2020-2021学年八年级数学北师大版下册第四章因式分解章末综合知识点分类训练（附答案）

2021年度北师大版八年级数学下册第四章因式分解章末综合知识点分类训练（附答案）
一．因式分解的意义
1．下列各式从左到右的变形是分解因式的是（　　）
A．2a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）+a2
B．2a（b+c）＝2ab+2ac
C．x3﹣2x2+x＝x（x﹣1）2
D．x2+x＝x2（1+）
2．下列等式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（　　）
A．（a+1）（a﹣1）＝a2﹣1
B．a2﹣6a+9＝（a﹣3）2
C．x2+2x+1＝x（x+2）+1
D．﹣18x4y3＝﹣6x2y2?3x2y
3．请从4a2，（x+y）2，1，9b2中，任选两式做差得到的一个式子进行因式分解是　
　．
4．将xn﹣yn分解因式的结果为（x2+y2）（x+y）（x﹣y），则n的值为　
　．
5．若多项式ax2﹣可分解为（3x+）（3x﹣），则a＝　
　，b＝　
　．
二．公因式
6．下列多项式中，可以提取公因式的是（　　）
A．x2﹣y2
B．x2+x
C．x2﹣y
D．x2+2xy+y2
7．多项式8xmyn﹣1﹣12x3myn的公因式是（　　）
A．xmyn
B．xmyn﹣1
C．4xmyn
D．4xmyn﹣1
8．多项式3x3y4+12x2y的公因式是　
　．
9．多项式14abx﹣8ab2x+2ax各项的公因式是　
　．
10．多项式3ma2+12mab的公因式是　
　．
三．因式分解-提公因式法
11．若a+b＝3，ab＝﹣2，则代数式a2b+ab2的值为（　　）
A．1
B．﹣1
C．﹣6
D．6
12．计算（﹣2）2020+（﹣2）2021等于（　　）
A．﹣24041
B．﹣2
C．﹣22020
D．22020
13．因式分解：a2﹣4a＝　
　．
14．因式分解：x2﹣5x＝　
　．
15．分解因式：2a2+4a＝　
　．
四．因式分解-运用公式法
16．下列因式分解正确的是（　　）
A．x2﹣6x+9＝（x﹣3）2
B．x2﹣y2＝（x﹣y）2
C．x2﹣5x+6＝（x+1）（x﹣6）
D．6x2+2x＝x（6x+2）
17．因式分解：m2﹣4n2＝　
　．
18．因式分解：a2﹣9＝　
　．
19．因式分解：x2﹣2xy+y2＝　
　．
20．因式分解：（2x+y）2﹣（x+2y）2．
五．提公因式法与公式法的综合运用
21．下列多项式中，能分解出因式m+1的是（　　）
A．m2﹣2m+1
B．m2+1
C．m2+m
D．（m+1）2+2（m+1）+1
22．多项式2x2﹣2y2分解因式的结果是（　　）
A．2（x+y）2
B．2（x﹣y）2
C．2（x+y）（x﹣y）
D．2（y+x）（y﹣x）
23．分解因式：2x2﹣8＝　
　．
24．因式分解：3x2﹣12＝　
　．
25．把多项式2a2b﹣4ab+2b分解因式的结果是　
　．
26．分解因式：a2（x﹣y）+b2（y﹣x）．
27．分解因式：
（1）6xy2﹣9x2y﹣y3；
（2）16x4﹣1．
六．因式分解-分组分解法
28．下列分解因式错误的是（　　）
A．15a2+5a＝5a（3a+1）
B．﹣x2﹣y2＝﹣（x2﹣y2）＝﹣（x+y）（x﹣y）
C．k（x+y）+x+y＝（k+1）（x+y）
D．1﹣a2﹣b2+2ab＝（1+a﹣b）（1﹣a+b）
29．把x2﹣y2﹣2y﹣1分解因式结果正确的是（　　）
A．（x+y+1）（x﹣y﹣1）
B．（x+y﹣1）（x﹣y﹣1）
C．（x+y﹣1）（x+y+1）
D．（x﹣y+1）（x+y+1）
30．分解因式：a2﹣b2+2b﹣1＝　
　．
31．分解因式：1﹣a2+2ab﹣b2＝　
　．
32．分解因式：a2﹣1+b2﹣2ab＝　
　．
33．分解因式：
（1）a3﹣a；（2）x2﹣2xy+y2﹣1．
34．因式分解：m2﹣n2+2m﹣2n．
七．因式分解-十字相乘法等
35．因式分解x2+mx﹣12＝（x+p）（x+q），其中m、p、q都为整数，则这样的m的最大值是（　　）
A．1
B．4
C．11
D．12
36．把多项式（x﹣y）2﹣2（x﹣y）﹣8分解因式，正确的结果是（　　）
A．（x﹣y+4）（x﹣y+2）
B．（x﹣y﹣4）（x﹣y﹣2）
C．（x﹣y﹣4）（x﹣y+2）
D．（x﹣y+4）（x﹣y﹣2）
37．分解因式：x3+5x2+6x＝　
　．
38．若x2+mx+n分解因式的结果是（x+2）（x﹣1），则m+n的值为　
