(共47张PPT)
6.3.5 平面向量数量积的坐标表示
必备知识·自主学习
1.平面向量数量积的坐标表示
导思
1.平面向量数量积的坐标表示是什么?
2.平面向量数量积的坐标表示有哪些结论?
条件
向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)
坐标表示
a·b=________
文字叙述
两个向量的数量积等于它们对应坐标的_________
x1x2+y1y2
乘积的和
2.平面向量数量积的坐标表示的结论
(1)结论
条件
结论
a=(x,y)
|a|=_________
表示向量a的有向线段的起点和终点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)
|a|=___________________________
条件
结论
向量a=(x1,y1),
b=(x2,y2)
a⊥b?__________
a,b都是非零向量,a=
(x1,y1),b=(x2,y2),θ是a与b的夹角
cos
θ=
x1x2+y1y2=0
(2)本质:平面向量数量积的坐标表示及其结论实现了向量运算的完全代数化,并将数与形紧密结合起来.
(3)应用:①求向量的模;②求向量的夹角;③判断两个向量垂直.
【思考】
已知向量a=
,则与a共线和垂直的单位向量的坐标分别是什么?
提示:与a共线的单位向量是a0,则a0=±
a
其中正号、负号分别表示与a同向和反向;
易知b=
和a=
垂直,
所以与a垂直的单位向量b0的坐标是
±
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)向量的模等于向量坐标的平方和.
( )
(2)若向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b?x1y2-x2y1=0.
( )
(3)若两个非零向量的夹角θ满足cos
θ<0,则两向量的夹角θ一定是钝角.
( )
提示:
(1)×.向量的模等于向量坐标的平方和的算术平方根.
(2)
×.a⊥b?
x1x2+y1y2=0.
(3)×.当两个向量方向相反时,它们的夹角θ=180°满足cos
θ=-1<0.
2.若向量a=(-3,m),b=(1,-2),且a⊥b,则实数m的值为________.?
【解析】因为a⊥b,所以a·b=(-3,m)·(1,-2)=-3-2m=0,解得m=-
.
答案:-
3.(教材二次开发:练习改编)已知向量a=(2,2),b=(-8,6),a与b的夹角为θ,则
cos
θ=______.?
【解析】cos
θ=cos
=
答案:-
关键能力·合作学习
类型一 数量积的坐标运算(数学运算)
【题组训练】
1.若a=(2,-3),b=(x,2x)且3a·b=4,则x等于
( )
A.3
B.
C.-
D
.-3
2.(2020·西安高一检测)如图,在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=
,D,E是线段
BC上的点,且DE=
BC,则
的取值范围是
( )
3.若a=(2,3),b=(-1,-2),c=(2,1),则(a·b)·c=________;a·(b·c)
=________.?
【解析】1.选C.因为3a·b=3(2,-3)·(x,2x)=(6,-9)·(x,2x)=6x-18x=-12x=4,
所以x=-
.
2.选A.如图所示,以BC所在直线为x轴,以BC的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系,则A(0,1),B(-1,0),C(1,0),设D(x,0),则E
,据此有
=(x,-1),
则
据此可知当x=-
时,
取得最小值
;
当x=-1或
时
取得最大值
,
所以
的取值范围是
.
3.因为a·b=2×(-1)+3×(-2)=-8,
所以(a·b)·c=-8×(2,1)=(-16,-8).
因为b·c=(-1)×2+(-2)×1=-4,
所以a·(b·c)=(2,3)×(-4)=(-8,-12).
答案:(-16,-8) (-8,-12)
【解题策略】
关于向量数量积的运算
(1)进行数量积运算时,要正确使用公式a·b=x1x2+y1y2及向量的坐标运算,并注意与函数、方程等知识的联系.
(2)向量数量积的运算有两种思路:一种是基向量法,另一种是坐标法,两者相互补充.如果题目中的图形是等腰三角形、矩形、正方形等特殊图形时,一般选择坐标法.
【补偿训练】
1.已知向量a=(2,1),b=(-1,k),a·(2a-b)=0,则k=
( )
A.-12
B.-6
C.6
D.12
【解析】选D.2a-b=(4,2)-(-1,k)=(5,2-k),由a·(2a-b)=0,得(2,1)·(5,2-k)=0,所以10+2-k=0,解得k=12.
2.已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则
的最小
值是
( )
A.-2 B.-
C.-
D.-1
【解析】选B.以BC所在的直线为x轴,BC的垂直平分线AD为y轴,D为坐标原点建
立平面直角坐标系,如图,
可知A(0,
),B(-1,0),C(1,0).
设P(x,y),则
=(-x,
-y),
=(-1-x,-y),
=(1-x,-y).
所以
=(-2x,-2y).
所以
=2x2-2y(
-y)=2x2+
当点P的坐标为
时,
取得最小值为-
.
类型二 平面向量模的问题(数学运算)
【典例】已知|a|=
,b=(3,-2),若a∥b,求a+b的坐标及|a+b|.
【思路导引】设向量a的坐标?列方程组求坐标?求向量的模.
【解析】设a=(x,y),
则由|a|=
,得x2+y2=52.
由a∥b,可知2x+3y=0,
解方程组
得
所以a=(-6,4)或a=(6,-4),
所以a+b=(-3,2)或a+b=(9,-6),
所以|a+b|=
或
【解题策略】
向量模的问题
(1)字母表示下的运算,利用|a|2=a2将向量模的运算转化为向量的数量积的运算.
(2)坐标表示下的运算,若a=(x,y),则|a|=
.
【跟踪训练】
(2020·牡丹江高一检测)在平行四边形ABCD中,AC为一条对角线,
=(2,4),
=(1,3),则|
|=________.?
【解析】因为在平行四边形ABCD中,AC为一条对角线,
=(2,4),
=(1,3),
所以
=(1,3)-(2,4)=(-1,-1),
所以
=(-1,-1)-(2,4)=(-3,-5),则
答案:
类型三 平面向量的夹角、垂直问题(数学运算)
角度1 平面向量的夹角问题?
【典例】已知a=(1,-1),b=(λ,1),若a与b的夹角θ为钝角,求实数λ的取值范围.
【思路导引】a,b的夹角θ为钝角等价于a·b<0且θ≠180°.
【解析】因为a=(1,-1),b=(λ,1),
所以|a|=
,|b|=
,a·b=λ-1.
因为a,b的夹角θ为钝角,
所以
即
所以λ<1且λ≠-1.
所以λ的取值范围是(-∞,-1)∪(-1,1).
