2020-2021学年北师大版八年级数学下册第1章三角形的证明期中复习周末自主提升训练（Word版 含答案）

2021年北师大版八年级数学下册第1章三角形的证明期中复习周末自主提升训练（附答案）
1．在三角形的内部，到三边距离相等的点是三角形的三条（　　）
A．中线的交点
B．角平分线的交点
C．高的交点
D．以上都不对
2．已知，如图在△ABC中，AB＝AC，AD是三角形的高，若∠CAD＝20°，则∠B的度数是（　　）
A．55°
B．60°
C．65°
D．70°
3．如图，△ABC中，∠A＝36°，∠C＝72°，BD平分∠ABC，ED∥BC，则图中等腰三角形的个数是（　　）
A．3
B．4
C．5
D．6
4．如图，在△ABC中，∠C＝30°，点D是AC的中点，DE⊥AC交BC于E；点O在ED上，OA＝OB，OD＝2，OE＝4，则BE的长为（　　）
A．12
B．10
C．8
D．6
5．如图，在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当∠APQ＝∠AQP时，P，Q运动的时间为（　　）
A．3s
B．4s
C．4.5s
D．5s
6．如图，△ABC的周长为22cm，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，OD⊥BC于点D，且OD＝3cm，则△ABC的面积为（　　）
A．32cm2
B．66cm2
C．33cm2
D．36cm2
7．在△ABC中，AB＝AC，∠ABC的平分线交AC于D，∠A＝36°，则∠BDC的度数为（　　）
A．72°
B．36°
C．54°
D．80°
8．到三角形三边距离相等的点是三条中垂线的交点（　　）
A．正确
B．错误
9．如图，△ABC的两边AB和AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，如果△ADE的周长为8cm，则边BC的长为（　　）
A．16
cm
B．8
cm
C．4
cm
D．不能确定
10．下列说法中，正确的有（　　）
①等腰三角形的底角一定是锐角．
②等腰三角形的角平分线、中线和高是同一条线段．
③等腰三角形两腰上的高相等．
④等腰三角形两腰上的中线相等．
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
11．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，AB的垂直平分线MN交AC于D点，连接BD，则∠DBC的度数是　
　．
12．在等腰三角形ABC中，AB＝AC，其周长为20，则AB边的取值范围为　
　．
13．如图，在△ABC中，AB＝AC，P是BC边上的一点，PE⊥AB，PF⊥AC，BD是AC边上的高若PE＝5cm，PF＝3cm，则BD＝　
　．
14．如图，在△ABC中，EF是AB的垂直平分线，与AB交于点D，BF＝4，CF＝1，则AC的长为　
　．
15．如图，在面积为6的等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，E，F是AD上的两点，则图中阴影部分的面积是　
　．
16．如图，在△ABC中，边AC的垂直平分线DE交边AB于点E，若BC＝6厘米，AB＝8厘米，则△EBC的周长为　
　cm．
17．在△ABC中，AB＝AC，∠B，∠C的平分线相交于点O，若∠BOC＝100°，则∠A＝　
　．
18．等腰三角形的两边长分别为4cm和7cm，那么此等腰三角形的周长为　
　cm．
19．在△ABC中，∠BAC＝115°，DE，FG分别为AB，AC的垂直平分线，则∠EAG的度数为　
　．
20．如图，在△ABC中，AB＝AC，P为线段BC延长线上一点，过P点分别作AB，AC的垂线段PD，PE，过B点作AC的垂线段BF，若PE＝3，PD＝9，则BF＝　
　．
21．如图，CD⊥AB于D，点F是BC上任意一点，FE⊥AB于E，且∠1＝∠2，∠3＝80°．
（1）证明：BC∥DG；
（2）若AD＝AG，求∠ABC的度数．
22．如图，AB∥CD，O为∠BAC，∠DCA的平分线的交点，OE⊥AC于点E，且OE＝1，求AB与CD之间的距离．
23．如图，在△ABC中，AB＝AC，且D为BC上一点，CD＝AD，AB＝BD，求∠B的大小．
24．如图所示，∠A＝20°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，求∠EDF的度数．
25．如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线交AC于点D，
①由垂直平分线定义得到：BE＝　
　，DE　
　BC；
②还可得到：BD＝DC，理由是：　
