(共41张PPT)
第4课时 余弦定理、正弦定理应用
举例——高度、角度问题
必备知识·自主学习
常用概念
(1)仰角和俯角:
与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角.
目标视线在水平视线_____时叫仰角,目标视线在水平视线
_____时叫俯角,如图所示.
上方
下方
(2)方位角:
从正北方向_______转到目标方向线所成的水平角.如点B的方位角为α(如图所
示).方位角的取值范围:___________.
(3)本质:仰角、俯角、方位角等都是在生产、生活中为方便使用而人为定义的.
(4)应用:仰角、俯角、方向角、方位角等经常用于求距离、高度和角度的题目
中.
顺时针
0°～360°
【思考】
方位角的范围为什么不是0°～180°?
提示:方位角的概念表明,“从正北方向顺时针转到目标方向线所成的角”,显然方位角的范围应该是0°～360°.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)若P在Q的北偏东44°方向,则Q在P的东偏北44°方向.
( )
(2)方位角与方向角其实质是一样的,均是确定观察点与目标点之间的位置关系,
其范围均是
.
( )
(3)方位角210°的方向与南偏西30°的方向一致.
( )
提示:(1)×.因为若P在Q的北偏东44°方向,则Q应在P的南偏西44°方向.
(2)×.因为方向角的范围为0°～90°,而方位角的范围为0°～360°.
(3)√.由方位角与方向角的定义知正确.
2.若从A处望B处的仰角为α,从B处望A处的俯角为β,则α,β的关系是
( )
A.α>β
B.α+β=90°
C.α=β
D.α+β=180°
【解析】选C.由仰角与俯角的水平线平行可知α=β.
3.(教材二次开发:例题改编)已知两座建筑A,B与规划测量点C的距离相等,A在C的北偏东40°,B在C的南偏东60°,则A在B的
( )
A.北偏东10°
B.北偏西10°
C.南偏东10°
D.南偏西10°
【解析】选B.如图,
由题意可知△ABC为等腰三角形,∠ACB=80°,
所以∠CBA=
(180°-80°)=50°,
又60°-50°=10°.
所以A在B的北偏西10°.
关键能力·合作学习
类型一 利用余弦定理、正弦定理求高度问题(数学建模)
【题组训练】
1.如图所示,D,C,B在地平面同一直线上,DC=10
m,从D,C两地测得A点的仰角分
别为30°和45°,则A点离地面的高AB等于
( )
A.10
m
B.5
m
C.5(
-1)m
D.5(
+1)m
2.在一幢20
m高的楼顶测得对面一塔吊顶的仰角为60°,塔基的俯角为45°,那
么这座塔吊的高是
( )
A.20
m
B.20(1+
)
m
C.10(
+
)
m
D.20(
+
)
m
3.如图所示,在山底A处测得山顶B的仰角∠CAB=45°,沿倾斜角为30°的山坡向
山顶走1
000
m到达S点,又测得山顶仰角∠DSB=75°,则山高BC为
( )
A.500
m
B.200
m
C.1
000
m
D.1
000
m
【解析】1.选D.方法一:设AB=x
m,则BC=x
m.
所以BD=(10+x)m.
所以tan
∠ADB=
解得x=5(
+1).
所以A点离地面的高AB等于5(
+1)m.
方法二:因为∠ACB=45°,所以∠ACD=135°,
所以∠CAD=180°-135°-30°=15°.
由正弦定理,得AC=
·sin
∠ADC
=
·sin
30°=
(m),
所以AB=ACsin
45°=5(
+1)m.
2.选B.如图,由条件知四边形ABCD为正方形,
所以AB=CD=BC=AD=20
m.
在△DCE中,∠EDC=60°,∠DCE=90°,CD=20
m,
所以EC=CD·tan
60°=20
(m),
所以BE=BC+CE=(20+20
)=20(1+
)m.
3.选D.可得∠SAB=45°-30°=15°,
∠SBA=∠ABC-∠SBC=45°-(90°-75°)=30°,
在△ABS中,AB=
=1
000
(m),
所以BC=AB·sin
45°=1
000
×
=1
000(m).
【解题策略】
解决测量高度问题的一般步骤
(1)画图:根据已知条件画出示意图.
(2)分析三角形:分析与问题有关的三角形,在高度问题中,经常用到直角三角形.
(3)求解:运用正、余弦定理,有序地解相关的三角形,逐步求解.在解题中,要综合运用平面几何知识,注意方程思想的运用.
【补偿训练】
在200米高的山顶上,测得山下一建筑物顶端与建筑物底端的俯角分别为30°,60°,则该建筑物高为 米.?
【解析】如图,设AB为山高,D,C分别为建筑物顶端与建筑物底端.
在△ABC中,AC=
(米).
在△ACD中,
由正弦定理得CD=
(米).
答案:
类型二 利用余弦定理、正弦定理求角度问题(数学建模)
【典例】在海岸A处,发现北偏东45°方向,距A处(
-1)n
mile的B处有一艘走
私船,在A处北偏西75°的方向,距离A处2n
mile的C处的缉私船奉命以10
n
mile/h的速度追截走私船.此时,走私船正以10n
mile/h的速度从B处向北偏
东30°方向逃窜,问缉私船沿什么方向能最快追上走私船?
【思路导引】先画出示意图,再利用正弦、余弦定理解三角形.
【解析】设缉私船用t小时在D处追上走私船,画出示意图,
则有CD=10
t,BD=10t,
在△ABC中,因为AB=
-1,AC=2,∠BAC=120°,
所以由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos
∠BAC=(
-1)2+22-2×
(
-1)×2×cos
120°=6,
所以BC=
,且sin
∠ABC=
·sin
∠BAC=
所以∠ABC=45°,
所以BC与正北方向成90°角.
所以∠CBD=90°+30°=120°,
在△BCD中,由正弦定理,
得sin
∠BCD=
所以∠BCD=30°.
即缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船.
【解题策略】
解决测量角度的常用方法与注意点
(1)测量角度问题的关键是弄清题意,画出图形,并在图形中标出有关的角和距
离,再用正弦定理或余弦定理解三角形,最后将结果转化为实际问题的解.
(2)求角的度数时,多用余弦定理求角.因为余弦函数在(0,π)上是单调递减的,
而正弦函数不单调,一个正弦值可能对应两个角.若角在
上时,用正、余弦
定理皆可.
【跟踪训练】
甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60°方向的B处,两船相距a
n
mile,乙船向
正北方向行驶.若甲船的速度是乙船速度的
倍,问甲船应沿什么方向前进才
能最快追上乙船?相遇时乙船行驶了多少海里?
【解析】如图所示,设两船在C处相遇,并设∠CAB=θ,乙船行驶距离BC为x
n
mile,则AC=
x,
由正弦定理得sin
θ=
而θ<60°,所以θ=30°,所以∠ACB=30°,BC=AB=a.
所以甲船应沿北偏东30°方向前进才能最快追上乙船,两船相遇时乙船行驶了
a
n
mile.
类型三 余弦定理、正弦定理的综合应用(数学建模)
角度1 余弦定理、正弦定理在立体几何中的应用?
【典例】如图,为了测量河对岸的塔高AB,有不同的方案,其中
之一是选取与塔底B在同一水平面内的两个测点C和D,测得CD
=200米,在C点和D点测得塔顶A的仰角分别是45°和30°,
且∠CBD=30°,求塔高AB.
【思路导引】设AB=h.表示出BC=h,BD=
h,然后在△BCD中利用余弦定理求解.
