_2020-2021学年八年级数学人教版下册 第十八章 平行四边形 章末巩固训练（word解析版）
文档属性
| 名称 | _2020-2021学年八年级数学人教版下册 第十八章 平行四边形 章末巩固训练（word解析版） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 640.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-04-26 06:46:32 | ||
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文档简介
人教版
八年级数学
第十八章
平行四边形
章末巩固训练
一、选择题
1.
以三角形的三个顶点作平行四边形，最多可以作（
）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
2.
四边形中，、分别是、上的点，、分别是、的中点，当点在上从向移动而点不动时，那么下列结论成立的是
（
）
A．线段的长逐渐增大
B．线段的长逐渐减小
C．线段的长不变
D．线段的长与点的位置有关
3.
（2019·上海）下列命题中，假命题是( )
A．矩形的对角线相等
B．矩形对角线交点到四个顶点的距离相等
C．矩形的对角线互相平
D．矩形对角线交点到四条边的距离相等
4.
菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AD，CD边上的中点，连接EF.若EF＝，BD＝2，则菱形ABCD的面积为( )
A.
2
B.
4
C.
6
D.
8
5.
如图，?ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC＋BD＝16，CD＝6，则△ABO的周长是( )
A.
10
B.
14
C.
20
D.
22
6.
（2020·牡丹江）如图，在菱形OABC中，点B在x轴上，点A的坐标为（2，2)，将菱形绕点O旋转，当点A落在x轴上时，点C的对应点的坐标为
（
）
A．或
B．
C．
D．或
7.
(2019?广西池河)如图，在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，点F在DE延长线上，添加一个条件使四边形ADFC为平行四边形，则这个条件是
A．∠B=∠F
B．∠B=∠BCF
C．AC=CF
D．AD=CF
8.
（2020·东营）如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点（不与A、B重合），对角线AC、BD相交于点O，过点P分别作AC、BD的垂线，分别交AC、BD于点E、F，交AD、BC于点M、N，下列结论：①△APE≌△AME；②PM+PN=AC；③；④△POF∽△BNF；⑤点O在M、N两点的连线上．其中正确的是（
）
A.
①②③④
B.
①②③⑤
C.
①②③④⑤
D.
③④⑤
二、填空题
9.
如图，在平行四边中，已知，，平分交边于点，则等于
．
10.
（2020·牡丹江）如图，在四边形ABCD中，AD//BC，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件__________________，使四边形ABCD是平行四边形（填一个即可）.
11.
如图，在矩形中，点是上一点，，，垂足为.线段与图中的哪一条线段相等？先将你猜想出的结论填写在下面的横线上，然后再加以证明。即
.(写出一条线段即可)
12.
如图，把矩形的对角线分成四段，以每一段为对角线作矩形，对应边与原矩形的边平行，设这四个小矩形的周长和为，矩形的周长为，则与的关系式
13.
如图，菱形ABCD的面积为120
cm2，正方形AECF的面积为50
cm2，则菱形的边长为________cm.
14.
如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E为BC的中点，若OE=3，则菱形的周长为__________．
15.
如图，有一矩形纸片，，将纸片折叠，使边落在边上，折痕为，在将以为折痕向右折叠，与交于点，则的面积为
16.
如图，在正方形ABCD中，点E，N，P，G分别在边AB，BC，CD，DA上，点M，F，Q都在对角线BD上，且四边形MNPQ和AEFG均为正方形，则的值等于________．
三、解答题
17.
如图，在?ABCD中，连接BD，在BD的延长线上取一点E，在DB的延长线上取一点F，使BF＝DE，连接AF、CE.
求证：AF∥CE.
18.
（2020·黄冈）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C．E使边BC上一点，且DE＝DC．
求证：AD＝BE．
19.
（2020·陕西）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C．E使边BC上一点，且DE＝DC．求证：AD＝BE．
20.
