(共34张PPT)
7.2.2 复数的乘、除运算
必备知识·自主学习
1.复数乘法的运算法则和运算律
(1)复数乘法的运算法则
设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数,
则z1z2=(a+bi)(c+di)=
_________________.
(ac-bd)+(ad+bc)i
(2)复数乘法的运算律
对任意复数z1,z2,z3∈C,有
交换律
z1z2=____
结合律
(z1z2)z3=
________
乘法对加法的分配律
z1(z2+z3)=
________
z2z1
z1(z2z3)
z1z2+z1z3
【思考】
复数的乘法运算与多项式的乘法运算有什么关系?
提示:复数的乘法运算与多项式的乘法运算类似,只要在所得的结果中把i2换成
-1,并且把实部和虚部分别合并即可.
2.复数除法的运算法则
(1)共轭复数的概念
如果两个复数满足实部_____,虚部互为_______,那么称这两个复数为共轭
复数,z的共轭复数用___表示.即z=a+bi,则
=_____.
相等
相反数
a-bi
(2)复数除法运算法则
设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R,且c+di≠0),
则
(c+di≠0).
(3)本质:复数的除法,其实质是分母实数化,即把分子和分母同乘以分母的
共轭复数.
(4)应用:共轭复数的主要应用是将复数的除法化为乘法运算,也可以单独
命题考查.
【思考】
两个共轭复数的和一定是实数吗?两个共轭复数的差一定是纯虚数吗?
提示:若z=a+bi(a,b∈R),则
=a-bi,则z+
=2a∈R.因此,和一定是实数;而z-
=2bi.当b=0时,两共轭复数的差是实数,而当b≠0时,两共轭复数的差是纯虚数.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)两个复数互为共轭复数是它们的模相等的必要条件.
( )
(2)若z1,z2∈C,且
+
=0,则z1=z2=0.
( )
(3)复数加减乘除的混合运算法则是先乘除,后加减.
( )
提示:(1)×.两个复数为共轭复数,则它们的模相等;但是两个复数的模相等,
复数不一定是共轭复数,如z1=3+4i,z2=4+3i.
(2)×.例如当z1=1,z2=i时,
+
=0,但z1≠0,z2≠0.
(3)√.复数的运算法则和实数一样,都是先乘除,后加减.
2.复数(3+2i)i等于( )
A.-2-3i
B.-2+3i
C.2-3i
D.2+3i
【解析】选B.(3+2i)i=3i+2i·i=-2+3i.
3.(教材二次开发:例题改编)(2-i)÷i= .?
【解析】(2-i)÷i=
=-1-2i.
答案:-1-2i
关键能力·合作学习
类型一 复数的乘法运算(数学运算)
【题组训练】
1.(2019·北京高考)已知复数z=2+i,则z·
=( )
A.
B.
C.3
D.5
2.(2020·全国Ⅱ卷)(1-i)4=( )
A.-4
B.4
C.-4i
D.4i
3.(2020·上海高一检测)已知复数(a+3i)(1+2i)是纯虚数,则实数a的值为 .?
【解析】1.选D.z·
=(2+i)(2-i)=4-i2=5.
2.选A.(1-i)4=
=(-2i)2=-4.
3.复数(a+3i)(1+2i)=a-6+(3+2a)i是纯虚数,
则a-6=0,3+2a≠0,解得a=6.
答案:6
【解题策略】
复数乘法运算法则的应用
(1)复数的乘法可以按多项式的乘法法则进行运算,注意选用合适的乘法公式
进行简便运算.
(2)常用公式:
(a+bi)2=a2-b2+2abi(a,b∈R).
(a+bi)(a-bi)=a2+b2(a,b∈R)
(1±i)2=±2i.
【补偿训练】
计算:
(1)(1-2i)(3+4i)(-2+i);
(2)(3+4i)(3-4i).
【解析】(1)(1-2i)(3+4i)(
-2+i)
=(11-2i)(
-2+i)=-20+15i.
(2)(3+4i)(3-4i)=32-(4i)2
=9-(-16)=25.
类型二 复数的除法运算(数学运算)
【题组训练】
1.
