2020-2021学年人教版数学八年级下册18.2：特殊的平行四边形 专项练习（Word版 含答案）

18.2特殊的平行四边形专项练习
一、单选题
1．下列说法中，错误的是（
）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
C．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形
D．对角线相等且互相平分的四边形是矩形
2．正方形?菱形?矩形都具有的性质是（
）
A．对角线相等
B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直
D．对角线平分一组对角
3．平行四边形的对角线和交于点，添加一个条件不能使平行四边形变为矩形的是（
）
A．
B．
C．
D．
4．如图，在菱形中，点是的中点，点是的中点，连接，如果，那么菱形的周长为（　）
A．4
B．8
C．16
D．32
5．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点D在y轴上，且A（﹣3，0），B（2，b），则b的值为（　　）
A．3
B．2
C．﹣3
D．﹣2
6．如图，在矩形中，点，分别在边和上，把该矩形沿折叠，使点恰好落在边的点处，已知矩形的面积为，，则折痕的长为（
）
A．
B．2
C．
D．4
7．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于O点，E，F分别是AB，BC边上的中点，连接EF．若，，则菱形ABCD的周长为（　　　）
A．
B．16
C．
D．32
8．如图，在矩形中，，M为的中点，连接，E为的中点，连接、，若为直角，则的值为（
）
A．3
B．
C．
D．
9．如图，在菱形中，，E、F分别是边、的中点，于点P，则的度数是（
）．
A．50°
B．45°
C．40°
D．30°
10．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，若△AEF是边长为2的等边三角形，则正方形的边长是（　　）
A．
B．+1
C．
D．
11．如图，将矩形纸片沿其对角线折叠，使点落到点的位置，与交于点，若，，则图中阴影部分的周长为（
）
A．10
B．13
C．17
D．20
12．如图，矩形纸片，，，点在边上．将沿折叠，点落在点处．、分别交于点、，且．则的长为（
）
A．2
B．
C．
D．
13．如图，E、F分别是矩形ABCD边上的两点，设∠ADE＝α，∠EDF＝β，∠FDC＝γ，若∠AED＝α+β，下列结论正确的是（
）
A．α＝β
B．α＝γ
C．α+β+2γ＝90°
D．2α+γ＝90°
14．如图，O是菱形的对角线的交点，E，F分别是的中点给出下列结论：①；②四边形也是菱形；③四边形的面积大小等于；④；⑤是轴对称图形．其中正确的结论有（
）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
15．如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE=BD，连结AE，如果∠ADB=40°，则∠E的度数是（
）
A．10°
B．20°
C．30°
D．40°
16．如图，在△ABC中，点D是边BC上的点（与B、C两点不重合），过点D作DE//AC，DF//AB，分别交AB、AC于E、F两点，下列说法错误的是（
）
A．四边形AEDF是平行四边形
B．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形
C．若AB⊥AC，则四边形AEDF是矩形
D．若BD=CD，则四边形AEDF是正方形
17．如图，点P为正方形内一点，已知正方形的边长为2，且有，则的最小值为（
）．
A．1
B．
C．
D．
18．如图，在矩形ABCD中，O为AC中点，EF过O点且EF⊥AC分别交DC于F，交AB于E，点G是AE中点且∠AOG＝30°，①DC＝3OG；②OG＝BC；③△OGE是等边三角形；④S△AOE＝S矩形ABCD，则下列结论正确的个数为（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
19．如图，在中，，以的各边为边分别作正方形，正方形与正方形．延长，分别交，于点，，连结，．图中两块阴影部分面积分别记为，，若，四边形，则四边形的面积为（
）
A．5
B．6
C．8
D．9
20．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图（1）所示）．图（2）由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成的记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若EF＝4，则S1+S2+S3的值是（　　）
A．32
B．38
C．48
D．80
