(共47张PPT)
第九章 统 计
9.1 随
机
抽
样
9.1.1 简单随机抽样
必备知识·自主学习
1.全面调查与抽样调查
(1)对_______调查对象都进行调查的方法,称为全面调查,又称_____.
(2)在一个调查中,我们把调查对象的全体称为_____,组成总体的每一个调查对
象称为_____.
(3)根据一定目的,从总体中抽取一部分个体进行调查,并以此为依据对总体的
情况作出估计和推断的调查方法,称为_________.
导思
1.什么叫简单随机抽样?
2.最常用的简单随机抽样方法有哪几种?
每一个
普查
总体
个体
抽样调查
(4)把从总体中抽取的那部分个体称为_____.
(5)样本中包含的个体数称为_______.
(6)调查样本获得的_______称为样本的观测数据,简称样本数据.
样本
样本量
变量值
【思考】
抽样调查有什么优点?
提示:相对全面调查而言,抽样调查由于只抽取一部分个体进行调查,因此具有花费少、效率高的特点.在有些调查中,抽样调查则具有不可替代的作用.
2.简单随机抽样
(1)定义
放回简单随机抽样
不放回简单随机抽样
概念
一般地,设一个总体含有N(N为正整数)个个体,从中逐个抽取n(1≤n个个体作为样本.
如果抽取是_______,且每次
抽取时总体内的各个个体被
抽到的概率_______,我们把
这样的抽样方法叫做放回简
单随机抽样.
如果抽取是_________,且每次抽取时
总体内未进入样本的各个个体被抽
到的概率_______,我们把这样的抽样
方法叫做不放回简单随机抽样.
放回的
都相等
不放回的
都相等
(2)常用方法
_______
_________
概念
把总体中的N个个体_____,把编号
写在外观、质地等无差别的小纸片
(也可以是卡片、小球等)上作为号
签,将这些小纸片放在一个不透明
的盒里,_________,最后从盒中不放
回地_________号签,使与号签上的
编号对应的个体进入样本,直到抽
足样本所需的个数.
用随机数工具产生编号范
围内的整数随机数,把产生
的随机数作为抽中的编号,
使与编号对应的个体进入样
本.重复上述过程,直到抽足
样本所需的个数.
(3)本质:保证抽样的公平性的两种简单抽样方法.
抽签法
随机数法
编号
充分搅拌
逐个抽取
【思考】
(1)最常用的简单随机抽样方法有哪些?
提示:抽签法和随机数法.
(2)你认为抽签法有什么优点和缺点?
提示:抽签法的优点是简单易行,当总体中个体数不多时较为方便,缺点是当总体中个体数较多时不宜采用.
3.总体平均数与样本平均数
(1)总体平均数
①一般地,总体中有N个个体,它们的变量值分别为Y1,Y2,…,YN,则称
=
______________=_______为总体均值,又称总体平均数.
②如果总体的N个变量值中,不同的值共有k(k≤N)个,不妨记为Y1,Y2,…,Yk,
其中Yi出现的频数fi(i=1,2,…,k),则总体均值还可以写成加权平均数的形式
=_________.
(2)样本平均数
如果从总体中抽取一个容量为n的样本,它们的变量值分别为y1,y2,…,yn,则称
=_____________=_______为样本均值,又称样本平均数.在简单随机抽样中,
我们常用样本平均数
去估计总体平均数
.
【思考】
总体均值与样本均值有何区别与联系?
提示:(1)区别:当总体中个体较多时,总体均值不易计算,样本均值比较方便计算.总体均值是一个确定的数,样本均值具有随机性.
(2)联系:在简单随机抽样中,我们常用样本均值估计总体均值.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)在简单随机抽样中,某一个个体被抽到的可能性与第几次抽取有关,第一次抽到的可能性最大.
( )
(2)抽签法中,先抽的人抽中的可能性大.
( )
(3)抽签法适用于总体中个体数较少的情况,随机数法适用于总体中个体数较多的情况.
