(共32张PPT)
第七章
复数
7.1
复数的概念
7.1.1
数系的扩充和复数的概念
1.复数的概念
(1)复数的定义
形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,其中i叫做_________,满足i2=___;a与b分别
叫做复数z的_____与_____.
(2)本质:虚数单位i与实数a,b运算得到的一类数,实数基础上的提升.
(3)应用:解决实系数方程的求解问题.
必备知识·自主学习
导思
1.
x2=-1一定无解吗?
2.数系扩充到实数后,还能再扩充吗?
虚数单位
-1
实部
虚部
【思考】
如何理解虚数单位i?
提示:(1)i2=-1.
(2)i与实数之间可以运算,亦适合加、减、乘的运算律.
(3)由于i2<0与实数集中a2≥0(a∈R)矛盾,所以实数集中很多结论在复数集中不
再成立.
2.复数相等的充要条件
在复数集C={a+bi|a,b∈R}中任取两个数a+bi,c+di(a,b,c,d∈R),我们规
定:a+bi与c+di相等当且仅当____且____.
a=c
b=d
3.复数的分类
(1)复数a+bi(a,b∈R)
(2)复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系如图所示.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)若a,b为实数,则z=a+bi为虚数.
( )
(2)复数z1=3i,z2=2i,则z1>z2.
( )
(3)复数z=bi是纯虚数.
( )
(4)实数集与复数集的交集是实数集.
( )
提示:(1)×.当b=0时,z=a+bi为实数.
(2)×.两个虚数不能比较大小,只能比较是否相等.
(3)×.当b=0时,z=bi为实数.
(4)√.实数集是复数集的子集,所以实数集与复数集的交集是实数集.
2.如果(x+y)i=x-1,则实数x,y的值分别为
( )
A.x=1,y=-1
B.x=0,y=-1
C.x=1,y=0
D.x=0,y=0
【解析】选A.因为(x+y)i=x-1,所以
所以x=1,y=-1.
3.(教材二次开发:例题改编)复数i-2的虚部是
( )
A.i
B.-2
C.1
D.2
【解析】选C.i-2=-2+i,因此虚部是1.
关键能力·合作学习
类型一 复数的概念(数学抽象)
【题组训练】
1.以3i-
的虚部为实部,以3i2+
i的实部为虚部的复数是
( )
A.3-3i
B.3+i
C.-
+
i
D.
+
i
2.给出下列几个命题:
①若z∈C,则z2≥0;②2i-1的虚部是2i;
③2i的实部是0;④若实数a与ai对应,则实数集与纯虚数集的元素一一对应;
⑤实数集的补集是虚数集.
其中真命题的个数为
( )
A.0
B.1
C.2
D.3
【解析】1.选A.3i-
的虚部为3,3i2+
i的实部为-3,所以所求复数为3-3i.
2.选C.令z=i∈C,则i2=-1<0,故①不正确.
2i-1的虚部应是2,故②不正确.
当a=0时,ai=0为实数,故④不正确,
所以只有③,⑤正确.
【解题策略】
利用复数的概念时的注意点
(1)复数的代数形式:若z=a+bi,只有当a,b∈R时,a才是z的实部,b才是z的虚
部,且注意虚部不是bi,而是b.
(2)不要将复数与虚数的概念混淆,实数也是复数,实数和虚数是复数的两大
构成部分.
(3)举反例:判断一个命题为假命题,只要举一个反例即可,所以解答这类题
时,可按照“先特殊,后一般,先否定,后肯定”的方法进行解答.
类型二 复数的分类(逻辑推理)
【题组训练】
1.(2020·浙江高考)已知a∈R,若a-1+(a-2)i(i为虚数单位)是实数,则a=
( )
A.1
B.-1
C.2
D.-2
2.实数x分别取什么值时,复数z=
+(x2-2x-15)i
是(1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数?
【解析】1.选C.因为a-1+(a-2)i为实数,所以a-2=0,a=2.
2.(1)当x满足
即x=5时,
是实数.
(2)当x满足
即x≠-3且x≠5时,
是虚数.
