1.1.1变化率问题-2020-2021学年人教A版高中数学选修2-2课件（16张PPT）

1.1.1??变化率问题
(1)在经营某商品中，甲挣到10万元，乙挣到2万元，如何比较和评价甲、乙两人的经营成果？
(2)在经营某商品中，甲用5年时间挣到10万元，乙用5个月时间挣到2万元，如何比较和评价甲、乙两人的经营成果？
问题引入：
注：仅考虑一个量的变化是不行的，要考虑
一个量相对于另一个量改变了多少.
变化率！
一个变量相对于另一个变量的变化而变化的快慢程度叫做变化率．
一. 提出问题
问题1 气球膨胀率
我们都吹过气球，吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加越来越慢.从数学角度，如何描述这种现象呢?
气球的体积V(单位：L)与半径r(单位：dm)之间的函数关系是
如果将半径r变为体积V的函数，那么
我们来分析一下:
当V从0增加到1时,气球半径增加了
气球的平均膨胀率为
当V从1增加到2时,气球半径增加了
气球的平均膨胀率为
显然0.62>0.16随着气球体积逐渐变大,它的平均膨胀率逐渐变小.
当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?
探究1：
h
t
o
在0≤t≤0.5这段时间里,
在1≤t≤2这段时间里,
如果用运动员在某段时间内的平均速度 描述其运动状态, 那么:
问题2 高台跳水
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t(单位：秒)存在函数关系
h(t)=-4.9t2+6.5t+10.
计算运动员在 这段时间里的平均速度, 并思考下面的问题:
(1) 运动员在这段时间里是静止的吗?
(2) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?
探究2：
h
t
o
探究过程：如图是函数h(t)= -4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知，经过计算，
，所以，
虽然运动员在 这段时间里的平均速度为0(m/s)，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，因此用平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态, 它并不能反映某一时刻的运动状态.
上述问题中的变化率可用式子 表示
平均变化率定义:
则平均变化率为
这里Δx看作是对于x1的一个“增量”可用x1+Δx代替x2
同样f(x2)=f(x1)+Δy
称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率.
二. 基本概念
若设Δx=x2-x1, Δy=f(x2)-f(x1)
注：
1.式子中Δx 、Δy 的值可正、可负，但Δx的值不能为0， Δy的值可以为0.
2.若函数f(x)为常函数时，Δy =0.
3.变式
三.思考?（平均变化率的几何意义）
观察函数f(x)的图象，平均变化率
表示什么?
O
A
B
x
y
y=f(x)
x1
x2
f(x1)
f(x2)
x2-x1=△x
f(x2)-f(x1)=△y
直线AB的斜率
例1、求函数y=x2在区间[x0，x0+Δx] 的平均变化率.
解：函数y=x2在区间[x0，x0+Δx]
的平均变化率为
四.例题
1.设函数y=f(x)，当自变量x由x0改变到x0+Δx时，函数值的改变量为(　　)
A．f(x0+Δx)　　B． f(x0)+Δx
C．f(x0 ) ·Δx　 D．f(x0+Δx) －f(x0)
D
2. 一质点运动的方程为s = 1-2t2，则在一段时间[1，2]内的平均速度为(　　)
A．-4　 B．-8　 C．-6　 D．6
C
五.课堂练习
3. 在曲线y=x2+1的图象上取一点(1, 2)及附近一点(1+Δx , 2+Δy)，则 为(　　)
A．　 　 B．　　
C．　 　 D．
C
A
4.质点运动规律s=t2+3，则在时间(3,3+Δt)中相应的平均速度为( )
A. 6+Δt B. C. 3+Δt D. 9+Δt
5 .已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-2)及临近一点B(-1+Δx,-2+Δy),则 =( )
A. 3 B. 3Δx-(Δx)2 C. 3-(Δx)2 D. 3-Δx
D
6.求y=x2在x=x0附近的平均变化率.
2x0+Δx
7.过曲线y=f(x)=x3上两点P(1，1)和Q(1+Δx,1+Δy)作曲线的割线，求出当Δx=0.1时割线的斜率.
六.小结：
1.函数的平均变化率
2.求函数的平均变化率的步骤:
(1)求函数的增量Δf=Δy=f(x2)-f(x1);
(2)求自变量的增量Δx=x2-x1
(3)计算平均变化率
4.课本P10 第1题
y
O
t
t1
t0
标准
甲：W1(t)
乙：W2(t)