2个白球和2个黑球分别编号为1,2,3,4,所有可能结果如树状图所示,共24个样本点.
【解题策略】
样本点常用的三种列举方法
(1)直接列举法:适合于较为简单的试验问题.
(2)列表法:将样本点用表格的方式表示出来,通过表格可以弄清样本点的总数,以及要求的事件所包含的样本点数.列表法适用于较简单的试验题目.
(3)树状图法:使用树状的图形把样本点列举出来的一种方法,树状图法便于分析样本点间的结构关系,对于较复杂的问题,可以作为一种分析问题的主要手段,树状图法适用于较复杂的试验题目.
【补偿训练】
一只口袋内装有5个大小相同的球,白球3个,黑球2个,从中一次摸出2个球.
(1)共有多少个样本点?
(2)“2个都是白球”包含几个样本点?
【解析】(1)方法一:采用列举法.
分别记白球为1,2,3号,黑球为4,5号,则样本点如下:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)共10个(其中(1,2)表示摸到1号,2号球).
方法二:采用列表法.
设5个球的编号分别为a,b,c,d,e,其中a,b,c为白球,d,e为黑球.列表如下:
a
b
c
d
e
a
(a,b)
(a,c)
(a,d)
(a,e)
b
(b,a)
(b,c)
(b,d)
(b,e)
c
(c,a)
(c,b)
(c,d)
(c,e)
d
(d,a)
(d,b)
(d,c)
(d,e)
e
(e,a)
(e,b)
(e,c)
(e,d)
由于每次取2个球,每次所取2个球不相同,而摸到(b,a)与(a,b)是相同的事件,故共有10个样本点.
(2)方法一中“2个都是白球”包括(1,2),(1,3),(2,3),共3个样本点,方法二中“2个都是白球”包括(a,b),(b,c),(a,c),共3个样本点.
类型三 古典概型的概率计算(数学建模、数学运算)
角度1 简单的古典概型问题?
【典例】2020新高考数学试题增加了多项选择题,要求为:“在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.”已知某多项选择题的正确答案是AC.
(1)小明同学不会做该题,按要求随机填写了一个答案,求他得5分的概率.
(2)小华同学也不会做该题,他只想得3分,就按单项选择题处理,随机填写了一个答案,求他得3分的概率.
【思路导引】先写出该事件的样本空间并计算样本点总数,再计算所求概率的事件所包含的样本点数,利用古典概型概率公式求解.
【解析】(1)该事件的样本空间Ω={(AB),(AC),(AD),(BC),(BD),(CD),(ABC),(ABD),(ACD),(BCD),(ABCD)},共11个样本点,每个样本点的发生是等可能的,故可以用古典概型计算概率.
用F表示“小明同学得5分”,则F={(AC)},含有1个样本点,所以P(F)=
.
(2)该事件的样本空间Ω={(A),(B),(C),(D)},共4个样本点,每个样本点的发生是等可能的,故可以用古典概型计算概率.
用E表示“小华同学得3分”,则E={(A),(C)},含有2个样本点,所以
P(E)=
=
.
【变式探究】
本例中,如果该题的正确答案是ABD,其他条件不变,分别求小明和小华得分的概率.
【解析】(1)该事件的样本空间Ω={(AB),(AC),(AD),(BC),(BD),(CD),(ABC),(ABD),(ACD),(BCD),(ABCD)},
共11个样本点,每个样本点的发生是等可能的,故可以用古典概型计算概率.
用M表示“小明同学得5分”,则M={(ABD)},含有1个样本点,所以P(M)=
.
(2)该事件的样本空间Ω={(A),(B),(C),(D)},共4个样本点,每个样本点的
发生是等可能的,故可以用古典概型计算概率.
用N表示“小华同学得3分”,则N={(A),(B),(D)},含有3个样本点,所以
P(N)=
.
角度2 “不放回抽取”与“放回抽取”问题?
【典例】一个袋中装有四个形状、大小完全相同的球,球的编号分别为1,2,3,4.
(1)从袋中随机取两个球,求取出的球的编号之和不大于4的概率;
(2)先从袋中随机取一个球,该球的编号为m,将球放回袋中,然后再从袋中随机取一个球,该球的编号为n,求n
【思路导引】要区分两种取球方法的不同点.
【解析】(1)从袋中随机取两个球,其一切可能的结果组成的基本事件有:1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4,共6个.从袋中取出的两个球的编号之和不大于4的事件有:1和2,1和3,共2个,因此所求事件的概率为P=
=
.
(2)先从袋中随机取一个球,记下编号为m,放回后,再从袋中随机取一个球,记下编号为n,其一切可能的结果(m,n)有:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),
(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共16个.
又满足条件n(4,3),(4,4),共13个.
所以,满足条件n.
【解题策略】
1.求古典概型概率的步骤
(1)判断是否为古典概型.
(2)算出样本点的总数n.
(3)算出事件A中包含的样本点个数m.
(4)算出事件A的概率,即P(A)=
.
2.解决放回与不放回问题应注意两点
(1)关于不放回抽样,计算基本事件个数时,可以看作是有顺序的,元素是不能重复的.
(2)关于有放回抽样,计算基本事件个数时,可以看作是有顺序的,元素可以重复.
【题组训练】
1.(2020·全国Ⅰ卷)设O为正方形ABCD的中心,在O,A,B,C,D中任取3点,则取到
的3点共线的概率为( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.如图,从O,A,B,C,D
5个点中任取3个点有
{O,A,B},{O,A,C},{O,A,D},{O,B,C},
{O,B,D},{O,C,D},{A,B,C},{A,B,D},
{A,C,D},{B,C,D}共10种不同取法,
3点共线只有{O,A,C}与{O,B,D}共2种情况,
由古典概型的概率计算公式知,
取到3点共线的概率为
=
.
2.从含有两件正品a1,a2和一件次品b的三件产品中,每次任取一件.
(1)若每次取后不放回,连续取两次,求取出的两件产品中恰有一件次品的概率.
(2)若每次取后放回,连续取两次,求取出的两件产品中恰有一件次品的概率.
【解析】(1)每次取出一个,取后不放回地连续取两次,其一切可能的结果组成
的基本事件有6个,即(a1,a2),(a1,b),(a2,a1),(a2,b),(b,a1),(b,a2).其中小
括号内左边的字母表示第1次取出的产品,右边的字母表示第2次取出的产品.
