(共50张PPT)
6.2.4 向量的数量积
必备知识·自主学习
1.向量的夹角
(1)定义:已知两个_____向量a,b,O是平面上的任意一点,作
=a,
=b,则
______=θ____________叫做向量a与b的夹角(如图所示).
导思
1.向量数量积的定义是什么?
2.投影、投影向量的定义分别是什么?
3.向量数量积满足哪些性质和运算律?
非零
∠AOB
(0≤θ≤π)
(2)三种特殊情况:
a与b的夹角θ
a与b的关系
0
a与b_____
π
a与b_____
a与b_____,记作_____
同向
反向
垂直
a⊥b
【思考】
(1)等边△ABC中,向量
,
所成的角是60°吗?
提示:向量
,
所成的角是120°.
(2)向量夹角的范围与异面直线所成的角的范围相同吗?
提示:向量的夹角和直线的夹角范围是不同的,它们分别是[0,π]和
2.平面向量的数量积
(1)定义:
条件
两个_____向量a与b,它们的夹角是θ
结论
把数量_____________叫做向量a与b的数量积(或内积)
记法
记作a·b,即a·b=
_____________
规定
零向量与任一向量的数量积为__
非零
|a||b|cosθ
|a||b|cosθ
0
(2)本质:数量积是两个向量之间的一种运算,其运算结果是一个数量,其大小与两个向量的长度及其夹角都有关,符号由夹角的余弦值的符号决定.
(3)应用:①求向量的夹角;②研究向量的垂直问题;③求向量的模.
3.投影与投影向量
(1)变换:
变换
图示
设a,b是两个非零向量,
=a,
=b,过
的起点A和终点B,
分别作
所在直线的垂线,垂
足分别为A1,B1,得到
(2)结论:称上述变换为向量a向向量b投影,
叫做向量a在向量b上的投影向
量.
(3)计算:设与b方向相同的单位向量为e,a与b的夹角为θ,则向量a在向量b上的
投影向量为_________.?
|a|cosθe
4.向量数量积的性质
(1)条件:设a,b是非零向量,它们的夹角是θ,e是与b方向相同的单位向量.
(2)性质:①a·e=e·a=
__________.?
②a⊥b?_______.
③当a与b同向时,a·b=
_______;
当a与b反向时,a·b=
________.
特别地,a·a=
____或____=
.
④|a·b|≤_______.
|a|cos
θ
a·b=0
|a||b|
-|a||b|
|a|2
|a|
|a||b|
5.向量数量积的运算律
(1)a·b=___.
(2)(λa)·b=λ(a·b)=_________.
(3)(a+b)·c=_________.
b·a
a·(λb)
a·c+b·c
【思考】
(1)对于向量a,b,c,等式(a·b)·c=a·(b·c)一定成立吗?
提示:不一定成立,因为若(a·b)·c≠0,其方向与c相同或相反,而a·(b·c)≠0
时其方向与a相同或相反,而a与c方向不一定相同,故该等式不一定成立.
(2)若a·b=a·c(a≠0),则b=c一定成立吗?
提示:不一定成立.在向量数量积的运算中,若a·b=a·c(a≠0),则a·(b-c)
=0(a≠0),于是有b=c或a⊥(b-c).因此,由a·b=a·c(a≠0)不一定能得到b=c.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)向量a,b的数量积也可记作ab或a×b.
( )
(2)对于向量a,b,若a·b=0,则a=0或b=0.
( )
(3)若a·b>0,则a和b的夹角为锐角.
( )
(4)向量a在b上的投影向量是一个模等于|acosθ|(θ是a与b的夹角),且与b共
线的一个向量.
( )
提示:(1)×.向量a,b的数量积记作a·b.
(2)×.a·b=0,还可能有a⊥b.
(3)×.当向量a与b同向时,a·b>0,但是此时a和b的夹角为0°,不是锐角.
(4)√.由投影向量的概念可知此说法正确.
2.(教材二次开发:练习改编)若向量a,b满足|a|=3,|b|=2,a与b的夹角为30°,
则a·b等于
( )
A.
B.
C.2
D.3
【解析】选D.当a与b的夹角为30°时,a·b=|a||b|cos
30°=3×2×
=3
.
3.已知e为一单位向量,a与e之间的夹角是120°,而a在e方向上的投影向量的模
为2,则|a|= .?
【解析】因为||a|·cos
120°e|=2,所以
|a|=2,所以|a|=4.
答案:4
关键能力·合作学习
类型一 向量数量积和投影向量(数学运算)
【题组训练】
1.(2020·昆明高一检测)在△ABC中,∠A=60°,|
|=2,|
|=1,则
·
的值
为
( )
A.-1
B.-
C.
D.1
2.已知等边△ABC的边长为2,则向量
在向量
方向上的投影向量为
( )
A.-
B.
C.2
D.2
3.已知向量a与b的夹角θ为120°,且|a|=4,|b|=2,
求:(1)a·b;(2)(a+b)·(a-2b).
【解析】1.选A.因为在△ABC中,∠A=60°,所以
与
的夹角为120°,由数
量积的定义可得
·
=|
|·|
|cos
120°=2×1×（-
）=-1.
2.选A.在等边△ABC中,因为∠A=60°,所以向量
在向量
方向上的投影向
量为
,所以向量
在向量
方向上的投影向量为-
.
3.(1)由已知得a·b=|a||b|cos
θ
=4×2×cos
120°=-4.
(2)(a+b)·(a-2b)=a2-a·b-2b2
=16-(-4)-2×4=12.
【解题策略】
1.向量数量积的求法
(1)求两个向量的数量积,首先确定两个向量的模及两个向量的夹角,其中准确求出两个向量的夹角是求数量积的关键.
(2)根据数量积的运算律,向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算.
2.求投影向量的方法
(1)依据投影的定义和平面几何知识作出恰当的垂线,直接得到投影向量.
(2)首先根据题意确定向量a的模,与b同向的单位向量e,及两向量a与b的夹角θ,然后依据公式|a|cosθe计算.
