菁华学校高二数学导数导学活动单DS10 主备: 审核:
1.3.2 极大值与极小值
学习目标:
1.了解函数极值的概念,会从图象上直观理解函数的极值与导数的关系.
2.掌握函数极值的判定及求法.
3.掌握函数在某一点取得极值的条件.
学习重点:会求函数的极大值与极小值.
学习难点:掌握函数极大(小)值与导数的关系.
明标自学
问题引入:已知y=f(x)的图象(如图).
问题1:当x=a时,函数值f(a)有何特点?当x=b时,函数值f(b)有何特点?
问题2:当x=a时,函数值有何特点?当x=b时,函数值有何特点?
问题3:试分析在x=a的附近左右两侧导数的符号有什么变化?
问题4:试分析在x=b的附近左右两侧导数的符号有什么变化?
建构数学
1.函数极值的概念
(1)极大值与极小值的直观解释
如图函数图象在点P处从左侧到右侧由 变为 (函数由单调递增变为单调递减),这时在点P附近,点P的位置最高,亦即f(x1)比它附近点的函数值都要 .我们称f(x1)为函数f(x)的一个 .类似地,图中f(x2)为函数f(x)的一个 .函数的极大值、极小值统称为函数的 .
(2)极大(小)值与极大(小)值点
定义:一般地,设函数f(x)在点x0附近有定义,如果对x0附近所有的点,都有f(x) f(x0),就说f(x0)是函数f(x)的一个极 值;点x0叫做函数f(x)的 ;都有f(x) f(x0),就说f(x0)是函数f(x)的一个极 值;点x0叫做函数f(x)的 .
注意:①极值是一个局部概念,是仅对某一点的左右两侧邻域而言的.
②极值点总是f(x)定义域这个区间内部的点,因而端点绝对不是函数的极值点.
③连续函数f(x)在其定义域上的极值点可能不止一个,也可能没有,函数的极大值与极小值没有必然的大小关系,函数的极小值也不一定比极大值小.
④若f(x)在(a,b)内有极值,那么f(x)在(a,b)内绝不是单调函数,即在区间上单调的函数没有极值.
2.函数的极值与函数的导数之间的关系
(1)极大值与导数之间的关系
x x1左侧 x1 x1右侧
f′(x) f′(x) 0 f′(x)=0 f′(x) 0
f(x)
(2)极小值与导数之间的关系
x x2左侧 x2 x2右侧
f′(x) f′(x) 0 f′(x)=0 f′(x) 0
f(x)
?
求函数f(x)极值的方法与步骤:
自主检测
1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)导数为零的点一定是函数的极值点.( )
(2)f(x)在定义域内最多只能有一个极大值、一个极小值. ( )
(3)若f(x)在(a,b)内有极值,那么f(x)在(a,b)内不是单调函数.( )
2.函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f′(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.函数y=x3+1的极大值是( )
A.1 B.0
C.2 D.不存在
4.已知函数f(x)=x3+ax在R上有两个极值点,则实数a的取值范围是________.
典型例题
例1.求下列函数的极值.
(1)f(x)=2x3+6x2-18x+3; (2)f(x)=+3ln x;
(3)f(x)=ex(x2-7x+13); (4)f(x)=x3-3x2-2在(a-1,a+1)内的极值(a>0).
变式:求下列函数的极值:
(1)f(x)=x3-4x+4; (2)f(x)=x2ex; (3)y=; (4)f(x)=|x|.
例2.已知函数f(x)=16x3-20ax2+8a2x-a3,其中a≠0,求f(x)的极值.
变式.已知函数f(x)=x-aln x(a∈R),求函数f(x)的极值
例3.已知函数f(x)=(k∈R).
(1)k为何值时,函数f(x)无极值;
(2)试确定k的值,使f(x)的极小值为0.
变式.已知函数f(x)=x3-4x+m在区间(-∞,+∞)上有极大值.
(1)求实数m的值;
(2)求函数f(x)在区间(-∞,+∞)上的极小值.
例4.已知f(x)=x3+bx2+cx+2.
(1)若f(x)在x=1时有极值-1,求b,c的值.
(2)在(1)的条件下,若函数y=f(x)的图象与函数y=k的图象恰有三个不同的交点,求实数k的取值范围.
变式:已知函数f(x)=x3-3ax-1(a≠0).若函数f(x)在x=-1处取得极值,直线y=m与
y=f(x)的图象有三个不同的交点,求m的取值范围.
当堂检测
1.已知函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图,则( )
A.函数f(x)有1个极大值点,1个极小值点
B.函数f(x)有2个极大值点,2个极小值点
C.函数f(x)有3个极大值点,1个极小值点
D.函数f(x)有1个极大值点,3个极小值点
2.函数f(x)=x2-ln x的极值点为( )
A.0,1,-1 B. C.- D.,-
3.函数f(x)=-的极值点为( )
A.0 B.-1 C.0或1 D.1
4.函数y=3x3-9x+5的极大值为________.
5.已知函数y=f(x)=ax3+bx2,当x=1时,有极大值3.
(1)求实数a,b的值;
(2)求函数的极小值.
课堂小结
课后作业 已知函数f(x)=x3-3x+a(a为实数),
(1)若方程f(x)=0有三个不同实根,求实数a的取值范围;
(2)若方程f(x)=0恰有两个根,求实数a的值;
(3)若方程f(x)=0有且只有一个实根,求实数a的取值范围.