总的事件个数为6,而且可以认为这些基本事件是等可能的.
用A表示“取出的两件中恰有一件次品”这一事件,
所以A={(a1,b),(a2,b),(b,a1),(b,a2)}.
因为事件A由4个基本事件组成,
所以P(A)=
=
.
(2)有放回地连续取出两次,其所有可能的结果为(a1,a1),(a1,a2),(a1,b),(a2,a1),(a2,a2),(a2,b),(b,a1),(b,a2),(b,b),共9个
基本事件组成.由于每一件产品被取到的机会均等,因此可以认为这些基本事件
的出现是等可能的.用B表示“恰有一件次品”这一事件,则B={(a1,b),(a2,b),(b,a1),(b,a2)}.事件B由4个基本事件组成,因而P(B)=
.
【补偿训练】
现有8名奥运会志愿者,其中志愿者A1,A2,A3通晓日语,B1,B2,B3通晓俄语,C1,C2通晓韩语,从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名,组成一个小组.
(1)求A1被选中的概率.
(2)求B1和C1不全被选中的概率.
【解析】(1)从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名,这个试验的样本空间Ω={(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A1,B3,C1),(A1,B3,C2),
(A2,B1,C1),(A2,B1,C2),(A2,B2,C1),(A2,B2,C2),(A2,B3,C1),(A2,B3,C2),
(A3,B1,C1),(A3,B1,C2),(A3,B2,C1),(A3,B2,C2),(A3,B3,C1),(A3,B3,C2)},共18个
样本点.由于每一个样本点被抽取的机会均等,因此这些样本点的发生是等可能
的.
用M表示“A1被选中”这一事件,则M={(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A1,B3,C1),(A1,B3,C2)},共6个
样本点,因此P(M)=
=
.
(2)用N表示“B1和C1不全被选中”这一事件,则其对立事件
表示“B1,C1
全被选中”这一事件,由于
={(A1,B1,C1),(A2,B1,C1),(A3,B1,C1)},共有3个
样本点,而N∪
=Ω,且N∩
=?,故事件N包含的样本点个数为18-3=15,
所以P(N)=
=
.
核心知识
概率
古典概型
特点
公式
方法总结
求样本空间的方法：
（1）较简单的问题可用列举法；
（2）较复杂的问题可用坐标系、表格或树状图
易错提醒
1首先判断概率模型是否是古典概型
2.求样本点空间时注意是否有顺序要求
核心素养
数学运算：体现在求概率的过程
古典概型
课堂检测·素养达标
1.某校团委要组建诗歌、绘画、演讲三个协会,某位学生只报了其中的2个,则样本点共有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【解析】选C.这个同学选报的协会可能为(诗歌、绘画),(诗歌、演讲),(绘画、演讲).
2.甲、乙、丙三名同学站成一排,甲站在中间的概率是( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.基本事件有:甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲共六个,甲站在中间的事件包括乙甲丙、丙甲乙共2个,所以甲站在中间的概率:P=
=
.
3.甲、乙两人有三个不同的学习小组A,B,C可以参加,若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组(两人参加各个小组的可能性相同),则两人参加同一个学习小组的概率为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.甲乙两人参加学习小组,若以(A,B)表示甲参加学习小组A,乙参加学习小组B,则一共有如下情形:
(A,A),(A,B),(A,C),(B,A),(B,B),(B,C),(C,A),(C,B),(C,C),共有9种情形,
其中两人参加同一个学习小组共有3种情形,根据古典概型概率公式,得P=
.
4.(教材二次开发:练习改编)在1,2,3,4四个数中,可重复地选取两个数,其中
一个数是另一个数的2倍的概率是 .?
【解析】可重复地选取两个数共有16种可能,其中一个数是另一个数的2倍的
有1,2;2,1;2,4;4,2共4种,故所求的概率为
=
.
答案:
5.抛掷一枚骰子的试验中,下列是样本点的是 .(填序号)?
①向上的点数是奇数;②向上的点数是3或4;
③向上的点数是4;④向上的点数大于5.
【解析】向上的点数是奇数包含三个样本点:向上的点数是1,向上的点数是3,向上的点数是5,①不是;同理②不是,③是.向上的点数大于5,即向上的点数是6,④是样本点.
答案:③④(共48张PPT)
10.1.4 概率的基本性质
必备知识·自主学习
概率的基本性质
(1)基本性质
性质
内容
1
对任意的事件A,都有P(A)___0.
2
必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即________,
_______.
3
如果事件A与事件B互斥,那么P(A∪B)=__________.
推广 如果事件A1,A2,…,Am两两互斥,那么事件A1∪A2∪…∪Am
发生的概率等于这m个事件分别发生的概率之和,即P(A1∪A2∪…∪Am)=____________________.
≥
P(A)+P(B)
P(A1)+P(A2)+…+P(Am)
P(Ω)=1
P(?)=0
性质
内容
4
如果事件A与事件B互为对立事件,那么P(B)=_______,
P(A)=_______.
5
如果A?B,那么P(A)≤P(B),易得__≤P(A)≤__.
6
设A,B是一个随机试验中的两个事件,我们有P(A∪B)=__________________.
1-P(A)
1-P(B)
P(A)+P(B)-P(A∩B)
0
1
(2)本质:概率的范围,互斥事件的和事件,对立事件等概率的关系.
(3)应用:①求互斥事件和事件的概率;②求对立事件的概率;③求实际问题的
概率.
【思考】
(1)设事件A发生的概率为P(A),事件B发生的概率为P(B),那么事件A∪B发生的概率是P(A)+P(B)吗?
提示:不一定.当事件A与B互斥时,P(A∪B)=P(A)+P(B);当事件A与B不互斥时,P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).
(2)若P(A)+P(B)=1,则事件A和B不一定对立吗?
提示:不一定.例如:掷一枚均匀的骰子,记事件A为出现偶数点,事件B为出现1点或2点或3点,则P(A)+P(B)=
+
=1,显然事件A与事件B不互斥,也不对立.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)任意事件A发生的概率P(A)总满足0( )
(2)若事件A为随机事件,则0( )
(3)事件A与B的和事件的概率一定大于事件A的概率.
( )
(4)事件A与B互斥,则有P(A)=1-P(B).
( )
提示:(1)×.任意事件A发生的概率P(A)总满足0≤P(A)≤1.
(2)√.随机事件概率的范围为0(3)×.事件A与不可能事件的和事件的概率等于事件A的概率.