【解析】在Rt△ABC中,∠ACB=45°,若设AB=h,则BC=h.在Rt△ABD中,
∠ADB=30°,则BD=
h.在△BCD中,由余弦定理可得CD2=BC2+BD2-
2·BC·BD·cos
∠CBD,
即2002=h2+(
h)2-2·h·
h·
,
所以h2=2002,解得h=200(h=-200舍去),
即塔高AB=200米.
角度2 余弦定理、正弦定理在三角形中的应用?
【典例】如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=
,BC=1,P为△ABC内一点,∠BPC=90°.
(1)若PB=
,求PA;
(2)若∠APB=150°,求tan
∠PBA.
【思路导引】(1)根据PB,BC的值及∠BPC求出∠PBC的值,再在△ABP中,求出∠PBA,利用余弦定理求出PA的长.
(2)根据∠PBA+∠PAB=30°,用∠PBA表示∠PAB,再利用正弦定理求出tan
∠PBA.
【解析】(1)由已知得,∠PBC=60°,所以∠PBA=30°,在△ABP中,由余弦定理得
PA2=3+
-2×
×
cos
30°=
,所以PA=
(负值舍去).
(2)设∠PBA=α,所以∠PCB=α,PB=sin
α.在△PBA中,由正弦定理得,
化简得
cos
α=4sin
α,所以tan
α=
,
即tan
∠PBA=
.
【解题策略】
在复杂图形中利用正弦定理、余弦定理解题的方法
(1)分析复杂图形,找准需要解决的问题所在的三角形,找出该三角形与其他三角形之间的关系.
(2)根据题目给出的条件,适当选用正弦定理或余弦定理解题.
【题组训练】
1.如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上,行驶600
m后到达B处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD=________m.?
【解析】由题意,在△ABC中,∠BAC=30°,∠ABC=180°-75°=105°,故
∠ACB=45°.
又AB=600
m,故由正弦定理得
解得BC=300
m.
在Rt△BCD中,CD=BC·tan
30°
=300
×
=100
(m).
答案:100
2.如图所示,位于A处的信息中心获悉:在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险,在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船,现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援,则cos
θ=
________.?
【解析】在△ABC中,AB=40,AC=20,∠BAC=120°,
由余弦定理知BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos
120°=2
800?BC=20
.
由正弦定理
?sin
∠ACB
=
·sin
∠BAC=
,∠BAC=120°,
则∠ACB为锐角,cos
∠ACB=
.
由θ=∠ACB+30°,则cos
θ=cos(∠ACB+30°)=cos
∠ACB·cos
30°-
sin
∠ACB·sin
30°=
.
答案:
余弦定理、正弦
定理应用举例
核心知识
方法总结
易错提醒
核心素养
有关概念
实际应用
解决实际测量中的角度问题时
(1)找准观测点以及参照物,根据“上北下南,左西右东”确定正北方向.
(2)分析图中的已知量和未知量,标出有关角和线段的大小.
(3)利用正弦定理或余弦定理解三角形,求出未知量.
高度问题
角度问题
1.数学抽象：常用的测量相关术语.
2.逻辑推理：将实际问题转化为数学问题.
3.数学运算：利用余弦定理、正弦定理求高度、角度.
4.数学模型：在适当的三角形中求解高度、角度.
解决测量高度问题的一般步骤是
课堂检测·素养达标
1.如图,两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等,灯塔A在观察站南偏西40°,灯塔B在观察站南偏东60°,则灯塔A在灯塔B的
( )
A.北偏东10°
B.北偏西10°
C.南偏东80°
D.南偏西80°
【解析】选D.由条件及题图可知,∠CAB=∠CBA=40°,又∠BCD=60°,所以∠CBD=30°,所以∠DBA=10°,因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.
2.在静水中划船的速度是每分钟40
m,水流的速度是每分钟20
m,如果船从岸边
A处出发,沿着与水流垂直的航线到达对岸,那么船的前进方向应指向河流的上
游并与河岸垂直方向所成的角为
( )
A.15°
B.30°
C.45°
D.60°
【解析】选B.如图所示,sin
∠CAB=
,所以∠CAB=30°.
3.甲、乙两人在同一地平面上的不同方向观测20
m高的旗杆,甲观测的仰角为
50°,乙观测的仰角为40°,用d1,d2分别表示甲、乙两人离旗杆的距离,那么有
( )
A.d1>d2
B.d1
C.d1>20
m
D.d2<20
m
【解析】选B.如图,设旗杆高为h,
则在直角三角形中有d1=
,d2=
.
因为tan
50°>tan
40°,所以d14.(教材二次开发:练习改编)一轮船从A点沿北偏东70°的方向行驶10海里至海岛B,又从B沿北偏东10°的方向行驶10海里至海岛C,若此轮船从A点直接沿直线行驶至海岛C,则此船沿________方向行驶________海里至海岛C.?
【解析】在△ABC中,∠ABC=110°+10°=120°.
又AB=BC,故∠CAB=∠ACB=30°,
AC=
故此船沿着北偏东70°-30°=40°方向行驶了10
海里到达海岛C.
答案:北偏东40° 10
5.泉城广场上矗立着的“泉标”,成为泉城济南的标志和象征.为了测量“泉标”高度,某同学在“泉标”的正西方向的点A处测得“泉标”顶端的仰角为45°,沿点A向北偏东30°前进100
m到达点B,在点B处测得“泉标”顶端的仰角为30°,则“泉标”的高度为________m.?
【解析】根据题意,画出图形为:
所以AB=100,∠BAC=60°,∠DBC=30°,
设DC=x
m,
所以AC=x
m,BC=
x
m,
在△ABC中,
利用余弦定理得,(
x)2=x2+1002-2×x×100×
,解得x=50.
答案:50(共39张PPT)
第3课时 余弦定理、正弦定理
应用举例——距离问题
必备知识·自主学习
导思
1.怎样求平面上无法到达的两点之间的距离?
2.测量平面上的距离时,需要知道哪些常见量?
有关的几个术语
1.基线的定义
在测量上,我们把根据测量的需要而确定的线段叫做_____,一般地讲,基线越长,
测量的精确度_____.
2.方向角:指以观测者为中心,指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于
90°的水平角,它是方位角的另一种表示形式.如图,左图中表示北偏东30°,右
图中表示南偏西60°.
基线
越高
(1)本质:基线、方向角等是在测量过程中人为设置的一些量.
(2)应用:选择合适的基线、方向角可以有效简化运算,提高测量的精确度.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)北偏东45°的方向就是东北方向.
( )
(2)已知三角形的三个角,能够求其三条边.
( )
(3)两个不可到达的点之间的距离无法求得.
( )
提示:(1)√.北偏东45°的方向就是北与东的中间位置,简称东北方向.
(2)×.因为要解三角形,至少要知道这个三角形的一条边.
(3)×.两个不可到达的点之间的距离我们可以借助第三个点和第四个点量出角度、距离求得.
2.两灯塔A,B与海洋观察站C的距离都等于2
km,灯塔A在观察站C的北偏东
30°,灯塔B在观察站C南偏东60°,则A,B之间的距离为
( )
A.2
km
B.3
km
C.4
km
D.5
km
【解析】选C.如图所示,∠ACB=90°,
又AC=BC=2
km,
在△ABC中由勾股定理得AB=
=4(km).
3.(教材二次开发:例题改编)如图,为了测量隧道AB的长度,给定下列四组数据,测量时应选用数据
( )
A.α,a,b
B.α,β,a
C.a,b,γ
D.α,β,b
【解析】选C.选择a,b,γ可直接利用余弦定理AB=
求解,而
α,β无法测量得到,故排除A,B,D.选C.
