2020——2021学年华东师大版九年级数学上册第23章 图形的相似测试题（Word版 含答案）

第23章
图形的相似
一、选择题(每题3分，共30分)
1．下列四组线段中，是成比例线段的是(　　)
A．3
cm，4
cm，5
cm，6
cm
B．4
cm，8
cm，3
cm，5
cm
C．5
cm，15
cm，2
cm，6
cm
D．8
cm，4
cm，1
cm，3
cm
2．下列各组图形中有可能不相似的是(　　)
A．各有一个角是45°的两个等腰三角形
B．各有一个角是60°的两个等腰三角形
C．各有一个角是105°的两个等腰三角形
D．两个等腰直角三角形
3．如图，在平行四边形ABCD中，E是DC上的点，DE∶EC＝3∶2，连结AE，BD交于点F，则△DEF与△BAF的面积之比为(　　)
A．2∶5
B．3∶5
C．9∶25
D．4∶25
4．如图，△ABO是△A′B′O经过位似变换得到的，若点P′(m，n)在△A′B′O内，则点P′经过位似变换后的对应点P的坐标为(　　)
A．(2m，n)
B．(m，n)
C．(m，2n)
D．(2m，2n)
5．下列说法：①位似图形都相似；②位似图形都是平移后再放大(或缩小)得到的；③两个相似多边形的面积比为4：9，则周长的比为16：81.其中正确的有(　　)
A．1个
B．2个
C．3个
D．0个
6．如图，某校数学兴趣小组为测量学校旗杆AC的高度，在点F处竖立一根长1.5
m的标杆DF，量出DF的影长EF为1
m，再量出同一时刻旗杆AC的影长BC为6
m，则旗杆AC的高为(　　)
A．6
m
B．7
m
C．8.5
m
D．9
m
7．如图，点A，B，C，D的坐标分别是(1，7)，(1，1)，(4，1)，(6，1)，以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是(　　)
A．(6，0)
B．(6，3)
C．(6，5)
D．(4，2)
8．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点E是AD的中点，CF⊥BE于点F，则CF等于(　　)
A．2
B．2.4
C．2.5
D．2.25
9．如图，在平行四边形ABCD中，E是CD上的一点，DE：EC＝2：3，连结AE，BE，BD，且AE，BD交于点F，则S△DEF：S△EBF：S△ABF＝(　　)
A．2：5：25
B．4：9：25
C．2：3：5
D．4：10：25
10．如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE，CD与BE，AE分别交于点P，M，连结AP.对于下列结论：①△BAE∽△CAD；②MP·MD＝MA·ME；③2CB2＝CP·CM.其中正确的是(　　)
A．①②③
B．①
C．①②
D．②③
二、填空题(每题3分，共30分)
11．如图，已知AB∥CD，AD与BC相交于点O.若＝，AD＝10，则AO＝________．
12．假期，爸爸带小明去A地旅游，小明想知道A地与他所居住的城市的距离，他在比例尺为1∶500
000的地图上测得他所居住的城市距A地32
cm，则小明所居住的城市与A地的实际距离为________．
13．已知＝＝，且3a－2b＋c＝9，则2a＋4b－3c的值为________．
14．如图，矩形ABCD中，AB＝1，在BC上取一点E，将△ABE沿AE向上折叠，使B点落在AD上的F点．若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD＝________.
15．如图，△ABC中，D，E分别是AB和AC的中点，F是BC延长线上一点，DF平分CE于点G，CF＝1，则BC＝________，△ADE与△ABC的周长之比为________，△CFG与△BFD的面积之比为________．
16．如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，相似比为1∶，点A的坐标为(0，1)，则点E的坐标是________．
17．如图，将边长为1的正三角形OAP沿x轴正方向连续翻转2
021次，点P依次落在点P1，P2，P3，…，P2
021的位置，则点P2
021的横坐标为________．
18．如图，小明把手臂水平向前伸直，手持小尺竖直，瞄准小尺的两端E，F，不断调整站立的位置，使在点D处恰好能看到铁塔的顶部B和底部A，设小明的手臂长l＝45
cm，小尺长a＝15
cm，点D到铁塔底部A的距离AD＝42
m，则铁塔的高度是________m.