(4)×.如果事件A与事件B互为对立事件,那么P(A)=1-P(B).
2.(教材二次开发:例题改编)中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛,甲夺得冠军的概率为
,乙夺得冠军的概率为
,那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为 .?
【解析】由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”,但这两个事件不可能同时发生,即彼此互斥,所以可按互斥事件概率的加法公式进行计算,即中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为
+
=
.
答案:
3.某产品分为优质品、合格品、次品三个等级,生产中出现合格品的概率为0.25,出现次品的概率为0.03,在该产品中任抽一件,则抽到优质品的概率为 .?
【解析】由题意,在该产品中任抽一件,“抽到优质品”与“抽到合格品或次品”是对立事件,所以在该产品中任抽一件,则抽到优质品的概率为
P=1-0.25-0.03=0.72.
答案:0.72
关键能力·合作学习
类型一 互斥事件的概率(逻辑推理、数学运算)
【题组训练】
1.新冠肺炎疫情期间,某学校组织教师外出家访了解学生居家线上学习情况,一个月内派出的教师人数及其概率如表所示:
派出人数
≤2
3
4
5
≥6
概率
0.1
0.46
0.3
0.1
0.04
则有4人或5人外出家访与至少有3人外出家访的概率分别为( )
A.0.3,0.9
B.0.4,0.9
C.0.4,0.44
D.0.3,0.44
2.已知盒子中有散落的黑白棋子若干粒,已知从中取出2粒都是黑子的概率
是
,从中取出2粒都是白子的概率是
,现从中任意取出2粒恰好是同一色
的概率是 .?
3.在10张卡片上分别写上0,1,2,3,4,5,6,7,8,9后,任意叠放在一起,从中任取
一张,设“抽到大于3的奇数”为事件A,“抽到小于7的奇数”为事件B,则P(A∪B)= .?
【解析】1.选B.设派出2人及以下为事件A,3人为事件B,4人为事件C,5人为
事件D,6人及以上为事件E,则有4人或5人外出家访的事件为事件C或事件D,C,
D为互斥事件,根据互斥事件概率的加法公式可知,
P(C+D)=P(C)+P(D)=0.3+0.1=0.4.至少有3人外出家访的对立事件为2人及以下,所以P=1-P(A)=1-0.1=0.9.
2.从中取出2粒棋子,“都是黑棋子”记为事件A,“都是白棋子”记为事件B,则A,B为互斥事件.所求概率为P(A∪B)=P(A)+P(B)=
+
=
.
答案:
3.易知A,B不是互斥事件,所以不能直接套用互斥事件的概率加法公式.事件A+B包含了5个基本事件,即抽到1,3,5,7,9,则P(A∪B)=
=
.
答案:
【解题策略】
求互斥事件的概率的关注点
(1)将一个事件拆分为若干个互斥事件,分别求出各事件的概率,然后用加法公式计算结果.
(2)在运用互斥事件的概率加法公式解题时,首先要分清事件间是否互斥,同时要会把一个事件拆分成几个互斥事件,做到不重不漏.
(3)常用步骤:①确定诸事件彼此互斥;②诸事件中有一个发生;③先求诸事件分别发生的概率,再求和.
【补偿训练】
某地区的年降水量在下列范围内的概率如表所示:
则年降水量在[100,200)(mm)范围内的概率为 ,年降水量在[150,300)(mm)范围内的概率为 .?
年降水量
(单位:mm)
[100,
150)
[150,
200)
[200,
250)
[250,
300)
概率
0.12
0.25
0.16
0.14
【解析】记这个地区的年降水量在[100,150)(mm)、[150,200)(mm)、[200,250)(mm)、[250,300)(mm)范围内分别为事件A、B、C、D.
这四个事件是彼此互斥的,根据互斥事件的概率加法公式,有:
年降水量在[100,200)(mm)范围内的概率是
P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.12+0.25=0.37.
年降水量在[150,300)(mm)范围内的概率是
P(B∪C∪D)=P(B)+P(C)+P(D)
=0.25+0.16+0.14=0.55.
答案:0.37 0.55
类型二 对立事件的概率(逻辑推理、数学运算)
【典例】一名射手在某次射击训练中,射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21,0.23,0.25,0.28,计算这个射手在这次射击中:(1)射中10环或7环的概率;
(2)射中的环数低于7环的概率.
【思路导引】先设出事件,判断是否互斥或对立,然后再使用概率公式求解.
【解析】(1)设“射中10环”为事件A,“射中7环”为事件B,由于在这次射击中,事件A与事件B不可能同时发生,故事件A与事件B是互斥事件,“射中10环或7环”的事件为A∪B.
所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.21+0.28=0.49.
所以射中10环或7环的概率为0.49.
(2)“低于7环”从正面考虑有以下几种情况:射中6环,5环,4环,3环,2环,1环,
0环.但由于这些概率都未知,故不能直接求解.可考虑从反面入手.“低于7环”
的反面是“大于或等于7环”,即7环,8环,9环,10环,由于这两个事件必有一个
发生,故是对立事件,故可用对立事件的方法处理.设“低于7环”为事件E,则事
件
为“射中7环或8环或9环或10环”.由(1)知“射中7环”“射中8环”“射
中9环”“射中10环”彼此互斥.
故P(
)=0.21+0.23+0.25+0.28=0.97,
从而P(E)=1-P(
)=1-0.97=0.03.
所以射中的环数低于7环的概率为0.03.
【解题策略】
当直接求某一事件的概率较为复杂或根本无法求时,可先转化为求其对立事件的概率.
【跟踪训练】
玻璃球盒中装有各色球12只,其中5红、4黑、2白、1绿,从中任取1球,求:
(1)得到红球或黑球的概率.
(2)得到红球或黑球或白球的概率.
【解析】记事件A1:从12只球中任取1球得红球;
A2:从12只球中任取1球得黑球;
A3:从12只球中任取1球得白球;
A4:从12只球中任取1球得绿球,则:
P(A1)=
,P(A2)=
=
,
P(A3)=
=
,P(A4)=
.
(1)取出红球或黑球的概率为:P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)=
+
=
.
(2)A1+A2+A3的对立事件为A4.
P(A1+A2+A3)=1-P(A4)=1-
=
.
类型三 概率基本性质的综合应用(数学建模、逻辑推理)
角度1 与古典概型相关的综合问题?