=( )
A.1+i
B.1-i
C.-1+i
D.-1-i
2.(2019·全国卷Ⅲ)若z(1+i)=2i,则z=( )
A.-1-i
B.-1+i
C.1-i
D.1+i
3.(2020·新高考全国Ⅰ卷)
=( )
A.1
B.-1
C.i
D.-i
【解析】1.选D.方法一:
=-1-i.
方法二:
(1+i)=i2(1+i)=-(1+i)=-1-i.
2.选D.因为z(1+i)=2i,所以z=
=i(1-i)=1+i.
3.选D.
=-i.
【解题策略】
两个复数代数形式的除法运算步骤
(1)首先将除式写成分式;
(2)再将分子、分母同乘以分母的共轭复数;
(3)然后将分子、分母分别进行乘法运算,并将其化为复数的代数形式.
类型三 复数乘、除的综合应用(数学运算)
角度1 i的乘方的周期性及应用?
【典例】计算i1+i2+i3+…+i2
020= .?
【思路导引】先利用复数的运算计算i1+i2+i3+i4的值,再根据周期性,计算i1+i2+i3+…+i2
020的值.
【解析】
因为i1=i,i2=-1,i3=-i,i4=1,
所以i1+i2+i3+i4=0,所以in+
=0(n∈N
),
所以i1+i2+i3+…+i2
020
=(i1+i2+i3+i4)+(i5+i6+i7+i8)+…+(i2
017+i2
018+i2
019+i2
020)=0.
答案:0
角度2 共轭复数的应用?
【典例】已知z∈C,
为z的共轭复数,若z·
-3i
=1+3i,求z.
【思路导引】设z=a+bi(a,b∈R),则
=a-bi;代入所给等式,利用复数的运算
及复数相等的充要条件转化为方程组求解.
【解析】设z=a+bi(a,b∈R),则
=a-bi(a,b∈R),
由题意得(a+bi)(a-bi)-3i(a-bi)=1+3i,
即a2+b2-3b-3ai=1+3i,
则有
解得
或
所以z=-1或z=-1+3i.
【解题策略】
共轭复数的求解与应用
(1)若复数z的代数形式已知,则根据共轭复数的定义可以写出
,再进行复数
的四则运算.
(2)若已知关于z和
的方程,而复数z的代数形式未知,求z,解此类题的常规思
路为设z=a+bi(a,b∈R),则
=a-bi,代入所给等式,利用复数相等的充要条件,
转化为方程(组)求解.
【题组训练】
1.复数z=
,则ω=z2+z4+z6+z8+z10的值为( )
A.1
B.-1
C.i
D.-i
【解析】选B.z2=
=-1,所以ω=-1+1-1+1-1=-1.
2.(2019·全国卷Ⅱ)设z=i(2+i),则
=
( )
A.1+2i
B.-1+2i
C.1-2i
D.-1-2i
【解析】选D.由z=i(2+i)=-1+2i,得
=-1-2i.
3.若复数z=4+3i,则
=
( )
A.1
B.-1
C.
+
i
D.
-
i
【解析】选D.因为z=4+3i,所以
=4-3i,|z|=
=5,
所以
=
=
-
i.
1.
复数的乘法运算
2.
复数乘法的运算律
3.
复数的除法法则
复数的乘除运算
1.
复数乘法与实数多项式乘法类似,在计算两个复数的乘积时,先按照多项
式的乘法展开,再将i2换成-1,最后合并同类项即可.
2.根据复数的除法法则,通过分子、分母都乘分母的共轭复数,使“分母实数化”,这个过程与“分母有理化”类似.
与复数有关的方程问题,一般是利用复数相等的充要条件,把复数问题实数化进行求解,根与系数的关系仍适用,但判别式“Δ”不再适用.
1.数学抽象：复数乘法、除法运算法则;
2.逻辑推理：复数乘法运算律的推导;
3.数学运算：复数四则运算;
4.数学建模：结合实数范围内求根公式和复数四则运算，解决复数范围内的方程根问题.
方法总结
易错提醒
核心知识
课堂检测·素养达标
1.已知i是虚数单位,则(-1+i)(2-i)=( )
A.-3+i
B.-1+3i
C.-3+3i
D.-1+i
【解析】选B.按照复数乘法运算法则,直接运算即可.(-1+i)(2-i)=-1+3i.