【补偿训练】
1.(2018·全国卷Ⅱ)已知向量a,b满足|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)=
( )
A.4
B.3
C.2
D.0
【解析】选B.因为|a|=1,a·b=-1,所以a·(2a-b)=2a2-a·b=2×1-(-1)=3.
2.如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC=2,∠ABC=30°,D为边BC的中点.
求
在
上的投影向量.
【解析】如图,延长CB至点M,使BM=CD,过点M作AB延长线的垂线MN,并交AB的延
长线于点N.
易知
在
上的投影向量即为
在
上的投影向量.
又MN⊥BN,BN=
,
与
的夹角为150°,故
在
上的投影向量为
=-
,即
在
上的投影向量为-
.
类型二 求向量的模(数学运算)
【典例】如图,在△ABC中,
E是AD的中点,设
=a,
=b.
(1)试用a,b表示
;
(2)若|a|=1,|b|=1,且a与b的夹角为60°,求|
|.
步骤
内容
理解
题意
条件:①
E是AD的中点;
②
③|a|=1,|b|=1,a与b的夹角为60°.
结论:用a,b表示
;求|
|.
思路
探求
(1)由
推出
结合
推出最后结果;
(2)先用a,b表示
再依据|a|=
求值.
步骤
内容
书写
表达
(1)因为
推出
=a+
(b-a)=
a+
b.
×（
a+
b）-a=-
a+
b,
所以
=-
(5a-2b),①因为|a|=1,|b|=1,a与b的夹角为
60°,所以a·b=
,
所以|5a-2b|=
②
即|
|=
.
①用已知两个向量表示所求向量.
②将向量的模转化为向量的平方运算.
步骤
内容
题后
反思
解答此类问题的关键是转化,如本例中求|
|
转化为求
,进而可转化为a,b之间的运算.
【解题策略】
1.求向量的模的依据和基本策略
(1)依据:a·a=a2=|a|2或|a|=
,可以实现实数运算与向量运算的相互转化.
(2)基本策略:求模问题一般转化为求模的平方,与向量数量积联系,并灵活应用
a2=|a|2,勿忘记开方.
2.拓展公式
(1)(a±b)2=|a|2±2a·b+|b|2.
(2)(a+b)·(a-b)=|a|2-|b|2.
【跟踪训练】
(2020·临沂高一检测)已知向量a,b满足|b|=5,|2a+b|=5
,|a-b|=5
,则
|a|= .?
【解析】由已知有
将b2=|b|2=25代入方程组,解得|a|=
.
答案:
【拓展延伸】
关于向量模的最值问题
解答此类问题通常分以下两步
(1)依据数量积及其运算性质,建立所求量关于某个变量的函数;
(2)利用有关函数的图象和性质求最值.
【拓展训练】
已知
与
的夹角为60°,|
|=2,|
|=2
,
若λ+
μ
=2,则|
|的最小值为 .?
【解析】
=(λ
+μ
)2
=λ2
+2λμ
·
+μ2
=4λ2+4
λμ+12μ2,由λ+
μ=2,得λ=2-
μ,
所以
=12μ2-8
μ+16=12
+12,
最小值为12,所以|
|的最小值为2
.
答案:2
类型三 向量的夹角与垂直问题(数学运算、逻辑推理)
角度1 两向量的夹角问题?
【典例】已知|a|=1,a·b=
,(a+b)·(a-b)=
.
(1)求|b|的值;
(2)求向量a-b与a+b夹角的余弦值.
【思路导引】(1)利用|a|2=a2,|b|2=b2和数量积的运算律求值;
(2)根据数量积定义可得两个向量夹角余弦值的计算方法.
【解析】(1)(a+b)·(a-b)=a2-b2=
.
因为|a|=1,所以1-|b|2=
,所以|b|=
.
(2)因为|a+b|2=a2+2a·b+b2=1+2×
+
=2,
|a-b|2=a2-2a·b+b2=1-2×
+
=1,
所以|a+b|=
,|a-b|=1.令a+b与a-b的夹角为θ,则cosθ
即向量a-b与a+b夹角的余弦值是
.
【变式探究】
本例的条件改为“|a|=1,|b|=2,且a与b的夹角为45°”,试求a+b与a-b的夹角
的余弦值.
【解析】设a+b,a-b的夹角为θ,
因为|a|=1,|b|=2,且a与b的夹角为45°,
所以a·b=1×2×cos
45°=
,
所以
角度2 两向量的垂直问题?
【典例】(2020·嘉兴高一检测)已知向量a,b的夹角为
π,|a|=1,|b|=2.
(1)求a·b的值;
(2)若2a-b和ta+b垂直,求实数t的值.
【思路导引】(1)依据数量积的定义求值;
(2)依据(2a-b)·(ta+b)=0求t.
【解析】(1)a·b=|a|·|b|cos
=1×2×（-
）=-1;
(2)因为2a-b和ta+b垂直,
所以(2a-b)·(ta+b)=0,
即2ta2+（2-t）a·b-b2=0,
所以2t-(2-t)-4=0,所以t=2.
【解题策略】
1.求向量夹角的基本步骤
2.向量垂直问题的处理思路
解决与垂直相关题目的依据是a⊥b?a·b=0,利用数量积的运算代入,结合与向
量的模、夹角相关的知识解题.
【题组训练】
1.(2020·全国Ⅱ卷)已知单位向量a,b的夹角为60°,则在下列向量中,与b垂直
的是
( )
A.a+2b
B.2a+b
C.a-2b
D.2a-b
【解析】选D.由已知可得:a·b=|a|·|b|·cos60°=1×1×
=
.
A:因为(a+2b)·b=a·b+2b2=
+2×1=
≠0,
所以本选项不符合题意;
B:因为(2a+b)·b=2a·b+b2=2×
+1=2≠0,
所以本选项不符合题意;
C:因为(a-2b)·b=a·b-2b2=
-2×1=-
≠0,
所以本选项不符合题意;
D:因为(2a-b)·b=2a·b-b2=2×
-1=0,
所以本选项符合题意.
2.已知向量a,b不共线,且|2a+b|=|a+2b|,
求证:(a+b)⊥(a-b).
