24.1.2垂直于弦的直径

(共18张PPT)
九年级数学组
问题 ：你知道赵州桥吗 它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
赵州桥主桥拱的半径是多少？
学习目标
1、理解圆的轴对称性；
2、掌握垂径定理及其推论；
3、能用垂径定理进行简单的计算。
认真阅读课本P80-81内容，会解决下列问题：
1、什么是垂径定理？它的题设和结论分别是什么？
如何用符号表示？课本中是怎样证明的？
2、垂径定理的推论是什么？你会证明吗？
3、看例题，先做再对照：怎样添加辅助线求半径R？
（若有困难，同伴交流） 时间：8分钟
学法指导
如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．
（1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
·
O
A
B
C
D
E
（1）是轴对称图形．直径CD所在的直线是它的对称轴
（2） 线段： AE=BE
弧：
⌒
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⌒
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AC＝BC，AD＝BD
说理
C
.
O
A
E
B
D
叠 合 法
证明：连结OA、OB，则OA＝OB。
因为垂直于弦AB的直径CD所在的直线既是等腰三角形OAB的对称轴又是⊙ O的对称轴。
所以，当把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，A点和B点重合，AE和BE重合，AC、AD分别和BC、 BD重合。
因此 AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD
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垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
题设
结论
（1）过圆心
（2）垂直于弦
｝
｛
（3）平分弦
（4）平分弦所对的优弧
（5）平分弦所对的劣弧
命题（1）：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
已知：CD是直径，AB是弦，并且CD平分AB
求证：CD⊥AB，AD＝BD，AC＝BC
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⌒
命题（2）：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧
已知：AB是弦，CD平分AB，
CD ⊥AB，求证：CD是直径，
AD＝BD，AC＝BC
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⌒
C
.
O
A
E
B
D
C
垂直于弦的直径平分这条弦，
并且平分弦所对的两条弧。
推论（1）
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的两条弧.
（2）弦的垂直平分线经过圆心，
并且平分弦所对的两条弧.
垂径定理
记忆
根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说。如果具备
（1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦
（4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧
上述五个量中的已知任何两个量都可推出其他三个量。
注意
“共五知二得三”也！
判断
（1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧…………………………………………..( )
（2）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且经过圆心……………………………………..( )
（3）圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平分…………………………………………...( )
（4）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧………………………………………( )
（5）圆内两条非直径的弦不能互相平分（ ）
×
√
×
×
√
解得：R≈27．9（m）
B
O
D
A
C
R
解决求赵州桥拱半径的问题
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
即 R2=18.72+（R－7.2）2
∴赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.
OA2=AD2+OD2
AB=37.4，CD=7.2，
OD=OC－CD=R－7.2
在图中
如图，用 表示主桥拱，设 所在圆的圆心为O，半径为R．经过圆心O 作弦AB 的垂线OC，D为垂足，OC与AB 相交于点D，根据前面的结论，D 是AB 的中点，C是 的中点，CD 就是拱高．
AB
︵
AB
︵
AB
︵
例1 如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，求⊙O的半径。
解：连结OA。过O作OE⊥AB，垂足为E，则OE＝3厘米，AE＝BE。∵AB＝8厘米 ∴AE＝4厘米
在RtAOE中，根据勾股定理有OA＝5厘米 ∴⊙O的半径为5厘米。
.
A
E
B
O
讲解
例2 已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。
求证：AC＝BD。
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，则AE＝BE，CE＝DE。
AE－CE＝BE－DE。
所以，AC＝BD
E
.
A
C
D
B
O
讲解
例3 已知：⊙O中弦AB∥CD。
求证：AC＝BD
⌒
⌒
证明：作直径MN⊥AB。∵AB∥CD，∴MN⊥CD。则AM＝BM，CM＝DM（垂直平分弦的直径平分弦所对的弦）
AM－CM＝BM－DM
∴AC＝BD
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.
M
C
D
A
B
O
N
讲解
结论：圆的两条平行弦所夹的弧相等
小结:
解决弦时常用的辅助线：
过圆心作弦的垂线、连半径等构造直角三角形，根据垂径定理、勾股定理可解决：弦长、半径、弦心距、弓形高。
.
C
D
A
B
O
M
N
E
.
A
C
D
B
O
.
A
B
O
课堂作业：
P95: 7、9题