　；
③已知，AB＝3，AC＝7，BC＝8，则△ABD的周长为　
　．
26．如图，△ABC的两条高分别为BE、CF，M为BC的中点．求证：ME＝MF．
27．如图，△ABC中，∠C＝Rt∠，AD平分∠BAC交BC于点D，BD：DC＝2：1，BC＝7.8cm，求D到AB的距离．
28．如图，BP、CP是△ABC的外角平分线，则点P必在∠BAC的平分线上，你能说出其中的道理吗？
29．如图所示，∠1＝∠2，AE∥BC，求证：△ABC是等腰三角形．
30．如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB，BD⊥AC，CE⊥AB，D、E分别为垂足，那么△BCD与△CBE全等吗？为什么？
31．如图，已知△ABC中，AB＝AC，BD，CD分别平分∠ABE，∠ACE，BD交AC于F，连接AD．
（1）当∠BAC＝40°时，求∠BDC的度数；
（2）请直接写出∠BAC与∠BDC的数量关系；
（3）求证：AD∥BE．
32．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，AB的垂直平分线DE交AC于点D，连接BD，若AC＝12．
（1）求证：BD⊥BC．
（2）求DB的长．
33．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线交AC于D，垂足为E，若∠A＝30°，AC＝6，DE＝2，求∠BDC的度数和BD之长．
34．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD的垂直平分线EF交BC的延长线于点F，连接AF，求证：∠CAF＝∠B．
35．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，G是CA延长线上一点，GE∥AD交AB于F．交BC于E，试判断△AGF的形状并加以证明．
36．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，AF是角平分线，交CD于点E．求证：∠1＝∠2．
参考答案
1．解：在三角形内部到三边距离相等的点是三个内角平分线的交点，
故选：B．
2．解：∵AB＝AC，AD是三角形的高，
∴∠BAD＝∠CAD＝20°，∠ABC＝∠ACB，
∴∠B＝＝70°，
故选：D．
3．解：∵∠A＝36°，∠C＝72°，
∴∠ABC＝180°﹣72°﹣36°＝72°，
∴∠ABC＝∠C，
∴△ABC是等腰三角形，
∵DE∥BC，
∴∠AED＝∠ABC，∠ADE＝∠C，
∴∠AED＝∠ADE，
∴△AED是等腰三角形，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC＝36°，
∴∠A＝∠ABD＝36°，∠EDB＝∠EBD＝36°，
∴△ABD，△BDE都是等腰三角形，
∵∠C＝∠BDC＝72°，
∴△BDC是等腰三角形，
∴等腰三角形有5个，
故选：C．
4．解：连接OC，作OF⊥BC于点F，
由题意得，DE＝OD+OE＝6，
在Rt△CDE中，∠DCE＝30°，
∴CE＝2DE＝12，∠OEF＝60°，
∵AD＝DC，ED⊥AC，
∴OA＝OC，
∵OA＝OB，
∴OB＝OC，
∵OF⊥BC，
∴CF＝FB，
在Rt△OFE中，∠OEF＝60°，
∴∠EOF＝30°，
∴EF＝OE＝2，
∴CF＝CE﹣EF＝10，
∴BC＝20，
∴BE＝20﹣12＝8，
故选：C．
5．解：设当∠APQ＝∠AQP时，P，Q运动的时间为t秒，
∵∠APQ＝∠AQP，
∴AP＝AQ，
∴20﹣3t＝2t，
解得t＝4，
故选：B．
6．解：如图，过点O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
∵∠ABC、∠ACB的平分线，OD⊥BC，
∴OD＝OE，OD＝OF，
∴OD＝OE＝OF＝3cm，
∴△ABC的面积＝（AB+BC+AC）×3＝＝33（cm2）；
故选：C．
7．解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
＝（180°﹣∠A）
＝（180°﹣36°）＝72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠ABC＝×72°＝36°，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝36°+36°＝72°．
故选：A．
8．解：到三角形的三边的距离相等的点是三条角平分线的交点，所以到三角形三边距离相等的点是三条中垂线的交点是错误的；
故选：B．