【变式探究】
将本例条件改为“已知a=(1,2),b=(1,λ),
a与b的夹角θ为锐角”,求实数λ
的取值范围.
【解析】由已知得,a·b=(1,2)·(1,λ)=1+2λ.
因为a与b的夹角为锐角,所以cos
θ>0且cos
θ≠1,所以a·b>0且a,b不同向.
由a·b>0,得λ>-
,由a与b同向得λ=2.
所以实数λ的取值范围为
∪(2,+∞).
角度2 平面向量的垂直问题?
【典例】(2020·张家界高一检测)已知向量a=
,b=
,向量x=ka+b,y=
a-3b.
(1)求向量x,y的坐标;
(2)若x⊥y,求实数k的值.
【思路导引】(1)根据向量的坐标运算可得出答案;
(2)根据向量垂直的坐标表示列方程,解方程得出答案.
【解析】(1)因为a=
,b=
,
所以x=ka+b=
y=a-3b=
(2)因为x⊥y,所以x·y=0,
即
=0,解得k=
.
【解题策略】
1.利用数量积的坐标表示求两向量夹角的步骤:
(1)求向量的数量积.利用向量数量积的坐标表示求出这两个向量的数量积.
(2)求模.利用|a|=
计算两向量的模.
(3)求夹角余弦值.由公式cos
θ=
求夹角余弦值.
(4)求角.由向量夹角的范围及cos
θ求θ的值.
2.涉及非零向量a,b垂直问题时,一般借助a⊥b?a·b=x1x2+y1y2=0来解决.
【拓展延伸】
1.线段垂直的坐标关系
设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)是坐标平面内的三个点,则
?(x3-
x1)·(x2-x1)+(y3-y1)(y2-y1)=0.
2.向量共线的条件
由cos
θ=
可知,若θ=0°或180°,则cos
θ=±1,则有x1x2+
y1y2=±
,利用此结论也可以判断两向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)是
否共线.
【拓展训练】
已知A(-2,1),B(6,-3),C(0,5),则△ABC的形状是
( )
A.直角三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.等边三角形
【解析】选A.由题设知(0+2)(6+2)+(5-1)(-3-1)=0,所以
,所以
∠BAC=90°,故△ABC是直角三角形.
【题组训练】
1.(2020·全国Ⅰ卷)设向量a=(1,-1),b=(m+1,2m-4),若a⊥b,则m=________.?
【解析】由a⊥b可得a·b=0,
又因为a=(1,-1),b=(m+1,2m-4),
所以a·b=1·(m+1)+(-1)·(2m-4)=0,即m=5.
答案:5
2.(2020·丽水高一检测)已知向量a=(1,1),b=(-3,4).
(1)求
的值;
(2)求向量a与a-b夹角的余弦值.
【解析】(1)因为a-b=(4,-3),
所以|a-b|=5;
(2)由(1)知a·(a-b)=
=1×4+1×
=1,
,|a-b|=5,
所以cos=
【补偿训练】
已知a=(1,1),b=(0,-2),当k为何值时,
(1)ka-b与a+2b垂直;
(2)ka-b与a+b的夹角为120°.
【解析】因为a=(1,1),b=(0,-2),
ka-b=k(1,1)-(0,-2)=(k,k+2),
a+2b=(1,1)+(0,-4)=(1,-3),
a+b=(1,1)+(0,-2)=(1,-1).
(1)因为ka-b与a+2b垂直,
所以k-3k-6=0,所以k=-3,
即当k=-3时,ka-b与a+2b垂直.
(2)因为|ka-b|=
|a+b|=
(ka-b)·(a+b)=(k,k+2)·(1,-1)
=k-k-2=-2,
因为ka-b与a+b的夹角为120°,
所以cos
120°=
即
化简整理,得k2+2k-2=0,解得k=-1±
.
即当k=-1±
时,ka-b与a+b的夹角为120°.
典例备选 用平面向量解代数问题(数学建模)
【典例】求函数f(x)=
的最大值.
【思路导引】观察此函数解析式的特征,不难发现其形式与两个坐标表示的平面向量的数量积公式类似,建立向量模型求解.
【解析】设a=(12,5),b=
则a·b=
因为a=(12,5),b=
所以|a|=13,|b|=3,
又因为|a·b|≤|a||b|,所以|a·b|≤13×3=39,
当且仅当a,b共线时,等号成立,即
=0,解得x=
当x=
时,a·b的最大值为39,
即函数f(x)=
的最大值为39.
【解题策略】
向量法巧解代数问题
向量是代数和几何的完美结合,尤其是解决代数问题时具有独到的优势,解题的关键在于观察问题的结构,挖掘代数结构的向量模型,把原有问题转化为向量问题,再借助向量有关知识解决问题.
【跟踪训练】
已知a,b,m,n∈R,设(a2+b2)(m2+n2)=(am+bn)2,其中mn≠0,用向量方法求证:
【证明】设c=(a,b),d=(m,n),
且它们的夹角为θ(0°≤θ≤180°),
则c·d=am+bn,|c|2=a2+b2,|d|2=m2+n2,
因为(a2+b2)(m2+n2)=(am+bn)2,
所以|c|2|d|2=(c·d)2,又c·d=|c||d|cos
θ,
所以cos2θ=
=1,所以cos2θ=1,
又0°≤θ≤180°,所以θ=0°或180°,即c∥d,
所以an-bm=0,又mn≠0,所以
平面向量数量积的坐标表示
两向量的数量积
a·b
=x1x2+y1y2
两向量垂直
a·b
=0<=>x1x2+y1y2=0
若a
=(x,y)，则|a|=
若A(x1,y1),B(x2,y2)，则两点A、B间的距离为
设a,
b都是非零向量，a=(x1,y1),
b=(x2,y2),
a与b的夹角θ，则
1.数学抽象：数量积的坐标运算；
2.逻辑推理：平面向量的夹角公
式，模长公式，垂直关系等；
3.数学运算：根据已知信息求数量
积、夹角、模长等,根据向量垂
直求参数；
核心知识
核心素养
方法总结
易错提醒
利用cos
θ＝
来判断角θ时
①cos
θ<0有两种情况：一是θ是钝角，二是θ＝π；
②cos
θ>0有两种情况：一是θ为锐角，二是θ＝0.