关键能力·合作学习
类型一 利用正弦、余弦定理解决简单的应用问题(数学建模)
【题组训练】
1.如图所示,设A,B两点在河的两岸,一测量者与A在河的同侧,在A所在的河岸边
先确定一点C,测出A,C的距离为50
m,∠ACB=45°,∠CAB=105°后,可以计算出
A,B两点的距离为
( )
A.50
m
B.50
m
C.25
m
D.
m
2.已知船A在灯塔C北偏东85°且到C的距离为2
km,船B在灯塔C北偏西65°且到
C的距离为
km,则A、B两船的距离为
( )
A.2
km
B.3
km
C.
km
D.
km
3.如图所示,为了测定河的宽度,在一岸边选定两点A、B,望对岸标记物C,测得∠CAB=30°,∠CBA=75°,AB=120
m,则河的宽度为
( )
A.230
m
B.240
m
C.50
m
D.60
m
【解析】1.选A.∠ABC=180°-45°-105°=30°,
在△ABC中由
得AB=100×
=50
(m).
2.选D.如图可知∠ACB=85°+65°=150°,AC=2
km,BC=
km,所以
AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos
150°=13,所以AB=
km.
3.选D.在△ABC中,∠CAB=30°,∠CBA=75°,
所以∠ACB=75°,∠ACB=∠ABC.
所以AC=AB=120
m.
如图,
作CD⊥AB,垂足为D,则CD即为河的宽度.
在Rt△ACD中,由正弦定理,
得
所以
所以CD=60,所以河的宽度为60
m.
【解题策略】
解决实际问题时,运用余弦定理、正弦定理的方法
(1)根据题意,若没有图形,先画出示意图,再从实际问题中抽象出三角形,然后利用正、余弦定理解三角形,得出实际问题的解.
(2)当题目中出现互补(余)的角时,注意补角(余角)之间的关系.
【补偿训练】
在相距2千米的A、B两点处测量目标点C,若∠CAB=75°,∠CBA=60°,则
A、C两点之间的距离为 千米.?
【解析】如图所示,由题意知C=180°-A-B=45°,由正弦定理得
所以AC=
(千米).
答案:
类型二 余弦定理、正弦定理在实际问题的综合应用(数学建模)
【典例】要测量对岸A,B两点之间的距离,选取相距
km的C、D两点,并测得
∠ACB=75°,∠BCD=45°,∠ADC=30°,∠ADB=45°,求A,B之间的距离.
【思路导引】先在不同的三角形中求出需要的量,再将这些距离、角度转化到
一个三角形中,然后利用正弦或余弦定理解三角形.
【解析】如图所示,在△ACD中,∠ACD=120°,∠CAD=∠ADC=30°,所以
AC=CD=
km.
在△BCD中,∠BCD=45°,∠BDC=75°,∠CBD=60°,所以BC=
在△ABC中,由余弦定理,得AB2=(
)2+
×cos
75°
=3+2+
-
=5,
所以AB=
km,
所以A,B之间的距离为
km.
【解题策略】
求距离问题时应注意的两点
(1)选定或确定所求量所在的三角形,若其他量已知,则直接求解;若有未知量,则先把未知量放在另一确定三角形中求解.
(2)确定用正弦定理还是余弦定理,如果都可用,就选择更便于计算的定理.
【跟踪训练】
已知A,B,C,D四个景点,如图,∠CDB=45°,∠BCD=75°,∠ADC=15°.A,D相距
2
km,C,D相距(3
-
)km,求A,B两景点的距离.
【解析】在△BCD中,∠CBD=180°-∠BCD-∠CDB=60°,由正弦定理得
即BD=
=2.
在△ABD中,∠ADB=45°+15°=60°,BD=AD,
所以△ABD为等边三角形,所以AB=2
km.
答:A,B两景点的距离为2
km.
类型三 函数与方程思想在正弦定理、余弦定理中的应用
角度1 方程思想的应用?
【典例】如图,一艘小船从码头A测得小岛B在北偏东53°方向,它沿北偏东方向
23°向距离A(20+20
)n
mile的C航行,在B处测得C在北偏西22°方向上,小岛
周围18n
mile有暗礁,若小船按原来的方向继续前进,是否有危险?
【思路导引】作BD⊥AC于点D,设BD=x
n
mile,
在Rt△ADB中,由∠DAB=30°,得出AD=
xn
mile,再根据AC=
n
mile,
列出方程,解方程求出x的值,与18比较即可.
【解析】如图,过点C作正北方向的平行线CM,
则∠ACM=23°,∠BCM=22°,
所以∠DCB=23°+22°=45°,
作BD⊥AC于点D,则∠BDC=90°,
因为∠DCB=∠DBC=45°,所以CD=BD.
设CD=BD=x
n
mile,在Rt△ADB中,因为∠ADB=90°,∠DAB=53°-23°=30°,所
以AD=
x
n
mile,
因为AC=AD+CD,所以x+
x=20+20
,
所以x=20,即BD=20
n
mile,因为20>18,
所以小船按原来的方向继续前进,没有危险.
角度2 函数思想的应用?
【典例】某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上,在小艇出发时,轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20n
mile的A处,并正以30n
mile/h的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以v
n
mile/h的航行速度匀速行驶,经过t
h与轮船相遇.
(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少?
(2)为保证小艇在30
min内(含30
min)能与轮船相遇,试确定小艇航行速度的最小值.
【思路导引】(1)设相遇时小艇的航行距离为S
n
mile,根据余弦定理可得S关
于t的表达式为
S=
,进而可知当t=
时,
S有最小值为10
,进而求得此时的速度v.
(2)设小艇与轮船在B处相遇.根据余弦定理可得v关于t的表达式,再根据t的范
围及二次函数的单调性求得v的最小值及此时t的值.
【解析】(1)设相遇时小艇航行的距离为S
n
mile,
则S=
=
=
.
故当t=
时,Smin=10
,v=
=30
(n
mile/h).
即小艇以30
n
mile/h的速度航行,相遇时小艇的航行距离最小.
(2)设小艇与轮船在B处相遇,如图所示.
由题意可得:(vt)2=202+(30t)2-2×20×30t×cos(90°-30°),化简得
v2=
由于0,即
≥2,所以当
=2时v取得最小值10
,即小艇航行速度的
最小值为10
n
mile/h.
【解题策略】
函数与方程思想在距离问题中的应用
(1)函数思想的应用
将三角形中边角之间的关系问题借助余弦定理和正弦定理建立函数关系,结合有关函数的图象和性质,加以分析、转化、解决有关求取值范围、最大(小)值问题.
(2)方程思想的应用
余弦定理和正弦定理涉及三个边和三个角共六个量,只要知道其中三个独立的量(必须有边)就能求出其余三个量.因此,解三角形的实际应用问题中,直接求相关量较难时,通常将问题的数量关系运用这两个定理转化为数学模型(方程、方程组)加以解决.
【题组训练】1.台风中心从A地以每小时20
km的速度向东北方向移动,离台风中心30
km内的地区为危险区,城市B在A的正东40
km处,B城市处于危险区内的时间为 小时.?
【解析】设A地东北方向上存在点P到B的距离为30
km,AP=x,
在△ABP中,PB2=AP2+AB2-2AP·AB·cos
A,
即302=x2+402-2x·40cos
45°,化简得x2-40
x+700=0,设方程的两根为
x1,x2,|x1-x2|2=(x1+x2)2-4x1x2=400,|x1-x2|=20,即图中的CD=20
km,故
t=
=1(小时).
答案:1
2.甲船在岛B的正南A处,AB=10千米,甲船以每小时4千米的速度向正北航行,同
时,乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去.当甲、乙两船
相距最近时,它们所航行的时间是 .?
【解析】设行驶x小时后甲到点C,乙到点D,两船相距y
km,则∠DBC=
180°-60°=120°.