【典例】从1,2,3,…,30这30个数中任意摸出一个数,则事件“摸出的数是偶数或能被5整除的数”的概率是( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.方法一:这30个数中“是偶数”的有15个,“能被5整除的数”
有6个,这两个事件不互斥,既是偶然又能被5整除的数有3个,所以事件“是
偶数或能被5整除的数”包含的样本点是18个,而样本点共有30个,所以所求
的概率为
=
.
方法二:设事件A“摸出的数为偶数”,事件B“摸出的数能被5整除”,则
P(A)=
,P(B)=
=
,P(A∩B)=
=
,所以
P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=
+
-
=
.
角度2 与统计图表相关的综合问题?
【典例】某学校的篮球队、羽毛球队、乒乓球队各有10名队员,某些队员不止参加了一支球队,具体情况如图所示,现从中随机抽取一名队员,求:
(1)该队员只属于一支球队的概率.
(2)该队员最多属于两支球队的概率.
【思路导引】先根据图形计算出球员的总人数与分别只属于某球队的人数,设出事件;再由互斥、对立事件的概率公式求解.
【解析】分别令“抽取一名队员只属于篮球队、羽毛球队、乒乓球队”为事件A,B,C.由图知3支球队共有球员20名.
则P(A)=
,P(B)=
,P(C)=
.
(1)令“抽取一名队员,该队员只属于一支球队”为事件D.
则D=A+B+C,因为事件A,B,C两两互斥,
所以P(D)=P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=
+
+
=
.
(2)令“抽取一名队员,该队员最多属于两支球队”为事件E,则
为“抽取一名队员,该队员属于3支球队”,所以P(E)=1-P(
)=1-
=
.
【变式探究】
本例条件不变,求若从中随机抽取一名队员,该队员属于两支球队的概率.
【解析】P=
+
+
=
.
【解题策略】
求复杂事件的概率常见的两种方法
(1)将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件;
(2)若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时,需要分类太多,而其对立面的分类较少,可考虑利用对立事件的概率公式,即“正难则反”,它常用来求“至少…”或“至多…”型事件的概率.
【题组训练】
1.已知P(A)=0.4,P(B)=0.2.
(1)如果B?A,则P(A∪B)= ,P(AB)= ;?
(2)如果A,B互斥,则P(A∪B)= ,P(AB)= .?
【解析】(1)因为B?A,所以P(A∪B)=P(A)=0.4,P(AB)=P(B)=0.2.
(2)如果A,B互斥,则P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.4+0.2=0.6.P(AB)=P(?)=0.
答案:(1)0.4 0.2 (2)0.6 0
2.在数学考试中,小明的成绩(取整数)不低于90分的概率是0.18,在80～89分(包括89分)的概率是0.51,在70～79分(包括79分)的概率是0.15,在60～69分(包括69分)的概率是0.09,在60分以下的概率是0.07,计算:
(1)小明在数学考试中成绩不低于70分的概率.
(2)小明数学考试及格(60分及以上)的概率.
【解析】小明的成绩不低于70分可以看作互斥事件“70～79分”“80～89分”“不低于90分”的并事件,小明数学考试及格可以看作互斥事件“60～69分”“70～79分”“80～89分”“不低于90分”的并事件,又可以看作“不及格(在60分以下)”这一事件的对立事件.
于是分别记小明的成绩“不低于90分”“80～89分”“70～79分”“60～69分”为事件B,C,D,E,这四个事件彼此互斥.
(1)小明的成绩不低于70分的概率是P(B∪C∪D)=P(B)+P(C)+P(D)=0.18+0.51+0.15=0.84.
(2)方法一:小明数学考试及格的概率是
P(B∪C∪D∪E)=P(B)+P(C)+P(D)+P(E)=0.18+0.51+0.15+0.09=0.93.
方法二:小明数学考试不及格的概率是0.07,所以小明数学考试及格的概率是
1-0.07=0.93.
【补偿训练】
从某学校高三年级共800名男生中随机抽取50名测量身高,被测学生身高全部介于155
cm和195
cm之间,将测量结果按如下方式分成八组:第一组[155,160),第二组[160,165),…,第八组[190,195],如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分,已知第六组比第七组多1人,第一组和第八组人数相同.
(1)求第六组、第七组的频率并补充完整频率分布直方图.
(2)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名,记他们的身高分别为x,y,求|x-y|≤5的概率.
【解析】(1)由频率分布直方图知,前五组的频率为(0.008+0.016+0.04+0.04+0.06)×5=0.82,
所以后三组的频率为1-0.82=0.18,
人数为0.18×50=9,
由频率分布直方图得第八组的频率为0.008×5=0.04,人数为0.04×50=2,设第六组人数为m,则第七组人数为m-1,又m+m-1+2=9,所以m=4,即第六组人数为4,第七组人数为3,频率分别为0.08,0.06,频率除以组距分别等于0.016,0.012,则完整的频率分布直方图如图所示:
(2)由(1)知身高在[180,185)内的男生有四名,设为a,b,c,d,身高在[190,195]内的男生有两名,设为A,B.若x,y∈[180,185),有ab,ac,ad,bc,bd,cd共6种情况;
若x,y∈[190,195],只有AB这1种情况;
若x,y分别在[180,185),[190,195]内,有aA,bA,cA,dA,aB,bB,cB,dB共8种情况,
所以基本事件的总数为6+8+1=15,
事件|x-y|≤5包含的基本事件的个数为6+1=7,
故所求概率为
.
核心知识
1.非负性：P(A)≥0
2.特殊事
件的概率
3.互斥事件的概率：
P(A∪B)=P(A)+P(B)
P(Ω)=1
P(φ)=0
方法总结
求较复杂事件的概率：
（1）将所求事件转化为彼此互斥事件的并事件；
（2）先求对立事件的概率，再求符合条件的事件的概率.
易错提醒
利用加法公式求事件的概率时，首先要判断是否为互斥事件.
核心素养
数学运算：利用概率的基本性质求概率
概率的基本性质
4.对立事件的概率：
P(A)=1-P(B)，
P(B)=1-P(A)
5.包含事件的概率：
若A?B，则P(A)≤P(B)
6.随机事件的概率：
P(A∪B)=P(A)+P(B)
-P(A∩B)
课堂检测·素养达标
1.若A与B为互斥事件,则
( )
A.P(A)+P(B)<1
B.P(A)+P(B)>1
C.P(A)+P(B)=1
D.P(A)+P(B)≤1
【解析】选D.若A与B为互斥事件,则P(A)+P(B)≤1.故选D.