9．解：∵边AB和AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，
∴DA＝DB，EA＝EC，
∵△ADE的周长为8，
∴AD+DE+EA＝8，
∴BD+DE+EC＝8，即BC＝8，
故选：B．
10．解：①等腰三角形的底角一定是锐角是正确的；
②等腰三角形的角平分线、中线和高不一定是同一条线段，原来的说法错误；
③等腰三角形两腰上的高相等是正确的；
④等腰三角形两腰上的中线相等是正确的．
故正确的有3个．
故选：D．
11．解：∵AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠ABC＝（180°﹣∠A）＝（180°﹣50°）＝65°，
∵MN垂直平分线AB，
∴AD＝BD，
∴∠ABD＝∠A＝50°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝65°﹣50°＝15°．
故答案为：15°．
12．解：设AB＝AC＝x，
则BC＝20﹣2x，
由三角形的三边关系得：x+x＞20﹣2x，
解得：x＞5，
又∵20﹣2x＞0，
解得：x＜10，
∴5＜x＜10，
即5＜AB＜10；
故答案为：5＜AB＜10．
13．解：连接AP．
∵AB＝AC，
∴S△ABC＝S△ABP+S△ACP＝AB?PF+AC?PE＝AB?CD，
∴PF+PE＝CD，
∵PE＝5cm，PF＝3cm，
∴CD＝8cm，
故答案为：8cm．
14．解：∵EF是AB的垂直平分线，BF＝4，
∴AF＝BF＝4，
∴AC＝AF+CF＝4+1＝5，
故答案为：5．
15．解：∵△ABC为等腰三角形，AD⊥BC，
∴BD＝DC，
∵S△EFC＝EF?CD，S△EFB＝EF?BD，
∴S△EFC＝S△EFB，
∴S阴影＝S△ABD＝S△ABC，
∵S△ABC＝6，
∴S阴影＝3．
故答案为：3．
16．解：∵DE是边AC的垂直平分线，
∴EA＝EC，
∴△EBC的周长＝BC+BE+EC＝BC+BE+EA＝BC+AB＝14（厘米），
故答案为：14．
17．解：如图，
∵∠BOC＝100°，
∴∠OBC+∠OCB＝80°，
∵∠ABC与∠ACB的平分线相交于O点，
∴∠ABC＝2∠OBC，∠ACB＝2∠OCB，
∴∠ABC+∠ACB＝2（∠OBC+∠OCB）＝160°，
∴∠BAC＝20°．
故答案为：20°．
18．解：①当腰长为4cm时，三角形的三边分别为4cm，4cm，7cm，符合三角形的三关系，则三角形的周长＝4+4+7＝15（cm）；
②当腰长为7cm时，三角形的三边分别为4cm，7cm，7cm，符合三角形的三关系，则三角形的周长＝4+7+7＝18（cm）；
故它的周长为15或18．
故答案为：15或18．
19．解：∵∠BAC＝115°，
∴∠B+∠C＝180°﹣115°＝65°，
∵DE，FG分别为AB，AC的垂直平分线，
∴EA＝EB，GA＝GC，
∴∠EAB＝∠B，∠GAC＝∠C，
∴∠EAB+∠GAC＝∠B+∠C＝65°，
∴∠EAG＝∠BAC﹣（∠EAB+∠GAC）＝50°，
故答案为：50°．
20．解：连接AP．
∵AB＝AC，
∴S△APB＝S△ABC+S△ACP＝AC×BF+AC×PE＝×AC×（BF+PE），
∵S△APB＝AB×PD＝AC×PD，
∴BF+PE＝PD．
∵PE＝3，PD＝9，
∴BF＝9﹣3＝6．
故答案为：6．
21．解：（1）∵CD⊥AB，FE⊥AB，
∴CD∥EF，
∴∠2＝∠BCD，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠BCD，
∴BC∥DG；
（2）∵AD＝AG，
∴∠ADG＝∠3＝80°，
∵DG∥BC，
∴∠ABC＝∠ADG＝80°．
22．解：过O作OF⊥AB，OG⊥CD，
∵AO为∠BAC的平分线，且OE⊥AC，OF⊥AB，
∴OE＝OF＝1，
∵CO为∠BAC的平分线，且OE⊥AC，OG⊥CD，
∴OG＝OE＝1，
∴FG＝OF+OG＝2，
∵AB∥CD，
∴AB与CD之间的距离等于2．
23．解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵CD＝DA，
∴∠C＝∠DAC，
∵BA＝BD，
∴∠BDA＝∠BAD＝2∠C＝2∠B，
又∵∠B+∠BAD+∠BDA＝180°，
∴5∠B＝180°，
∴∠B＝36°．
24．解：∵AB＝BC，∠A＝20°，
∴∠ACB＝∠A＝20°，∠CBD＝2∠A＝40°，
∵BC＝DC，
∴∠CBD＝∠CDB＝40°，
∴∠BCD＝100°，
∴∠ECD＝180°﹣∠ACB﹣∠BCD＝180°﹣20°﹣100°＝60°，
∵CD＝DE，
∴∠CED＝∠DCE＝60°，
∴∠EDF＝∠A+∠CED＝20°+60°＝80°．