所以y2=(10-4x)2+(6x)2-2(10-4x)·6xcos
120°=28x2-20x+100
=28
+100=28
+100,所以当x=
(小时)=
(分钟)时,y2有最
小值,所以y最小.
答案:
分钟
余弦定理、正弦定理应用举例
——距离问题
1.数学抽象：常用的测量相关术语；
2.逻辑推理：将实际问题转化为数学问题；
3.数学运算：利用余弦定理、正弦定理求距离；
4.数学模型：在适当的三角形中解距离。
核心知识
核心素养
方法总结
易错提醒
核心素养
1
解决应用题的思想方法
把实际问题转化为数学问题
2.求解三角形应用题的一般步骤
（1）审题（分析题意，根据题意，画出示意图）
（2）建模（将实际问题转化为解斜三角形的数学问题）
（3）求模（正确运用正、余弦定理求解）
（4）还原。
放第六章
6.4.3
第三课时
应用举例---距离问题
正文最后
分析转化
实际问题
解三角形问题
数学结论
检验
数学问题
1.选定或确定所求量所在的三角形，若其他量已知，则直接求解
2.若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解
课堂检测·素养达标
1.为了测量B,C之间的距离,在河岸A,C处测量,如图,测得下面四组数据,较合
理的是
( )
A.c与α
B.c与b
C.b,c与β
D.b,α与γ
【解析】选D.因为测量者在A,C处测量,所以较合理的应该是b,α与γ.
2.(教材二次开发:练习改编)海上有A,B两个小岛相距10
n
mile,从A岛望C岛和
B岛成60°的视角,从B岛望C岛和A岛成75°的视角,则B,C间的距离是
( )
A.10
n
mile
B.
n
mile
C.5
n
mile
D.5
n
mile
【解析】选D.在△ABC中C=180°-60°-75°=45°.
由正弦定理得
,所以
,
解得BC=5
n
mile.
3.学校体育馆的人字形屋架为等腰三角形,如图所示,测得AC的长度为
4
m,A=30°,则其跨度AB的长为
m.?
【解析】△ABC为等腰三角形,A=30°,
所以B=30°,C=120°,
所以由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos
C
=42+42-2×4×4×
=48,所以AB=4
m.
答案:4
4.海上某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°,距离为12
海里;在A处看
灯塔C,在货轮的北偏西30°,距离为8
海里;货轮向正北由A处航行到D处
时看灯塔B在南偏东60°,求:
(1)A处与D处之间的距离;
(2)灯塔C与D处之间的距离.
【解析】由题意,画出示意图.
(1)在△ABD中,因为∠ADB=60°,∠DAB=75°,
所以B=45°.
由正弦定理得AD=
·sin
45°=24(海里).
所以A处与D处之间的距离为24海里.
(2)在△ADC中,由余弦定理得CD2=AD2+AC2-2AD·ACcos
30°=242+(8
)2-
2×24×8
×
=(8
)2,所以CD=8
海里.所以C,D之间的距离为8
海里.(共40张PPT)
第2课时 正
弦
定
理
必备知识·自主学习
1.正弦定理
(1)正弦定理
(2)本质:三角形中,边与其对角的正弦之间的关系.
条件
在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c
结论
____=
=_____=2R(R是△ABC外接圆的半径)
文字
叙述
在一个三角形中,各边和它所对角的_____的比相等
正弦
【思考】
利用正弦定理可以解决哪些类型的问题?
提示:(1)已知两角和任意一边,求其他两边和第三个角;
(2)已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角,从而求出其他的边和角.
2.正弦定理的变形
若R为△ABC外接圆的半径,则
(1)a=2Rsin
A,b=2Rsin
B,c=2Rsin
C;
(2)sin
A=
,sin
B=
,sin
C=
;
(3)sin
A∶sin
B∶sin
C=a∶b∶c;
(4)
=2R.
(5)S△=
absin
C=
bcsin
A=
acsin
B.
【思考】
如何利用正弦定理把三角形的边化为角,角化为边?
提示:利用正弦定理的变式a=2Rsin
A,b=2Rsin
B,c=2Rsin
C实现边化角;利用
公式sin
A=
,sin
B=
,sin
C=
角化边.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)正弦定理不适用于直角三角形.
( )
(2)在△ABC中,若sin
A=sin
B,则A=B.
( )
(3)在△ABC中,若A>B,则sin
A>sin
B.
( )
提示:
(1)×.正弦定理是适用于任何三角形的.
(2)√.在△ABC中,若sin
A=sin
B,由正弦定理得
=
,故a=b,则A=B.
(3)√.在△ABC中,若A>B,则a>b,由正弦定理得2Rsin
A>2Rsin
B,所以sin
A>sin
B.
2.在△ABC中,a=3,b=5,sin
A=
,则sin
B=
( )
A.
B.
C.
D.1
【解析】选B.因为a=3,b=5,sin
A=
,所以由正弦定理得
3.(教材二次开发:例题改编)在△ABC中,若∠A=60°,∠B=45°,BC=3
,
则AC=
( )
A.4
B.2
C.
D.
【解析】选B.由正弦定理得:
所以
关键能力·合作学习
类型一 已知两角及一边解三角形(数学运算)
【题组训练】
1.(2020·东莞高一检测)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b=2,B=45°,C=120°,则边c=
( )
A.
B.
C.2
D.
2.在△ABC中,a=10,B=60°,cos
C=
,则c等于
( )
A.20(
+2)
B.20(
-2)
C.
+2
D.20
3.在△ABC中,已知c=10,A=45°,C=30°,解这个三角形.
【解析】1.选D.因为b=2,B=45°,C=120°,所以由正弦定理
可得
所以解得c=
.
2.选B.由cos
C=
得
sin
A=sin(B+C)=sin
Bcos
C+cos
Bsin
C
由正弦定理得
3.因为A=45°,C=30°,所以B=180°-(A+C)=105°.
由
得
因为sin
75°=sin(30°+45°)
=sin
30°cos
45°+cos
30°sin
45°=
,
所以
所以a=10
,b=5
+5
,B=105°.
【解题策略】
已知三角形的两角和任一边解三角形的思路
(1)若所给边是已知角的对边时,可由正弦定理求另一角所对的边,再由三角形内角和定理求出第三个角.
(2)若所给边不是已知角的对边时,先由三角形内角和定理求出第三个角,再由正弦定理求另外两边.
【补偿训练】
1.在△ABC中,已知a=8,B=60°,C=75°,则b=
( )
【解析】选C.A=180°-B-C=45°,由正弦定理
,
得
2.在△ABC中,A=60°,sin
B=
,a=3,求三角形中其他边与角的大小.
【解析】因为sin
B=
,所以B=30°或150°,当B=30°时,由A=60°得C=90°;
当B=150°时,不合题意,舍去.所以由正弦定理
得
类型二 已知两边及其中一边的对角解三角形(数学运算)
【典例】1.在△ABC中,若a=3,b=
,A=
,则C的大小为
( )
A.
B.
C.
D.
2.在△ABC中,已知c=
,A=45°,a=2,解这个三角形.
【解题导引】1.利用正弦定理求出角B,再利用三角形的内角和求角C.
2.利用正弦定理求出sin
C的值,再解其他元素,注意三角形解的个数.
【解析】1.选D.由正弦定理得:
所以sin
B=
.又a>b,所以A>B,所以B=
,
所以
2.因为
所以
因为0°所以C=60°或C=120°.
当C=60°时,B=75°,
当C=120°时,B=15°,
所以b=
+1,B=75°,C=60°
或b=
-1,B=15°,C=120°.