2.某射手在一次射击中,射中10环,9环,8环的概率分别是0.20,0.30,0.10.则此射手在一次射击中射中大于8环的概率为
( )
A.0.40
B.0.50
C.0.60
D.0.90
【解析】选B.依题意,射中大于8环的概率为0.20+0.30=0.50.
3.(教材二次开发:练习改编)口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球,从中摸出1个球,摸出红球的概率是0.42,摸出白球的概率是0.28,那么摸出黑球的概率是( )
A.0.42
B.0.28
C.0.3
D.0.7
【解析】选C.摸出红球、白球、黑球是互斥事件,所以摸出黑球的概率是
1-0.42-0.28=0.3.
4.抛掷一骰子,观察出现的点数,设事件A为“出现1点”,事件B为“出现2点”,
已知P(A)=P(B)=
,则出现1点或出现2点的概率为 .?
【解析】设事件C为“出现1点或出现2点”,因为事件A,B是互斥事件,由
C=A∪B可得P(C)=P(A)+P(B)=
+
=
.
答案:
5.同时掷两枚骰子,没有5点或6点的概率为
,则至少有一个5点或6点的
概率是 .?
【解析】记没有5点或6点的事件为A,则P(A)=
,至少有一个5点或6点的
事件为B.因为A∩B=?,A∪B为必然事件,所以A与B是对立事件,
则P(B)=1-P(A)=1-
=
.
故至少有一个5点或6点的概率为
.
答案:(共35张PPT)
10.1.2 事件的关系和运算
必备知识·自主学习
定义
表示
事
件
关
系
和
运
算
包含
关系
若事件A发生,则事件B一定发生,
称_______________(或__________
________).
_____(或_____)
相等
关系
若事件B包含事件A,事件A也包含事件B,称事件A与事件B相等.
____
事件的关系和运算
(1)定义及表示方法
事件B包含事件A
事件A包含
于事件B
B?A
A?B
A=B
定义
表示
事
件
关
系
和
运
算
并(和)
事件
一般地,事件A与事件B___________发生,
这样的一个事件中的样本点或者在事件
A中,_____在事件B中,我们称这个事件为
事件A与事件B的并事件(或和事件)
_____(或____)
交(积)
事件
一般地,事件A与事件B同时发生,这样的
一个事件中的样本点既在事件A中,也在
事件B中,我们称这样的一个事件为事件
A与事件B的交事件(或积事件)
_____(或___)
至少有一个
或者
A∪B
A+B
A∩B
AB
定义
表示
事
件
关
系
和
运
算
互斥
一般地,如果事件A与事件B
_____________,也就是说A∩B是一个____________________,则称事件A与事件B互斥(或互不相容)
若_______,则A与B互斥
互为
对立
一般地,如果事件A与事件B
在任何一次试验中有且仅有
一个发生,即A∪B=Ω,且A∩B=?,那么称_____________
_________.事件A的对立事件
记为____
若________,且_______,则A与B
对立
不能同时发生
不可能事件,即A∩B=?
A∩B=?
事件A与事件B
互为对立
A∪B=Ω
A∩B=?
(2)本质:必然事件对应全集,随机事件对应子集,从而事件具有包含关系和相等关系,具有交和并的运算,当两个事件的交或并满足特殊条件时,就有了事件互斥和对立的概念.
(3)应用:①判定两个事件的关系;②进行事件的运算.
【思考】
(1)一枚骰子掷一次,记事件A={出现的点数为2},事件C={出现的点数为偶数},事件D={出现的点数小于3},则事件A,C,D有什么关系?
提示:A=C∩D,(A∩C)?D等.
(2)互斥事件与对立事件有何联系?
提示:对立事件是互斥事件的特例,对立事件一定是互斥事件,但互斥事件不一定是对立事件.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)若A=B,则A,B同时发生或A,B同时不发生.
( )
(2)两个事件的和指两个事件至少有一个发生.
( )
(3)如果B?A且A?B,则A=B.
( )
提示:(1)√ (2)√ (3)√
2.抛掷一枚骰子,“向上的点数是1或2”为事件A,“向上的点数是2或3”为事件B,则
( )
A.A?B
B.A=B
C.A∪B表示向上的点数是1或2或3
D.A∩B表示向上的点数是1或2或3
【解析】选C.设A={1,2},B={2,3},A∩B={2},A∪B={1,2,3},所以A∪B表示向上的点数为1或2或3.
3.(教材二次开发:例题改编)掷一枚硬币,观察落地的结果,A={正面朝上},
B={反面朝上},则( )
A.A?B
B.A?B
C.A=B
D.A,B互斥
【解析】选D.事件A,B不能同时发生,是互斥事件.
关键能力·合作学习
类型一 事件关系的判断(数学抽象)
【典例】对一箱产品进行随机抽查检验,如果查出2个次品就停止检查,最多检查3个产品.
写出该试验的样本空间Ω,并用样本点表示事件:A={至少有2个正品},B={至少1个产品是正品};并判断事件A与事件B的关系.
【思路导引】根据题意,写出事件所包含的基本事件,再判断它们的关系.
【解析】依题意,检查是有序地逐个进行,至少检查2个,最多检查3个产品.如果用“0”表示查出次品,用“1”表示查出正品,那么样本点至少是一个二位数,至多是一个三位数的有序数列.样本空间Ω={00,010,011,100,101,110,111}.
A={011,101,110,111}.
B={010,011,100,101,110,111},所以A?B.
【解题策略】
包含关系、相等关系的判定
(1)事件的包含关系与集合的包含关系相似.
(2)两事件相等的实质为相同事件,即同时发生或同时不发生.
【跟踪训练】
同时掷两枚硬币,向上面都是正面为事件A,向上面至少有一枚是正面为事件B,则有( )
A.A?B
B.A?B
C.A=B
D.A与B之间没有关系
【解析】选A.由事件的包含关系知A?B.
【补偿训练】
做试验“从1,2,3这3个数字中,不放回地取两次,每次取一个数字,构成有序数对(x,y),x为第1次取到的数字,y为第2次取到的数字”.记A=“第1次取出的数字是2”,B=“第2次取出的数字是3或1”,则事件A与B的关系为 .?