( )
(4)在使用随机数法时,各个个体的编号位数要相同.( )
提示:(1)×.在简单随机抽样中,某一个个体被抽到的可能性与第几次抽取无关,每一次抽到的可能性相同.
(2)×.抽签法中,每个人抽中的可能性相同.
(3)√.
(4)√.
2.某重点中学进行了一次模拟考试,为了解全年级1
000名学生的考试成绩,从中随机抽取了100名学生的成绩单,下面说法正确的是
( )
A.1
000名学生是总体
B.每个学生是个体
C.1
000名学生的成绩是一个个体
D.样本量是100
【解析】选D.1
000名学生的成绩是统计中的总体,每个学生的成绩是个体,被抽取的100名学生的成绩是一个样本,其样本量是100.
3.(教材二次开发:练习改编)下面的抽样方法是简单随机抽样的是 .(填序号)?
①从某城市的流动人口中随机抽取100人进行调查;
②在某年明信片销售活动中,规定每100万张为一个开奖组,通过随机抽取的方法确定号码的后四位为2709的为三等奖;
③从10名工人中随机抽取3人进行安全常识考核.
【解析】①中总体容量较大,不宜用简单随机抽样;②中抽取的个体的间隔是固定的,不是简单随机抽样;③是简单随机抽样.
答案:③
关键能力·合作学习
类型一 简单随机抽样的概念(数学抽象)
【题组训练】
1.下面的抽样方法为简单随机抽样的是
( )
A.某工厂的质检员从一袋30个螺母中随机取出5个进行质量检测
B.某商品的市场调查员为了了解该商品某日在某超市的销售情况,在超市出口处随机向10个顾客询问是否购买了该商品
C.某班级有4个小组,每组共有12个同学.班主任指定每组坐在第一张桌子的8位同学为班干部
D.教练员从10名乒乓球运动员中选出2名成绩优秀的去参加国际比赛
2.下列抽样方法是简单随机抽样的有 .(填序号)?
(1)从无限多个个体中抽取100个个体作为样本.
(2)从20个零件中逐个抽取3个进行质量检验.
(3)从班上50名同学中选数学成绩最好的2名同学参加数学竞赛.
(4)某班45名同学,指定个子最高的5名同学参加学校组织的某项活动.
(5)中国福利彩票30选7,得到7个彩票中奖号码.
【解析】1.选A.由简单随机抽样的定义知A符合,B不是,被抽取的样本的总体个数不确定;C不是,班主任的指定不能保证班级里的每一个学生被抽取的可能性一样;D不是,因为参加比赛要选优秀的,所以10名运动员被抽取的可能性不同.
2.(1)不是简单随机抽样,因为被抽取样本的总体的个数是无限的,而不是有限的.
(2)是简单随机抽样,它属于简单随机抽样中的抽签法.
(3)不是简单随机抽样,因为每个个体被抽取的可能性不相等.
(4)不是简单随机抽样,不符合“等可能性”,因为5名同学是指定的,而不是随机抽取的.
(5)是,它属于简单随机抽样中的随机数法.
答案:(2)(5)
【解题策略】
1.放回简单随机抽样的特点
(1)被抽取的样本的总体个数N是有限的.
(2)逐个抽取n个个体作为样本.
(3)抽取是放回的.
(4)每个个体入样的可能性均为
.
2.不放回简单随机抽样的特点
(1)被抽取的样本的总体个数N是有限的.
(2)逐个抽取n个个体作为样本.
(3)抽取是不放回的.
(4)每个个体入样的可能性均为
.
【补偿训练】
下面的抽样方法是简单随机抽样吗?为什么?
(1)从无数个个体中抽取50个个体作为样本;
(2)仓库中有1万支奥运火炬,从中一次抽取100支火炬进行质量检查;
(3)某连队从200名党员官兵中,挑选出50名最优秀的官兵赶赴灾区开展救灾工作.
【解析】(1)不是简单随机抽样.因为简单随机抽样要求被抽取的样本总体的个数是有限的.