19．如图，已知点P是边长为4的正方形ABCD内一点，且PB＝3，BF⊥BP，垂足为点B，若在射线BF上找一点M，使以点B，M，C为顶点的三角形与△ABP相似，则BM的长为________．
20．如图，正三角形ABC的边长为2，以BC边上的高AB1为边作正三角形AB1C1，△ABC与△AB1C1公共部分的面积记为S1，再以正三角形AB1C1的边B1C1上的高AB2为边作正三角形AB2C2，△AB1C1与△AB2C2公共部分的面积记为S2，…，以此类推，则Sn＝____________.(用含n的式子表示，n为正整数)
三、解答题(21题6分，22，25题每题12分，23，24题每题8分，26题14分，共60分)
21．如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，试求出x及∠α的大小．
22．在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示，每个小正方形的边长为1，以原点O为位似中心，在第一象限内，对△ABC进行位似变换，得到△DEF(点A，B，C分别对应点D，E，F)，且△ABC与△DEF的相似比为2：1.
(1)画出△DEF；
(2)线段AC的中点变换后对应的点的坐标为________；
(3)求△DEF的周长．
23．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E.
(1)求证：△BDE∽△CAD；
(2)若AB＝13，BC＝10，求线段DE的长．
24．周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D，竖起标杆DE，使得点E与点C，A共线．
已知：CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC＝1
m，DE＝1.5
m，BD＝8.5
m，测量示意图如图所示．
请根据相关测量信息，求河宽AB.
25．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8
cm，BC＝6
cm，点P从点A沿AC向点C以2
cm/s的速度移动，到点C就停止移动，点Q从点C沿CB向点B以1
cm/s的速度移动，到点B就停止移动．
(1)若点P，Q同时出发，则经过几秒S△PCQ＝2
cm2?
(2)若点Q从点C出发2
s后点P出发，则点P移动几秒时△PCQ与△ACB相似？
26．如图①，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB＝8，点D，E分别是边BC，AC的中点，连结DE.
将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α.
(1)当α＝0°和α＝180°时，求的值．
(2)试判断当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图②的情况给出证明．
(3)当△EDC旋转至A，D，E三点共线时，求线段BD的长．
答案
一、1.C　2.A　3.C　4.D　5.A
6．D　【点拨】易证△DEF∽△ABC，所以＝，即＝，解得AC＝9
m．故选D.
7．B
8．B　【点拨】由∠A＝∠BFC＝90°，∠ABE＝∠FCB，易证△ABE∽△FCB.
∴＝.由AE＝×3＝1.5，
AB＝2，得BE＝2.5，
∴＝.
∴CF＝2.4.
9．D
10．A　【点拨】由题意可得AC＝AB，AD＝AE，
∴＝.
∵∠BAC＝∠EAD＝45°，
∴∠BAE＝∠CAD，
∴△BAE∽△CAD，故结论①正确；
∵△BAE∽△CAD，
∴∠BEA＝∠CDA，又∠PME＝∠AMD，
∴△PME∽△AMD，
∴＝，即MP·MD＝MA·ME，故结论②正确．
∵＝，
∴＝，又∠PMA＝∠EMD，
∴△PMA∽△EMD，
∴∠APM＝∠MED＝90°.
∵∠CAE＝180°－∠BAC－∠EAD＝90°＝∠APC，∠ACP＝∠MCA，
∴△CAP∽△CMA，
∴＝，即AC2＝CP·CM.
∵AC＝CB，
∴2CB2＝CP·CM，
故结论③正确．
综上，正确的结论是①②③，故选A.
二、11.4
12．160
km　【点拨】设小明所居住的城市与A地的实际距离为x
km，根据题意可列比例式为＝，解得x＝160.
13．14　【点拨】由＝＝，可设a＝5k，b＝7k，c＝8k.
∵3a－2b＋c＝9，
∴3×5k－2×7k＋8k＝9，∴k＝1.
∴2a＋4b－3c＝10k＋28k－24k＝14k＝14.
14.
15．2；1?2；1?6　
16．(，)
17．2
020
18．14　【点拨】作CH⊥AB于H，交EF于P，如图，则CH＝DA＝42
m，由题意知，CP＝45
cm＝0.45
m，EF＝15
cm＝0.15
m.