【证明】因为|2a+b|=|a+2b|,
所以(2a+b)2=(a+2b)2,
即4a2+4a·b+b2=a2+4a·b+4b2,所以a2=b2.
所以(a+b)·(a-b)=a2-b2=0.
又a与b不共线,a+b≠0,a-b≠0,
所以(a+b)⊥(a-b).
核心知识
方法总结
易错提醒
核心素养
向量的数量积
1.向量的夹角.
2.向量的数量积的定义.
3.投影向量.
1.
当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉
2.b在a方向上的投影为|b|cos
θ(θ是a与b的夹角)，也可以写成
注意共线时θ＝0°或
θ＝180°.
投影是一个数量，不是向量.
1.数学抽象：数量积相关概念的理解.
2.逻辑推理：有关数量积的运算.
3.数学运算：求模、求数量积或投影.
课堂检测·素养达标
1.已知向量a和b满足a·b=-12
,|a|=4,a和b的夹角为135°,则|b|为( )
A.12
B.3
C.6
D.3
【解析】选C.因为a·b=|a||b|cos
135°=-2
|b|=-12
,所以|b|=6.
2.已知正方形ABCD的边长为2,则
( )
A.2
B.3
C.4
D.3
【解析】选C.因为四边形ABCD
为正方形,
所以
3.已知向量a,b满足a⊥b,|a|=1,|b|=1,则|a-2b|= .?
【解析】因为a⊥b,所以a·b=0,所以|a-2b|2=a2-4a·b+4b2=5,所以|a-2b|=
.
答案:
4.已知向量a,b满足(a+2b)·(a-b)=-6,且|a|=1,|b|=2,则a与b的夹角为 .?
【解析】设a与b的夹角为θ,依题意有(a+2b)·(a-b)=a2+a·b-2b2=-7+2cosθ
=-6,所以cosθ=
,因为0≤θ≤π,故θ=
.
答案:
5.(教材二次开发:练习改编)已知|a|=3,e为单位向量,当向量a,e的夹角θ分别
等于60°,90°,120°时,求向量a在向量e上的投影向量.
【解析】当θ=60°时,向量a在向量e上的投影向量为|a|cosθe=3×cos
60°e
=
e.
当θ=90°时,向量a在向量e上的投影向量为|a|cosθe=
3×cos
90°e=0.
当θ=120°时,向量a在向量e上的投影向量为|a|cosθe=
3×cos
120°e=-
e.(共54张PPT)
6.2.3 向量的数乘运算
必备知识·自主学习
1.向量的数乘运算
(1)定义
导思
1.向量的数乘运算的定义是什么?
2.向量的数乘运算的运算律有哪些?
3.两个向量共线的充要条件是什么?
文字
表述
一般地,我们规定实数λ与向量a的积是一个_____,
这种运算叫做向量的数乘,记作____.
规定
长度
|λa|=________
方向
当λ>0时,λa的方向与a的方向_____;
当λ<0时,λa的方向与a的方向_____;
当λ=0时,λa=__.
向量
λa
|λ||a|
相同
相反
0
(2)应用:①与向量的加减法综合运算;②用其几何意义研究向量共线问题.
2.向量数乘的运算律
设λ,μ为实数,则(1)λ(μa)=______;
(2)(λ+μ)a=________;
(3)λ(a+b)=________.
特别地,我们有(-λ)a=-(λa)=λ(-a),λ(a-b)=λa-λb.
λμa
λa+μa
λa+λb
3.向量的线性运算
(1)定义:向量的___、___、_____运算统称为向量的线性运算.
(2)运算结果:向量线性运算的结果仍是_____.
(3)运算律:对于任意向量a,b,以及任意实数λ,μ1,μ2,
恒有λ(μ1a±μ2b)=______________.
4.两个向量共线的充要条件
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ,使______.
加
减
数乘
向量
λμ1a±λμ2b
b=λa
【思考】
(1)两个向量共线的充要条件中的“a≠0”是否可以去掉?
提示:不能,定理中之所以限定a≠0是由于若a=b=0,λ存在,但不唯一,若
a=0,b≠0,则λ不存在.
(2)与非零向量a共线的单位向量怎样表示?
提示:由于单位向量的长度总等于1,所以与非零向量a共线的单位向量应为
±
.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)实数与向量也可以加减,如λ+a,a-λ.
( )
(2)若λa=0,则a=0(λ∈R).
( )
(3)向量-8a的模是向量4a的模的2倍.
( )
(4)若ma=mb(m∈R),则a=b.
( )
提示:(1)×.实数与向量不能进行加减运算,λ+a,a-λ是没有意义的.
(2)×.λa=0的一种情况是a=0,另一种情况是λ=0.实际上,λa=0的充要条件是λ=0或a=0.
(3)√.由向量的数乘运算的几何意义可知.
(4)×.当m=0时,a与b不一定是相等向量.
2.(多选题)下列各式计算正确的有
( )
A.（-7）×6a=-42a
B.7（a+b）-8b=7a+15b
C.a-2b+a+2b=2a
D.4（2a+b）=8a+4b
【解析】选ACD.进行线性运算,分别进行验算.
7（a+b）-8b=7a+7b-8b=7a-b.
3.(教材二次开发:练习改编)把下列各小题中的向量b表示为实数与向量a的积:
(1)a=-6e,b=8e可表示为 ;?
(2)a=-
e,b=-
e可表示为 .?
【解析】(1)因为a=-6e,b=8e,所以
所以可表示为b=-
a;
(2)因为a=-
e,b=-
e,所以
所以可表示为b=
a.
答案:(1)b=-
a (2)b=
a
关键能力·合作学习
类型一 向量的线性运算(数学运算、直观想象)
【题组训练】
1.(2020·石嘴山高一检测)
(2a+8b)-(4a-2b)等于
( )
A.-3a-6b
B.6b-3a
C.2b-3a
D.3a-2b
2.已知向量x,y满足3x-2y=a,-4x+3y=b,则x= ,y= .(用a,b表示)?