(2)不是简单随机抽样.虽然“一次性抽取”和“逐个抽取”不影响个体被抽到的可能性,但简单随机抽样要求的是“逐个抽取”.
(3)不是简单随机抽样.因为这50名官兵是从中挑选出来的,是最优秀的,每个个体被抽到的可能性不同,不符合简单随机抽样中“等可能抽样”的要求.
类型二 抽签法及随机数法的应用(数据分析)
角度1 抽签法?
【典例】某班有60名学生,要从中随机地抽出6人参加一项活动,请写出利用抽签法抽取该样本的过程.
【思路导引】要按照抽签法抽取样本的步骤进行.
【解析】抽样步骤如下:
第一步:将这60名学生编号,编号为01,02,03,…,60.
第二步:将60个号码分别写在纸条上,并揉成团,制成号签.
第三步:将得到的号签放在一个不透明的容器中,搅拌均匀.
第四步:从容器中逐一抽取6个号签,并记录上面的号码.
对应上面6个号码的学生就是参加该项活动的学生.
【变式探究】
本例中如果该班60名学生中有男生32名,女生28名,要选出10名男生,8名女生参加学校组织的元旦合唱比赛,试用抽签法确定人选.
【解析】第一步,将32名男生从00到31进行编号;
第二步,用相同的纸条制成32个号签,在每个号签上写上这些编号;
第三步,将写好的号签放在一个不透明的容器内摇匀,不放回地逐个从中抽出10个号签;
第四步,抽到的相应编号的男生参加合唱;
第五步,用相同的办法从28名女生中选出8名,则此8名女生参加合唱.
角度2 随机数法?
【典例】要从高一年级全体学生450人中随机抽出20人作为校运动会志愿者,请用随机数法抽出人选,写出抽取过程.
【思路导引】先对学生进行编号,再应用随机试验产生随机数,方便易行,最后按号抽取.
【解析】第一步,先将450人编号,可以编为000,001,002,…,449;
第二步,准备10个大小、质地一样的小球,小球上分别写上数字0,1,2,…,9,把它们放入一个不透明的袋子中.
第三步,从袋子中有放回摸取3次,每次摸取前充分搅拌,并把第1,2,3次摸到球的数字分别作为百位、十位、个位,这样就生成了一个三位随机数.如果这个数在000～449之间,就记录下来,否则舍弃,如果有重复舍去,直到得到20个不同编号.
第四步,与这20个编号对应的学生组成样本.
【解题策略】
1.抽签法的一般步骤
2.随机数法的解题步骤
第一步,编号.
第二步,生成随机数.
第三步,记录样本编号.
第四步,抽取样本.
3.注意事项
(1)利用抽签法抽取样本时,号签的大小、形状要相同,必须“搅拌均匀”,已抽取号签不能放回.
(2)利用随机数法抽取样本时,每个个体的编号位数要相同,同一编号被多次抽到,要剔除重复的编号并重新产生随机数.
【题组训练】
1.从20架钢琴中抽取5架进行质量检查,请选用合适的方法确定这5架钢琴.
【解析】适合利用抽签法抽取,步骤如下:
第一步,将20架钢琴编号,号码是0,1,…,19.
第二步,将号码分别写在纸条上,揉成团,制成号签.
第三步,将得到的号签放入一个不透明的袋子中,并充分搅匀.
第四步,从袋子中逐个不放回地抽取5个号签,并记录上面的编号.
第五步,所得号码对应的5架钢琴就是要抽取的对象.
2.设某校共有100名教师,为了支援西部教育事业,现要从中随机抽出12名教师组成暑期西部讲师团,请写出利用随机数法抽取该样本的步骤.
【解析】步骤如下:第一步,将100名教师进行编号:00,01,02,…,99.
第二步,准备10个大小、质地一样的小球,小球上分别写上数字0,1,2,…,9,把它们放入一个不透明的袋子中.