如图，在中，是边上的一点，是的中点，过点作的平行线交的延长线于点，且，连结．
⑴
求证：．
⑵
如果，试判断四边形的形状，并证明你的结论．
21.
以的对边、为边分别在外作等边、等边．求证：
四边形是平行四边形．
22.
如图，平行四边形中，．对角线，相交于点，将直线绕点顺时针旋转，分别交，于点，．
⑴
证明：当旋转角为时，四边形是平行四边形；
⑵
试说明在旋转过程中，线段与总保持相等．
23.
如图所示，在直角梯形中，，，是的垂直平分线，交于点，以腰为边作正方形，作于点，求证.
24.
如图，设正方形的对角线，在延长线上取一点，使，与交于，求证：正方形的边长．
人教版
八年级数学
第十八章
平行四边形
章末巩固训练-答案
一、选择题
1.
【答案】B
2.
【答案】C
【解析】连结，利用三角形的中位线可得与点无关．
3.
【答案】D
【解析】矩形的对角线的交点到每一组对边的距离相等，故选项D错误，是假命题.
4.
【答案】A 【解析】∵E，F
分别是
AD，CD
边上的中点，即EF是△ACD的中位线，∴AC＝2EF＝2，则菱形ABCD的面积＝AC·BD＝×2×2＝2.
5.
【答案】B 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD.由AC＋BD＝16可得OA＋OB＝8，又∵AB＝CD＝6，∴△ABO的周长为OA＋OB＋AB＝8＋6＝14.
6.
【答案】D
【解析】菱形OABC中，点A的坐标为（2，2)，所以OA=4，∠A=∠C=60°，分类讨论，
①若顺时针旋转，旋转后的图形如图1所示，则OC=OA=4，∠C=60°，可求出点C对应点的坐标为（-2，-2)；
②若逆时针旋转，旋转后的图形如图2所示，则OC=OA=4，∠C=60°，可求出点C对应点的坐标为（2，2).
7.
【答案】B
【解析】∵在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，∴DEAC．
A．根据∠B=∠F不能判定AC∥DF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误．
B．根据∠B=∠BCF可以判定CF∥AB，即CF∥AD，由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”得到四边形ADFC为平行四边形，故本选项正确．
C．根据AC=CF不能判定AC∥DF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误．
D．根据AD=CF，FD∥AC不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误．
故选B．
8.
【答案】B
【解析】本题考查了垂线、平行线和正方形的性质，全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判断和性质、相似三角形的判定和性质，是常见问题的综合，灵活的运用所学知识是解答本题的关键．综合应用垂线、平行线和正方形的性质，全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判断和性质、相似三角形的判定和性质等知识，逐个判断5个结论的正确性，得出结论．
①∵正方形ABCD，∴∠APE=∠AME=45°，∵PM⊥AE，∴∠AEP=∠AEM=90°，∵AE=AE，∴△APE≌△AME（ASA）；
②过点N作NQ⊥AC于点Q，则四边形PNQE是矩形，∴PN=EQ，∵正方形ABCD，∴∠PAE=∠MAE=45°，∵PM⊥AE，∴∠PEA=45°，∴∠PAE=∠APE，PE=NQ，∴△APE等腰直角三角形，∴AE=PE，同理得：△NQC等腰直角三角形，∴NQ=CQ，∵△APE≌△AME，∴PE=ME，∴PE=ME=
NQ=CQ，∴PM=AE+CQ，∴PM+PN=AE+CQ+EQ=AC，即PM+PN=AC成立；
③∵正方形ABCD，∴AC⊥BD，∴∠EOF是直角，∵过点P分别作AC、BD的垂线，分别交AC、BD于点E、F，∴∠PEO和∠PFO是直角，∴四边形PFOE是矩形，∴PF=OE，在Rt△PEO中，有PE2+OE2=PO2，∴PE2+PF2=PO2，即PE2+PF2=PO2成立；
④△BNF是等腰直角三角形，点P不在AB的中点时，△POF不是等腰直角三角形，所以△POF与△BNF不一定相似，即△POF∽△BNF不一定成立；
⑤∵△AMP是等腰直角三角形，△PMN∽△AMP，∴△PMN是等腰直角三角形，∵∠MPN=90°，∴PM=PN，∵AP=PM，BP=PN，∴AP=BP，∴点P是AB的中点，又∵O为正方形的对称中点，∴点O在M、N两点的连线上．综上，①②③⑤成立，即正确的结论有4个，答案选B．
二、填空题
9.