3.如图,已知向量a与b,求作向量3a-
b.
【解析】1.选B.原式=a+4b-4a+2b=6b-3a.
2.由已知得
①×3+②×2得x=3a+2b,
①×4+②×3,得y=4a+3b.
所以x=3a+2b,y=4a+3b.
答案:3a+2b 4a+3b
3.作向量
=3a,
=
b,则
即为所求向量,如图:
【解题策略】
向量线性运算的方法
(1)几何意义法
依据向量加法、减法和数乘运算的几何意义,直接作图.
(2)类比法
向量的线性运算类似于整式的运算,例如:去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段同样适用,但是这里的“同类项”“公因式”是指向量,实数看作是向量的“系数”.
(3)方程法
向量也可以通过列方程来求解,把所求向量当作未知数,利用解方程的方法求解,同时在运算过程中多注意观察,恰当地运用运算律,简化运算.
【补偿训练】
1.化简
[
(2a+8b)-(4a-2b)]的结果是
( )
A.2a-b
B.2b-a
C.b-a
D.a-b
【解析】选B.原式=
(a+4b-4a+2b)=
(6b-3a)=2b-a.
2.已知向量a,b,x,且(x-a)-(b-x)=x-(a+b),则x= .?
【解析】因为(x-a)-(b-x)=x-(a+b),
所以2x-a-b=x-a-b,即x=0.
答案:0
类型二 用已知向量表示相关向量(数学运算、直观想象)
【典例】设OADB是平行四边形,其对角线相交于C点,
且
=a,
=b,用a,b表示向量
.
【思路导引】依据
可先表示出
以及
,再表示出
.
【解析】在平行四边形OADB中,
【解题策略】
用已知向量表示相关向量
(1)直接法
(2)方程法
当直接表示比较困难时,可以首先利用三角形法则或平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系,然后解关于所求向量的方程.
【跟踪训练】
设M,N,P是△ABC三边上的点,它们使
若
=a,
=b,试用a,b将
,
表示出来.
【解析】因为
【拓展延伸】
两个结论
1.在△ABC中,若D是线段BC的中点,
则
2.若O是△ABC重心,则
=0.
【拓展训练】
已知在△ABC中,点M满足
=0,若存在实数m使得
成立,则m= .?
【解析】因为
=0,所以点M是△ABC的重心,所以
所以m=3.
答案:3
类型三 两个向量共线的充要条件的应用(逻辑推理、数学运算)
角度1 判断向量共线或三点共线?
【典例】已知非零向量e1,e2不共线.
(1)若a=
e1-
e2,b=3e1-2e2,判断向量a,b是否共线;
(2)若
=e1+e2,
=2e1+8e2,
=3(e1-e2),求证:A,B,D三点共线.
【思路导引】(1)利用向量共线定理判定向量共线;
(2)先判断
与
共线,进而证明A,B,D三点共线.
【解析】(1)因为b=3e1-2e2
=6
=6a,所以向量a,b共线.
(2)因为
=e1+e2,
=2e1+8e2+3(e1-e2)
=5(e1+e2)
=5
,
所以
与
共线,且有公共点B,
所以A,B,D三点共线.
【变式探究】
把本例(1)的条件改为“a=3e1+4e2,b=6e1-8e2”,判断a与b是否共线.
【解析】若a与b共线,则存在λ∈R,使a=λb,
即3e1+4e2=λ(6e1-8e2),所以(6λ-3)e1=(4+8λ)e2.
因为e1与e2不共线,所以
所以λ不存在,
所以a与b不共线.
角度2 利用向量共线求参数的值?
【典例】若a,b是两个不共线的非零向量,a与b起点相同,则当t为何值时,a,tb,
(a+b)三向量的终点在同一条直线上.
【思路导引】根据已知的三个向量的终点在同一条直线上建立a,b的关系,然后
根据a,b不共线列方程求t.
【解析】设
【解题策略】
1.判断向量共线或三点共线的方法
(1)判断、证明向量共线问题的思路是根据向量共线定理寻求唯一实数λ,使得
a=λb(b≠0).
(2)一般来说,要判断A,B,C三点共线,只需看是否存在实数,使得
(或
等)即可.
2.利用向量共线求参数的基本步骤
(1)根据向量共线的充要条件建立共线向量之间的等量关系(通常要引入一个参
数).
(2)依据下述结论列方程组求参数.
结论:如果λb=μa,且a与b不共线,则实数λ和μ都是0.
理由:若λ,μ是两个不同时为零的实数.不妨设λ≠0,则b=
a.由两个向量共
线的充要条件知,a与b共线,与已知矛盾.所以实数λ和μ都是0.
【题组训练】
1.设e1,e2是两个不共线的向量,若向量a=2e1-e2,与向量b=e1+λe2(λ∈R)共线,
则λ的值为
( )
A.0
B.-1
C.-2
D.-
【解析】选D.因为向量a与b共线,
所以存在唯一实数u,使b=ua成立.
即e1+λe2=u(2e1-e2)=2ue1-ue2,
所以(2u-1)e1=(λ+u)e2,又因为e1与e2不共线.
所以
解得λ=-
.
2.(2020·西安高一检测)设e1,e2是两个不共线向量,
=2e1-8e2,
=e1+3e2,
=2e1-e2.
(1)证明:A,B,D三点共线;
(2)若
=3e1-ke2,且B,D,F三点共线,求k的值.
【解析】(1)
=e1-4e2,
=2(e1-4e2)=2
,
所以
,因为
与
有公共点,所以A,B,D三点共线.
(2)因为B,D,F三点共线,所以存在实数λ,
使
所以3e1-ke2=λe1-4λe2,
所以(3-λ)e1=(k-4λ)e2,又因为e1,e2不共线,
所以
解得λ=3,k=12.
【拓展延伸】
关于A,B,C三点共线条件的变形式
平面上三点A,B,C共线的充要条件是:存在实数α,β,使得
其中α+β=1,O为平面内任意一点.
【拓展训练】
已知A,B,P三点共线,O为直线外任意一点,若
,求x+y的值.