核心素养
数量积运算
①先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；
②先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．
课堂检测·素养达标
1.设a=(1,-2),b=(-3,4),c=(3,2),则(a+2b)·c=
( )
A.12
B.0
C.-3
D.-11
【解析】选C.因为a=(1,-2),b=(-3,4),c=(3,2),
所以a+2b=(-5,6),
所以(a+2b)·c=(-5)×3+6×2=-3.
2.已知平面向量
则向量
的模是
( )
A.
B.
C.2
D.5
【解析】选C.因为向量
所以
所以
3.已知向量a=(-4,3),b=(6,m),且a⊥b,则m=______.?
【解析】因为向量a=(-4,3),b=(6,m),a⊥b,所以a·b=0,即-4×6+3m=0,m=8.
答案:8
4.已知a=(4,3),b=(-5,12),则a,b夹角的余弦值等于________.?
【解析】因为a=(4,3),b=(-5,12),
所以a·b=-20+36=16.又|a|=5,|b|=13,
设a与b的夹角为θ,所以cos
θ=
答案:
5.(教材二次开发:练习改编)已知a=(-1,2),b=(-3,1),c=(4,3).
求a·b,(a+b)·(a-b),
(a+c)·b,(a-b)2.
【解析】因为a=(-1,2),b=(-3,1),c=(4,3),
所以a+b=(-4,3),a-b=(2,1),a+c=(3,5),
所以a·b=(-1,2)
·(-3,1)=3+2=5,
(a+b)·(a-b)
=(-4,3)·(2,1)=-8+3=-5,
(a+c)·b=(3,5)·(-3,1)=-9+5=-4,
(a-b)2=22+12=5.(共52张PPT)
6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示
必备知识·自主学习
1.平面向量数乘运算的坐标表示
导思
1.平面向量数乘运算的坐标表示是什么?
2.两个共线向量的坐标之间有什么关系?
符号表示
若a=(x，y),则λa=(λx，λy).
文字表示
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的
_________
相应坐标
2.平面向量共线的坐标表示
(1)坐标表示
条件
a
=(x1，y1),b=(x2，y2),其中b≠0
结论
向量a,b(b≠0)共线的充要条件是__________
x1y2-x2y1=0
(2)本质:平面向量共线的坐标表示反映的是共线向量坐标之间的关系,定量描述了共线向量之间的关系.
(3)应用:①已知两个向量的坐标判定两向量共线;②已知两个向量共线,求点或向量的坐标.
【思考】
若a=
,b=
,且x2y2≠0,则向量a,b共线时,它们的坐标之间的关系如何
用比例形式表示?
提示:可以表示为
3.中点坐标公式
已知点P1(x1,y1),P2(x2,y2),若P是线段P1P2的中点,则点P的坐标为___________.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)已知向量a=(-2,4),b=(1,-2),则a=-2b.
( )
(2)已知a=
,b=
,其中b≠0,
且x1x2-y1y2=0,则a∥b.
( )
(3)已知A(-6,10),B(0,2),则线段AB的中点坐标为(-3,6).
( )
提示:(1)√.因为b=(1,-2),
所以-2b=-2(1,-2)=(-2,4)=a.
(2)×.平面向量共线的坐标表示的特点是两个向量的坐标“纵横交错积相减”.
(3)√.由中点坐标公式可知线段AB的中点坐标为
,即(-3,6).
2.已知向量a=(2,4),b=(-1,1),则2a-b=
( )
A.(5,7)
B.(5,9)
C.(3,7)
D.(3,9)
【解析】选A.因为a=(2,4),b=(-1,1),
所以2a-b=2(2,4)-(-1,1)
=(4,8)-(-1,1)=(5,7).
3.(教材二次开发:例题改编)已知向量a=(4,2),b=(x,3)且a∥b,则x=
( )
A.9
B.6
C.5
D.3
【解析】选B.因为a∥b,所以4×3-2x=0,解得x=6.
关键能力·合作学习
类型一 向量数乘的坐标运算(数学运算)
【题组训练】
1.(2020·葫芦岛高一检测)已知A(2,4),B(-1,-5),C(3,-2),则
=
( )
A.(2,-3)
B.(-2,-3)
C.(-2,3)
D.(2,3)
2.已知向量a=(-3,2),b=(-1,0),c=(2,1)则a+2b-3c的坐标是________.?
3.如图,已知
∠AOC=30°,若
则x+y
=
( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】1.选A.因为A(2,4),B(-1,-5),C(3,-2),所以
=(1,-6),
=(3,9),
所以
=(2,-3).
2.因为a=(-3,2),b=(-1,0),c=(2,1),所以a+2b-3c=(-3,2)+2(-1,0)-3(2,1)=
(-11,-1).
答案:(-11,-1)
3.选C.建立如图所示的平面直角坐标系,
根据条件不妨设A(1,0),则
则由
得
=x(1,0)+y
,
所以
解得x=2,y=1,
所以x+y=3.
【解题策略】
向量数乘坐标运算的三个关注点
(1)准确记忆数乘向量的坐标表示,并能正确应用;
(2)注意向量加、减、数乘运算的综合应用,并能与线性运算的几何意义结合解题;
(3)解含参数的问题,要注意利用相等向量的对应坐标相同解题.
【补偿训练】
1.设向量
用{a,b}作基底可将c表示为c=pa+qb,则
实数p,q的值为
( )
A.p=4,q=1 B.p=1,q=4
C.p=0,q=4
D.p=1,q=-4
【解析】选B.由题得(3,-2)=p(-1,2)+q(1,-1)=(q-p,2p-q),
所以
解得p=1,q=4.
2.已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),且
求点M,N及
的坐标.
【解析】因为A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),
所以
=(1,8),
=(6,3),
所以
=(3,24),
=(12,6).
设M(x,y),则有
=(x+3,y+4),
所以
所以
所以M点的坐标为(0,20).
同理可求得N点坐标为(9,2),
因此
=(9,-18),故所求点M,N的坐标分别为(0,20),(9,2),
的坐标为(9,
-18).
类型二 向量共线的坐标表示及应用(逻辑推理、数学运算)
【典例】1.(2020·长春高一检测)下列四组向量中,能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是
( )
A.a=(1,2),b=(-2,-4)
B.a=(3,4),b=(4,3)
C.a=(2,-1),b=(-2,1)
D.a=(3,5),b=(6,10)
2.(2020·衢州高一检测)已知平面向量a=(sin
θ,2
019),b=(cos
θ,2
020),
若a∥b,则tan
θ=
( )
3.已知向量a=(1,λ),b=(λ,2),若
,则λ=________.?