【答案】
【解析】∵，，∴．
10.
【答案】AD=BC
【解析】当添加条件AD=BC时，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得四边形ABCD是平行四边形.
11.
【答案】.
【解析】连接.
∵四边形是矩形，
∴，，.
∴.
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴≌，
∴.
12.
【答案】.
【解析】如图，将四个小矩形的边分别向外平移，正好拼接成矩形的四边，所以
13.
【答案】13 【解析】如解图，连接AC、BD交于O，则有AC·BD＝120，∴AC·BD＝240，又∵菱形对角线互相垂直平分，∴2OA·2OB＝240，∴
OA·OB＝60，∵AE2＝50,
OA2＋OE2＝
AE2，OA＝OE，∴OA＝5，∴OB＝12，∴AB＝＝＝13.
解图
14.
【答案】24
【解析】∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，BO=DO，
∵点E是BC的中点，
∴OE是△BCD的中位线，
∴CD=2OE=2×3=6，
∴菱形ABCD的周长=4×6=24；
故答案为：24．
15.
【答案】
【解析】，所以可得面积为
16.
【答案】 【解析】设BD＝3a，∠CDB＝∠CBD＝45°，且四边形PQMN为正方形，∴DQ＝PQ＝QM＝NM＝MB，∴正方形MNPQ的边长为a，正方形AEFG的对角线AF＝BD＝a，∵正方形对角线互相垂直，∴S正方形AEFG＝×a×a＝a2，∴＝＝.
三、解答题
17.
【答案】
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
解图
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠1＝∠2，
又∵BF＝DE，(1分)
∴BF＋BD＝DE＋BD，
即DF＝BE.(2分)
∴△ADF≌△CBE(SAS)．(3分)
∴∠AFD＝∠CEB，
∴AF∥CE.(5分)
18.
【答案】
解：∵□ABCD，∴∠AD＝∠BC，∴∠C＝∠DAO．
∵点O为CD的中点，∴DO＝∠CO．又∵∠AOD=∠EOC，∴△AOD≌△EOC．∴AD＝CE．
19.
【答案】
解：∵DE＝DC，∴∠C＝∠DEC．∵∠B＝∠C，∴∠B＝∠DEC，
∴AB∥DE．∵AD∥BC，∴四边形ABED为平行四边形，∴AD＝BE．
20.
【答案】
⑴
∵，
是的中点，∴
∵
∴
∴，∵
∴
（2）四边形是矩形
∵，是的中点（利用全等）
∴
∴
∵，
∴四边形是平行四边形
又
∴四边形是矩形．
21.
【答案】
∵，和都是等边三角形
∴，
∵，，
∴，∴≌
∴，∴四边形是平行四边形
22.
【答案】
⑴
证明：当时，，
又∵，
∴四边形为平行四边形．
⑵
证明：四边形为平行四边形
∴，，
∴
∴
23.
【答案】
直接证明不太可行，可转化成证明，而，故进而考虑到将、集中到一条线段上，然后将也平移过来.
我们将视线集中在正方形之中，通过可以得证.
过点作的垂线，过作的垂线，垂足分别为、,
则有为矩形，．．
又因为，所以．
所以
24.
【答案】
当且仅当为直角三角形时，的中线．
由已知证明为直角三角形并不困难．
因为为正方形，所以．由于，所以．
又，
所以．
从而．
因为，所以（即），
．
故为直角三角形，且为斜边的中线，从而
正方形的边长．
BV
OV
CV
AV
x
y
D
A
B
C
图2
图1
y
x
AV
BV
CV
OV
y
x
AV
BV
CV
OV
八年级数学
第十八章
平行四边形
章末巩固训练
一、选择题
1.