【解析】设
所以x+y=-λ+1+λ=1.
【补偿训练】设两个不共线的向量e1,e2,若a=2e1-3e2,b=2e1+3e2,c=2e1-9e2,问是否存在实数λ,μ,使d=λa+μb与c共线?
【解析】d=λa+μb=λ(2e1-3e2)+μ(2e1+3e2)
=(2λ+2μ)e1+(3μ-3λ)e2,
要使d与c共线,则存在实数k,使得d=kc,
所以(2λ+2μ)e1+(3μ-3λ)e2=2ke1-9ke2，
即(2λ+2μ-2k)e1=(3λ-3μ-9k)e2，
因为向量e1,e2不共线,所以
得λ=-2μ.故存在实数λ,μ,使d与c共线.
1.
向量数乘
的定义.
2.向量数乘的运算律.
3.共线向量定
理.
1.向量的数乘运算可类似于代数多项式运算.
2.用图形中的已知向量表示所求向量，应结合已知和所求，将所求向量反复分解，直到全部可以用已知向量表
示即可.
数学抽象：
向量数乘概念
逻辑推理：
向量共线的充要条件及其应用
数学运算：
向量的线性运算
向量的数乘运算中，“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数
课堂检测·素养达标
1.下列各式中不表示向量的是
( )
A.-a
B.a+3b
C.|3a|
D.
e(x,y∈R,且x≠y)
【解析】选C.向量线性运算结果仍为向量,显然只有|3a|不是向量.
2.如图,在平行四边形ABCD中,E为CD边的中点,且
=a,
=b,则
=( )
A.a+
b
B.a-
b
C.b+
a
D.b-
a
【解析】选D.因为E为CD边的中点,所以
所以
3.已知a=2e1+e2,b=e1-2e2,则a+b= ,a-b= ,2a-3b= .?
【解析】因为a=2e1+e2,b=e1-2e2,
所以a+b=3e1-e2,a-b=e1+3e2,
2a-3b=4e1+2e2-3e1+6e2=e1+8e2.
答案:3e1-e2 e1+3e2 e1+8e2
4.下面向量a,b共线的序号是 .(其中e1,e2不共线)?
①a=2e1,b=2e2;
②a=e1-e2,b=-2e1+2e2;
③a=6e1-
e2,b=e1-
e2;
④a=e1+e2,b=2e1-2e2.
【解析】对于①④,由于e1,e2不共线,所以a,b不共线;对于②,a=-
b,
所以a,b共线;
对于③,a=6b,所以a,b共线.
答案:②③
5.(教材二次开发:练习改编)已知点C在线段AB的延长线上,且
(1)用
表示
;
(2)用
表示
.
【解析】如图①,由已知点C在线段AB的延长线上,且
所以
解得AB=3BC.
同时可得AC=4CB.
(1)如图②,向量
与
的方向相同,所以
=3
.
(2)如图③,向量
与
的方向相反,
所以
=-4
.(共55张PPT)
6.2.2 向量的减法运算
必备知识·自主学习
1.相反向量
导思
1.相反向量的含义是什么?
2.平面向量减法运算的定义是什么?其几何意义
是什么?
定义
与向量a长度_____,方向_____的向量,叫做a的相反向量,记作___
规定
零向量的相反向量仍是零向量
结论
a和-a互为相反向量,于是-(-a)=__
a+(-a)=(-a)+a=__
如果a,b互为相反向量,那么a=-b,
b=-a,a+b=__
相等
相反
-a
a
0
0
2.向量的减法
(1)定义:向量a加上b的相反向量,叫做a与b的差,即a-b=_______.求两个向量差
的运算叫做向量的减法.
(2)本质:向量加法的逆运算,运算结果仍是一个向量.
(3)应用:①求两个向量的差;②为向量的综合运算奠定基础.
a+(-b)
3.向量减法的几何意义
作法
已知向量a,b,在平面内任取一点O,作
=a,
=b,则
=____
图示
a-b
【思考】
(1)已知a,b是不共线的向量,如何在同一个平行四边形中作出a-b和a+b?
提示:如图所示,作平行四边形OACB,设
=a,
=b,
根据向量加法的平行四边形法则和向量减法的三角形法则,有
=a+b,
=
a-b.
(2)在代数运算中的移项法则,在向量中是否仍然成立?
提示:成立.在向量等式的两边都加上或减去同一个向量仍得到向量等式,因此移项法则对向量等式也是适用的.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)相反向量就是方向相反的向量.
( )
(2)相反向量不一定是平行向量,平行向量一定是相反向量.
( )
(3)
与
是相反向量,且-
=
.
( )
提示:(1)×.相反向量是长度相等,方向相反的向量.
(2)×.由平行向量与相反向量的定义可知,相反向量必为平行向量,平行向量不
一定是相反向量.
(3)√.根据相反向量的定义可知其正确.
2.在平行四边形ABCD中,下列结论错误的是
( )
【解析】选C.因为四边形ABCD是平行四边形,
所以
=
,所以
=0,A正确;
=
+
,由向量加法的平行四边形法则可知,
+
=
,B正
确;
=
,C错误;
因为四边形ABCD是平行四边形,所以
与
互为相反向量,所以
=
0,D正确.
3.(教材二次开发:例题改编)已知?ABCD的对角线AC和BD相交于O,且
=a,
=b,则
= ,
= .(用a,b表示)?
【解析】如图,
答案:b-a -a-b
关键能力·合作学习
类型一
向量减法的几何意义(直观想象)
【典例】1.对于非零向量a,b,当且仅当 时,有|a-b|=||a|-|b||.?
2.如图,已知向量a,b,c不共线,求作向量a+b-c.
【思路导引】1.根据向量减法的几何意义分析a,b之间的关系.
2.先作a+b,再作a+b-c.作向量的差时,可以依据定义也可以依据向量减法的三角形法则.
【解析】1.当a,b不同向时,根据向量减法的几何意义,知一定有|a-b|>||a|-
|b||,所以只有两向量同向时,才有|a-b|=||a|-|b||.