【思路导引】1.可作为平面内所有向量的一组基底的两个向量必是不共线的,
由此关系对四个选项作出判断,得出正确选项.
2.利用向量共线的充要条件列出等量关系,结合同角三角函数关系式求值.
3.利用向量共线的充要条件列出关于λ的方程,求λ.
【解析】1.选B.对于A,因为1×(-4)-2×(-2)=0,所以不可以作为表示它们所在
平面内所有向量的基底;对于B,因为3×3-4×4=-7≠0,所以可以作为表示它们
所在平面内所有向量的基底;对于C,因为2×1-(-1)×(-2)=0,所以不可以作为
表示它们所在平面内所有向量的基底;对于D,因为3×10-5×6=0,所以不可以作
为表示它们所在平面内所有向量的基底.
2.选A.因为平面向量a=(sin
θ,2
019),b=(cos
θ,2
020),a∥b,所以
2
020sin
θ-2
019cos
θ=0,
所以
,所以tan
θ=
.
3.a+b=(λ+1,λ+2),a-b=(1-λ,λ-2),
因为
,所以(λ+1)(λ-2)-(λ+2)(1-λ)=0,解得λ=±
.
答案:±
【解题策略】
1.向量共线的判定方法
2.利用向量共线求参数值的方法
【跟踪训练】
(2020·黄山高一检测)已知两点A(4,1),B(7,-3),则与向量
共线的单位向
量是
( )
A.(3,-4)
B.
C.(-6,8)
D.
【解析】选B.因为
=(7,-3)-(4,1)=(3,-4),由向量共线的条件可知,A,B,C选
项中的向量均与
共线,但A,C中向量不是单位向量,所以B选项正确.
【补偿训练】
已知A(2,1),B(0,4),C(1,3),D(5,-3).
是否共线?如果共线,它们的方向
相同还是相反?
【解析】
=(0,4)-(2,1)=(-2,3),
=(5,-3)-(1,3)=(4,-6),
因为(-2)×(-6)-3×4=0,
所以
共线.
又
,所以
方向相反.
综上,
共线且方向相反.
类型三 向量共线在平面几何中的应用(逻辑推理、数学运算)
角度1 三点共线问题?
【典例】(2020·玉溪高一检测)已知O为坐标原点,
=(1,1),
=(3,-1),
=(a,b).
(1)若A,B,C三点共线,求a,b的关系.
(2)若
,求点C的坐标.
【思路导引】(1)由题意利用两个向量共线的性质,两个向量坐标形式的运算法
则,求得a,b的关系.
(2)由题意利用两个向量坐标形式的运算法则,求出点C的坐标.
【解析】(1)因为已知
=(1,1),
=(3,-1),
=(a,b),
若A,B,C三点共线,则
即
即(a-1,b-1)=λ
(2,-2),
所以a-1=2λ,b-1=-2λ,即a+b=2.
(2)若
,(a-1,b-1)=2(2,-2),
所以a=5,b=-3,所以点C的坐标为(5,-3).
【变式探究】
把本例条件改为“向量
=(k,12),
=(4,5),
=(10,k)”,求当k为何值
时,A,B,C三点共线.
【解析】方法一:因为A,B,C三点共线,即
共线,所以存在实数λ(λ∈R),
使得
因为
=(4-k,-7),
=(10-k,k-12),
所以(4-k,-7)=λ(10-k,k-12),
即
解得k=-2或k=11.
所以当k=-2或k=11时,A,B,C三点共线.
方法二:由已知得
共线,
因为
=(4-k,-7),
=(10-k,k-12),
所以(4-k)(k-12)+7(10-k)=0,
所以k2-9k-22=0,解得k=-2或k=11.
所以当k=-2或k=11时,A,B,C三点共线.
角度2 求点的坐标?
【典例】如图所示,在△AOB中,A(0,5),O(0,0),B(4,3),
AD与BC相交于点M,求点M的坐标.
【思路导引】利用
列方程组求点M的坐标.
【解析】因为
所以
因为
所以D
设M(x,y),则
=(x,y-5),
因为
,所以-
x-2(y-5)=0,
即7x+4y=20①.
又
因为
,所以
=0,
即7x-16y=-20②,联立①②解得x=
,y=2,
故点M的坐标为
.
【解题策略】
应用向量共线的坐标表示求解几何问题的步骤
【题组训练】
1.已知A(3,-6),B(-5,2),且A,B,C三点在一条直线上,则C点的坐标不可能
是
( )
A.(-9,6)
B.(-1,-2)
C.(-7,-2)
D.(6,-9)
【解析】选C.设C(x,y),则
=(x-3,y+6),
=(-8,8).因为A,B,C三点在同一
条直线上,所以
,即x+y+3=0,将四个选项分别代入x+y+3=0验证可知,不
可能的是C.
2.设
=(2,-1),
=(3,0),
=(m,3).
(1)当m=8时,将
表示;
(2)若A,B,C三点能构成三角形,求实数m应满足的条件.
【解析】(1)当m=8时,
=(8,3),
设
,则x(2,-1)+y(3,0)=(2x+3y,-x)=(8,3),所以
所以
所以
(2)因为A,B,C三点能构成三角形,所以
不共线,又
=(1,1),
=(m-2,4),
所以1×4-1×(m-2)≠0,所以m≠6.
【拓展延伸】
如图所示,若点P是线段P1P2上不同于P1(x1,y1),P2(x2,y2)的点,且满足
=λ,
即
,证明点P的坐标为
【证明】设点P(x,y),由
,得(x-x1,y-y1)=λ(x2-x,y2-y),
即
又λ∈(0,+∞),所以
则点P的坐标为
特别地,当λ=1时,
点P的坐标为
这就是线段P1P2的中点坐标公式.
【拓展训练】
已知A(2,1),B(3,-1)及直线l:y=4x-5,直线AB与l相交于P点,求P点分
的比
λ.
【解析】设P(x,y),则由
及定比分点坐标公式得:(x,y)=
,
又因为P点在直线l上,
所以
所以λ=-
.
【补偿训练】如图所示,已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),求AC和OB交点P的坐标.
【解析】方法一:设
=t(4,4)=(4t,4t),
则
=(4t,4t)-(4,0)=(4t-4,4t),
=(2,6)-(4,0)=(-2,6).
由
共线知(4t-4)×6-4t×(-2)=0,
解得t=
.所以
=(4t,4t)=(3,3).
所以P点坐标为(3,3).
方法二:设P(x,y),则
=(x,y),
=(4,4).