以三角形的三个顶点作平行四边形，最多可以作（
）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
2.
四边形中，、分别是、上的点，、分别是、的中点，当点在上从向移动而点不动时，那么下列结论成立的是
（
）
A．线段的长逐渐增大
B．线段的长逐渐减小
C．线段的长不变
D．线段的长与点的位置有关
3.
（2019·上海）下列命题中，假命题是( )
A．矩形的对角线相等
B．矩形对角线交点到四个顶点的距离相等
C．矩形的对角线互相平
D．矩形对角线交点到四条边的距离相等
4.
菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AD，CD边上的中点，连接EF.若EF＝，BD＝2，则菱形ABCD的面积为( )
A.
2
B.
4
C.
6
D.
8
5.
如图，?ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC＋BD＝16，CD＝6，则△ABO的周长是( )
A.
10
B.
14
C.
20
D.
22
6.
（2020·牡丹江）如图，在菱形OABC中，点B在x轴上，点A的坐标为（2，2)，将菱形绕点O旋转，当点A落在x轴上时，点C的对应点的坐标为
（
）
A．或
B．
C．
D．或
7.
(2019?广西池河)如图，在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，点F在DE延长线上，添加一个条件使四边形ADFC为平行四边形，则这个条件是
A．∠B=∠F
B．∠B=∠BCF
C．AC=CF
D．AD=CF
8.
（2020·东营）如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点（不与A、B重合），对角线AC、BD相交于点O，过点P分别作AC、BD的垂线，分别交AC、BD于点E、F，交AD、BC于点M、N，下列结论：①△APE≌△AME；②PM+PN=AC；③；④△POF∽△BNF；⑤点O在M、N两点的连线上．其中正确的是（
）
A.
①②③④
B.
①②③⑤
C.
①②③④⑤
D.
③④⑤
二、填空题
9.
如图，在平行四边中，已知，，平分交边于点，则等于
．
10.
（2020·牡丹江）如图，在四边形ABCD中，AD//BC，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件__________________，使四边形ABCD是平行四边形（填一个即可）.
11.
如图，在矩形中，点是上一点，，，垂足为.线段与图中的哪一条线段相等？先将你猜想出的结论填写在下面的横线上，然后再加以证明。即
.(写出一条线段即可)
12.
如图，把矩形的对角线分成四段，以每一段为对角线作矩形，对应边与原矩形的边平行，设这四个小矩形的周长和为，矩形的周长为，则与的关系式
13.
如图，菱形ABCD的面积为120
cm2，正方形AECF的面积为50
cm2，则菱形的边长为________cm.
14.
如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E为BC的中点，若OE=3，则菱形的周长为__________．
15.
如图，有一矩形纸片，，将纸片折叠，使边落在边上，折痕为，在将以为折痕向右折叠，与交于点，则的面积为
16.
如图，在正方形ABCD中，点E，N，P，G分别在边AB，BC，CD，DA上，点M，F，Q都在对角线BD上，且四边形MNPQ和AEFG均为正方形，则的值等于________．
三、解答题
17.
如图，在?ABCD中，连接BD，在BD的延长线上取一点E，在DB的延长线上取一点F，使BF＝DE，连接AF、CE.
求证：AF∥CE.
18.
（2020·黄冈）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C．E使边BC上一点，且DE＝DC．
求证：AD＝BE．
19.
（2020·陕西）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C．E使边BC上一点，且DE＝DC．求证：AD＝BE．
20.
如图，在中，是边上的一点，是的中点，过点作的平行线交的延长线于点，且，连结．
⑴
求证：．
⑵
如果，试判断四边形的形状，并证明你的结论．
21.