25．解：①∵DE是线段BC的中垂线，
∴BE＝CE，DE⊥BC．
故答案为：＝，⊥；
②∵点D是线段BC垂直平分线上的点，
∴BD＝DC．
故答案为：线段垂直平分线的性质；
③∵BD＝CD，
∴BD+AD＝CD+AD＝AC，
∴△ABD的周长＝AB+AC＝3+7＝10．
故答案为：10．
26．证明：∵BE是△ABC的高，M为BC的中点，
∴ME＝BC，
∵CF是△ABC的高，M为BC的中点，
∴MF＝BC，
∴ME＝MF．
27．解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵BD：DC＝2：1，BC＝7.8cm，
∴CD＝×7.8＝2.6cm，
∵AD平分∠BAC，
∴DE＝CD＝2.6cm，
即D到AB的距离2.6cm．
28．解：分别过点P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F．
∵BP、CP是△ABC的外角平分线，
∴PD＝PE，PE＝PF，
∴PD＝PF．
∴点P必在∠BAC的平分线上．
29．证明：∵AE∥BC（已知），
∴∠2＝∠C（两直线平行，内错角相等）．
∠1＝∠B（两直线平行，同位角相等）．
∵∠1＝∠2（已知），
∴∠B＝∠C（等量代换）．
∴AB＝AC．
∴△ABC是等腰三角形（等角对等边）．
30．解：△BCD≌△CBE．理由如下：
∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠BEC＝∠CDB＝90°．
又∵BC＝BC，∠ABC＝∠ACB，
∴△BCD≌△CBE．
31．（1）解：∵AB＝AC，∠BAC＝40°，
∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣40°）＝70°，
∴∠ACE＝110°，
∵BD，CD分别平分∠EBA，∠ECA，
∴∠DBC＝∠ABC＝35°，∠ECD＝∠ACE＝55°，
∴∠BDC＝∠ECD﹣∠DBC＝20°；
（2）解：∠BDC＝∠BAC．
∵BD、CD分别平分∠EBA、∠ECA，BD交AC于F，
∴∠BDC+∠ABC＝∠ACE，∠BAC+∠ABC＝∠ACE，
∴∠BDC+∠ABC＝∠BAC+∠ABC，
∴∠BDC＝∠BAC；
（3）证明：作DM⊥BG于M，DN⊥AC于N，DH⊥BE于H，如图所示：
∵BD、CD分别平分∠EBA、∠ECA，
∴DM＝DH，DN＝DH，
∴DM＝DN，
∴AD平分∠CAG，即∠GAD＝∠CAD，
∵∠GAD+∠CAD+∠BAC＝180°，∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠GAD+∠CAD＝∠ABC+∠ACB，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠GAD＝∠ABC，
∴AD∥BE．
32．（1）证明：∵AB＝BC，∠ABC＝120°，
∴∠A＝∠C＝（180°﹣∠ABC）＝30°，
∵AB的垂直平分线是DE，
∴AD＝BD，
∴∠DBA＝∠A＝30°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠DBA＝120°﹣30°＝90°，
∴BD⊥BC；
（2）解：∵∠DBC＝90°，∠C＝30°，
∴BD＝CD，
∵AD＝BD，
∴AD＝CD，
∵AC＝AD+CD＝12，
∴AD＝4，
∴BD＝AC＝4．
33．解：∵DE垂直平分AB，
∴DA＝DB，
∴∠DBE＝∠A＝30°，
∴∠BDC＝∠DBE+∠A＝60°；
设CD＝x．
在Rt△BDC中，∵∠BDC＝60°，
∴∠DBC＝30°，
∴BD＝2CD＝2x，
∵AD+CD＝AC，
∴2x+x＝6，
解得x＝2，
∴BD＝4．
34．证明：∵EF垂直平分AD，∴AF＝DF，∠ADF＝∠DAF，
∵∠ADF＝∠B+∠BAD，
∠DAF＝∠CAF+∠CAD，
又∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴∠CAF＝∠B．
35．解：△AGF是等腰三角形；
理由：∵GE∥AD，
∴∠G＝∠CAD，∠BAD＝∠GFA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAD，
∴∠G＝∠GFA，
∴AG＝AF，
∴△AGF是等腰三角形．
36．证明：∵AF是角平分线，
∴∠CAF＝∠BAF，
∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠CAF+∠2＝90°，∠BAF+∠AED＝90°，
∴∠2＝∠AED，
∵∠1＝∠AED，
∴∠1＝∠2．