(3)当x满足
即x=-2或x=3时,
是纯虚数.
【解题策略】
复数分类的关键
(1)利用复数的代数形式,对复数进行分类,关键是根据分类标准列出实部、虚
部应满足的关系式.求解参数时,注意考虑问题要全面,当条件不满足代数形式
z=a+bi(a,b∈R)时应先转化形式.
(2)注意分清复数分类中的条件
设复数z=a+bi(a,b∈R),则①若z为实数?b=0,②若z为虚数?b≠0,③
若z为
纯虚数?a=0,b≠0,④
若z=0?a=0,且b=0.
【补偿训练】
实数k为何值时,复数(1+i)k2-(3+5i)k-2(2+3i)分别是①实数;②虚数;③纯虚数;④零.
【解析】由z=(1+i)k2-(3+5i)k-2(2+3i)=(k2-3k-4)+(k2-5k-6)i.
①当k2-5k-6=0,k∈R,即k=6或k=-1时,z是实数.
②当k2-5k-6≠0,即k≠6且k≠-1时,
z是虚数.
③当
时,z是纯虚数,解得k=4.
④当
时,z=0,解得k=-1.
类型三 复数的应用(数学运算、逻辑推理)
角度1 复数相等
【典例】若(x+y)+yi=(x+1)i,求实数x,y的值.
【思路导引】复数相等,则复数的实部与实部相等,虚部与虚部相等.
【解析】因为(x+y)+yi=(x+1)i,所以
解得
角度2 复数比较大小?
【典例】若复数z=(m+1)+(m2-9)i<0,则实数m的值等于 .?
【思路导引】因为虚数不能比较大小,所以复数比较大小时,复数必为实数,即
虚部为零.
【解析】因为z<0,所以
解得m=-3.
答案:-3
【解题策略】
复数比较大小类问题
(1)两个虚数不能比较大小.
(2)若两个复数能比较大小,则这两个复数必为实数.
【题组训练】
1.若复数4-3a-a2i与复数a2+4ai相等,则实数a的值为
( )
A.1
B.1或-4
C.-4
D.0或-4
【解析】选C.由复数相等的条件得
解得a=-4.
2.如果(m2-1)+(m2-2m)i>1,则实数m的值为 .?
【解析】由题意得
解得m=2.
答案:2
3.已知(1+i)m2+(7-5i)m+10-14i=0,则实数m= .?
【解析】把原式整理得(m2+7m+10)+(m2-5m-14)i=0,
所以
解得m=-2.
答案:-2
数系的扩充和复数的概念
核心知识
方法总结
核心素养
易错提醒
1.数系的扩充.
2.
复数有关的概念
(1)判断复数是实数、虚数或者纯虚数：①保证复数的实部、虚部均有意义．②根据分类的标准，列出实部、虚部应满足的关系式再求解．
(2)复数相等求参数的步骤：分别确定两个复数的实部与虚部，
利用实部与实部、虚部与虚部分别相等，列方程组求解．
(1)两个复数不全是实数，就不能比较大小．
(2)一个数的平方非负在实数范围内是真命题，在复数范围内是假命题.
(3)对于复数实部、虚部的确定不但要把复数化为a＋bi的形式，更要
注意这里a，b均为实数时，才能确定复数的实、虚部．
1.数学抽象：复数及相关概念.
2.逻辑推理：复数的分类.
3.数学运算：复数相等求参数.
1、复数的代数形式.
2、复数的实部、虚部.
3、虚数、纯虚数.
4、复数相等.
课堂检测·素养达标
1.在2+
,
i,8+5i,(1-
)i,0.618这几个数中,纯虚数的个数为( )
A.0
B.1
C.2
D.3
【解析】选C.
i,(1-
)i是纯虚数,8+5i是虚数,2+
,0.618是实数.
2.已知复数z=a2-(2-b)i的实部和虚部分别是2和3,则实数a,b的值分别是
( )
A.
,1
B.
,5
C.±
,5
D.±
,1
【解析】选C.由题意得
得a=±
,b=5.