因为
共线,所以4x-4y=0.①
又
=(x-2,y-6),
=(2,-6),
且向量
共线,所以-6(x-2)+2(6-y)=0.②
解①②组成的方程组,得x=3,y=3,
所以点P的坐标为(3,3).
1.
向量数乘运算的坐标表示.
2.共线向量的坐标表示.
3.中点坐标公式.
向量平行问题
（1）利用共线向量定理a＝λb(b≠0).
（2）利用坐标表达式x1y2－x2y1＝0.
1.数学抽象：向量数乘运算的坐标表示.
2.逻辑推理：推导共线向量的坐标表示.
3.数学运算：用坐标进行向量的相关运算，由向量共线求参数的值.
向量共线的坐标表达式x1y2－x2y1＝0可简记为：纵横交错积相减.
课堂检测·素养达标
1.下列各组向量中,能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是
( )
A.a=(0,0),b=(1,-2)
B.a=(-1,2),b=(5,7)
C.a=(-1,5),b=(2,-10)
D.a=(2,-3),b=(4,-6)
【解析】选B.A中,a=(0,0)与b=(1,-2)共线,不能作为表示它们所在平面内所有向量的基底;C中a=(-1,5)与b=(2,-10)=-2a共线,不能作为表示它们所在平面内所有向量的基底;D中a=(2,-3)与b=(4,-6)=2a共线,不能作为表示它们所在平面内所有向量的基底.
2.已知
=(-2,4),
=(2,6),则
等于
( )
A.(0,5)
B.(0,1)
C.(2,5)
D.(2,1)
【解析】选D.
=
(2,6)-
(-2,4)=(2,1).
3.已知点A(-1,-5)和向量a=(2,3),若
=3a,则点B的坐标为________.?
【解析】设O为坐标原点,因为
=(-1,-5),
=3a=(6,9),故
=(5,4),
故点B的坐标为(5,4).
答案:(5,4)
4.向量a=(n,1)与b=(4,n)共线且方向相同,则n=________.?
【解析】因为a∥b,所以n2-4=0,所以n=2或n=-2,又a与b方向相同,所以n=2.
答案:2
5.(教材二次开发:例题改编)设向量a,b的坐标分别是(-1,2),(3,-5),求下列各向量:
(1)a+b;(2)a-b;(3)3a;(4)2a+5b.
【解析】(1)a+b=(-1,2)+(3,-5)=(2,-3).
(2)a-b=(-1,2)-(3,-5)=(-4,7).
(3)3a=3(-1,2)=(-3,6).
(4)2a+5b=2(-1,2)+5(3,-5)
=(-2,4)+(15,-25)=(13,-21).(共41张PPT)
6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示
必备知识·自主学习
1.平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个_________的向量,叫做把向量正交分解.
导思
1.怎样用坐标表示平面向量?
2.怎样用坐标进行平面向量的加、减运算?
互相垂直
2.平面向量的坐标表示
(1)产生过程
建系
选底
在平面直角坐标系中,设与x轴、y轴方向相同的两个_________分
别为i,j,取
作为基底
线性
表示
对于平面内的任意一个向量a,有且只有一对实数x,y,使得a=______
定义
坐标
有序数对(x,y)叫做向量a的坐标,记作________①,其中x叫做a在x
轴上的坐标,y叫做a在y轴上的坐标.①叫做向量a的坐标表示
特例
i=_______,j=______
,0=
______
单位向量
xi+yj
a=(x,y)
(0,0)
(2)本质:向量的坐标表示实现了向量的“量化”表示.
(3)应用:为向量的坐标运算奠定基础.
3.平面向量加、减运算的坐标表示
条件
a=(x1,y1),b=(x2,y2)
结论
a+b=
____________;
a-b=
____________;
语言
表述
两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的
和(差)
(x1+x2,y1+y2)
(x1-x2,y1-y2)
4.向量坐标与点的坐标的联系
(1)条件:O(0,0),A(x1,y1)
,B(x2,y2),
(2)结论:
=
_______,
=
_______,
=
____________.
(3)语言表述:
①以原点为起点的向量的坐标等于其终点坐标;
②一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的_____的坐标减去_____的坐标.
(x1,y1)
(x2,y2)
(x2-x1,y2-y1)
终点
起点
【思考】
向量坐标与点的坐标的区别是什么?
提示:(1)表示形式不同.
向量a=(x,y)中间用等号连接,而点的坐标A(x,y)中间没有等号.
(2)意义不同.
点A(x,y)的坐标(x,y)表示点A在平面直角坐标系中的位置,向量a=(x,y)的坐标(x,y)既表示向量的大小,也表示向量的方向.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)两个向量的终点不同,则这两个向量的坐标一定不同.
( )
(2)向量可以平移,平移前后它的坐标发生变化.
( )
(3)两向量差的坐标与两向量的顺序无关.
( )
提示:(1)×.对于同一个向量,无论位置在哪里,坐标都一样.
(2)×.当向量确定以后,向量的坐标就是唯一确定的,因此向量在平移前后,其坐标不变.
(3)×.根据两向量差的运算,两向量差的坐标与两向量的顺序有关.
2.(教材二次开发:练习改编)在平面直角坐标系中,已知点P(1,2),Q(4,3),那么
向量
=________.?
【解析】
答案:(3,1)
3.设i,j是平面直角坐标系内分别与x轴,y轴正方向相同的两个单位向量,O为坐
标原点,若
=4i+2j,
=3i+4j,则
的坐标是________.?
【解析】因为
=(4,2),
=(3,4),所以
=(4,2)+(3,4)=(7,6).
答案:(7,6)
关键能力·合作学习
类型一 平面向量的坐标表示(数学抽象)
【题组训练】
1.如图,{e1,e2}是一个基底,且e1=(1,0),e2=(0,1),则向量a的坐标为( )
A.(1,3)
B.(3,1)
C.(-1,-3)
D.(-3,-1)
2.如果用i,j分别表示x轴和y轴方向上的单位向量,且
那么
可以
表示为
( )
A.2i+3j
B.4i+2j
C.2i-j
D.-2i+j
3.在平面直角坐标系xOy中,向量a,b的方向如图所示,且|a|=2,|b|=3,则a的坐
标为________,b的坐标为________.?
【解析】1.选A.因为e1,e2分别是与x轴、y轴方向相同的两个单位向量,由题图可知a=e1+3e2,根据平面向量坐标的定义可知a=(1,3).
2.选C.记O为坐标原点,则
=2i+3j,
=4i+2j,
所以
=4i+2j-(2i+3j
)=2i-j.