【解题策略】
已知两边及其中一边的对角解三角形的思路
(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值;
(2)如果已知的角为大边所对的角时,由三角形中大边对大角,大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角,由正弦值可求锐角;
(3)如果已知的角为小边所对的角,不能判断另一边所对的角为锐角时,这时由正弦值可求出两个角,要分类讨论.
【跟踪训练】
1.在△ABC中,cos
A=
,a=4
,b=4
,则B等于
( )
A.45°或135°
B.135°
C.45°
D.60°
【解析】选C.由cos
A=
,得sin
A=
,A=60°,由正弦定理得
因为三角形的内角和为180°,且a>b,所以B=45°.
2.已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边,若A=60°,c=6,a=6,则此三角形有
( )
A.两解
B.一解
C.无解
D.无穷多解
【解析】选B.由等边对等角可得C=A=60°,由三角形的内角和可得B=60°,所以此三角形为正三角形,有唯一解.
类型三 正弦定理、余弦定理的综合应用(数学运算,逻辑推理)
角度1 三角形形状的判断?
【典例】在△ABC中,若sin
A=2sin
Bcos
C,且sin
2A=sin
2B+sin
2C,试判断△ABC的形状.
【思路导引】解决本题的关键是把sin
2A=sin
2B+sin
2C转化为三角形三边的关系,从而求出角A,然后再利用sin
A=2sin
Bcos
C求解.
【解析】方法一:(利用角的互余关系)根据正弦定理
及sin2A=sin
2B+sin
2C,可得a2=b2+c2,
所以A是直角,B+C=90°,所以2sin
Bcos
C
=2sin
Bcos(90°-B)=2sin
2B=sin
A=1,
所以sin
B=
.因为0°所以△ABC是等腰直角三角形.
方法二:(利用角的互补关系)根据正弦定理,
及sin
2A=sin
2B+sin
2C,
可得a2=b2+c2,所以A是直角.
因为A=180°-(B+C),sin
A=2sin
Bcos
C,
所以sin(B+C)=sin
Bcos
C+cos
Bsin
C=2sin
Bcos
C,所以sin(B-C)=0.
又-90°所以△ABC是等腰直角三角形.
【变式探究】
将本例条件“sin
A=2sin
Bcos
C,且sin
2A=sin
2B+sin2C”改为“a2tan
B
=b2tan
A”,试判断△ABC的形状.
【解析】在△ABC中,由
可得
所以
又因为a2tan
B=b2tan
A,所以
所以
所以sin
Acos
A=sin
Bcos
B,
即sin
2A=sin
2B,所以2A=2B或2A+2B=π,
即A=B或A+B=
.
所以△ABC为等腰三角形或直角三角形.
角度2 正弦、余弦定理的综合应用?
【典例】1.在△ABC中,若a=3
,cos
C=
,S△ABC=
,则b= .?
2.(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.
设(sin
B-sin
C)2=sin2A-sin
Bsin
C.
(1)求A.
(2)若
a+b=2c,求sin
C.
【思路导引】1.根据cos
C的值,求出sin
C的值,再根据三角形的面积公式
求出边b的值;
2.(1)由正弦定理化角为边,再用余弦定理的推论求角A;
(2)由正弦定理化边为角,结合(1)的结论,利用三角恒等变换求sin
C.
【解析】1.因为cos
C=
,所以C∈
,
所以
又S△ABC=
absin
C
所以b=2
.
答案:2
2.(1)由已知得sin2B+sin2C-sin2A=sin
Bsin
C,
故由正弦定理得b2+c2-a2=bc.
由余弦定理的推论,得cos
A=
因为0°(2)由(1)知B=120°-C,
由题设及正弦定理得
sin
A+sin(120°-C)=2sin
C,
即
+
cos
C+
sin
C=2sin
C,
可得cos(C+60°)=-
.
由于0°,
故sin
C=sin(C+60°-60°)
=sin(C+60°)cos
60°-cos(C+60°)sin60°=
【解题策略】
判断三角形的形状
(1)看该三角形是否为某些特殊的三角形,如锐角三角形、直角三角形、钝角三角形、等边三角形、等腰三角形、等腰直角三角形等.
(2)已知三角形中的边角关系式,判断三角形的形状,可以考虑用正弦定理化边为角,再利用三角恒等变换找出三个角之间的关系,或者化角为边,通过代数恒等变换找出三边之间的关系,再给出判断.
【题组训练】
1.(2020·濮阳高一检测)已知a,b,c分别是△ABC的内角A,B,C所对的边,满足
则△ABC的形状是
( )
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等边三角形
D.等腰直角三角形
【解析】选C.由正弦定理得
又
得
即tan
A=tan
B=tan
C,所以A=B=C,即△ABC为等边三角形.
2.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若c-acos
B=(2a-b)cos
A,则△ABC
的形状是
( )
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形
D.等腰三角形或直角三角形
【解析】选D.已知c-acos
B=(2a-b)cos
A,由正弦定理得sin
C-sin
Acos
B
=2sin
Acos
A-sin
Bcos
A,所以sin(A+B)-sin
Acos
B=2sin
Acos
A-sin
Bcos
A,
化简得cos
A(sin
B-sin
A)=0,所以cos
A=0或sin
B-sin
A=0,则A=90°或A=B,
故△ABC为等腰三角形或直角三角形.
【补偿训练】
在△ABC中,若sin
A>sin
B,则有
( )
A.aB.a≥b
C.a>b
D.a,b的大小无法判定
【解析】选C.因为
所以
因为在△ABC中,sin
A>0,sin
B>0,
所以
所以a>b.
核心素养
易错提醒
方法总结
核心
知识
1.正弦定理
2
推论.
3.利用正弦定理解三角形.
已知两角及一边解三角形
(1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一边，再由三角形内角和定理求出第三个角，最后由正弦定理求第三边.
(2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边.
已知两边及一边的对角解三角形
(1)由正弦定理求出另一边对角的正弦值.
(2)如果已知的角为大边所对的角时，由正弦值可求锐角即为另一边所对的角．
(3)如果已知的角为小边所对的角时，要分类讨论．
已知两边和其中一边所对角解三角形时可能会出现无解、一解、两解的情况.
注意“大边对大角、大角对大边”．
1.数学抽象：正弦定理及其变形、三角形面积公式.
2.逻辑推理：用正弦定理及其变形解决相关问题.
3.数学运算：解三角形.
课堂检测·素养达标
1.在△ABC中,一定成立的式子是
( )
A.asin
A=bsin
B
B.acos
A=bcos
B
C.asin
B=bsin
A
D.acos
B=bcos
A
【解析】选C.由正弦定理
得asin
B=bsin
A.
2.(2020·珠海高一检测)在锐角△ABC中,下列不等关系总成立的是( )
A.sin
AB
B.sin
BA
C.sin
A>sin
B
D.sin
B>cos
A
【解析】选D.因为在锐角△ABC中,0>A>
-B>0,因为
sin
A>sin
=cos
B,故A选项不正确,
因为sin
A与sin
B大小不定,所以C选项不正确,
所以cos
A=sin
B,
所以B不正确,D选项正确.
3.(教材二次开发:练习改编)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知
A=
,a=1,b=
,则B= .?
【解析】因为
把A=
,a=1,b=
代入,解得sin
B=
.因为b>a,
所以B>A,结合题意可知B=
或
.
答案:
或
4.在△ABC中,若
则B的度数为 .?
【解析】根据正弦定理知,
结合已知条件可得sin
B=cos
B,
又0°答案:45°
5.在△ABC中,AB=
,A=45°,B=60°,则BC= .?