第三步,从袋子中有放回摸取2次,每次摸取前充分搅拌,并把第1,2次摸到球的数字分别作为十位、个位,这样就生成了一个两位随机数.如果有重复舍去,直到得到12个不同编号.
第四步,与这12个编号对应的教师组成样本.
【补偿训练】
现有一批零件,其编号为600,601,602,…,999.利用原有的编号从中抽取一个容量为10的样本进行质量检查,若用随机数法,怎样设计方案?
【解析】第一步,利用原有的编号.
第二步,准备10个大小、质地一样的小球,小球上分别写上数字0,1,2,…,9,把它们放入一个不透明的袋子中.
第三步,从袋子中有放回摸取3次,每次摸取前充分搅拌,并把第1,2,3次摸到球的数字分别作为百位、十位、个位,这样就生成了一个三位随机数.如果这个数在600～999之间,就记录下来,否则舍弃,如果有重复舍去,直到得到10个不同编号.
第四步,与这10个编号对应的零件组成样本.
类型三 用样本平均数估计总体平均数(数据分析)
【典例】某学校为了调查高一年级学生的体育锻炼情况,从甲、乙、丙3个班中,按简单随机抽样的方法获得了部分学生一周的锻炼时间(单位:h),数据如表.
甲
6
6.5
7
7.5
8
乙
6
7
8
9
10
11
12
丙
3
4.5
6
7.5
9
10.5
12
13.5
(1)估计这个学校高一年级的学生中,一周的锻炼时间超过10个小时的百分比.
(2)估计这个学校高一年级学生一周的平均锻炼时间.
步骤
内容
理解
题意
条件:甲、乙、丙班抽取的学生一周的锻炼时间.
结论:估计高一年级学生一周的锻炼时间超过10小时的百分比和一周的平均锻炼时间.
思路
探求
(1)利用表中数据计算百分比.
(2)计算样本的平均数来估计.
步骤
内容
书写
表达
(1)由题意知,抽取的20个学生中,一周的锻炼时间超过10小时的
有5人,故一周的锻炼时间超过10个小时的百分比为
=25%.①
(2)从甲班抽取的5名学生的总时间为6+6.5+7+7.5+8=35.
从乙班抽取的7名学生的总时间为6+7+8+9+10+11+12=63.
从丙班抽取的8名学生的总时间为3+4.5+6+7.5+9+10.5+12+13.5=66.
则
=8.2.②
即这个学校高一年级学生一周的平均锻炼时间为8.2小时.
注意事项:
①用样本的百分数估计总体百分数;
②用样本的平均数估计总体平均数.
步骤
内容
题后
反思
抽取有代表性的样本是用样本估计总体的关键.
【解题策略】
关于总体平均数
总体平均数是总体的一项重要特征,但是当总体量较大时,计算总体平均数较困难.利用样本平均数估计总体平均数时抽取有代表性的样本,利用样本平均数估计总体平均数显得尤为重要.
【跟踪训练】
(2020·江苏高考)已知一组数据4,2a,3-a,5,6的平均数为4,则a的值是
.?
【解析】由
=4可知a=2.
答案:2
易错提醒
核心知识
方法总结
核心素养
简单随机抽样
（1）总体有限
（2）逐个抽取
（3）放回抽样或不放回抽样
（4）概率相等
简单随机抽样的判断
在用随机数法抽样时，当产生重复编号时要重新生成
数学抽象：在抽样的过程中培养数学抽象的核心素养
概念
分类
抽签法
随机数法
总体均值
样本均值
课堂检测·素养达标
1.抽签法中确保样本代表性的关键是
( )
A.抽签
B.搅拌均匀
C.逐一抽取
D.抽取不放回
【解析】选B.搅拌均匀是确保样本代表性的关键.
2.在简单随机抽样中,每一个个体被抽中的可能性
( )
A.与第几次抽样有关,抽取的次序越往后,抽中的可能性越小
B.与第几次抽样无关,每次抽中的可能性都相等
C.与第几次抽样有关,最后一次抽中的可能性要大些
D.无法确定
【解析】选B.在简单随机抽样中,每一个个体被抽中的可能性都相等,与第几次抽样无关.