3.设点A(x,y),B(x0,y0),因为|a|=2,且∠AOx=45°,所以x=2cos
45°=
,
y=2sin
45°=
.又|b|=3,∠xOB=90°+30°=120°,所以x0=3cos
120°=-
,
y0=3sin
120°=
,故a=
b=
答案:
【解题策略】
求向量坐标的方法
(1)定义法:根据平面向量坐标的定义得a=xi+yj=
,其中i,j分别为与x轴、y
轴方向相同的两个单位向量.
(2)平移法:把向量的起点移至坐标原点,终点坐标即为向量的坐标.
(3)求差法:先求出这个向量的起点、终点坐标,再运用终点坐标减去起点坐标
即得该向量的坐标.
【补偿训练】
已知边长为1的正方形ABCD中,AB与x轴正半轴成30°角.求点B和点D的坐标
和
的坐标.
【解析】由题知B,D分别是30°角,120°角的终边与单位圆的交点.设B(x1,y1),D(x2,y2).
由三角函数的定义,得x1=cos
30°=
,
y1=sin
30°=
,所以B
x2=cos
120°=-
,y2=sin
120°=
,
所以D
所以
类型二 平面向量加、减的坐标运算(数学运算)
【典例】1.已知点A(0,1),B(3,2),向量
=(-4,-3),则向量
=
( )
A.(-7,-4)
B.(7,4)
C.(-1,4)
D.(1,4)
2.已知向量a,b的坐标分别是(-1,5),(2,-7),求a+b,a-b的坐标.
【思路导引】1.根据向量减法的三角形法则,找到
的关系,应用向量的
加、减法坐标运算求坐标.
2.直接应用向量的加、减法坐标运算公式求坐标.
【解析】1.选A.
=(3,2)-(0,1)=(3,1),
=(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4).
2.a+b=(-1,5)+(2,-7)=(1,-2),
a-b=(-1,5)-(2,-7)=(-3,12).
【解题策略】
平面向量加、减坐标运算的方法
(1)若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、差的运算法则进行运算.
(2)若已知有向线段两端点的坐标,则必须先求出向量的坐标,然后再进行向量的坐标运算.
(3)求一个点的坐标,可以转化为求以原点为起点,该点为终点的向量的坐标.
【跟踪训练】
在平行四边形ABCD中,AC为一条对角线.若
=(-1,3),
=(2,5),则
等
于
( )
A.(-2,-4)
B.(4,-1)
C.(3,5)
D.(2,4)
【解析】选B.因为
所以
=(3,2),所以
=(4,-1).
【补偿训练】
若A,B,C三点的坐标分别为(2,-4),(0,6),(-8,10),求
的坐标.
【解析】因为
=(-2,10),
=(-8,4),
=(-10,14),所以
+
=(-2,10)
+(-8,4)=(-10,14);
-
=(-8,4)-(-10,14)=(2,-10).
类型三 平面向量加、减坐标运算的应用(逻辑推理、数学运算)
【典例】已知平行四边形ABCD的三个顶点A(-1,
-2),B(3,-1),C(4,2),而且
A,B,C,D四点按逆时针方向排列.
(1)求向量
的坐标;
(2)求点D的坐标.
【思路导引】(1)终点坐标减起点坐标求向量的坐标,同时注意
的关系;
(2)方法一:转化为求向量的坐标;
方法二:设点D的坐标,根据
的坐标列方程求未知数得坐标.
【解析】(1)因为A(-1,
-2),B(3,-1),C(4,2),
所以
(2)方法一:由(1)知,
又因为
所以
所以点D的坐标为
方法二:设点D坐标为
由(1)知,
又A(-1,
-2),所以
所以
所以
所以点D坐标为(0,1).
【变式探究】
将本例条件改为“已知平面上三个点的坐标分别为A(-2,1),B(-1,3),C(3,4),且A,B,C,D四点构成平行四边形”,求点D的坐标.
【解析】设点D坐标为
,分以下三种情况讨论:
(1)若四边形ABCD为平行四边形,得
即
所以
所以
解得D(2,2).
(2)若四边形ABDC为平行四边形,得
即
所以
所以
解得D(4,6).
(3)若四边形ADBC为平行四边形,得
即
所以
所以
解得D(-6,0).
因此,使A,B,C,D四点构成平行四边形的点D的坐标是(2,2)或(4,6)或(-6,0).
【解题策略】
关于向量加减坐标运算的应用
(1)由向量的坐标定义知,两向量相等的充要条件是它们的坐标相等,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),a=b?x1=x2且y1=y2.
(2)利用向量的坐标运算解题,主要是根据相等的向量坐标相同这一原则,通过列方程(组)进行求解;也可以利用基向量法,主要借助向量加、减运算的三角形、平行四边形法则.
【跟踪训练】
已知向量
若
=a+b+c,且A(1,1),则向量
的终点B的
坐标为
( )
A.(9,1)
B.(1,9)
C.(9,0)
D.(0,9)
【解析】选A.
=a+b+c
设终点为B
,则
所以
所以
所以终点B的坐标为(9,1).
【补偿训练】
在平面直角坐标系xOy中,四边形ABCD的边AB∥DC,AD∥BC.已知点A(-2,0),
B(6,8),C(8,6),则D点的坐标为________.?
【解析】方法一:由题意知,四边形ABCD是平行四边形,所以
设D(x,y),
则(6,8)-(-2,0)=(8,6)-(x,y),所以x=0,y=-2,即D(0,-2).
方法二:由题意知,四边形ABCD为平行四边形,
所以
即
所以
=(-2,0)+(8,6)-(6,8)=(0,-2),
即D点的坐标为(0,-2).
答案:(0,-2)
核心素养
易错提醒
方法总结
核心
知识
1.向量的正交分解.
2.向量的坐标表示.
3
向量加、减运算的
坐标表示
已知
两个向量坐标表示的和、差运算：
(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差的运算法则进行．(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．
1.向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关．
2.当向量确定以后，向量的坐标就是唯一确定的，因此向量在平移前后，其坐标不变．
1.数学抽象：平面向量的坐标表示.
2.逻辑推理：平面向量的坐标表示的推导；有向线段的向量表示.
3.数学运算：两个向量坐标表示的和、差运算；
4.数学建模：将几何问题转化为代数问题.
课堂检测·素养达标
1.给出下列几种说法:
①相等向量的坐标相同;
②平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标;
③一个坐标对应唯一的一个向量;
④平面上一个点与以原点为起点,该点为终点的向量一一对应.
