1.1.2瞬时变化率——导数(3)
------导数的概念
学习目标:
1.通过大量实例的分析,经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,了解导数概念的实际背景,体会导数的思想及其内涵;
2.会求简单函数的导数,通过函数图象直观地了解导数的几何意义;
3.体会建立数学模型刻画客观世界的“数学化”过程,进一步感受变量数学的思想方法.
学习重点:理解导数概念的实际背景,导数的思想及其内涵,导数的几何意义.
学习难点:对导数的几何意义理解.
【明标自学】 预习课本P13-14页内容,回答以下问题
复习回顾
1.设函数y=f(x)在区间(a,b)上有定义,x0∈(a,b),如果自变量x在x0处有增量△x,那么函数y相应地有增量△y=f(x0+△x)-f (x0);比值就叫函数y=f(x)在x0到(x0+△x)之间的 ,即 .
2.曲线在某一点切线的斜率:
建构数学
1.导数
设函数y=f(x)在区间(a,b)上有定义,x0∈(a,b),当Δx无限趋近于0时,比值
无限趋近于 ,则称f(x)在点x=x0处 ,并称常数A为函数f(x)在点x=x0处的 ,记作 。
符号语言:当时,,则称函数f(x)在点x0处可导,并把A叫做函数
f(x)在点x0处的导数,记作 。也记为,
即
2.函数y=f(x)在点x=x0处的导数的几何意义是 .
3.导函数
若函数y=f(x)对于区间(a,b)内任一点 ,则f(x)在各点的导数也随自变量x的变化而 ,因而也是自变量x的 ,该函数称为f(x)的导函数,记作 .
即
【基础自测】
1.判断正误:
(1)函数y=f(x)在x=x0处的导数值与Δx值的正、负无关.( )
(2)在导数的定义中,Δx,Δy都不可能为零.( )
(3)在导数的定义中,>0.( )
2.函数f(x)=x2在点(1,1)处切线的斜率是________.
3.一辆汽车运动的速度为v(t)=t2-2,则汽车在t=3秒时加速度为 .
【典型例题】
例1 已知=x2+2
(1)求在点x=1处的导数. (2)求在点x=a处的导数.
变式: (1).求函数y=x+在x=1处的导数.
(2)求y=x2++5在点P处的导数.
小结: 求函数y=f(x)在某一点处的导数的一般步骤:
例2 已知=,求f (x),并求出函数在x=2处的切线方程.
变式:1.函数 f x x 12 , 求f (x)和f (2) .
2.已知直线y=3x+a和曲线y=x3相切,求实数a的值.
小结:求函数y=f(x)的导函数步骤:
【当堂检测】
1.设f(x)是可导函数 =2,则f′(x0)=( )
A.2 B. C.-2 D.-
2.设函数f(x)在点x0附近有定义,且有f(x0+Δx)-f(x0)=aΔx+b(Δx)2 (a,b为常数),则f′(x0)=________.
3.设函数f(x)=ax3+2,若f′(-1)=3,则a=________.
4.如图3?1?3所示,函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程是y=x+5,
则f (3)-=__________.
5.已知曲线y=x3+,则以点P(2,4)为切点的切线方程是________.
【课后作业】
1.已知曲线y=x2-2上一点P(1,-),则过点P的切线的倾斜角为( )
A.30° B.45° C.135° D.165°
2.函数y=f(x)的图象在点P(5,f(5))处的切线方程是y=-x+8,则f(5)+f′(5)=( )
A. B.1 C.2 D.0
3.曲线y=x3-3x2+1在点P处的切线平行于直线y=9x-1,则此切线的方程为( )
A.y=9x B.y=9x-26 C.y=9x+26 D.y=9x+6或y=9x-26
4.若=1,则当k→0时,趋于常数________.
5.已知函数y=f(x)在点(2,1)处的切线与直线x-y+2=0平行,则等于________.
6.函数y=3x+2在x=-1处的导数为________.
7.函数y=在x=x0处的导数为________.
8.一辆汽车按规律s=3t2+1做直线运动(s,单位:m,t,单位:s),则这辆车在t=3 s时的瞬时速度为________.
9.曲线y=x3-x+3在点(1,3)处的切线方程为________.
10.设曲线y=x2在点P处的切线斜率为3,则点P的坐标为________.
11.曲线y=在点(-1,-1)处的切线方程为________.
12.函数f(x)的图象如图所示,试根据函数图象判断0,,,的大小关系为________.
13.已知函数f(x)=ax2+2x在x=1处的导数为6,求a的值.