3.若对某校1
200名学生的耐力进行调查,抽取其中120名学生,测试他们跑
1
500米的成绩,得出相应的数值,在这项调查中,样本是指
( )
A.120名学生
B.1
200名学生
C.120名学生的成绩
D.1
200名学生的成绩
【解析】选C.本题抽取的是120名学生的成绩,因此每个学生的成绩是个体,这120名学生的成绩构成一个样本.
4.(教材二次开发:练习改编)为了考察某地6月份最高气温的情况,随机抽取了5天,所得数据(单位:℃)约为29,29,31,30,31,则该地6月份最高气温的平均值约为 .?
【解析】
=30(℃).
答案:30
℃(共47张PPT)
9.1.2 分层随机抽样
必备知识·自主学习
1.分层随机抽样
(1)分层随机抽样
一般地,按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体,每个个体属于且仅属于
一个子总体,在每个子总体中独立地进行_____________,再把所有子总体中抽
取的样本合在一起作为_______,这样的抽样方法称为分层随机抽样,每一个子
总体称为___.
导思
1.什么是分层随机抽样?
2.怎样应用分层随机抽样获取样本?
简单随机抽样
总样本
层
(2)比例分配
在分层随机抽样中,如果每层样本量都与层的大小_______,那么称这种样本量的分配方式为比例分配.
本质:对于含有明显几个层的总体随机抽样的一种方法,即按照一定的比例进行抽样.
(3)应用:抽取样本.
成比例
【思考】
(1)哪种情况下适合选用分层随机抽样?
提示:在个体之间差异较大的情形下,只要选取的分层变量合适,使得各层间差异明显、层内差异不大,分层随机抽样的效果一般会好于简单随机抽样.
(2)简单随机抽样与分层随机抽样有何异同?
提示:
简单随机抽样
分层随机抽样
方法
要点
随机→“搅拌均匀”→抽取
分层→比例→抽取
共同点
抽样过程中每个个体被抽到的机会均相等
不同
点
从总体中逐个随机抽取
将总体分成不交叉的若干层,各层中按比例抽取
相互
联系
各层的抽样可采用简单随机抽样
适用
范围
总体中的个体总数较少
总体由差异明显的几个部分组成
2.分层随机抽样中的总体平均数与样本平均数
【思考】
(1)可以用
估计总体平均数
吗?
提示:可以,因为用第1层的样本平均数
可以估计第1层的总体平均数
,
用第2层的样本平均数
可以估计第2层的总体平均数
.因此可以用
估计总体平均数
.
(2)在比例分配的分层随机抽样中,可以直接用样本平均数
估计总体平均数
吗?
提示:在比例分配的分层随机抽样中,
可得
因此,在比例分配的分层随机抽样中,可以直接用样本
平均数
估计总体平均数
.
3.获取数据的途径
获取数据的基本途径有:(1)通过_____获取数据;(2)通过_____获取数据;(3)通
过_____获取数据;(4)通过_____获取数据.
调查
试验
观察
查询
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)在统计实践中选择哪种抽样方法关键是看总体容量的大小.
( )
(2)分层随机抽样有时也需要剔除若干个个体,对这些个体来说是不公平的.
( )
(3)从全班50名同学中抽取5人调查作业完成情况适合用分层随机抽样.
( )
提示:(1)×.在统计实践中选择哪种抽样方法除看总体和样本量大小外,还要依据总体的构成情况.
(2)×.根据抽样的意义,对每个个体都是公平的.
(3)×.适合用简单随机抽样.
2.为了保证分层随机抽样时每个个体被等可能地抽取,必须要求
( )
A.每层等可能抽取
B.每层抽取的个体数相等
C.每层抽取的个体数可以不一样多,但必须满足抽取ni=n·
(i=1,2,…,k)个个体(其中i是层的序号,k是总层数,n为抽取的样本容量,Ni是第i层中的个体数,N是总体容量)
D.只要抽取的样本容量一定,每层抽取的个体数没有限制
【解析】选C.分层随机抽样时,在各层中按层中所含个体在总体中所占的比例进行抽样.