答案:a与b同向
2.方法一:如图所示,在平面内任取一点O,作
=a,
=b,则
=a+b,再作
=c,
则
=a+b-c.
方法二:如图所示,在平面内任取一点O,作
=a,
=b,则
=
a+b,再作
=c,连接OC,
则
=a+b-c.
【变式探究】
在本例2的条件下,作出向量:
a-b+c.
【解析】如图所示:
【解题策略】
作两个向量的差的两种方法
(1)用向量减法的三角形法则
①步骤
②口诀:共起点,连终点,指向被减.
(2)用向量减法的定义
根据a-b=a+(-b)转化为向量加法运算,再作图.
【跟踪训练】
如图所示,O为△ABC内一点,
=a,
=b,
=c,求作:b+c-a.
【解析】方法一:以
,
为邻边作平行四边形OBDC,连接OD,AD,
则
方法二:作
=b,
连接AD,则
=c-a,
=c-a+b=b+c-a.
【补偿训练】
如图,已知向量a,b,c,求作a-b-c.
【解析】如图,以A为起点分别作向量
和
,使
=a,
=b.连接CB,得
向量
,再以C为起点作向量
,使
=c.连接DB,得向量
.则向量
即为所求作的向量a-b-c.
类型二 向量的加减法运算(数学运算)
【典例】1.(2020·运城高一检测)化简:
= .?
2.化简:(1)
【思路导引】首先用向量加法的运算律或向量减法的定义进行恰当转化,然后用向量加法(或减法)的三角形法则化简.
【解析】1.
答案:
2.(1)
(6)方法一:
方法二:
【解题策略】
向量减法运算的常用方法
【跟踪训练】
1.下列四式中不能化简为
的是
( )
【解析】选D.A中,
B中,
C中,
D中,
显然
不能化简为
.
2.化简下列各式:(1)
(2)
【解析】(1)
(2)
【补偿训练】
下列各式中不能化简为
的是
( )
【解析】选D.选项A中,
选项B
中,
选项C中,
选项D中,
类型三 向量加减法运算的综合应用(数学运算、逻辑推理)
角度1 利用已知向量表示未知向量?
【典例】如图所示,四边形ACDE是平行四边形,点B是该平行四边形外一点,且
=a,
=b,
=c,试用向量a,b,c表示向量
【思路导引】利用向量加减法运算的三角形法则及相等向量的定义进行解答.
【解析】由平行四边形的性质可知
=c,由向量的减法可知:
=b-a,由向量的加法可知
=b-a+c.
【变式探究】
本例中的条件“点B是该平行四边形外一点”若换为“点B是该平行四边形内
一点”,其他条件不变,其结论又如何呢?
【解析】如图,
因为四边形ACDE是平行四边形,
所以
=c,
=b-a,
=b-a+c.
角度2 向量加减法与平面几何知识的综合应用?
【典例】若O是△ABC所在平面内一点,且满足
试判断△ABC的形状.
【思路导引】先进行向量加减法运算,化简后分析以AB、AC为邻边的平行四边
形的形状.
【解析】因为
所以
以AB、AC为邻边的平行四边形对角线相等,
所以以AB、AC为邻边的平行四边形为矩形,
所以∠BAC=90°,得△ABC的形状是直角三角形.
【解题策略】
1.用已知向量表示其他向量的三个关注点
(1)搞清楚图形中的相等向量、相反向量、共线向量以及构成三角形的三个向
量之间的关系,确定已知向量与被表示向量的转化渠道.
(2)注意综合应用向量加法、减法的几何意义以及向量加法的结合律、交换律
来分析解决问题.
(3)注意在封闭图形中利用向量加法的多边形法则.
例如,在四边形ABCD中,
=0.
2.平行四边形中有关向量的结论
平行四边形中有关向量的以下结论,在解题中可以直接使用:
(1)对角线的平方和等于四边的平方和,即|a+b|2+|a-b|2=2(|a|2+|b|2).
(2)若|a+b|=|a-b|,则以a,b为邻边的平行四边形为矩形.
【跟踪训练】
1.在菱形ABCD中,∠DAB=60°,|
|=2,则|
|= .?
【解析】因为
∠DAB=60°,AB=AD,
所以△ABD为等边三角形.
又因为|
|=2,所以OB=1.
在Rt△AOB中,
所以
答案:2
2.如图所示,在正八边形ABCDEFGH中,
=a,
=b,
=c,
=d,
=e,
(1)试用已知向量表示
;
(2)试用已知向量表示
.
【解析】(1)由题图可知
=-(b+c+d+e);
(2)由题图可知,
=c+d+e+
=c+d+e-
=c+d+e-b.
【补偿训练】
1.已知菱形ABCD边长都是2,求向量
的模.
【解析】因为
所以
2.如图,在△ABC中,D,E分别为边AC,BC上的任意一点,O为AE,BD的交点,已知
=a,
=b,
=c,
=e,用a,b,c,e表示向量
.
【解析】在△OBE中,有
=e-c,
在△ABO中,
=e-c-a,
在△ABD中,
=a+b,
所以在△OAD中,
=e-c-a+a+b=e-c+b.
核心知识
方法总结
易错提醒
核心素养
1.
相反向量.
2.向量减法的
概念.
3.向量减法的
几何意义.
（1）起点必须相同；
（2）指向被减向量的终点.
用三角形法则作向量减法时
相反向量:
从“长度”和“方向”两方面进行定义，相反向量必为平行向量．
1.数学抽象：向量减
法的定义.
2.逻辑推理：向量减法的法则.
3.数学运算：求两个向量的差.
4.直观想象：向量减法的几何意义.
课堂检测·素养达标
1.设b是a的相反向量,则下列说法一定错误的是
( )
A.a与b的长度相等
B.a∥b
C.a与b一定不相等
D.a是b的相反向量
【解析】选C.由相反向量的定义可知,A,B,D正确;由于零向量的相反向量仍为零向量,所以C错误.
2.下列运算中正确的是
( )
【解析】选C.根据向量减法的几何意义,知
,所以C正确,A错误;
B显然错误;对于D,
应该等于0,而不是0.
