2020-2021学年高二下学期数学苏教版选修2-2第一章1.1.2瞬时变化率-导数（1）学案

1.1.2瞬时变化率—导数
（1）
------曲线上一点处的切线
学习目标：
1．理解并掌握曲线在某一点处的切线的概念；
2．理解并掌握曲线在一点处的切线的斜率的定义以及切线方程的求法；
3．理解切线概念实际背景，学会应用所学知识把实际问题转化数学问题的能力及数形结合思想．
学习重点：理解并掌握曲线在一点处的切线的斜率的定义以及切线方程的求法．
学习难点：会用“无限逼近”、“局部以直代曲”的思想理解某一点处切线的斜率．
【明标自学】
预习课本P8-10页回答下列问题。
1．问题情境．
上节课我们共同学均变化率，而平均变化率近似地刻画了曲线在某区间上的变化趋势，那么如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？
如果将点P附近的曲线放大，那么就会发现，曲线在点P附近看上去有点像是直线．如下图所示
在点P附近我们可以用这条直线来代替曲线，也就是说，点P附近，曲线可以看做直线（即在很小的范围内以直代曲）．
2．探究活动．
如图Pn的坐标为(xn，f(xn))(n＝1,2,3,4…)，P的坐标为(x0，y0)．
问题1：当点Pn→点P时，试想割线PPn如何变化？
问题2：割线PPn斜率是什么？
问题3：割线PPn的斜率与过点P的切线PT的斜率k有什么关系呢？
问题4：能否求得过点P的切线PT的斜率？
【建构数学】
1.割线定义：如图，设Q为曲线C上不同于P的一点，直线PQ称为曲线的
．
2.切线定义:随着点Q沿曲线C向点P运动，割线PQ在点P附近越来越逼近曲线C，当点Q
点P时，直线PQ最终就成为在点P处
曲线的直线l，这条直线l称为曲线在点P处的
．这种方法叫
．
切线的斜率：设曲线上一点，过点的一条割线交曲线于另一点，则割线的斜率
为
，
当点Q沿曲线向点运动，并无限靠近点时，割线逼近点的切线，从而割线的斜率逼近切线的斜率，即当
时，
无限逼近
点处的切线的斜率.
探究：如何求曲线在点处切线的斜率呢？（基本思想：割线逼近切线）
【典型例题】
例1　已知，求曲线在处的切线斜率．
练习　试求在x＝1处的切线斜率．
小结：求曲线上一点处的切线斜率的一般步骤：
思考：P为已知曲线C上的一点，如何求出点P处的切线方程？
例2.
已知曲线,
求曲线在点
P（3,9）处的切线方程.
变式：1.曲线
y
2x
2
1在点P(1,3）处的切线方程为
.
2．已知，求曲线在处的切线斜率和切线方程；
3．已知，求曲线在处的切线斜率和切线方程；
【当堂检测】
1.已知，求曲线在处的切线斜率和切线方程．
2.已知，求曲线在处的切线斜率和切线方程．
【课堂小结】
1．曲线上一点P处的切线是过点P的所有直线中最接近P点附近曲线的直线，则P点处的变化趋势可以由该点处的切线反映（局部以直代曲）．
2．根据定义，利用割线逼近切线的方法,
可以求出曲线在一点处的切线斜率和方程．
【课后作业】
课本P10,11页练习
曲线上一点处的切线限时练
在曲线上有一点，则该曲线在此点处的切线倾斜角为
.
已知函数
在处的切线斜率为
，则
.
曲线
y
3x
2
1在点处的切线方程为
.
过点且与曲线在点处的切线平行的直线方程为
.
若曲线
y
x
2
-
3x
在点
P
处的切线平行于
x
轴，则点
P
的坐标为
.
已知抛物线在一点处的切线的倾斜角为，则该点的坐标为
.
求曲线
y
-2x
2
2在点
P(1，0)处的切线的斜率及其切线方程.
求曲线
y
x3
-
3x
2
1在点
处的切线方程.
9.分别求在曲线
y
x
2
上过哪一点的切线满足条件：
平行于直线
y
4x
5；
（2）垂直于直线
2x
6
y
5
0
.
10.若曲线
y
x
2
1的一条切线平行于直线
y
4x
3，求这条切线的方程.