A中,虽然每层等可能地抽样,但是没有指明各层中应抽取几个个体,故A不正确;
B中,由于每层的个体数不一定相等,每层抽取同样多的个体数,显然从总体来看,各层的个体被抽取的可能性就不相等了,因此B也不正确;
C中,对于第i层的每个个体,它被抽到的可能性与层数i无关,即对于每个个体来说,被抽取为样本的可能性是相同的,故C正确;D显然不正确.
3.(教材二次开发:问题改编)某集团有老年职工270人,中年职工540人,青年职工810人.为了更好地调查他们的健康情况,需从所有职工中抽取一个容量为36的样本,应采用的抽样方法是 .?
【解析】由于健康情况与年龄密切相关,不同年龄的人群的健康情况会有明显的差异,因此采用分层随机抽样的方法较合适.
答案:分层随机抽样
关键能力·合作学习
类型一 分层随机抽样的概念(数学抽象)
【题组训练】
1.为了解某地区的“微信健步走”活动情况,拟从该地区的人群中抽取部分人员进行调查,事先已了解到该地区老、中、青三个年龄段人员的“微信健步走”活动情况有较大差异,而男女“微信健步走”活动情况差异不大.在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是
( )
A.抽签法抽样
B.按性别分层随机抽样
C.按年龄段分层随机抽样
D.随机数法抽样
2.分层随机抽样又称为类型抽样,即将相似的个体归入一类(层),然后每类(层)各抽若干个个体构成样本,所以分层随机抽样为保证每个个体等可能入样,必须进行( )
A.每层内等可能抽样
B.每层内不等可能抽样
C.所有层用同一抽样比
D.所有层抽同样多的样本量
3.下列问题中,最适合用分层随机抽样方法抽样的是( )
A.某电影院有32排座位,每排有40个座位,座位号是1～40.有一次报告会坐满了听众,报告会结束以后为听取意见,要留下32名听众进行座谈
B.从10台冰箱中抽出3台进行质量检查
C.某乡农田有山地8
000亩,丘陵12
000亩,平地24
000亩,洼地4
000亩,现抽取农田480亩估计全乡农田平均产量
D.从60个零件中抽取10个做质量检验
【解析】1.选C.该地区老、中、青三个年龄段人员的“微信健步走”活动情况有较大差异,而男女差异不大,所以按年龄段分层随机抽样具有代表性,比较合理.
2.选C.由分层随机抽样的定义和特点可知,所有层用同一个抽样比,等可能抽样.
3.选C.A的总体容量较大,且个体的差异性不明显;
B的总体容量较小,用简单随机抽样法比较方便;
C的总体容量较大,且各类田地的产量差别很大,宜采用分层随机抽样方法;D与B类似.
【解题策略】
分层随机抽样的前提和遵循的两条原则
(1)前提:分层随机抽样使用的前提是总体可以分层,层与层之间有明显区别,而层内个体间差异较小,每层中所抽取的个体数可按各层个体数在总体的个体数中所占比例抽取.
(2)遵循的两条原则:
①每层的各个个体互不交叉,即遵循不重复、不遗漏的原则;
②每层样本量与每层个体数量的比等于抽样比.
提醒:要明确分层随机抽样的前提,是用来判断是否是分层随机抽样的依据.
【补偿训练】
某学校有男、女学生各500名,为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异,拟从全体学生中抽取100名学生进行调查,则宜采用的抽样方法是
( )
A.抽签法
B.随机数法
C.普查法
D.分层随机抽样法
【解析】选D.显然男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面存在明显差异,应当分层抽取,故宜采用分层随机抽样.
类型二 分层随机抽样的应用(数据分析)
角度1 比例分配的应用?