∵EF∥AB，
∴△CEF∽△CBA，
∴＝，即＝，
∴AB＝14
m，
即铁塔的高度为14
m.
19.或3　【点拨】∵∠ABC＝∠FBP＝90°，∴∠ABP＝∠CBF.当△MBC∽△ABP时，BM∶AB＝BC∶BP，得BM＝4×4÷3＝；当△CBM∽△ABP时，BM
∶BP＝CB
∶AB，得BM＝4×3÷4＝3.
20.×　【点拨】在正三角形ABC中，AB1⊥BC，
∴BB1＝BC＝1.
在Rt△ABB1中，AB1＝＝＝，
根据题意可得△AB2B1∽△AB1B，记△AB1B的面积为S，
则＝.
∴S1＝S.
同理可得S2＝S1，S3＝S2，S4＝S3，….
又∵S＝×1×＝，
∴S1＝S＝×，
S2＝S1＝×，
S3＝S2＝×，
S4＝S3＝×，…，
Sn＝×.
三、21.解：因为四边形ABCD∽四边形EFGH，所以∠H＝∠D＝95°，则∠α＝360°－95°－118°－67°＝80°.
因为四边形ABCD∽四边形EFGH，
所以x∶7＝12∶6，解得x＝14.
22．解：(1)△DEF如图所示．
(2)(2，1.5)
(3)△DEF的周长是DE＋EF＋DF＝1＋＋.
23．(1)证明：∵AB＝AC，BD＝CD，
∴AD⊥BC，∠B＝∠C.
又∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝∠ADC＝90°，
∴△BDE∽△CAD.
(2)解：∵AB＝AC，BD＝CD，
∴AD⊥BC，BD＝BC＝5.
在Rt△ADB中，AD＝＝＝12.
又易知·AD·BD＝·AB·DE，
∴DE＝.
24．解：∵CB⊥AD，ED⊥AD，
∴∠ABC＝∠ADE＝90°.
∵∠BAC＝∠DAE，
∴△ABC∽△ADE，
∴＝.
∵BC＝1
m，DE＝1.5
m，BD＝8.5
m，
∴＝，
解得AB＝17
m.
∴河宽AB为17
m.
25．解：(1)设经过t
s
S△PCQ＝2
cm2，则AP＝2t
cm，CQ＝t
cm，所以PC＝(8－2t)cm，
由题意得×(8－2t)t＝2，
整理得t2－4t＋2＝0，
解得t＝2±，
所以点P，Q同时出发，经过(2＋)s或(2－)s
S△PCQ＝2
cm2.
(2)设点P移动a
s时△PCQ与△ACB相似，则AP＝2a
cm，CQ＝(2＋a)cm，
所以PC＝(8－2a)cm，
当△PCQ∽△ACB时，＝，
即＝，
解得a＝.
当△PCQ∽△BCA时，＝，
即＝，
解得a＝.
综上所述，点P移动
s或
s时△PCQ与△ACB相似．
26．解：(1)当α＝0°时，
∵BC＝2AB＝8，∴AB＝4.
∵点D，E分别是边BC，AC的中点，
∴BD＝4，AE＝EC＝AC.
∵∠B＝90°，
∴AC＝＝4，
∴AE＝CE＝2，
∴＝＝.
当α＝180°时，如图①，∵AC＝4，CE＝2，CD＝4，BC＝8，
∴＝＝＝.
(2)无变化．
证明：在题图①中，
∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AB，
∴＝，∠EDC＝∠ABC＝90°.
在题图②中，
∵△EDC在旋转过程中形状大小不变，
∴＝仍然成立．
又∵∠ACE＝∠BCD＝α，
∴△ACE∽△BCD，∴＝.
∵AC＝4，BC＝8，
∴＝＝，
∴＝，
∴的大小不变．
(3)当△EDC在BC上方，且A，D，E三点共线时，四边形ABCD为矩形，如图②，∴BD＝AC＝4；
当△EDC在BC下方，且A，E，D三点共线时，△ADC为直角三角形，如图③，由勾股定理可得AD＝＝8.
又∵DE＝2，∴AE＝6，
∵＝，
∴BD＝.
综上，BD的长为4
或.