【解析】利用正弦定理
而C=180°-(A+B)=75°,
故
答案:(共37张PPT)
第1课时 余
弦
定
理
必备知识·自主学习
1.余弦定理
(1)定理
余弦
定理
公式
表达
a2=
______________,
b2=
______________,
c2=
______________
语言
叙述
三角形中任何一边的平方,等于其他两边平方
的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍
推论
b2+c2-2bccos
A
a2+c2-2accos
B
a2+b2-2abcos
C
(2)本质:把用SAS、SSS判定三角形全等的方法从数量化的角度进行了刻画,即把几何中关于三角形的定性结论变成了可定量计算的公式.
(3)应用:已知三角形的两边及一角求其他边和角或已知三角形的三边,求三角形的三角.
【思考】
已知三角形的两边及其一角,三角形的其他元素是否唯一确定?
提示:(1)当已知两边及其夹角时,由余弦定理可知,不妨设a,b边和其夹角C已知,
则c2=a2+b2-2abcos
C,c唯一,cos
B=
,因为0也唯一,所以三角形其他元素唯一确定.
(2)当已知两边和其中一边的对角时,如已知a,b,A,可用a2=b2+c2-2bccos
A求解
c,可能有两解.
2.三角形的元素与解三角形
(1)三角形的元素
三角形的____________和它们的__________叫做三角形的元素.
(2)解三角形
已知三角形的_________求其他_____的过程叫做解三角形.
三个角A,B,C
对边a,b,c
几个元素
元素
【思考】
已知三角形的三个角能不能解三角形?
提示:根据余弦定理知,已知三角形的两边及一角或已知三角形的三条边,可以解三角形,根据三角形的三个角,无法解三角形.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)在三角形中,勾股定理是余弦定理的一个特例.
( )
(2)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系,因此,它适应于任何三角形.
( )
(3)在△ABC中,已知两边和其夹角时,△ABC不唯一.
( )
提示:(1)√.余弦定理可以看作勾股定理的推广.
(2)√.余弦定理反映了任意三角形的边角关系,它适合于任何三角形.
(3)×.由余弦定理可知,已知△ABC的两边和其夹角时,第三边是唯一确定的,所以△ABC是唯一的.
2.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=4,b=5,c=
,则角C等于
( )
A.120°
B.90°
C.60°
D.45°
【解析】选A.由余弦定理的推论,得cos
C=
=
,
所以C=120°.
3.(教材二次开发:例题改编)已知在△ABC中,a=1,b=2,C=60°,则c= .?
【解析】由余弦定理,得c2=12+22-2×1×2×cos
60°=3,所以c=
.
答案:
关键能力·合作学习
类型一 已知两边及一角解三角形(数学运算)
【题组训练】
1.(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC中,cos
,BC=1,AC=5,则AB=
( )
2.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=
,c=2,cos
A=
,则
b=
( )
A.
B.
C.2
D.3
3.在△ABC中,已知b=3,c=3
,B=30°,则角C= .?
【解析】1.选A.cos
C=2cos2
-1=2×
-1=-
,在△ABC中,
由余弦定理AB2=CA2+CB2-2CA·CB·cos
C,
得AB2=25+1-2×5×1×
=32,
所以AB=4
.
2.选D.由余弦定理得5=22+b2-2×2bcos
A,
因为cos
A=
,所以3b2-8b-3=0,
所以b=3或b=-
(舍去).
3.由余弦定理b2=a2+c2-2accos
B,
得32=a2+(3
)2-2a×3
×cos
30°,
所以a2-9a+18=0,得a=3或6.
当a=3时,A=30°,所以C=120°.
当a=6时,因为32+
=9+27=36=62.
所以A=90°,所以C=60°.
答案:60°或120°
【解题策略】
解决“已知两边及一角”解三角问题的步骤
(1)用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程,运用解方程的方法求出此边长.
(2)再用余弦定理和三角形内角和定理求出其他两角.
【补偿训练】
在△ABC中,边a,b的长是方程x2-5x+2=0的两个根,C=60°,则边c= .?
【解析】由题意:a+b=5,ab=2.
由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos
C=a2+b2-ab
=(a+b)2-3ab=52-3×2=19,所以c=
.
答案:
类型二 已知三边解三角形(数学运算)
【典例】1.在△ABC中,若(a+c)(a-c)=b(b-c),则A等于
( )
A.90°
B.60°
C.120°
D.150°
2.在△ABC中,已知a=2
,b=6+2
,c=4
,求A,B,C.
【思路导引】1.展开后利用余弦定理的推论求角.
2.根据题目给出的三边长,利用余弦定理的推论求角A、C,再根据三角形的内角
和求角B.
【解析】1
.选B.因为(a+c)(a-c)=b(b-c),
所以b2+c2-a2=bc,
所以cos
A=
因为0°2.根据余弦定理的推论得,
cos
A=
因为A∈(0,π),所以A=
,cos
C=
因为C∈(0,π),所以C=
.
所以B=π-A-C=π-
所以A=
【解题策略】
已知三角形的三边解三角形的方法
(1)利用余弦定理的推论求出两个角,最后利用三角形的内角和定理求出第三个角.
(2)若已知三角形三边的比例关系,常根据比例的性质引入k,从而转化为已知三边求解.
【跟踪训练】
(2020·苏州高一检测)在△ABC中,AB=3,BC=
,AC=4,则AC边上的高为
( )
【解析】选B.由BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos
A,可得13=9+16-2×3×4×cos
A,得
cos
A
=
.
因为A为△ABC的内角,所以A=
,所以AC边上的高为AB·sin
A=3×
类型三 余弦定理的综合应用(数学运算,逻辑推理)
角度1 求值问题?
【典例】1.在△ABC中,已知a=3,b=5,c=
,则最大角与最小角的和为( )
A.90°
B.120°
C.135°
D.150°
2.若△ABC的内角A,B,C所对的边a,b,c满足(a+b)2-c2=4,且C=60°,则
ab= .?
【思路导引】1.根据题意,利用三角形“大边对大角”“小边对小角”判断最大角和最小角,求出中间角后,根据三角形的内角和求解.
2.把已知关系式化简,根据化简结果和角C=60°求出ab即可.
【解析】1.选B.在△ABC中,因为a=3,b=5,c=
,
所以最大角为B,最小角为A,
所以cos
C=
,所以C=60°,所以A+B=120°,所以△ABC中
的最大角与最小角的和为120°.
2.因为C=60°,所以c2=a2+b2-2abcos
60°,
即c2=a2+b2-ab.①
又因为(a+b)2-c2=4,所以c2=a2+b2+2ab-4.②
由①②知-ab=2ab-4,所以ab=
.
答案:
角度2 判断三角形的形状?
【典例】在△ABC中,若b2sin
2C+c2sin
2B=2bccos
Bcos
C,试判断△ABC的形状.
【思路导引】先将正弦转化为余弦,化简后利用余弦定理的推论判断.
【解析】将已知等式变形为b2(1-cos
2C)+c2(1-cos
2B)=2bccos
Bcos
C.
即b2+c2=b2cos2C+c2cos2B+2bccos
Bcos
C
=(bcos
C+ccos
B)2
所以A=90°.所以△ABC是直角三角形.
【解题策略】
利用余弦定理判断三角形形状的两种途径
(1)化边的关系:将条件中的角,利用余弦定理化为边的关系,再变形条件判断.
(2)化角的关系:将条件转化为角与角之间的关系,通过三角变换得出关系进行判断.
【题组训练】
1.在△ABC中,A=60°,a2=bc,则△ABC一定是
( )
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.等边三角形
【解析】选D.在△ABC中,因为A=60°,a2=bc,所以由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos
A=b2+c2-bc,所以bc=b2+c2-bc,即(b-c)2=0,
所以b=c,结合A=60°可得△ABC一定是等边三角形.