【解析】这个试验的样本空间Ω={(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)}.则A={(2,1),(2,3)},B={(1,3),(2,1),(2,3),(3,1)},所以A?B.
答案:A?B
类型二 事件的运算(逻辑推理、数学运算)
【典例】盒子里有6个红球,4个白球,现从中任取3个球,设事件A={3个球中有1个红球2个白球},事件B={3个球中有2个红球1个白球},事件C={3个球中至少有1个红球},事件D={3个球中既有红球又有白球}.
求:(1)事件D与A,B是什么样的运算关系?
(2)事件C与A的交事件是什么事件?
【思路导引】弄清每个事件所包含的样本点,再根据并事件与交事件的概念判断.
【解析】(1)对于事件D,可能的结果为1个红球,2个白球或2个红球,1个白球,故D=A∪B.
(2)对于事件C,可能的结果为1个红球,2个白球或2个红球,1个白球或3个均为红球,故C∩A=A.
【解题策略】
事件间运算的方法
(1)利用事件间运算的定义.列出同一条件下的试验所有可能出现的结果,分析并利用这些结果进行事件间的运算.
(2)利用Venn图.借助集合间运算的思想,分析同一条件下的试验所有可能出现的结果,把这些结果在图中列出,进行运算.
【变式探究】
在本例中,设事件E={3个红球},事件F={3个球中至少有一个白球},那么事件C与A,B,E是什么运算关系?C与F的交事件是什么?
【解析】由事件C包括的可能结果有1个红球2个白球,2个红球1个白球,3个红球三种情况,故A?C,B?C,E?C,所以C=A∪B∪E,而事件F包括的可能结果有1个白球2个红球,2个白球1个红球,3个白球,所以C∩F={1个红球2个白球,2个红球1个白球}=D.
类型三 互斥事件与对立事件(数学建模、逻辑推理)
角度1 互斥事件与对立事件的概念?
【典例】给出以下结论:①若A∩B为不可能事件,则称事件A与事件B互斥.②若A∩B为不可能事件,A∪B为必然事件,那么称事件A与事件B互为对立事件.③互斥事件一定对立.④对立事件一定互斥.⑤互斥事件不一定对立.其中正确结论的个数为( )
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
【思路导引】利用互斥事件与对立事件的定义解答.
【解析】选C.根据互斥事件与对立事件的定义知,①②正确;由互斥事件与对立事件的关系知,对立必互斥,互斥不一定对立,所以④⑤正确,③错.
角度2 互斥事件与对立事件的判断?
【典例】某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅,记事件A为“只订甲报”,事件B为“至少订一种报纸”,事件C为“至多订一种报纸”,事件D为“不订甲报”,事件E为“一种报纸也不订”.判断下列每组事件是不是互斥事件;如果是,再判断它们是不是对立事件:
(1)A与C;
(2)B与E;
(3)B与D;
(4)B与C;
(5)C与E.
【思路导引】
【解析】(1)由于事件C“至多订一种报纸”中包括“只订甲报”,即事件A与事件C有可能同时发生,故A与C不是互斥事件.
(2)事件B“至少订一种报纸”与事件E“一种报纸也不订”是不可能同时发生的,故B与E是互斥事件;由于事件B与事件E必有一个发生,故B与E是对立事件.
(3)事件B“至少订一种报纸”中包括“只订乙报”,即有可能“不订甲报”,也就是说事件B和事件D有可能同时发生,故B与D不是互斥事件.
(4)事件B“至少订一种报纸”中的可能情况为“只订甲报”“只订乙报”“订甲、乙两种报”.事件C“至多订一种报纸”中的可能情况为“一种报纸也不订”“只订甲报”“只订乙报”.也就是说事件B与事件C可能同时发生,故B与C不是互斥事件.
(5)由(4)的分析,事件E“一种报纸也不订”是事件C中的一种可能情况,所以事件C与事件E可能同时发生,故C与E不是互斥事件.
【变式探究】
本例中事件C与D是互斥事件吗?为什么?
【解析】事件C“至多订一种报纸”中的可能情况为“一种报纸也不订”“只订甲报”“只订乙报”,事件D为“不订甲报”,即“只订乙报”或者“一种报纸也不订”,故C与D可能同时发生,不是互斥事件.
【解题策略】
互斥事件、对立事件的判定方法
(1)利用基本概念
①互斥事件不可能同时发生;
②对立事件首先是互斥事件,且必须有一个要发生.
(2)利用集合的观点来判断
设事件A与B所含的结果组成的集合分别是A,B.
①事件A与B互斥,即集合A∩B=?;
②事件A与B对立,即集合A∩B=?,且A∪B=Ω,即A=
?ΩB或B=
?ΩA.
【题组训练】
1.下列各组事件中,不是互斥事件的是
( )
A.一个射手进行一次射击,命中环数大于8与命中环数小于6
B.统计一个班的数学成绩,平均分不低于90分与平均分不高于90分
C.同时投掷3枚硬币,恰有两枚正面向上与至多一枚正面向上
D.检验某种产品,合格率高于70%与合格率低于70%
【解析】选B.对于B,设事件A1为平均分不低于90分,事件A2为平均分不高于90分,则A1∩A2为平均分等于90分,A1,A2可能同时发生,故它们不是互斥事件.
2.某人在打靶时,连续射击2次,事件“至少有1次不中靶”的对立事件是 .?
【解析】事件“至少有1次不中靶”包含“1次中靶1次不中靶”和“2次都不中靶”,其对立事件是“2次都中靶”.
答案:2次都中靶
易错提醒
核心知识
方法总结
核心素养
互斥事件与对立事件的判断方法：
不能同时发生的是互斥事件，对立事件首先是互斥事件，且必须有一个要发生。
数学建模：利用事件的关系判断问题
无论是包含、相等，还是互
斥、对立其发生的条件都是一样的
对立事件是针对两个事件来说的，而互斥事件可以是对多个事件
互斥事件
对立事件
关系
运算
包含
相等
交事件
并事件
事件的关系和运算
课堂检测·素养达标
1.掷一枚骰子,观察结果,A={向上的点数为3},B={向上的点数为奇数},
则( )
A.A?B
B.A?B
C.A=B
D.A,B互斥
【解析】选A.B={向上的点数为奇数},即{向上的点数为1,3或5},所以A?B.