【典例】在《九章算术》第三章“衰分”中有如下问题:“今有甲持钱五百六十,乙持钱三百五十,丙持钱一百八十,凡三人俱出关,关税百钱.欲以钱多少衰出之,问各几何?”其译文为:今有甲持560钱,乙持350钱,丙持180钱,甲、乙、丙三人一起出关,关税共100钱,要按照各人带钱多少的比例进行交税,问三人各应付多少税?则下列说法错误的是
( )
A.甲应付
钱
B.乙应付
钱
C.丙应付
钱
D.三者中甲付的钱最多,丙付的钱最少
【思路导引】按照每人的交税比例相等进行计算即可.
【解析】选B.依题意,由分层抽样知识可知,100÷(560+350+180)=
,
则甲应付
×560=
(钱);乙应付
×350=32
(钱);丙应付
×180=16
(钱).
【变式探究】
本例若改为:今有甲持500钱,乙持300钱,丙持若干钱,甲、乙、丙三人一起出关,
要按照各人带钱多少的比例进行交税,甲交税50钱,三人共交税100钱,问乙、丙
应各付多少税?丙持多少钱?
【解析】由题意知,
故乙应付税300×
=30(钱),丙应付税100-50
-30=20(钱),丙持
=200(钱).
角度2 用样本平均数估计总体平均数?
【典例】在了解全校学生每年平均阅读多少本文学经典名著时,甲同学用分层抽样的方法从高一同学中抽取了一个容量为10的样本,并算得样本的平均数为8;从高二同学中抽取了一个容量为6的样本,并算得样本的平均数为8;从高三同学中抽取了容量为8的样本,并算得样本的平均数为5.据此推断,该校学生每年平均阅读多少本文学经典名著?
【思路导引】计算样本平均数,用样本平均数估计总体平均数.
【解析】样本平均数为
=7,
故该校学生每年平均阅读7本文学经典名著.
【解题策略】
1.分层随机抽样计算问题解题思路
(1)求某层应抽个体数量:按该层所占总体的比例计算.
(2)已知某层个体数量,求总体容量或反之:根据分层抽样就是按比例抽样,列比
例式进行计算.
2.分层随机抽样中样本的平均值的计算方法
如果第一层的样本量为m,平均值为x;第二层的样本量为n,平均值为y,则样本的
平均值为
.
【题组训练】
1.某电视台在因特网上就观众对其某一节目的喜爱程度进行调查,参加调查的一共有20
000人,其中各种态度对应的人数如表所示:
最喜爱
喜爱
一般
不喜爱
4
800
7
200
6
400
1
600
电视台为了了解观众的具体想法和意见,打算从中抽取100人进行详细的调查,为此要进行分层随机抽样,那么在分层随机抽样时,每类人中应抽取的人数分别为
( )
A.25,25,25,25
B.48,72,64,16
C.20,40,30,10
D.24,36,32,8
【解析】选D.方法一:因为抽样比为
所以每类人中应抽取的人数分别为4
800×
=24,
7
200×
=36,6
400×
=32,1
600×
=8.
方法二:最喜爱、喜爱、一般、不喜爱的比例为
4
800∶7
200∶6
400∶1
600=6∶9∶8∶2,
所以每类人中应抽取的人数分别为
2.某校有高级教师26人,中级教师104人,其他教师若干人.为了了解该校教师的工资收入情况,若按分层随机抽样从该校的所有教师中抽取56人进行调查,已知从其他教师中共抽取了16人,则该校共有教师 人.?
【解析】设该校其他教师有x人,则
所以x=52,经检验,x=52是原方程的根,故全校教师共有26+104+52=182人.
答案:182
3.在调查某中学的学生身高(单位:cm)时,利用分层随机抽样的方法抽取男生20人,女生15人,得到了男生身高的平均值为170,女生身高的平均值为165.则估计该中学所有学生的平均身高是 .?
【解析】
即该中学所有学生的平均身高为167
cm.
答案:167
cm
【补偿训练】
某机构对某镇的学生的身体素质状况按年级段进行分层随机抽样调查,得
到了如表所示的数据,则
= .?