3.(教材二次开发:练习改编)如果x-1+yi与i-3x为相等复数,x,y为实数,则
x= ,y= .?
【解析】由复数相等可知
所以
答案:
1
4.已知复数z=a2+(2a+3)i(a∈R)的实部大于虚部,则实数a的取值范围是
.?
【解析】由已知可得a2>2a+3,即a2-2a-3>0,解得a>3或a<-1,
因此,实数a的取值范围是{a|a>3或a<-1}.
答案:(-∞,-1)∪(3,+∞)
5.实数m分别取什么值时,复数z=(m2+5m+6)+(m2-2m-15)i
(1)是实数;(2)是虚数;(3)是纯虚数.
【解析】由m2+5m+6=0得m=-2或m=-3,
由m2-2m-15=0得m=5或m=-3.
(1)当m2-2m-15=0时,复数z为实数,
此时m=5或-3.
(2)当m2-2m-15≠0时,复数z为虚数,
此时m≠5且m≠-3.
(3)当
时,复数z是纯虚数,
此时m=-2.(共40张PPT)
7.1.2 复数的几何意义
必备知识·自主学习
1.复平面
导思
1.复数z=a+bi(a,b∈R)与有序实数对(a,b)有怎样的对应关系?
2.复数z=a+bi(a,b∈R)与向量
有怎样的对应关系?
【思考】
有些同学说,实轴上的点表示实数,虚轴上的点表示虚数,这句话对吗?
提示:不正确.实轴上的点都表示实数;除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数,原点对应的有序实数对为(0,0),它所确定的复数是z=0+0i=0,表示的是实数.
2.复数的几何意义
(1)对应关系:
复数z=a+bi(a,b∈R)
___________________.
复数z=a+bi(a,b∈R)
平面向量
.
(2)本质:建立了复数与复平面上的点,复数与向量的对应关系.
(3)应用:通过两种对应关系的建立,可以直观、有效地表示复数,便于理解复数
的意义.
复平面内的点Z(a,b)
3.复数的模
(1)定义:向量
的模叫做复数z=a+bi(a,b∈R)的模.
(2)记法:复数z=a+bi的模记作____________.
(3)公式:|z|=|a+bi|=
(a,b∈R).
|z|或|a+bi|
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)在复平面内,对应于实数的点都在实轴上.
( )
(2)复数的模一定是正实数.
( )
(3)复数z1>z2的充要条件是|z1|>|z2|.
( )
提示:(1)
√.根据实轴的定义,x轴叫实轴,实轴上的点都表示实数,反过来,实数对应的点都在实轴上,如实轴上的点(2,0)表示实数2.
(2)
×.复数的模一定是实数但不一定是正实数,如:0也是复数,它的模为0不是正实数.
(3)
×.如-1>-2,但|-1|<|-2|.
2.在复平面内,复数z=1-i对应的点的坐标为
( )
A.(1,i)
B.(1,-i)
C.(1,1)
D.(1,-1)
【解析】选D.复数z=1-i的实部为1,虚部为-1,故其对应的点的坐标为(1,-1).
3.(教材二次开发:例题改编)已知复数z=1+2i(i是虚数单位),则|z|= .?
【解析】因为z=1+2i,所以|z|=
=
.
答案:
关键能力·合作学习
类型一 复数与复平面上点的对应关系(直观想象)
【题组训练】
1.复数z=cos
θ+isin
θ(i为虚数单位)其中θ∈
,则复数z在复平面上
所对应的点位于
( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
2.复数z1=1+
i和z2=1-
i在复平面内的对应点关于
( )
A.实轴对称
B.一、三象限的角平分线对称
C.虚轴对称
D.二、四象限的角平分线对称
3.已知复数z=(a2-1)+(2a-1)i,其中a∈R.当复数z在复平面内对应的点满足下列条件时,求a的值(或取值范围).
(1)在实轴上;(2)在第三象限;(3)在抛物线y2=4x上.