以的对边、为边分别在外作等边、等边．求证：
四边形是平行四边形．
22.
如图，平行四边形中，．对角线，相交于点，将直线绕点顺时针旋转，分别交，于点，．
⑴
证明：当旋转角为时，四边形是平行四边形；
⑵
试说明在旋转过程中，线段与总保持相等．
23.
如图所示，在直角梯形中，，，是的垂直平分线，交于点，以腰为边作正方形，作于点，求证.
24.
如图，设正方形的对角线，在延长线上取一点，使，与交于，求证：正方形的边长．
人教版
八年级数学
第十八章
平行四边形
章末巩固训练-答案
一、选择题
1.
【答案】B
2.
【答案】C
【解析】连结，利用三角形的中位线可得与点无关．
3.
【答案】D
【解析】矩形的对角线的交点到每一组对边的距离相等，故选项D错误，是假命题.
4.
【答案】A 【解析】∵E，F
分别是
AD，CD
边上的中点，即EF是△ACD的中位线，∴AC＝2EF＝2，则菱形ABCD的面积＝AC·BD＝×2×2＝2.
5.
【答案】B 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD.由AC＋BD＝16可得OA＋OB＝8，又∵AB＝CD＝6，∴△ABO的周长为OA＋OB＋AB＝8＋6＝14.
6.
【答案】D
【解析】菱形OABC中，点A的坐标为（2，2)，所以OA=4，∠A=∠C=60°，分类讨论，
①若顺时针旋转，旋转后的图形如图1所示，则OC=OA=4，∠C=60°，可求出点C对应点的坐标为（-2，-2)；
②若逆时针旋转，旋转后的图形如图2所示，则OC=OA=4，∠C=60°，可求出点C对应点的坐标为（2，2).
7.
【答案】B
【解析】∵在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，∴DEAC．
A．根据∠B=∠F不能判定AC∥DF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误．
B．根据∠B=∠BCF可以判定CF∥AB，即CF∥AD，由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”得到四边形ADFC为平行四边形，故本选项正确．
C．根据AC=CF不能判定AC∥DF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误．
D．根据AD=CF，FD∥AC不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误．
故选B．
8.
【答案】B
【解析】本题考查了垂线、平行线和正方形的性质，全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判断和性质、相似三角形的判定和性质，是常见问题的综合，灵活的运用所学知识是解答本题的关键．综合应用垂线、平行线和正方形的性质，全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判断和性质、相似三角形的判定和性质等知识，逐个判断5个结论的正确性，得出结论．
①∵正方形ABCD，∴∠APE=∠AME=45°，∵PM⊥AE，∴∠AEP=∠AEM=90°，∵AE=AE，∴△APE≌△AME（ASA）；
②过点N作NQ⊥AC于点Q，则四边形PNQE是矩形，∴PN=EQ，∵正方形ABCD，∴∠PAE=∠MAE=45°，∵PM⊥AE，∴∠PEA=45°，∴∠PAE=∠APE，PE=NQ，∴△APE等腰直角三角形，∴AE=PE，同理得：△NQC等腰直角三角形，∴NQ=CQ，∵△APE≌△AME，∴PE=ME，∴PE=ME=
NQ=CQ，∴PM=AE+CQ，∴PM+PN=AE+CQ+EQ=AC，即PM+PN=AC成立；
③∵正方形ABCD，∴AC⊥BD，∴∠EOF是直角，∵过点P分别作AC、BD的垂线，分别交AC、BD于点E、F，∴∠PEO和∠PFO是直角，∴四边形PFOE是矩形，∴PF=OE，在Rt△PEO中，有PE2+OE2=PO2，∴PE2+PF2=PO2，即PE2+PF2=PO2成立；
④△BNF是等腰直角三角形，点P不在AB的中点时，△POF不是等腰直角三角形，所以△POF与△BNF不一定相似，即△POF∽△BNF不一定成立；
⑤∵△AMP是等腰直角三角形，△PMN∽△AMP，∴△PMN是等腰直角三角形，∵∠MPN=90°，∴PM=PN，∵AP=PM，BP=PN，∴AP=BP，∴点P是AB的中点，又∵O为正方形的对称中点，∴点O在M、N两点的连线上．综上，①②③⑤成立，即正确的结论有4个，答案选B．
二、填空题
9.