2.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos
C+ccos
B=asin
A,则
△ABC的形状是
( )
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.不确定
【解析】选B.因为bcos
C+ccos
B=asin
A,所以由余弦定理得b·
=asin
A,整理,得a=asin
A,所以sin
A=1.
又A∈(0,π),所以A=
.
故△ABC为直角三角形.
3.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍,那么它的顶角的余弦值为
( )
【解析】选D.设顶角为C,周长为l,因为l=5c,所以a=b=2c,由余弦定理的推论,
得cos
C=
余弦定理
方法总结
核心知识
易错提醒
核心素养
1.余弦定理
2.推论：
3.利用余弦定理解三角形
(1)已知三角形三边求角，直接利用余弦定理.
(2)若已知三边的比例关系，常根据比例的性质引入k，
从而转化为已知三边求角．
(3)已知三角形的任意两边及它们的夹角可以先求出第三边，
然后再求解其他量.
注意“大边对大角、大角对大边”．
数学抽象：余弦定理及其推论.
逻辑推理：余弦定理在边角互化中的应用.
数学运算：解三角形.
课堂检测·素养达标
1.在△ABC中,已知B=120°,a=3,c=5,则b等于
( )
A.4
B.
C.7
D.5
【解析】选C.b2=a2+c2-2accos
B
=32+52-2×3×5×cos
120°=49,所以b=7.
2.在△ABC中,角A,B,C对应的边分别为a,b,c,C=60°,a=4b,c=
,则b=
( )
A.1
B.2
C.3
D.
【解析】选A.由余弦定理知(
)2
=a2+b2-2abcos
60°,
因为a=4b,所以13=16b2+b2-2×4b×b×
,
解得b=1.
3.(教材二次开发:练习改编)已知a,b,c是△ABC的三边长,若满足等式(a+
b-c)·(a+b+c)=ab,则角C的大小为
( )
A.60°
B.90°
C.120°
D.150°
【解析】选C.由(a+b-c)(a+b+c)=ab,得(a+b)2-c2=ab,所以c2=a2+b2+ab=a2+
b2-2abcos
C,
所以cos
C=-
,所以C=120°.
4.在△ABC中,sin
2
,则△ABC的形状为
( )
A.正三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形
D.等腰三角形
【解析】选B.因为sin
2
,所以cos
A=
,
所以a2+b2=c2,所以c=90°,所以△ABC为直角三角形.
5.在△ABC中,已知a=5,b=3,角C的余弦值是方程5x2+7x-6=0的根,求第三边c的长.
【解析】5x2+7x-6=0可化为(5x-3)·(x+2)=0,
所以x1=
,x2=-2,所以cos
C=
.
根据余弦定理得,c2=a2+b2-2abcos
C
=52+32-2×5×3×
=16,所以c=4,
即第三边c的长为4.(共57张PPT)
6.4 平面向量的应用
6.4.1 平面几何中的向量方法
6.4.2 向量在物理中的应用举例
必备知识·自主学习
导思
1.用向量方法解决平面几何问题的基本步骤是什么?
2.向量在物理中有哪些应用?
1.用向量方法解决平面几何问题的步骤
(1)“三步曲”:
①建立平面几何与向量的联系,用_____表示问题中涉及的几何元素,将平面
几何问题转化为_________;
②通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如_____、_____等问题;
③把运算结果“翻译”成_________.
(2)本质:向量具有明确的几何背景(即有向线段),利用向量解决平面几何问题.
向量
向量问题
距离
夹角
几何关系
(3)应用:
①证明线段平行或点共线问题,常用共线向量定理:a∥b?a=λb(b≠0)?
x1y2-x2y1=0;
②证明垂直问题,常用数量积的运算性质:a⊥b?a·b=0?x1x2+y1y2=0;
③求夹角问题,用夹角公式:cos
θ=
=
(θ为a与b的夹角);
④计算线段长度,常用模长公式:|AB|=
【思考】
联系向量的两种表示方法(几何表示和坐标表示),想一想利用向量解决平面几何问题有哪些思路?
提示:两种思路:一种思路是选择一个基底(选择的基底的长度和夹角应该是已知的,这样方便计算),利用基向量表示涉及的向量;一种思路是建立坐标系,求出题目中涉及的向量的坐标.这两种思路都是通过向量的计算获得几何命题的证明.
2.向量在物理中的应用
(1)物理问题中常见的向量有_______________等.
(2)向量的加减法运算体现在一些物理量的_____和_____中.
(3)动量mv是向量的_____运算.
(4)功是____与______的数量积.
力、速度、位移
合成
分解
数乘
力F
位移s
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)若△ABC是直角三角形,则有
=0.
( )
(2)若
,则直线AB与CD平行.
( )
(3)求力F1和F2的合力可按照向量加法的平行四边形法则.
( )
提示:(1)×.因为△ABC为直角三角形,B并不一定是直角,有可能是A或C为直角.
(2)×.向量
时,直线AB∥CD或AB与CD重合.
(3)√.物理中的力既有大小又有方向,所以力可以看作向量,求力F1和F2的合力
可按照向量加法的平行四边形法则.
2.若平面四边形ABCD满足
=0,(
)·
=0,则该四边形一定
是
( )
A.直角梯形
B.矩形
C.菱形
D.正方形
【解析】选C.由
=0,得平面四边形ABCD是平行四边形,由(
)·
=0,得
·
=0,即平行四边形ABCD的对角线互相垂直,则该四边形一定
是菱形.
3.(教材二次开发:练习改编)在平面直角坐标系中,力F=(2,3)作用一物体,使物体从点A(2,0)移动到点B(4,0),则力F对物体作的功为 .?
【解析】根据题意,力F对物体作的功为
W=F·
=(2,3)·(4-2,0-0)=2×2+3×0=4.
答案:4
关键能力·合作学习
类型一 向量在平面几何证明问题中的应用(逻辑推理)
【题组训练】
【典例】1.已知点O,P在△ABC所在平面内,且
则点O,P依次是△ABC的
( )
A.重心,垂心
B.重心,内心
C.外心,垂心
D.外心,内心
2.四边形ABCD是正方形,P是对角线DB上的一点(不包括端点),E,F分别在边BC,DC上,且四边形PFCE是矩形,试用向量方法证明:PA=EF.
【思路导引】1.注意三角形的外心到三个顶点距离相等、内心到三边距离
相等、垂心是高所在直线的交点、重心是中线的交点.
2.建立平面直角坐标系,利用向量的坐标运算证明|
|=|
|.
【解析】1.选C.由
知点O为△ABC的外心.因为
所以
=0,所以
=0,所以
,所以CA⊥PB.同理,PA⊥CB,
所以点P为△ABC的垂心.
2.建立如图所示的平面直角坐标系,
设正方形的边长为1,DP=λ(0<λ<
),则A(0,1),
所以
所以
所以|
|=|
|,所以PA=EF.
【变式探究】
若典例1改为:
若O是△ABC内一点,
=0,则O为△ABC的
( )
A.内心
B.外心
C.垂心
D.重心
【解析】选D.如图,取AB的中点E,连接OE,
则
又
=0,
所以
.又O为公共点,
所以O,C,E三点共线,且
所以O为△ABC的重心.
【解题策略】
利用向量证明问题
(1)常见的利用向量证明的问题.
①利用共线向量定理证明线段平行或点共线;
②利用向量的模证明线段相等;
③利用向量的数量积为0证明线段垂直.
(2)常用的两个方法.
①基向量法:选取已知的不共线的两个向量作为基向量,用基向量表示相关向量,转化为基向量之间的向量运算进行证明;
②坐标法:先建立平面直角坐标系,表示出点、向量的坐标,利用坐标运算进行证明.
【跟踪训练】
在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠CDA=∠DAB=90°,CD=DA=
AB,求证:AC⊥BC.