【解析】1.选C.因为θ∈
,
所以cos
θ<0且sin
θ<0,
所以该复数所对应的点位于复平面上的第三象限.
2.选A.复数z1=1+
i在复平面内的对应点Z1为(1,
).复数z2=1-
i在复平
面内的对应点Z2为(1,-
).点Z1与Z2关于实轴对称.
3.复数z=(a2-1)+(2a-1)i的实部为a2-1,虚部为2a-1,在复平面内对应的点为
(a2-1,2a-1).
(1)若z对应的点在实轴上,则有
2a-1=0,解得a=
.
(2)若z对应的点在第三象限,则有
解得-1
.
(3)若z对应的点在抛物线y2=4x上,
则有(2a-1)2=4(a2-1),即4a2-4a+1=4a2-4,
解得a=
.
【解题策略】
利用复数与点的对应解题的步骤
(1)找对应关系:复数的几何表示法即复数z=a+bi(a,b∈R)可以用复平面内的点Z(a,b)来表示,是解决此类问题的根据.
(2)列出方程:此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件,通过解方程(组)或不等式(组)求解.
【补偿训练】
求当实数m为何值时,复数z=(m2-8m+15)+(m2+3m-28)i
在复平面内的对应点分别满足下列条件:
(1)位于第四象限;(2)位于x轴的负半轴上.
【解析】(1)由题意,知
解得
即-7故当-7(2)由题意,知
由②得m=-7或m=4.
因为m=-7不符合不等式①,
m=4符合不等式①,所以m=4.
故当m=4时,复数z的对应点位于x轴的负半轴上.
类型二 复数与向量的对应关系(数学抽象)
【典例】1.在复平面内,O为原点,向量
表示的复数为-1+2i,若点A关于直线
y=-x的对称点为B,则向量
表示的复数为
( )
A.-2-i
B.1+2i
C.-2+i
D.-1+2i
2.在复平面内,把复数
对应的向量按顺时针方向旋转
,所得向量对应的
复数是
( )
A.2
B.-2
i
C.
-3i
D.
【思路导引】1.根据向量
的坐标,求出点A的坐标,再根据点的对称性求点B
的坐标,最后根据点B的坐标求出
的坐标.
2.根据复数求出复数对应向量的坐标,再根据角的旋转求终边向量对应的复数.
【解析】1.选C.由题意得A(-1,2),则B(-2,1),所以向量
表示的复数为-2+i.
2.选B.复数对应的向量的坐标为(3,-
),按顺时针方向旋转
后得到新向量
的坐标为(0,-2
),所得向量对应的复数为-2
i.
【解题策略】
复数与平面向量的对应关系
(1)根据复数与平面向量的对应关系,可知当平面向量的起点在原点时,向量的终点对应的复数即为向量对应的复数,反之复数对应的点确定后,从原点引出的指向该点的有向线段,即为复数对应的向量.
(2)解决复数与平面向量一一对应的问题时,一般以复数与复平面内的点一一对应为工具,实现复数、复平面内的点、向量之间的转化.
【跟踪训练】
在复平面内,O为原点,向量
对应的复数为-1-2i,若点A关于实轴的对称点为B,
则向量
对应的复数为
( )
A.-2-i
B.2+i
C.1+2i
D.-1+2i
【解析】选D.由题意可知,点A的坐标为(-1,-2),则点B的坐标为(-1,2),故向量
对应的复数为-1+2i.
类型三 复数的模(数学运算、逻辑推理)
角度1 复数模的计算?
【典例】已知复数z满足z+|z|=2+8i,则复数z= .?
【思路导引】设z=a+bi(a,b∈R)代入等式后,可利用复数相等的充要条件求出
a,b.
【解析】设z=a+bi(a,b∈R),则|z|=
,
代入方程得a+bi+
=2+8i,
所以
解得
所以z=-15+8i.
答案:-15+8i
【变式探究】
设复数z1=a+2i,z2=-2+i,且|z1|<|z2|,则实数a的取值范围是
( )
A.(-∞,-1)∪(1,+∞)
B.(-1,1)
C.(1,+∞)
D.(0,+∞)
【解析】选B.因为|z1|=
,|z2|=
,
所以
,即a2+4<5,所以a2<1,
即-1 角度2 复数模的几何意义?