3.化简:(1)
= ;?
(2)
= .?
【解析】(1)原式=
(2)原式=
答案:(1)
(2)
4.(教材二次开发:练习改编)如图,已知正方形ABCD的边长等于1,
=a,
=
b,
=c,试作向量并分别求模:
(1)a+b+c;(2)a-b+c.
【解析】(1)如图,由已知得,a+b=
又
=c,所以延长AC到E,使
则a+b+c=
且|
|=2
.
(2)如图,作
=a-
=a-b,
所以a-b+c=
且|
|=2.(共57张PPT)
6.2 平面向量的运算
6.2.1 向量的加法运算
必备知识·自主学习
1.向量加法的定义
求___________的运算,叫做向量的加法.
导思
1.向量加法的定义是什么?
2.向量加法的运算法则有哪些?
两个向量和
2.求向量和的方法
(1)三角形法则与平行四边形法则
(2)本质:向量加法运算结果仍是向量,此向量的方向和大小可以用三角形法则和平行四边形法则作出.三角形法则的物理模型是位移的合成.平行四边形法则的物理模型是力的合成.
(3)应用:①两个非零向量的和;②为学习向量的其他运算奠定基础.
【思考】
向量加法的三角形法则和平行四边形法则的使用条件有什么不同?两者有何联系?
提示:(1)三角形法则适用于任意两个非零向量求和,平行四边形法则只适用于两个不共线的向量求和.
(2)当两个向量不共线时,两个法则是一致的.
如图所示,
(平行四边形法则),
又因为
所以
(三角形法则).
3.|a+b|,|a|,|b|之间的关系
一般地,我们有|a+b|≤________,当且仅当a,b_________时等号成立.
4.向量加法的运算律
交换律
结合律
a+b=____
(a+b)+c=________
|a|+|b|
方向相同
b+a
a+(b+c)
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)存在向量a,b,使得a+b是一个实数.
( )
(2)在平行四边形ABCD中,
( )
(3)
( )
(4)a+(b+c)=c+(a+b).
( )
提示:(1)×.两个向量的和仍是一个向量.
(2)√.由向量加法的平行四边形法则可知.
(3)√.
(4)√.由向量加法的交换律、结合律知,a+(b+c)=(a+b)+c=c+(a+b).
2.下列各式不一定成立的是
( )
A.a+b=b+a
B.0+a=a
C.
D.|a+b|=|a|+|b|
【解析】选D.A成立,为向量加法交换律;B成立,这是规定;C成立,即三角形法则;D不一定成立,只有a,b同向或有一者为零向量时,才有|a+b|=|a|+|b|.
3.(教材二次开发:习题改编)若a表示“向东走8
km”,b表示“向北走8
km”,则|a+b|= ,a+b的方向是 .?
【解析】如图所示,作
=a,
=b,
则a+b=
所以|a+b|=|
|
因为∠AOB=45°,
所以a+b的方向是东北方向.
答案:8
km 东北方向
关键能力·合作学习
类型一 三角形法则与平行四边形法则的应用(直观想象)
【题组训练】
1.下列等式错误的是
( )
2.如图所示的方格纸中有定点O,P,Q,E,F,G,H,则
=
( )
3.如图,已知向量a,b.
(1)用平行四边形法则作出向量a+b;
(2)用三角形法则作出向量a+b.
【解析】1.选A.由向量加法可知
2.选C.设a=
,利用平行四边形法则作出向量
再平移即发现a=
3.(1)如图,在平面内任取一点O,作
=a,
=b,以OA,OB为邻边作?OACB,
连接OC,则
=a+b.
(2)如图,在平面内任取一点O′,作
=a,
=b,连接O′E,则
=a+b.
【解题策略】
1.应用三角形法则应注意的问题
使用三角形法则求两个向量的和时,应注意“首尾相连,起点指终点”,即首尾相连的两个向量的和对应的向量是第一个向量的起点指向第二个向量的终点.
2.应用平行四边形法则应注意的问题
(1)平行四边形法则只适用于求不共线的两个向量的和.
(2)基本步骤可简述为:共起点,两向量所在线段为邻边作平行四边形,找共起点的对角线对应的向量.
【补偿训练】
1.在矩形ABCD中,|
|=4,|
|=2,则向量
的长度等于
( )
A.2
B.4
C.12
D.6
【解析】选B.因为
所以
的长度为
的模的2倍,
即为4
.
2.如图,已知?ABCD,O是两条对角线的交点,E是CD的一个三等分点,求作:
【解析】(1)延长AC,在延长线上截取CF=AO,则向量
即为所求.
(2)在AB上取点G,使AG=
AB,则向量
即为所求.
【拓展延伸】
向量加法的多边形法则
向量加法的三角形法则可以推广为多个向量求和的多边形法则,即把每个向量平移,使这些向量首尾相连,则由第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量就是这些向量的和向量.
这是一个极其简单却非常有用的结论(如图).
利用向量加法的多边形法则化简多个向量的和有时非常有效.
【拓展训练】
已知
=a,
=b,
=c,
=d,
=e,则a+b+c+d= .?
【解析】a+b+c+d=
答案:e
【补偿训练】如图,已知三个向量a,b,c,试用三角形法则和平行四边形法则分别作向量a+b+c.
【解析】利用三角形法则作a+b+c,如图①所示,作
=a,以A为起点,作
=b,
再以B为起点,作
=c,则
=a+b+c.
利用平行四边形法则作a+b+c,如图②所示,作
=a,
=b,
=c,以
为邻边作?OADB,则
=a+b,再以
为邻边作?ODEC,则
=a+b+c.
类型二 向量加法的性质和运算律的应用(数学运算)
【典例】1.设|a|=8,|b|=12,则|a+b|的最大值与最小值分别为 、 .?
2.化简:
【思路导引】1.利用向量加法的几何意义,及|a+b|≤|a|+|b|解答.
2.综合利用向量加法的运算律和三角形法则解答.
【解析】1.当a,b共线同向时,
|a+b|=|a|+|b|=8+12=20,
当a,b共线反向时,|a+b|=||a|-|b||=4.