二、填空题
21．如图，在正方形中，，延长到点E，使，连接，动点P从点A出发，以每秒的速度沿向终点A运动．设点P的运动时间为t秒，当和全等时，t的值为__________．
22．如图，ABCD为正方形，O为AC、BD的交点，△DCE为直角三角形，∠CED＝90°，∠DCE＝30°，若正方形的边长为2，则OE的长为__________．
23．如图，ABCD是一张长方形纸片，且AD＝2AB＝8，沿过点D的折痕将A角翻折，使得点A落在BC上（如图中的点A′）折痕交于点G，则BG＝______．
24．如图，点为正方形的边的延长线上一点，以为边在的另一侧作正方形，连接，若，，则的面积为______．
25．对于任意三角形，如果存在一个菱形，使得这个菱形的一条边与三角形的一条边重合，且三角形的这条边所对的顶点在菱形的这条边的对边上，那么称这个菱形为该三角形的“最优覆盖菱形”．问题：如图，在中，，，且的面积为m，如果存在“最优覆盖菱形”为菱形，那么m的取值范围是________．
三、解答题
26．正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF=45°．
（1）求证：EF=AE+CF
（2）当AE=1时，求EF的长．
27．如图，已知平行四边形ABCD，若M，N是BD上两点，且BM＝DN，AC＝2OM，
（1）求证：四边形
AMCN
是矩形；
（2）△ABC
满足什么条件，四边形AMCN是正方形，请说明理由．
28．已知：如图，在菱形中，E，F分别在边，上，且，求证：．
29．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC，BD平分∠ABC．过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若CE＝，四边形ABCD的面积为4，求DE的长．
30．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点M，N分别为OA、OC的中点，延长BM至点E，使EM＝BM，连接DE．
（1）求证：△AMB≌△CND；
（2）若BD＝2AB，且AB＝5，DN＝4，求四边形DEMN的面积．
31．如图，将平行四边形ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕EF交BC于E交AD于F，交AC于G，连接AE，CF．
（1）求证：四边形AECF为菱形；
（2）若四边形AECF恰为正方形，且AB＝5，BC＝7，求平行四边形ABCD的面积．
(
2
)
(
1
)
参考答案
1．C
解：A.对角线互相平分的四边形是平行四边形，此说法正确，不符合题意；
B.对角线互相垂直的平行四边形是菱形，此说法正确，不符合题意；
C.对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形，故原说法错误，符合题意；
D.对角线相等且互相平分的四边形是矩形，此说法正确，不符合题意．
2．B
解：∵正方形的对角线互相平分，互相垂直，相等且平分一组对角，
菱形的对角线互相平分，互相垂直且平分一组对角，
矩形的对角线互相平分且相等，
∴正方形、菱形、矩形都具有的性质是：对角线互相平分．
3．D
解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
A.
时，，
∴平行四边形是矩形，故选项A不符合题意；
B.四边形是平行四边形，，
∴平行四边形是矩形，故选项B不符合题意；
C.∵，
∴，
∴，
∴平行四边形是矩形，故选项C不符合题意；
D.四边形是平行四边形，，
∴平行四边形是菱形，故选项D符合题意；
4．D
解：∵E为AB中点，F为AC中点，
∴线段EF为的中位线，
∴．
∵四边形ABCD为菱形，
∴该菱形的周长=4×8=32．
5．C
解：作BM⊥x轴于M．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠DAB＝90°，
∴∠DAO+∠BAM＝90°，∠BAM+∠ABM＝90°，
∴∠DAO＝∠ABM，
∵∠AOD＝∠AMB＝90°，
在△DAO和△ABM中，
，
∴△DAO≌△ABM（AAS），
∴BM＝OA，
∵A（，0），B（2，b），
∴BM＝OA＝3，
∴b＝．
6．D
解：
由折叠的性质可知，BE＝EH，AF＝FG，GH＝AB，∠BEF＝∠HEF，
∵∠BEF＋∠HEF＝180°-∠HEC＝120°，
∴∠HEF＝60°
∵FH∥CE，∠HEC＝60°，
∴∠FHE＝∠HEC＝60°，
∴△HEF为等边三角形，
∴EF＝HE=FH，
∵∠FHE＝60°，∠B=∠GHE=∠FHE＋∠GHF＝90°，
∴∠GHF＝30°，
在Rt△FGH中，∠GHF＝30°，
∴FH＝2FG＝2AF，
∴设FG=x，则FH＝2x，HD=x，
则有，
∴AD=AF+FH+HD=4x，
又∵矩形ABCD的面积为，
∴，
∴x=2或x=-2（舍），