【答案】
【解析】∵，，∴．
10.
【答案】AD=BC
【解析】当添加条件AD=BC时，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得四边形ABCD是平行四边形.
11.
【答案】.
【解析】连接.
∵四边形是矩形，
∴，，.
∴.
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴≌，
∴.
12.
【答案】.
【解析】如图，将四个小矩形的边分别向外平移，正好拼接成矩形的四边，所以
13.
【答案】13 【解析】如解图，连接AC、BD交于O，则有AC·BD＝120，∴AC·BD＝240，又∵菱形对角线互相垂直平分，∴2OA·2OB＝240，∴
OA·OB＝60，∵AE2＝50,
OA2＋OE2＝
AE2，OA＝OE，∴OA＝5，∴OB＝12，∴AB＝＝＝13.
解图
14.
【答案】24
【解析】∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，BO=DO，
∵点E是BC的中点，
∴OE是△BCD的中位线，
∴CD=2OE=2×3=6，
∴菱形ABCD的周长=4×6=24；
故答案为：24．
15.
【答案】
【解析】，所以可得面积为
16.
【答案】 【解析】设BD＝3a，∠CDB＝∠CBD＝45°，且四边形PQMN为正方形，∴DQ＝PQ＝QM＝NM＝MB，∴正方形MNPQ的边长为a，正方形AEFG的对角线AF＝BD＝a，∵正方形对角线互相垂直，∴S正方形AEFG＝×a×a＝a2，∴＝＝.
三、解答题
17.
【答案】
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
解图
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠1＝∠2，
又∵BF＝DE，(1分)
∴BF＋BD＝DE＋BD，
即DF＝BE.(2分)
∴△ADF≌△CBE(SAS)．(3分)
∴∠AFD＝∠CEB，
∴AF∥CE.(5分)
18.
【答案】
解：∵□ABCD，∴∠AD＝∠BC，∴∠C＝∠DAO．
∵点O为CD的中点，∴DO＝∠CO．又∵∠AOD=∠EOC，∴△AOD≌△EOC．∴AD＝CE．
19.
【答案】
解：∵DE＝DC，∴∠C＝∠DEC．∵∠B＝∠C，∴∠B＝∠DEC，
∴AB∥DE．∵AD∥BC，∴四边形ABED为平行四边形，∴AD＝BE．
20.
【答案】
⑴
∵，
是的中点，∴
∵
∴
∴，∵
∴
（2）四边形是矩形
∵，是的中点（利用全等）
∴
∴
∵，
∴四边形是平行四边形
又
∴四边形是矩形．
21.
【答案】
∵，和都是等边三角形
∴，
∵，，
∴，∴≌
∴，∴四边形是平行四边形
22.
【答案】
⑴
证明：当时，，
又∵，
∴四边形为平行四边形．
⑵
证明：四边形为平行四边形
∴，，
∴
∴
23.
【答案】
直接证明不太可行，可转化成证明，而，故进而考虑到将、集中到一条线段上，然后将也平移过来.
我们将视线集中在正方形之中，通过可以得证.
过点作的垂线，过作的垂线，垂足分别为、,
则有为矩形，．．
又因为，所以．
所以
24.
【答案】
当且仅当为直角三角形时，的中线．
由已知证明为直角三角形并不困难．
因为为正方形，所以．由于，所以．
又，
所以．
从而．
因为，所以（即），
．
故为直角三角形，且为斜边的中线，从而
正方形的边长．
BV
OV
CV
AV
x
y
D
A
B
C
图2
图1
y
x
AV
BV
CV
OV
y
x
AV
BV
CV
OV