年级段
小学
初中
高中
总人数
800
x
y
样本中人数
16
15
z
【解析】由分层随机抽样的特点,得
即x=750,
=50,则
=37
500.
答案:37
500
类型三 抽样方法的综合应用(数据分析)
【典例】某政府机关在编人员100人,其中副处级以上干部10人,一般干部70人,工人20人.
(1)若上级机关为了了解政府机构改革的意见,要从中抽取20人了解情况,应用何种方法抽取,请具体实施操作;
(2)若要从工人中抽取2人作为工人代表,应用何种方法抽取.
【思路导引】根据抽样的目的选择抽样方法,并实施操作.
【解析】(1)由于机构改革关系到各类人的不同利益,
故采用分层随机抽样的方法.
因为
=5,
=2,
=14,
=4,所以从副处级以上干部中抽取2人,
从一般干部中抽取14人,从工人中抽取4人.
由于副处级以上干部与工人人数都较少,他们分别按1～10编号与1～20编号,
然后采用抽签法分别抽取2人和4人;对一般干部70人采用00,01,…,69编号,
然后用随机数法抽取14人.
(2)要从工人中抽取2人作为工人代表,应用抽签法抽取最合适.
【解题策略】
抽样方法的选取
(1)若总体由差异明显的几个层次组成,则选用分层随机抽样.
(2)若总体没有差异明显的层次,则考虑采用简单随机抽样.
【跟踪训练】
在下列问题中,各采用什么抽样方法抽取样本较为合适?
(1)从8台彩电中抽取2台进行质量检验.
(2)某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点.公司为了调查产品销售的情况,需从这600个销售点中抽取一个样本量为100的样本.
【解析】(1)总体容量为8,样本量为2,因此选择抽签法进行样本的抽取.
(2)总体由差异明显的四部分组成,因此可采用分层随机抽样法.
分层随机抽样
分层抽样的特点:
(1)总体由差异明显的几部分组成;
(2)
每层按比例确定抽取个数;
(3)在每层采用简单随机抽样
分层要准确，对于不能取整的数，求其近似值.
数学运算：通过分层随机抽样的过程，培养数学运算的核心素养
方法总结
核心知识
易错提醒
核心素养
分层抽样的步骤:
(1)分层;
(2)定抽样比;(3)定各层抽取的数目:
(4)抽取个体
层
分层随机抽样的概念
比例分配
课堂检测·素养达标
1.某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异,拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查,则最合理的抽样方法是
( )
A.抽签法
B.分层随机抽样法
C.随机数法
D.以上方法都可以
【解析】选B.根据年级不同产生差异及按人数比例抽取易知应为分层随机抽样法.
2.为了调查城市PM2.5的情况,按地域把48个城市分成大型、中型、小型三组,
相应的城市数分别为8,16,24.若用分层随机抽样的方法抽取12个城市,则应抽
取的中型城市数为
( )
A.3
B.4
C.5
D.6
【解析】选B.根据分层随机抽样的特点可知,抽样比为
则应抽取的中型城市数为16×
=4.
3.某校体育部一次性购买足球350个,排球250个,篮球150个,为了了解所购物品的质量情况,用分层随机抽样的方法从中抽取样本,若样本中足球有7个,则样本量为
( )
A.7
B.15
C.25
D.35
【解析】选B.由题意知,足球个数∶排球个数∶篮球个数=350∶250∶150
=7∶5∶3,因为样本中有7个足球,所以有5个排球,3个篮球,故样本量为7+5+3=15.
4.(教材二次开发:练习改编)某地区有小学150所,中学75所,大学25所.现采用
分层随机抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调查,应从小
学中抽取 所学校,中学中抽取 所学校.?
【解析】150×
=150×
=18,75×
=9.
答案:18 9
5.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3∶3∶4,现用分层随机抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本,则应从高二年级抽取 名学生.?
【解析】抽取比例与学生人数比例一致.
设应从高二年级抽取x名学生,则x∶50=3∶10.解得x=15.
答案:15