2.已知i为虚数单位,则复数
的模等于( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选D.因为
,
所以
.
3.(教材二次开发:练习改编)
=( )
A.1+2i
B.1-2i
C.2+i
D.2-i
【解析】选D.
=2-i.
4.已知i为虚数单位,若复数z=
,z的共轭复数为
,则z·
=( )
A.1
B.-1
C.
D.-
【解析】选A.依题意,得z=
=i,
所以
=-i,所以z·
=i·(-i)=1.
5.计算:
(1)(1+i)2
020;(2)(-2+3i)÷(1+2i).
【解析】(1)原式=[(1+i)2]1
010=(1+2i+i2)1
010
=(2i)1
010=21
010·i1
010=21
010·(i2)505=-21
010.
(2)原式=
.(共26张PPT)
7.2 复数的四则运算
7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义
必备知识·自主学习
1.复数加、减法的运算法则及加法运算律
(1)加、减法的运算法则
设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数,则z1+z2=
_____________,
z1-z2=
_____________.
(2)加法运算律
对任意z1,z2,z3∈C,有
①交换律:z1+z2=_____.
②结合律:(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).
(a+c)+(b+d)i
(a-c)+(b-d)i
z2+z1
【思考】
若复数z1,z2满足z1-z2>0,能否认为z1>z2?
提示:不能,如2+i-i>0,但2+i与i不能比较大小.
2.复数加、减法的几何意义
(1)如图所示,设复数z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)对应的向量分别为
,
,
四边形OZ1ZZ2为平行四边形,则与z1+z2对应的向量是
,与z1-z2对应的向量
是
.
(2)实质:利用几何图形的变换解释复数的加、减运算
(数形结合).
(3)应用:广泛应用于复数的加、减运算及复数与三角形、四边形等结合的题目.
【思考】
复数|z1-z2|的几何意义是什么?
提示:表示复数z1,z2对应的两点Z1与Z2间的距离.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)两个虚数的和或差可能是实数.
( )
(2)复数的加法不可以推广到多个复数相加的情形.
( )
(3)复数的减法不满足(z1-z2)-z3=z1-(z2+z3).
( )
提示:
(1)√.例如(2+i)+(2-i)=4.
(2)
×.复数的加法可以推广到多个复数相加,实部与实部相加得实部,虚部与虚部相加得虚部.
(3)
×.复数的加减法满足结合律.
2.已知复数z1=3+4i,z2=3-4i,则z1+z2等于
( )
A.8i
B.6
C.6+8i
D.6-8i
【解析】选B.z1+z2=(3+4i)+(3-4i)=6.
3.(教材二次开发:例题改编)在复平面内,复数z1=1+i与z2=1+3i分别对应向量
和
,其中O为坐标原点,则|
|等于
( )
A.
B.2
C.
D.4
【解析】选B.
=
-
=(1,3)-(1,1)=(0,2),所以|
|=2.
关键能力·合作学习
类型一 复数的加、减运算(数学运算)
【题组训练】
1.(6-2i)-(3i+1)=
( )
A.3-3i
B.5-5i
C.7+i
D.5+5i
2.复数(1+2i)+(3-4i)-(-5-3i)对应的点在
( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
3.已知复数z1=a2-3-i,z2=-2a+a2i,若z1+z2是纯虚数,则实数a= .?
【解析】1.选B.(6-2i)-(3i+1)=6-2i-3i-1=5-5i.
2.选A.复数(1+2i)+(3-4i)-(-5-3i)=(1+3+5)+(2-4+3)i=9+i,其对应的点为
(9,1),在第一象限.
3.由条件知z1+z2=a2-2a-3+(a2-1)i,又z1+z2是纯虚数,所以
解得a=3.
答案:3
【解题策略】
解决复数加、减运算的思路
两个复数相加(减),就是把两个复数的实部相加(减),虚部相加(减).复数的减法是加法的逆运算,两个复数相减,也可以看成是加上这个复数的相反数.当多个复数相加(减)时,可将这些复数的所有实部相加(减),所有虚部相加(减).
【补偿训练】
复数(1-i)-(2+i)+3i等于
( )
A.-1+i
B.1-i
C.i
D.-i
【解析】选A.(1-i)-(2+i)+3i=(1-2)+(-i-i+3i)=-1+i.