当a,b不共线时,||a|-|b||<|a+b|<|a|+|b|,
即4<|a+b|<20,综上知,4≤|a+b|≤20,
所以最大值为20,最小值为4.
答案:20 4
【解题策略】
1.向量a+b与非零向量a,b的模及方向的联系
(1)当向量a与b不共线时,向量a+b的方向与a,b都不相同,且|a+b|<|a|+|b|,
几何意义是三角形两边之和大于第三边.
(2)当向量a与b同向时,向量a+b,a,b方向相同,且|a+b|=|a|+|b|.
(3)当向量a与b反向时,
若|a|>|b|时,则a+b的方向与a相同,且|a+b|=|a|-|b|;若|a|=|b|时,则a+b=0;
若|a|<|b|时,则a+b的方向与b相同,且|a+b|=|b|-|a|.
2.向量加法运算律的意义和应用原则
(1)意义:向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据,实现恰当利用向量加法法则运算的目的.实际上,由于向量的加法满足交换律和结合律,故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.
(2)应用原则:利用代数方法通过向量加法的交换律,使各向量“首尾相连”,通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序.
【跟踪训练】
设E是平行四边形ABCD外一点,如图所示,化简下列各式:
(1)
= ;?
(2)
= ;?
(3)
= ;?
(4)
= .?
答案:
【补偿训练】
在平行四边形ABCD中(如图),对角线AC,BD交于点O,则
①
= .?
②
= .?
③
= .?
④
= .?
【解析】
答案:①
②
③
④0
类型三 向量加法的应用(逻辑推理、直观想象)
角度1 与平面几何知识综合应用?
【典例】已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,且
求证:四边形ABCD是平行四边形.
【思路导引】利用向量加法结合题目条件推证
【证明】如图,
又因为
所以
.所以AB=DC且AB∥DC.所以四边形ABCD为平行四边形.
【变式探究】
若将本例改为:四边形ABCD中,
,且
求证四边形ABCD为矩形.
【证明】因为四边形ABCD中,
所以四边形ABCD为平行四边形,如图.
所以
因为
所以
,即平行四边形对角线相等,
故四边形ABCD为矩形.
角度2 与物理知识综合应用?
【典例】一艘船以5
km/h的速度向垂直于对岸方向行驶,航船实际航行方向与水流方向成30°角,求水流速度和船实际速度.
【思路导引】画出示意图,根据向量加法的几何意义分析水流速度、船垂直于对岸的方向行驶的速度和船实际航行的速度之间的关系,解直角三角形求有关线段和角的大小.
【解析】如图所示,
表示水流速度,
表示船垂直于对岸的方向行驶的速
度,
表示船实际航行的速度,∠AOC=30°,|
|=5.
因为四边形OACB为矩形,
所以|
|=
=5
,|
|=
=10.
所以水流速度大小为5
km/h,船实际速度为10
km/h.
【解题策略】
1.利用向量解决几何问题的方法
用向量法证明几何问题的关键是把几何中的线段转化为向量,通过向量的运算得到结论,然后把向量问题还原为几何问题.
2.利用向量的加法解决实际应用题的三个步骤
【题组训练】
1.已知点G是△ABC的重心,则
= .?
【解析】如图所示,连接AG并延长交BC于E点,点E为BC的中点,延长AE到D点,使GE=ED,
则
=0,
所以
=0.
答案:0
2.一架直升飞机从A地沿北偏东60°方向飞行了40
km到B地,再由B地沿正北方向飞行40
km到达C地,求此时直升飞机与A地的相对位置.
【解析】如图所示,
设
分别是直升飞机两次位移,则
表示两次位移的合位移,即
在Rt△ABD中,|
|=20
km,|
|=20
km,
在Rt△ACD中,|
|=
(km),∠CAD=60°,即此时直升
飞机位于A地北偏东30°,且距离A地40
km处.
【补偿训练】
如图所示,P,Q是△ABC的边BC上两点,且
=0.
求证:
【证明】因为
所以
又因为
=0,所以
向量的加法运算
1.向量加法的概念.
2.三角形法则和平行四边形法则.
3.交换律和结合律.
1.三角形法则:两向量“首尾相接”第一个向量的起点为起点，第二个向量的终点为终点的向量，即为两个向量的和．
2.平行四边形法则:①两个向量共起点,②作平行四边形,
③与两向量共起点的对角线表示的向量为两个向量的和.
1.向量的三角形法则：首尾相接，连首尾.
2.平行四边形法则:同一起点,对角线.
1.数学抽象：向量加法概念.
2.逻辑推理：利用向量加法证明几何问题.
3.直观想象：向量加法运算.
4.数学建模：从实际问题抽象出数学模型，运用向量加法
解决实际问题.
方法总结
核心知识
易错提醒
核心素养
课堂检测·素养达标
1.若C是线段AB的中点,则
等于
( )
A.
B.
C.0
D.以上均不正确
【解析】选C.
模相等而方向相反,因此
=0.
2.对任意四边形ABCD,下列式子中不等于
的是
( )
【解析】选C.
3.已知D,E,F分别是△ABC的边AB,BC,CA的中点,则下列等式中不正确的是
( )
【解析】选D.由向量加法的平行四边形法则可知,
4.(教材二次开发:练习改编)根据下图填空:
b+c= ;a+d= ;b+c+d= ;?
f+e= ;e+g= .?
【解析】根据向量加法的运算法则可知
b+c=a;a+d=f;
b+c+d=f;f+e=b;e+g=h.
答案:a f f b h
5.河水从东向西流,流速为2
m/s,一小船以2
m/s垂直水流方向向北横渡,求小船实际航行的方向和航速(结果保留小数点后一位).
【解析】如图,
表示船速,
表示河水速度,以AB,AD为邻边作?ABCD,
则
表示小船实际航行的速度,
在Rt△ABC中,|
|=2,|
|=|
|=2,
于是|
|=
≈2.8(m/s)
由|
|=|
|,可得
的方向为西北方向.
所以小船实际航行速度为向西北方向,2.8
m/s.