其中正确说法的个数是
( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选C.由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量,故③错误.
2.设点A(1,2),B(3,5),将向量
按向量a=(-1,-1)平移后得到
为
( )
A.(1,2)
B.(2,3)
C.(3,4)
D.(4,7)
【解析】选B.因为A(1,2),B(3,5),所以
=(2,3),将向量
按向量a=(-1,-1)
平移得到
,知
的方向相同,大小也相等,只是位置不同,于是
=(2,3).
3.在平面直角坐标系内,设与x轴,y轴方向相同的两个单位向量分别为i,j,若a=2i-j,则此向量用坐标表示a=________.?
【解析】由于i,j是两个互相垂直的单位向量,所以a=(2,-1).
答案:(2,-1)
4.如图,在正方形ABCD中,O为中心,且
=(-1,-1),则
=________;
=________;
=________.?
【解析】由题意知
=-(-1,-1)=(1,1),由正方形的对称性可知,B(1,-1),
所以
=(1,-1),同理
=(-1,1).
答案:(1,-1) (1,1) (-1,1)
5.(教材二次开发:练习改编)在下列各题中,已知向量a,b的坐标,分别求b+a,b-a的坐标:
(1)a=(3,5),b=(-2,1);
(2)a=(1,-6),b=(-6,5).
【解析】(1)b+a=(-2,1)+(3,5)=(-2+3,1+5)=(1,6).b-a=(-2,1)-(3,5)=(-2-3,1-5)=(-5,-4).
(2)b+a=(-6,5)+(1,-6)=(-6+1,5-6)=(-5,
-1).b-a=(-6,5)-(1,-6)=(-6-1,5-(-6))=(-7,11).(共47张PPT)
6.3
平面向量基本定理及坐标
表示
6.3.1
平面向量基本定理
必备知识·自主学面向量基本定理
(1)定理:
导思
1.平面向量基本定理的内容是什么?
2.基底是什么?构成基底的两个向量具有什么关系?
条件
e1,e2是同一平面内的两个_______向量,a是这一平面
内的_____向量
结论
有且只有一对实数λ1,λ2,使a=__________
有关
概念
若e1,e2_______,我们把
叫做表示这一平面内所
有向量的一个_____
不共线
任一
λ1e1+λ2e2
不共线
基底
(2)本质:向量的分解,即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式,且分解是唯一的.
(3)应用:①用基底表示同一平面内的任一向量;②根据“唯一性”列方程(组)求未知数;③为引入向量的坐标表示奠定基础.
【思考】
(1)如果e1,e2是共线向量,那么向量a能否用e1,e2表示?为什么?
提示:不一定,当a与e1共线时可以表示,否则不能表示.
(2)平面向量的基底是唯一的吗?
提示:不是.平面内任何不共线的两个向量都可以作为基底,基底一旦确定,平面内任何一向量都可以用这一基底唯一表示.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)基底中的向量不能为零向量.
( )
(2)若e1,e2是同一平面内两个不共线向量,则λ1e1+λ2e2(λ1,λ2为实数)可以表
示该平面内所有向量.
( )
(3)在梯形ABCD中,AD∥BC,则向量
与
可以构成一个基底.
( )
提示:(1)√.0与任意向量是共线的,所以基底中的向量不能为零向量.
(2)√.根据平面向量基本定理知,平面内任一向量都可以由向量e1,e2线性表示.
(3)√.易知
与
不共线,所以
与
可以构成一个基底.
2.(教材二次开发:例题改编)如图,
,
不共线,且
则
=________
(用
,
表示).?
【解析】由已知
得
整理,得
答案:
3.已知向量e1,e2不共线,实数x,y满足(x-2)e1+(y-1)e2=5e1+2e2,则x= ,
y= .?
【解析】因为向量e1,e2不共线,所以根据平面向量基本定理可由(x-2)e1+
(y-1)e2=5e1+2e2,得x-2=5,且y-1=2,解得x=7,且y=3.
答案:7 3
关键能力·合作学习
类型一 平面向量基本定理的理解(数学运算)
【题组训练】
1.(2020·南通高一检测)设{e1,e2}是平面内的一个基底,则下面的四组向量不
能作为基底的是
( )
A.e1+e2和e1-e2
B.e1和e1+e2
C.e1+3e2和e2+3e1
D.3e1-2e2和4e2-6e1
2.如果{e1,e2}是某平面内一个基底,那么下列说法中不正确的是
( )
①对于此平面内任一向量a,使a=λe1+μe2的实数对(λ,μ)有无穷多个;
②若实数λ,μ使得λe1+μe2=0,则λ=μ=0;
③若向量λ1e1+μ1e2与λ2e1+μ2e2共线,则有且只有一个实数λ,使得
λ1e1+μ1e2=λ(λ2e1+μ2e2);
④若a=λ1e1+λ2e2,且a∥e1,则λ2=0.
A.①②
B.①③
C.③④
D.②
3.如图所示,平面内的两条直线OP1和OP2将平面分割成四个部分Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ(不
包括边界),若
且点P落在第Ⅰ部分,则实数a,b满足
( )
A.a>0,b>0
B.a>0,b<0
C.a<0,b>0
D.a<0,b<0
【解析】1.选D.因为{e1,e2}是平面内的一个基底,所以e1,e2不共线,而4e2-6e1
=-2(3e1-2e2),则根据向量共线定理可得,(4e2-6e1)∥(3e1-2e2),根据基底的条
件,选项D不能作为基底.
2.选B.①错误,由平面向量基本定理可知,一旦一个平面的基底确定,那么平面
内任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的.
②正确,由0e1+0e2=0及λ,μ的唯一性可知λ=μ=0;
③错误,当两向量均为零向量,即λ1=λ2=μ1=μ2=0时,这样的λ有无数个.
④正确,因为a∥e1,所以存在实数μ,使得a=μe1,所以λ1e1+λ2e2=μe1,又e1,e2
不共线,所以λ1=μ,λ2=0.
3.选C.当点P落在第Ⅰ部分时,
按向量
与
分解时,一个与
反向,一个
与
同向,故a<0,b>0.
【解题策略】
1.对基底的理解
两个向量能否作为一个基底,关键是看这两个向量是否共线.若共线,则不能作
基底,反之,则可作基底.
2.对平面向量基本定理的理解
(1)在平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量的和,且这样
的分解是唯一的,同一个非零向量在不同的基底下的分解式是不同的,而零向量
的分解式是唯一的,即0=λ1e1+λ2e2,且λ1=λ2=0.