类型二 复数加、减运算的几何意义(直观想象)
【典例】如图所示,平行四边形OABC的顶点O,A,C对应复数分别为0,3+2i,-2+4i,试求:
(1)
所表示的复数,
所表示的复数;
(2)
所表示的复数;
(3)
所表示的复数及
的长度.
【思路导引】(1)根据点O,A,C的坐标,应用求向量坐标的方法求出
,
,
的坐标,然后转化为复数.
(2)根据复数与向量的关系,利用向量法求向量
的坐标.
【解析】(1)
=-
,所以
所表示的复数为-3-2i.
因为
=
,所以
所表示的复数为-3-2i.
(2)因为
=
-
,
所以
所表示的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i.
(3)
=
+
,它所对应的复数z=(3+2i)+(-2+4i)=1+6i,|
|=
【解题策略】
用复数加、减运算的几何意义解题的技巧
(1)形转化为数:利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理.
(2)数转化为形:对于一些复数运算也可以给予几何解释,使复数作为工具运用于几何之中.
【跟踪训练】
设z1,z2∈C,已知|z1|=|z2|=1,|z1+z2|=
,
求|z1-z2|.
【解析】方法一:设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),
由题设知a2+b2=1,c2+d2=1,(a+c)2+(b+d)2=2,
又(a+c)2+(b+d)2=a2+2ac+c2+b2+2bd+d2,
所以2ac+2bd=0.
所以|z1-z2|2=(a-c)2+(b-d)2
=a2+c2+b2+d2-(2ac+2bd)=2,所以|z1-z2|=
.
方法二:作出z1,z2对应的向量
,
,
使
=
+
.
因为|z1|=|z2|=1,又
,
不共线(若
,
共线,则|z1+z2|=2或0,
与|z1+z2|=
矛盾).
所以平行四边形OZ1ZZ2为菱形.又|z1+z2|=
,
所以∠Z1OZ2=90°,即四边形OZ1ZZ2为正方形,
故|z1-z2|=
.
核心素养
易错提醒
方法总结
核心
知识
1.复数的加法法则
2.加法的几何意义
3.复数的减法法则
4.减法的几何意义
1.复数代数形式的加、减法运算：将实部与实部，虚部与虚部分别相加减之后分别作为结果的实部与虚部
2.复数加、减运算几何意义：复数的加减运算可转化为向量的坐标运算．利用向量进行复数的加减运算时，同样满足平行四边形法则和三角形法则.
(1)
实数加法的交换律、结合律在复数集C中仍然成立
(2)复数的加、减运算结果仍是复数
1.逻辑推理：根据复数与平面向量的对应关系推导其几何意义;
2.数学运算：复数加、减运算及其几何意义求相关问题;
3.数学建模：结合复数加、减运算的几何意义和平面图形，数形结合，综合应用.
课堂检测·素养达标
1.(6-3i)-(3i+1)+(2-2i)的结果为
( )
A.5-3i
B.3+5i
C.7-8i
D.7-2i
【解析】选C.(6-3i)-(3i+1)+(2-2i)=(6-1+2)+(-3-3-2)i=7-8i.
2.设z1=3-4i,z2=-2+3i,则z1-z2在复平面内对应的点位于
( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【解析】选D.z1-z2=(3-4i)-(-2+3i)=5-7i,在复平面内z1-z2对应点的坐标为(5,-7),位于第四象限.
3.(教材二次开发:练习改编)在平行四边形ABCD中,若A,C对应的复数分别为
-1+i和-4-3i,则该平行四边形的对角线AC的长度为
( )
A.
B.5
C.2
D.10
【解析】选B.依题意知,
对应的复数为(-4-3i)-(-1+i)=-3-4i,因此AC的
长度为|-3-4i|=5.
4.实部为5,模与复数4-3i的模相等的复数的个数为 .?
【解析】依题意设z=5+bi,则|z|=
,
而|4-3i|=
=5,
所以
=5,即b=0,
所以z=5,符合条件的复数只有1个.
答案:1
5.计算:(1)(-2+3i)+(5-i).
(2)(-1+
i)+(1-
i).
【解析】(1)原式=(-2+5)+(3-1)i=3+2i.
(2)原式=(-1+1)+(
-
)i=0.