　．
39．对于多项式x3﹣5x2+x+10，我们把x＝2代入此多项式，发现x＝2能使多项式x3﹣5x2+x+10的值为0，由此可以断定多项式x3﹣5x2+x+10中有因式（x﹣2），（注：把x＝a代入多项式，能使多项式的值为0，则多项式一定含有因式（x﹣a）），于是我们可以把多项式写成：x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），分别求出m、n后再代入x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），就可以把多项式x3﹣5x2+x+10因式分解．
（1）求式子中m、n的值；
（2）以上这种因式分解的方法叫“试根法”，用“试根法”分解多项式x3+5x2+8x+4．
40．分解因式：（a2+a）2﹣8（a2+a）+12．
八．实数范围内分解因式
41．在实数范围内分解因式：x4﹣4．
九．因式分解的应用
42．已知a、b、c分别是△ABC的三边．
（1）分别将多项式ac﹣bc，﹣a2+2ab﹣b2进行因式分解；
（2）若ac﹣bc＝﹣a2+2ab﹣b2，试判断△ABC的形状，并说明理由．
43．如图，边长为a，b的矩形，它的周长为14，面积为10，求下列各式的值：
（1）a2b+ab2；
（2）a2+b2+ab．
参考答案
一．因式分解的意义
1．解：∵（a+b）（a﹣b）+a2不是几个整式的积的形式，
∴从左到右的变形不是分解因式，
∴选项A不符合题意；
∵2ab+2ac不是几个整式的积的形式，
∴从左到右的变形不是分解因式，
∴选项B不符合题意；
∵x3﹣2x2+x＝x（x﹣1）2，
∴从左到右的变形是分解因式，
∴选项C符合题意；
∵（1+）不是整式，
∴从左到右的变形不是分解因式，
∴选项D不符合题意．
故选：C．
2．解：A、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；
B、属于因式分解，故本选项正确；
C、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；
D、等号左边不是多项式，单项式不涉及因式分解，故本选项错误；
故选：B．
3．解：根据平方差公式，得，
4a2﹣1，＝（2a）2﹣12，＝（2a﹣1）（2a+1），
故4a2﹣1＝（2a﹣1）（2a+1）．答案不唯一．
4．解：（x2+y2）（x+y）（x﹣y）＝（x2+y2）（x2﹣y2）＝x4﹣y4．故应填4．
5．解：（3x+）（3x﹣）＝9x2﹣，
所以a＝9，b＝25．故答案为：a＝9，b＝25．
二．公因式
6．解：x2+x＝x（x+1）．故选：B．
7．解：多项式8xmyn﹣1﹣12x3myn的公因式是4xmyn﹣1．故选：D．
8．解：系数的最大公约数是3，各项相同字母的最低指数次幂是x2y，
故公因式是3x2y．
9．解：多项式14abx﹣8ab2x+2ax各项的数字因式是：14，8，2，
公约数是2，字母公因式是：ax，
∴多项式14abx﹣8ab2x+2ax各项的公因式是：2ax．
故答案为：2ax．
10．解：3ma2+12mab中，3与12的公因式是：3，ma2与mab的公因式是：ma，
∴多项式3ma2+12mab的公因式是：3ma，
故答案为：3ma．
三．因式分解-提公因式法
11．解：∵a+b＝3，ab＝﹣2，
∴a2b+ab2＝ab（a+b）＝﹣2×3＝﹣6．
故选：C．
12．解：（﹣2）2020+（﹣2）2021＝（﹣2）2020[1+（﹣2）]＝﹣22020．故选：C．
13．解：原式＝a（a﹣4）．故答案为：a（a﹣4）．
14．解：x2﹣5x＝x（x﹣5）．故答案为：x（x﹣5）．
15．解：2a2+4a＝2a（a+2）．故答案为：2a（a+2）．
四．因式分解-运用公式法
16．解：A、x2﹣6x+9＝（x﹣3）2，正确；
B、x2﹣y2＝（x﹣y）（x+y），故此选项错误；
C、x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣3），故此选项错误；
D、6x2+2x＝2x（3x+1），故此选项错误；
故选：A．
17．解：m2﹣4n2，＝m2﹣（2n）2，＝（m+2n）（m﹣2n）．
18．解：a2﹣9＝（a+3）（a﹣3）．
19．解：原式＝（x﹣y）2．故答案为（x﹣y）2．
20．解：（2x+y）2﹣（x+2y）2＝（2x+y+x+2y）（2x+y﹣x﹣2y）＝3（x+y）（x﹣y）．
五．提公因式法与公式法的综合运用