【证明】方法一:因为∠CDA=∠DAB=90°,AB∥CD,CD=DA=
AB,
故可设
=e1,
=e2,|e1|=|e2|,则
=2e2.
所以
=e1+e2,
=(e1+e2)-2e2=e1-e2.而
·
=(e1+e2)·(e1-e2)=
=|e1|2-|e2|2=0,所以
,即AC⊥BC.
方法二:如图,建立平面直角坐标系,
设CD=1,则A(0,0),B(2,0),C(1,1),D(0,1).
所以
=(-1,1),
=(1,1).
所以
·
=(-1,1)·(1,1)=-1+1=0.
所以AC⊥BC.
【补偿训练】
已知△ABC是直角三角形,CA=CB,D是CB的中点,E是AB上的一点,且AE=2EB.
求证:AD⊥CE.
【证明】如图所示,以C为原点,CA所在直线为x轴,CB所在直线为y轴,
建立平面直角坐标系.设AC=a,则A(a,0),B(0,a),D
,C(0,0),E
所以
所以
所以AD⊥CE.
类型二 向量在平面几何计算问题中的应用(数学运算)
【典例】如图所示,在矩形ABCD中,AB=
,BC=3,BE⊥AC,垂足为E,求ED的长.
【解题策略】
1.用向量方法求长度的策略
(1)利用图形特点选择基底,向量的数量积转化,用公式|a|2=a2求解.
(2)建立坐标系,确定相应向量的坐标,代入公式:若a=(x,y),则|a|=
2.向量数量积、夹角的计算
利用向量或坐标表示出未知向量,代入相应的公式进行计算.
【跟踪训练】
求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的余弦值.
【解析】如图,分别以等腰直角三角形的两直角边所在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系,
设A(2a,0),B(0,2a),则D(a,0),C(0,a),
所以
=(-2a,a),
=(a,-2a),不妨设
的夹角为θ,
则cos
θ=
故所求钝角的余弦值为-
.
【补偿训练】
如图,平行四边形ABCD中,已知AD=1,AB=2,对角线BD=2,求对角线AC的长.
【解析】设
=a,
=b,则
=a-b,
=a+b,
而|
|=|a-b|=
所以5-2a·b=4,
所以a·b=
,又|
|2=|a+b|2=a2+2a·b+b2
=1+2a·b+4=6,所以|
|=
,即AC=
.
类型三 向量在物理中的应用(数学建模)
角度1 矢量分解合成问题?
【典例】如图,用两根分别长5
m和10
m的绳子,将100
N的物体吊在水平屋顶AB上,平衡后,G点距屋顶距离恰好为5
m,求A处所受力的大小(绳子的重量忽略不计).
【思路导引】画图分析A处所受力Fa,B处所受力Fb,物体的重力G这三个力的关系.
【解析】如图,由已知条件可知AG与铅垂方向成45°角,BG与铅垂方向成60°角.
设A处所受力为Fa,B处所受力为Fb,物体的重力为G,
因为∠EGC=60°,∠EGD=45°,
则有|Fa|cos
45°+|Fb|cos
60°=|G|=100,①
且|Fa|sin
45°=|Fb|sin
60°,②
由①②解得|Fa|=150
-50
,
所以A处所受力的大小为(150
-50
)N.
角度2 做功问题?
【典例】已知力F(斜向上)与水平方向的夹角为30°,大小为50
N,一个质量为
8
kg的木块受力F的作用在动摩擦因数μ=0.02
的水平面上运动了20
m.问力F和摩擦力f所做的功分别为多少?(g=10
m/s2)
【思路导引】解答本题首先要确定摩擦力f的大小及其与位移所成的角,然后利用向量数量积运算求值.
【解析】如图所示,设木块的位移为s,
则WF=F·s=|F||s|cos
30°=50×20×
将力F分解,它在铅垂方向上的分力F1的大小为
|F1|=|F|sin
30°=50×
=25(N),所以摩擦力f的大小为|f|=|μ(G-F1)|
=(80-25)×0.02=1.1(N),
因此Wf=f·s=|f||s|cos
180°=1.1×20×(-1)
=-22(J).
即F和f所做的功分别为500
J和-22
J.
【解题策略】
用向量方法解决物理问题的步骤
(1)把物理问题中的相关量用向量表示;
(2)转化为向量问题的模型,通过向量运算使问题解决;
(3)结果还原为物理问题.
【题组训练】
1.若物体在共点力F1=(lg
2,lg
2),F2=(lg
5,lg
2)的作用下产生位移
s=(2lg
5,1),则共点力对物体所做的功W为
( )
A.lg
2
B.lg
5
C.1
D.2
【解析】选D.W=(F1+F2)·s=(lg
2+lg
5,2lg
2)·(2lg
5,1)
=(1,
2lg
2)·(2lg
5,1)=2lg
5+2lg
2=2.
2.一条河的宽度为d,一只船从A出发到河的正对岸B处,船速为v1,水速为v2,
则船行到B处时,行驶速度的大小为
( )
A.
B.|v1|2-|v2|2
C.
D.
【解析】选D.如图,由平行四边形法则和解直角三角形的知识,
可得|v|2=|v1|2-|v2|2.
【补偿训练】
如图所示,一个物体受到同一平面内三个力F1,F2,F3的作用,沿北偏东45°的方向移动了8
m,其中|F1|=2
N,方向为北偏东30°;|F2|=4
N,方向为北偏东60°;|F3|=6
N,方向为北偏西30°,求合力F所做的功.
【解析】以O为原点,正东方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系,如图所示,
则F1=(1,
),F2=(2
,2),F3=(-3,3
),所以F=F1+F2+F3=(2
-2,2+4
).
又
=(4
,4
),
故F·
=(2
-2)×4
+(2+4
)×4
=4
×6
=24
.
合力F所做的功为24
J.
平面几何中的向量方法
向量在物理中的应用举例
1.向量方法解决平面几何问题“三步曲”.
2.
用向量法解决物理问题.
核心知识
方法总结
核心素养
1.数学抽象：平面几何图形的有关问题,用向量
的线性运算及数量积表示.
2.数学运算：向量的线性运算及数量积表示.
3.数学建模：数形结合，将物理问题向量化.
课堂检测·素养达标
1.如图所示,一力作用在小车上,其中力F的大小为10
N,方向与水平面成60°角,当小车向前运动10米,则力F做的功为
( )
A.100焦耳
B.50焦耳
C.50
焦耳
D.200焦耳
【解析】选B.设小车位移为s,则|s|=10米,WF=F·s=|F||s|·cos
60°
=10×10×
=50(焦耳).
2.已知A,B,C,D四点的坐标分别是(1,0),(4,3),(2,4),(0,2),则此四边形
为
( )
A.梯形
B.菱形
C.矩形
D.正方形
【解析】选A.由题意得
所以四边形为梯形.
3.在△ABC中,已知A(4,1),B(7,5),C(-4,7),则BC边的中线AD的长是
( )
【解析】选B.BC中点为
所以
4.某人从点O向正东走30
m到达点A,再向正北走30
m到达点B,则此人的位移的大小是 m,方向是北偏东 .?
【解析】如图所示,
此人的位移是
则
=60(m),
tan∠BOA=
,所以∠BOA=60°.所以
方向为北偏东30°.
答案:60 30°
5.(教材二次开发:练习改编)如图,正方形ABCD中的边长为a,E,F分别为AB,BC的中点,AF与DE交于点M.求∠EMF.
【解析】建立如图所示的平面直角坐标系,因为正方形ABCD的边长为a,
所以A(0,0),D(0,a),
因为
所以
,即AF⊥DE.所以∠EMF=90°.