(2)对于固定基底而言,平面内任一确定的向量的分解是唯一的.
【补偿训练】
设e1,e2是同一平面内两个不共线的向量,以下各组向量中不能作为基底的是
( )
A.{e1,e2}
B.{e1+e2,3e1+3e2}
C.{e1,5e2}
D.{e1,e1+e2}
【解析】选B.因为3e1+3e2
=3(e1+e2),所以e1+e2与3e1+3e2共线,所以这组向量不
能作为基底;另外三组向量都是不共线的,可以作为基底.
类型二 用基底表示向量(数学运算)
角度1 线性运算法?
【典例】(2020·朔州高一检测)如图,在△ABC中,
则
( )
A.-3
B.3
C.2
D.-2
【思路导引】由
设计解题思路.
【解析】选B.因为
又因为
所以
所以
又
且
与
不共线,
所以
则
【变式探究】
将本例条件改为“
”，其他条件不变,求
的值.
【解析】由
得
所以
所以
又因为
所以
又
且
与
不共线,
所以
角度2 待定系数法?
【典例】已知e1,e2是平面内两个不共线的向量,a=3e1-2e2,b=-2e1+e2,c=7e1-4e2,
试用向量a和b表示c.
【思路导引】设c=xa+yb,x,y∈R,根据e1,e2不共线,列方程组求x,y.
【解析】因为a,b不共线,所以可设c=xa+yb,x,y∈R,
则xa+yb=x(3e1-2e2)+y(-2e1+e2)=(3x-2y)e1+(-2x+y)e2=7e1-4e2.
又因为e1,e2不共线,所以
解得x=1,y=-2,所以c=a-2b.
【解题策略】
用基底表示向量的两种方法
(1)线性运算法
运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化,直至用基底表示为止.解题
时要注意适当选择向量所在的三角形或平行四边形,找到已知向量和未知向量
的关系.
(2)
待定系数法
首先根据平面向量基本定理设所求向量为两个不共线向量的线性运算形式,然
后通过列向量方程或方程组的形式,利用基底表示向量的唯一性求待定系数.
【题组训练】
1.(2020·济宁高一检测)如图,在等腰梯形ABCD中,DC=
AB,BC=CD=DA,DE⊥AC
于点E,则
=
( )
【解析】选A.因为CD=DA,DE⊥AC,所以E是AC
的中点,所以
又因为DC∥AB,DC=
AB,所以
所以
2.设e1,e2是不共线的非零向量,且a=e1-2e2,b=e1+3e2.
(1)证明:{a,b}可以作为一个基底;
(2)以{a,b}为基底表示向量c=3e1-e2.
【解析】(1)假设a=λb(λ∈R),
则e1-2e2=λ(e1+3e2).
由e1,e2不共线,得
所以λ不存在.
故a与b不共线,可以作为一个基底.
(2)设c=ma+nb(m,n∈R),
则3e1-e2=m(e1-2e2)+n(e1+3e2)=(m+n)e1+(-2m+3n)e2.所以
解得
所以c=2a+b.
【拓展延伸】
方程组法表示向量
类比解方程组的方法,将所要表示的向量看成未知数,根据题目条件列出所要表示的向量的方程组,解方程或方程组即得.
【拓展训练】
如图所示,在平行四边形ABCD中,M,N分别为DC,BC的中点,已知
试用c,d表示
,
.
【解析】设
由①②得
解得
即
【补偿训练】如图,在△AOB中,
设
而OM与BN相交于点P,
试用a,b表示向量
.
【解析】
因为
与
共线,令
则
又设
所以
所以
所以
类型三 平面向量基本定理的综合应用(逻辑推理)
【典例】在边长为1的菱形ABCD中,∠A=60°,E是线段CD上一点,满足|
|=
2|
|,如图所示,设
=a,
=b.
(1)用a,b表示
;
(2)在线段BC上是否存在一点F满足AF⊥BE?若存在,确定F点的位置,并求|
|;
若不存在,请说明理由.
【解题策略】
用向量解决平面几何问题的一般步骤
(1)选取不共线的两个平面向量作为基底.
(2)将相关的向量用基底中的向量表示,将几何问题转化为向量问题.
(3)利用向量知识进行向量运算,得向量问题的解.
(4)再将向量问题的解转化为平面几何问题的解.
【跟踪训练】
已知在平行四边形OABC中,若P是该平面上任意一点,则满足
(1)若P是BC的中点,求λ+μ的值;
(2)若A,B,P三点共线,求证:λ+μ=1.
【解析】(1)若P是BC的中点,
则
又
所以根据平面向量基本定理得,
所以
(2)因为A,B,P三点共线,所以
和
共线,所以存在实数k使
所以
所以
所以根据平面向量基本定理得,λ+μ=1-k+k=1.
平面向量
基本定理
将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，
一般是运用向量的线性运算法则对待求向量不
断进行转化，直至用基底表示为止．
1.
平面向量基本定理.
2.
基底.
核心知识
方法总结
易错提醒
核心素养
1.基底是同一平面内的两个不共线向量.
2.基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可作为基底．
1.数学抽象：平面向量基本定理的意义.
2.逻辑推理：推导平面向量基本定理.
3.数学运算：用基底表示其他向量.
课堂检测·素养达标
1.点O为正六边形ABCDEF的中心,则可作为基底的一组向量是
( )
【解析】选B.由题图可知,
与
,
与
,
与
共线,不能作为基底,
与
不共线,可作为基底.
2.如图,在矩形ABCD中,若
则
( )
【解析】选A.
3.如图,在正方形ABCD中,设
则在以{a,b}为基底时,
可表
示为 ,在以{a,c}为基底时,
可表示为 .?
【解析】以{a,b}为基底时,由平行四边形法则得
=a+b.以{a,c}为基底时,将
平移,使B与A重合,再由三角形法则或平行四边形法则得
=2a+c.
答案:a+b 2a+c
4.已知向量e1,e2不共线,实数x,y满足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2,则x-y=
.?
【解析】由平面向量基本定理,得
所以
所以x-y=3.
答案:3
5.(教材二次开发:练习改编)在平行四边形ABCD中,
=a,
=b,
(1)如图1,如果E,F分别是BC,DC的中点,试用a,b分别表示
,
.
(2)如图2,如果O是AC与BD的交点,G是DO的中点,试用a,b表示
.
【解析】(1)
(2)
因为O是BD的中点,G是DO的中点,
所以
所以