21．解：A、原式＝（m﹣1）2，该式不能分解出因式m+1，故本选项错误；
B、原式不能分解，本选项错误；
C、原式＝m（m+1），本选项正确；
D、原式＝（m+2）2，本选项错误，故选：C．
22．解：2x2﹣2y2＝2（x2﹣y2）＝2（x+y）（x﹣y），故选：C．
23．解：2x2﹣8＝2（x2﹣4）＝2（x﹣2）（x+2）．
故答案为：2（x﹣2）（x+2）．
24．解：原式＝3（x2﹣4）＝3（x+2）（x﹣2）．
故答案为：3（x+2）（x﹣2）．
25．解：原式＝2b（a2﹣2a+1）＝2b（a﹣1）2，
故答案为：2b（a﹣1）2
26．解：a2（x﹣y）+b2（y﹣x）＝（x﹣y）（a2﹣b2）＝（x﹣y）（a+b）（a﹣b）．
27．解：（1）原式＝﹣y（y2﹣6xy+9x2）＝﹣y（y﹣3x）2；
（2）原式＝（4x2+1）（4x2﹣1）＝（4x2+1）（2x+1）（2x﹣1）．
六．因式分解-分组分解法
28．解：A.15a2+5a＝5a（3a+1），故此选项错误；
B．﹣x2﹣y2
两项符号相同无法运用平方差公式进行分解，故此选项正确；
C．k（x+y）+x+y＝（k+1）（x+y），故此选项错误；
D.1﹣a2﹣b2+2ab＝（1+a﹣b）（1﹣a+b），故此选项错误．故选：B．
29．解：原式＝x2﹣（y2+2y+1），＝x2﹣（y+1）2，＝（x+y+1）（x﹣y﹣1）．
故选：A．
30．解：a2﹣b2+2b﹣1，＝a2﹣（b2﹣2b+1），＝a2﹣（b﹣1）2，＝（a+b﹣1）（a﹣b+1）．
31．解：1﹣a2+2ab﹣b2，＝1﹣（a2﹣2ab+b2），＝1﹣（a﹣b）2，＝（1+a﹣b）（1﹣a+b）．
故答案为：（1+a﹣b）（1﹣a+b）．
32．解：a2﹣1+b2﹣2ab＝（a2+b2﹣2ab）﹣1＝（a﹣b）2﹣1＝（a﹣b+1）（a﹣b﹣1）．
故答案为：（a﹣b+1）（a﹣b﹣1）．
33．解：（1）a3﹣a，＝a（a2﹣1），＝a（a+1）（a﹣1）．
（2）x2﹣2xy+y2﹣1＝（x2﹣2xy+y2）﹣1＝（x﹣y）2﹣1＝（x﹣y+1）（x﹣y﹣1）．
34．解：m2﹣n2+2m﹣2n，＝（m﹣n）（m+n）+2（m﹣n），＝（m﹣n）（m+n+2）．
七．因式分解-十字相乘法等
35．解：﹣12可以分成：﹣2×6，2×（﹣6），﹣1×12，1×（﹣12），3×（﹣4），﹣3×4，
而﹣2+6＝4，2+（﹣6）＝﹣4，﹣1+12＝11，1+（﹣12）＝﹣11，3+（﹣4）＝﹣1，﹣3+4＝1，
因为11＞4＞1＞﹣1＞﹣4＞﹣11，
所以m最大＝p+q＝11．故选：C．
36．解：（x﹣y）2﹣2（x﹣y）﹣8，＝（x﹣y﹣4）（x﹣y+2）．故选：C．
37．解：x3+5x2+6x，＝x（x2+5x+6），＝x（x+2）（x+3）．
38．解：∵x2+mx+n分解因式的结果是（x+2）（x﹣1），
∴x2+mx+n＝x2+x﹣2，
∴m＝1，n＝﹣2，
∴m+n＝1﹣2＝﹣1，
故答案为﹣1．
39．解：（1）在等式x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），中，
分别令x＝0，x＝1，
即可求出：m＝﹣3，n＝﹣5
（2）把x＝﹣1代入x3+5x2+8x+4，得其值为0，
则多项式可分解为（x+1）（x2+ax+b）的形式，
用上述方法可求得：a＝4，b＝4，（8分）
所以x3+5x2+8x+4＝（x+1）（x2+4x+4），＝（x+1）（x+2）2．（10分）
40．解：根据十字相乘法，
（a2+a）2﹣8（a2+a）+12，＝（a2+a﹣2）（a2+a﹣6），＝（a+2）（a﹣1）（a+3）（a﹣2）．
八．实数范围内分解因式（共1小题）
41．解：原式＝（x2+2）（x2﹣2），＝（x2+2）（x+）（x﹣）．
九．因式分解的应用（共2小题）
42．解：（1）ac﹣bc＝c（a﹣b）
﹣a2+2ab﹣b2＝﹣（a2﹣2ab+b2）＝﹣（a﹣b）2
（2）∵ac﹣bc＝﹣a2+2ab﹣b2
∴c（a﹣b）＝﹣（a﹣b）2
c（a﹣b）+（a﹣b）2＝0
（a﹣b）（c+a﹣b）＝0
∵a、b、c分别是△ABC的三边，满足两边之和大于第三边，即c+a﹣b＞0
∴a﹣b＝0
即a＝b
故△ABC的形状是等腰三角形．
43．解：（1）∵a+b＝7，ab＝10，
∴a2b+ab2＝ab（a+b）＝70．
（2）a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝72﹣2×10＝29，
∴a2+b2+ab＝29+10＝39