【典例】如果复数z满足|z+i|+|z-i|=2,那么|z+i+1|的最小值是
( )
A.1
B.
C.2
D.
【思路导引】根据绝对值的几何意义,求出点Z在复平面内对应的集合,再求出
|z+i+1|的最小值.
【解析】选A.设复数-i,i,-1-i在复平面内对应的点分别为Z1,Z2,Z3,因为
|z+i|+|z-i|=2,
|Z1Z2|=2,所以点Z的集合为线段Z1Z2.
问题转化为动点Z在线段Z1Z2上移动,求|ZZ3|的最小值,因为|Z1Z3|=1,
所以|z+i+1|min=1.
【解题策略】
复数几何意义的应用
|z1-z2|表示复平面内z1,z2对应的两点间的距离.利用此性质,可把复数模的问题转化为复平面内两点间的距离问题,从而进行数形结合,把复数问题转化为几何图形问题求解.
【题组训练】
1.已知复数z的实部为1,且|z|=2,则复数z的虚部是
( )
A.-
B.
i
C.±
i
D.±
【解析】选D.设复数z的虚部为b,因为|z|=2,实部为1,所以1+b2=4,所以b=±
.
2.已知复数z=3+ai,且|z|<4,求实数a的取值范围.
【解析】方法一:因为z=3+ai(a∈R),
所以|z|=
,
由已知得32+a2<42,所以a2<7,所以a∈(-
,
).
方法二:利用复数的几何意义,由|z|<4知,z在复平面内对应的点在以原点为圆
心,以4为半径的圆内(不包括边界),
由z=3+ai知z对应的点Z在直线x=3上,
所以线段AB(除去端点)为动点Z的集合.
由图可知:-
.
复数的
几何意义
方法总结
核心知识
易错提醒
核心素养
(1)已知复平面内对应的点满足的条件求参数取值范围时，可根据
复数与点的对应关系，通过解方程(组)或不等式(组)求解．
(2)根据|a＋bi|＝
可把复数模的问题转化为实数问题解决.
(3)根据|z|＝|
|，可把复数模的问题转化为向量模的问题解决．
1.原点确定的复数是实数0，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.
2.复数的模是非负实数，因此复数的模可以比较大小.
1.数学抽象：复平面及复数的几何意义的理解.
2.逻辑推理：根据平面与向量的关系推出复数与向量的一一对应及复数模公式.
3.数学运算：根据复数与复平面的点一一对应求参数和求复数的模.
4.数学建模：根据复数的代数形式，数形结合，多方位了解复数的几何意义.
1.
复平面.
2.
复数与点的对应.
3.
复数与向量的对应.
4.
复数的模.
课堂检测·素养达标
1.已知复数z=-i,复平面内对应的点Z的坐标为
( )
A.(0,-1)
B.(-1,0)
C.(0,0)
D.(-1,-1)
【解析】选A.复数z=-i的实部为0,虚部为-1,故复平面内对应的点Z的坐标为(0,-1).
2.向量a=(-2,
1)所对应的复数是
( )
A.z=1+2i
B.z=1-2i
C.z=-1+2i
D.z=-2+i
【解析】选D.向量a=(-2,1)所对应的复数是z=-2+i.
3.(教材二次开发:练习改编)已知复数z=
-3i,则复数的模|z|是
( )
A.5
B.8
C.6
D.
【解析】选D.
.
4.复数z=x-2+(3-x)i在复平面内的对应点在第四象限,则实数x的取值范围
是 .?
【解析】因为复数z在复平面内对应的点在第四象限,
所以
解得x>3.
答案:(3,+∞)
5.若复数z对应的点在直线y=2x上,且|z|=
,则复数z= .?
【解析】依题意可设复数z=a+2ai(a∈R),由|z|=
,得
,解得a=±1,故z=1+2i或z=-1-2i.
答案:1+2i或-1-2i