∴EF=FH=4，
7．C
解：∵E，F分别是AB，BC边上的中点，EF＝，
∴AC＝2EF＝，
∵四边形ABCD是菱形，，
∴AC⊥BD，OA＝AC＝，OB＝BD＝4，
∴AB＝＝，
∴菱形ABCD的周长为：＝．
8．D
解：连接AE，过点E作EF⊥AD，并延长，交BC于点H，如图所示：
∵四边形是矩形，，
∴，，，，
∴，
∴四边形是矩形，
∵E为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵M为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴；
9．A
解：延长PF交AB的延长线于点G．如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，
∴∠GBF=∠PCF，
∵F是边BC的中点，
∴BF=CF，
在△BGF与△CPF中，
∴△BGF≌△CPF（ASA）
∴GF=PF，
∴F为PG中点．
又∵由题可知，∠BEP=90°，
∴EF=PG，
∵PF=PG，
∴EF=PF，
∴∠FEP=∠EPF，
∵∠BEP=∠EPC=90°，
∴∠BEP-∠FEP=∠EPC-∠EPF，即∠BEF=∠FPC，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=BC，∠ABC=180°-∠A=80°，
∵E，F分别为AB，BC的中点，
∴BE=BF，∠BEF=∠BFE=
（180°-80°）=50°，
∴∠FPC=50°；
10．D
解：由题知：△AEF是边长为2的等边三角形，
∴∠EAF＝60°，AE＝AF，∴∠BAE+∠DAF＝30°，
又AB＝AD，AE＝AF，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴∠BAE＝∠DAF＝15°，
如图，作∠AEH＝∠BAE＝15°，交AB于H，
∴∠BHE＝30°，AH＝HE，∴HE＝2BE＝AH，BH＝BE，∴AB＝（2+）BE，
∵AE2＝BE2+AB2，
∴4＝BE2+（2+）2×BE2，
∴BE＝(﹣1）＝，
∴AB＝（2+）BE＝，
11．D
解：∵四边形ABCD为矩形，
∴B′C=BC=AD，∠B′=∠B=∠D=90°，
∵∠B′EC=∠DEA，
在△AED和△CEB′中，
，
∴△AED≌△CEB′（AAS）；
∴EA=EC，
∴阴影部分的周长为AD+DE+EA+EB′+B′C+EC
=AD+DE+EC+EA+EB′+B′C
=AD+DC+AB′+B′C
=3+7+7+3
=20，
12．B
解：∵四边形ABCD是矩形
∴，，
根据折叠的性质，得：，，
在与中
∴
∴，
∴
设，则
∴
∴
在中，由勾股定理得：
解得：
即
13．B
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ADC＝90°，
∵∠ADE＝α，∠EDF＝β，∠FDC＝γ，
∴α+β+γ＝90°，
∵∠AED+α＝90°，∠AED＝α+β，
∴2α+β＝90°，
∴α+β+γ＝2α+β，
∴α＝γ，
14．C
解：①正确
∵E、F分别是OA、OC的中点．
∴AE＝OE．
∵S△ADEAE×ODOE×OD＝S△EOD
∴S△ADE＝S△EOD．
②正确
∵四边形ABCD是菱形，E，F分别是OA，OC的中点．
∴EF⊥OD，OE＝OF．
∵OD＝OB．
∴四边形BFDE是菱形．
③正确
∵菱形ABCD的面积AC×BD．
∵E、F分别是OA、OC的中点．
∴EFAC．
∴菱形ABCD的面积＝EF×BD．
④不正确
由已知可求得∠FDO＝∠EDO，而无法求得∠ADE＝∠EDO．
⑤正确
∵EF⊥OD，OE＝OF，OD＝OD．
∴△DEO≌△DFO．
∴△DEF是轴对称图形．
∴正确的结论有四个，分别是①②③⑤，
15．B
解：连接AC，交BD于点O，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，
∵EC＝BD，
∴AC＝CE，
∴∠E＝∠CAE，
∵OB=OC，
∴∠ACB=∠DBC，
又∵AD∥BC，
∴∠DBC=∠ADB，
∴∠ACB＝∠ADB＝40°，
∵∠ACB＝∠E＋∠CAE，
∴∠E＝∠CAE＝20°，
16．D
解：∵DE//AC，DF//AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，故选项A正确，不符合题意；
若AD平分∠BAC，则∠EAD=∠FAD，
又∵∠EAD=∠FDA，
∴∠FAD=∠FDA
，∴FA=FD，
∴平行四边形AEDF是菱形，
故选项B正确，不符合题意；
∵AB⊥AC，
∴平行四边形AEDF是矩形，
故选项C正确，不符合题意；
若BD＝CD，则四边形AEDF不一定是正方形；选项D错误，符合题意．
17．C
解：取AD中点E，连接PE、BE，
∵正方形的边长为2，
∴PE=AE=1，
，
∵，
当P、E、B三点共线时，最小，最小值为，