2.掷一枚骰子,观察结果,A={向上的点数为1},B={向上的点数为2},
则A∪B=
( )
A.{向上的点数为1}
B.{向上的点数为2}
C.{向上的点数小于2}
D.{向上的点数小于3}
【解析】选D.{向上的点数小于3}即{向上的点数为1或2},即A∪B.
3.给出事件A与B的关系示意图,如图所示,则( )
A.A?B
B.A?B
C.A与B互斥
D.A与B互为对立事件
【解析】选C.由互斥事件的定义可知C正确.
4.(教材二次开发:练习改编)甲、乙两人下象棋,事件“甲获胜”的对立事件为 .?
【解析】事件“甲获胜”的对立面为“两人下成和棋”或“乙获胜”,即“乙不输”.
答案:乙不输(共35张PPT)
第十章 概 率
10.1 随机事件与概率
10.1.1 有限样本空间与随机事件
必备知识·自主学习
1.随机试验
我们把对_________的实现和对它的_____称为随机试验,简称试验,常用
字母E表示.它具有以下特点:
(1)试验可以在___________重复进行;
(2)试验的所有可能结果是___________,并且不止一个;
(3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个,但事先不能确定
_______________.
随机现象
观察
相同条件下
明确可知的
出现哪一个结果
【思考】
(1)我们能够确定随机试验的结果吗?
提示:不能确定试验的结果,但是可以确定是哪些可能结果中的一个.
(2)随机试验可以重复吗?
提示:可以重复.
2.样本点、样本空间与随机事件
(1)定义
定义
表示
样本点
随机试验E的每个可能的_________称为
样本点.
___
样本空间
全体_______的集合称为试验E的样本空间.
___
有限样本
空间
如果一个随机试验有n个可能结果ω1,ω2,…,ωn,则称样本空间___________________为有限样本空间.
___________________
基本结果
ω
Ω
Ω={ω1,ω2,…,ωn}
Ω={ω1,ω2,
…,ωn}
样本点
定义
表示
随机事件
随机试验中的每个随机事件都可以用这个
试验的_________的_____来表示.我们将样本空间Ω的子集称为随机事件,简称事件.
大写字母A,B,….
基本事件
只包含___________的事件称为基本事件
必然事件
包含了___________的事件
不可能
事件
不包含___________的事件
样本空间
子集
一个样本点
所有样本点
任何样本点
(2)本质:样本空间是试验的所有可能的结果,只含一个样本点的事件就是基本事件,基本事件是构成事件的最小单位,每个随机事件都由若干个基本事件构成.
(3)应用:①写试验的样本空间;②事件类型的判定.
【思考】
(1)试验的所有可能的结果一定是有限的吗?
提示:不一定,可能有限也可能无限.
(2)样本空间与随机事件是什么关系?
提示:每个事件都是样本空间的子集.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)三角形的内角和为180°是必然事件.
( )
(2)某同学竞选本班班长成功是随机事件.
( )
(3)“掷硬币三次,三次正面朝上”是不可能事件.
( )
提示:(1)√.
(2)√.由随机事件的定义知正确.
(3)×.“掷硬币三次,三次正面朝上”是随机事件.
2.(教材二次开发:例题改编)李明同学从有红色、蓝色球各10个的袋中依次摸出2个球,这一事件包含 个样本点.( )?
A.2
B.3
C.4
D.5
【解析】选C.这一事件包含(红色,红色)、(红色,蓝色)、(蓝色,红色)、(蓝色,蓝色)4个样本点.
3.从数字1,2,3中任取两个数字,则该试验的样本空间Ω= .?
【解析】从数字1,2,3中任取两个数字,没有先后顺序关系,共有3个结果:12,13,23,所以Ω={12,13,23}.
答案:{12,13,23}
关键能力·合作学习
【题组训练】
类型一 事件类型的判断(数学抽象)
1.下列事件不是随机事件的是( )
A.东边日出西边雨
B.下雪不冷化雪冷
C.清明时节雨纷纷
D.梅子黄时日日晴
2.给出下列四个命题:①“三个球全部放入两个盒子,其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件;②当“x为某一实数时可使x2<0”是不可能事件;
③“2025年的国庆节是晴天”是必然事件;④“从100个灯泡(有10个是次品)中取出5个,5个都是次品”是随机事件.其中正确命题的个数是( )
A.4
B.3
C.2
D.1
3.(2020·攀枝花高一检测)从含有10件正品、2件次品的12件产品中,任意抽取3件,则必然事件是( )
A.3件都是正品
B.3件都是次品
C.至少有1件次品
D.至少有1件正品
【解析】1.选B.B是必然事件,其余都是随机事件.
2.选B.“2025年的国庆节是晴天”是随机事件,故命题③错误,命题①②④正确.
3.选D.10件正品,2件次品,从中任意抽取3件,A:3件都是正品是随机事件,B:3件都是次品是不可能事件,C:至少有1件次品是随机事件,D:因为只有2件次品,所以从中任意抽取3件必然会抽到正品,即至少有1件是正品是必然事件.
【解题策略】
判断事件类型的思路
要判断事件是何种事件,首先要看清条件,因为三种事件都是相对于一定条件而言的,第二步再看它是一定发生,还是不一定发生,还是一定不发生,一定发生的是必然事件,不一定发生的是随机事件,一定不发生的是不可能事件.
【补偿训练】
指出下列事件哪些是必然事件,哪些是不可能事件,哪些是随机事件.
(1)函数f(x)=x2-2x+1的图象关于直线x=1对称.
(2)y=kx+6是定义在R上的增函数.
(3)若|a+b|=|a|+|b|,则a,b同号.
【解析】(1)是必然事件;(2)(3)是随机事件.
对于(2),当k>0时是R上的增函数;当k<0时是R上的减函数;当k=0时函数不具有单调性.
对于(3),当|a+b|=|a|+|b|时,有两种可能:一种可能是a,b同号,即ab>0;另一种可能是a,b中至少有一个为0,即ab=0.
类型二 事件与样本空间(数学抽象、数学建模)
角度1 样本点、样本空间?
【典例】指出下列试验的样本空间:
(1)从装有红、白、黑三种颜色的小球各1个的袋子中任取2个小球.
(2)从1,3,6,10中任取两个数(不重复),它们的差.
【思路导引】由题意,按一定的顺序列举试验的样本空间.
【解析】(1)样本空间Ω={(红球,白球),(红球,黑球),(白球,黑球)}.
