2020-2021学年高二下学期数学苏教版选修2-2第一章1.2.3简单的复合函数的导数学案

菁华学校高二数学导数导学活动单DS07 主备： 审核：
　 1.2.3简单复合函数的导数
学习目标：
1．掌握求复合函数的导数的法则；
2．熟练求简单复合函数的导数．
学习重点：复合函数的求导法则．
学习难点：能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax＋b)的复合函数)的导数．
明标自学
复习回顾
1.常见函数的导数公式：
2.函数的和，差，积，商的导数求导法则：
问题引入：已知函数f(x)＝sin，g(x)＝(3x＋2)2.
问题1：这两个函数是复合函数吗？
问题2：试说明g(x)＝(3x＋2)2是如何复合的？
问题3：试求g(x)＝(3x＋2)2，g(u)＝u2，u＝3x＋2的导数．
问题4：观察问题3中导数有何关系？
问题5：考察函数的导数.
建构数学
1．与一次函数复合的函数的导函数公式：
一般地，若函数，，则 ，即 ．
推广：
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为，即y对x的导数等于 的乘积．
注：1．复合函数的求导法则：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数；
2．复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代．
自学检测：
1.函数f(x)＝(2x＋1)2在x＝1处的导数值是(　　)
A．6　　　　B．8　　　　　C．10　　　　　 D．12
2．函数y＝x2cos 2x的导数为(　　)
A．y′＝2xcos 2x－x2sin 2x B．y′＝2xcos 2x－2x2sin 2x
C．y′＝x2cos 2x－2xsin 2x D．y′＝2xcos 2x＋2x2sin 2x
3．已知函数f(x)＝(2x＋a)2，且f′(2)＝20，则a＝____________.
4. 函数 的导数是
5．设函数f(x)＝cos(x＋φ)(0＜φ＜π)，若f(x)＋f ′(x)是奇函数，则φ＝____．
典型例题
例1 试说明下列函数是怎样复合而成的，并求下列函数的导数：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
点评：
1.求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，由外层向内层逐层求导，直到关于自变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果．
2．复合函数求导的步骤

练习：试说明下列函数是怎样复合而成的，并求下列函数的导数：
例2 ：求y=(2x+1)5在x=1处的切线方程.
变式：已知函数f(x)＝ax2＋2ln(2－x)(a∈R)，设曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线为l，若l与圆C：x2＋y2＝相切，求a的值．
当堂检测
1．函数y＝cos 2x在点处的切线方程是________．
2．函数的导数为________．
3. 函数的导数________．
4.求下列函数的导数：[来源:zzstep%.c#@o*&m]
.
5.求曲线y=sin2x在点P(π，0）处的切线方程.
课堂小结
(1)复合函数的求导，要注意分析复合函数的结构，引入中间变量，将复合函数分解成为较简单的函数，然后再用复合函数的求导法则求导；
(2)复合函数求导的基本步骤是：分解—求导—相乘—回代．
课后作业
1．课本P24练习题，课本P26习题1.2第3，11题．
2．补充：已知函数，求．