(2)由题意可知1-3=-2,3-1=2,
1-6=-5,6-1=5,1-10=-9,10-1=9,
3-6=-3,6-3=3,3-10=-7,10-3=7,6-10=-4,10-6=4.
即试验的样本空间Ω={-2,2,-5,5,-9,9,-3,3,-7,7,-4,4}.
【变式探究】
1.在本例(1)中,从装有红、白、黑三种颜色的小球各1个的袋子中任取1个小球,记下颜色后放回,连续取两次,指出试验的样本空间.
【解析】样本空间Ω={(红球,红球),(红球,白球),(红球,黑球),(白球,白球),(白球,红球),(白球,黑球),(黑球,黑球),(黑球,白球),(黑球,红球)}.
2.在本例(2)中,从1,3,6,10中任取两个数(不重复),分别作为平面内点的横纵坐标,指出试验的样本空间.
【解析】由题意可知:样本空间Ω={(1,3),(1,6),(1,10),(3,1),(3,6),(3,10),(6,1),(6,3),(6,10),(10,1),(10,3),(10,6)}.
角度2 事件与样本空间?
【典例】同时转动如图所示的两个转盘,记转盘①得到的数为x,转盘②得到的数为y,结果为(x,y)(不考虑指针落在分界线上的情况).
(1)写出这个试验的样本空间.
(2)写出事件A:“x+y=5”和事件B:“x<3且y>1”的集合表示.
(3)说出事件C={(1,4),(2,2),(4,1)},D={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}所表示的含义.
【思路导引】(1)按要求列举试验的样本空间,注意每个样本点的构成有两部分.
(2)(3)弄清事件所包含的样本点.
【解析】(1)这个试验的样本空间为Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),
(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}.
(2)事件A={(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)};
事件B={(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4)}.
(3)事件C表示“xy=4”,事件D表示“x=y”.
【解题策略】
随机事件与样本空间问题的解题策略
(1)用样本点表示随机事件,首先弄清试验的样本空间,不重不漏列出所有的样本点.然后找出满足随机事件要求的样本点,从而用这些样本点组成的集合表示随机事件.
(2)随机事件可以用文字表示,也可以将事件表示为样本空间的子集,后者反映了事件的本质,且更便于今后计算事件发生的概率.
【题组训练】
1.某人射击一次命中的环数(均为整数)的样本点的总数为( )
A.9
B.10
C.11
D.无数个
【解析】选C.试验的样本空间为Ω={0环,1环,2环,3环,4环,5环,6环,7环,8环,9环,10环},样本点总数为11.
2.从a,b,c,d中任取两个字母,则该试验的样本点数为 .?
【解析】该试验的结果中,含a的有ab,ac,ad;不含a,含b的有bc,bd;不含a,b,含c的有cd,所以Ω={ab,ac,ad,bc,bd,cd},即该试验的样本点数为6.
答案:6
3.甲、乙两人做出拳游戏(锤、剪、布).
(1)写出样本空间.
(2)用集合表示事件“甲赢”.
(3)用集合表示事件“平局”.
【解析】(1)Ω={(锤,剪),(锤,布),(锤,锤),(剪,锤),(剪,剪),(剪,布),
(布,锤),(布,剪),(布,布)}.
(2)记“甲赢”为事件A,则A={(锤,剪),(剪,布),(布,锤)}.
(3)记“平局”为事件B,则B={(锤,锤),(剪,剪),(布,布)}.
【补偿训练】
先后抛掷三枚质地均匀的硬币,观察落地的情况,则该试验中样本点的总数为 .?
【解析】试验的样本空间为Ω={(正面,正面,正面),(正面,正面,反面),(正面,反面,正面),(反面,正面,正面),(反面,反面,正面),(反面,正面,反面),(正面,反面,反面),(反面,反面,反面)},样本点总数为8.
答案:8
1
2
3
4
易错提醒
核心知识
有限样本空间与随机事件
方法总结
核心素养
在列举样本点时注意分类思想的运用，做到不重不漏
数学抽象：形成随机事件的概念的过程
数学建模：写出样本空间中的样本点，分析随机试验
随机试验
样本空间
确定样本空间的方法：
通过列表、画树状图等方法列举样本点
随机事件
样本点
特点
基本事件
概念
有限样本空间
必然事件
不可能事件
课堂检测·素养达标
1.以下现象是随机现象的是( )
A.标准大气压下,水加热到100℃,会沸腾
B.走到十字路口,遇到红灯
C.长和宽分别为a,b的矩形,其面积为ab
D.实系数一次方程必有一实根
【解析】选B.标准大气压下,水加热到100℃,必会沸腾,是必然事件;走到十字路口,遇到红灯,是随机事件;长和宽分别为a,b的矩形,其面积为ab,是必然事件;实系数一次方程必有一实根,是必然事件.
2.下列现象中,不可能事件是
( )
A.三角形的一个内角为100°
B.a∥b,b∥c,则a∥c
C.锐角三角形中两内角和小于90°
D.三角形中任意两边之差小于第三边
【解析】选C.锐角三角形中两内角和大于90°.
3.在1,2,3,…,10这十个数字中,任取三个不同的数字,那么“这三个数字的和大于5”这一事件是( )
A.必然事件
B.不可能事件
C.随机事件
D.以上选项均有可能
【解析】选A.从十个数字中任取三个不同的数字,那么这三个数字的和的最小值为1+2+3=6,所以事件“这三个数字的和大于5”一定会发生,由必然事件的定义可以知该事件是必然事件.
4.(教材二次开发:练习改编)写出下列试验的样本空间:
(1)甲、乙两队进行一场足球赛,观察甲队比赛结果(包括平局) ;?
(2)从含有6件次品的50件产品中任取4件,观察其中次品数 .?
【解析】(1)对于甲队来说,有胜、平、负三种结果;
(2)从含有6件次品的50件产品中任取4件,其次品的个数可能为0,1,2,3,4,不可能再有其他结果.
答案:(1)Ω={胜,平,负} (2)Ω={0,1,2,3,4}
5.先后掷两枚质地均匀的骰子,骰子朝上的面的点数分别为x,y,则事件:log2xy=1包含的样本点有 .?
【解析】先后掷两枚质地均匀的骰子,骰子朝上的面的点数有36种结果.解方程log2xy=1得y=2x,则符合条件的样本点有(1,2),(2,4),(3,6).
答案:(1,2),(2,4),(3,6)