18．C
解：，点是中点，
，
，
，
，
是等边三角形，故③正确；
设，则，
由勾股定理得，，
为中点，
，
，
在中，由勾股定理得，，
四边形是矩形，
，
，故①正确；
，，
，故②错误；
，
，
，故④正确；
综上所述，结论正确是①③④，共3个．
19．B
解：∵
∴
∵四边形与四边形是正方形
∴
∴
∵
∴
∵，
∴
∵四边形+梯形
∴
∴
∴
∵，
∴，即
∵四边形与四边形是正方形
∴，
∴
∴
∴
∴四边形
∵
∴四边形是矩形
∴矩形四边形四边形四边形
∴四边形矩形
20．C
解：∵八个直角三角形全等，四边形ABCD，EFGH，MNKT是正方形，
∴CG＝KG，CF＝DG＝KF
∴S1＝（CG+DG）2
＝CG2+DG2+2CG?DG
＝GF2+2CG?DG，
S2＝GF2＝EF2，
S3＝（KF﹣NF）2＝KF2+NF2﹣2KF?NF，
∴S1+S2+S3＝GF2+2CG?DG+GF2+KF2+NF2﹣2KF?NF＝3GF2＝3EF2＝48，
21．4或14
解：如图，当≌时，BP1＝CE=1
即3-0.5t＝1，解得t=4,
如图，当≌时，CP2＝CE=1
即0.5t-6＝1，解得t=14,
故答案为：4或14．
22．．
解：如图，过点O作OM⊥CE于M，作ON⊥DE交ED的延长线于N，
∵∠CED=90°，
∴四边形OMEN是矩形，
∴∠MON=90°，
∵∠COM+∠DOM=∠DON+∠DOM，
∴∠COM=∠DON，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OC=OD，
在△COM和△DON中，
∴△COM≌△DON（AAS），
∴OM=ON，
∴四边形OMEN是正方形，
∴ME=NE，
∵∠CED=90°，∠DCE=30°，
∴DE=CD=1，CE=，
∵NE=ME，
∴1+DN=-CM，
∴DN=
∴NE=DN+DE=+1=
∵OE=
23．
解：根据折叠的性质，得=8，∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=4，
在直角三角形中，=，∴∠=30°，
∵根据折叠的性质，四边形ABCD是矩形，∴∠90°，
∴∠=60°，∴∠=30°，∴，
在直角三角形中，，
∵=8-，∴BG==，
24．30
解：如图，延长GB交CD与点H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BA=BC，∠BCH=∠BAE=90°，
∵四边形BEFG是正方形，
∴∠EBG=90°，BE=BG，
∴∠ABE+∠GBC=180°，
又∵∠HBC+∠GBC=180°，
∴∠ABE=∠HBC，
∴△ABE≌△CBH，
∴BH=BE，，
∵BE=BG，
∴BH=BG，
∴，
在Rt△ABE中，，
∵，
∴，
25．
解：∵的面积为m
∴边BC上的高为
如图：当高取最小值时，为等边三角形，A与M或N或MN上一重合重合，
如图：过A作AD⊥BC，垂足为D
∵等边三角形ABC,BC=4
∴∠ABC=60°,BC=4，∠BAD=30°
∴BD=2,
∴AD==2
∴，即m=4；
如图：当高取最大值时，菱形为正方形，
∴A在中点，
∴，即m=8
∴．
26．（1）见详解；（2）
（1）证明：把△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△DAH，使得点A与点C重合，如图所示：
由旋转的性质可得DE=DH，∠EDH=90°，AE=CH，
∵∠EDF=45°，
∴∠EDF=∠HDF=45°，
∵DF=DF，
∴△DEF≌△DHF（SAS），
∴FH=EF，
∴EF=HF=FC+CH=AE+FC；
（2）设CF=x，由（1）可得EF=1+x，
∵AB=BC=3，AE=1，
∴BF=3-x，BE=2，
∴在Rt△BEF中，，即，
解得：，
∴．
27．（1）证明见解析；（2）AB=BC
（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵对角线BD上的两点M、N满足BM=DN，
∴OB-BM=OD-DN，即OM=ON，
∴四边形AMCN是平行四边形，
∴MN=2OM，
∵
AC=2OM，
∴MN=AC，
∴四边形AMCN是矩形；
（2）当AB=BC时，四边形AMCN是正方形；
∵AB=BC，四边形ABCD是平行四边形，
∴
四边形ABCD是菱形，
∴
AC⊥BD，
∴AC⊥MN，
由（1）可知四边形ABCD是矩形，
∴四边形ABCD是正方形；
28．证明见解析
证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴AD=AB=CD=CB，∠B=∠D．
又∵CE=CF，
∴CB-CE=CD-CF，
即DF=BE．
∴△ABE≌△ADF(SAS)．
∴AE=AF．
29．（1）见详解；（2）．
（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠ADB＝∠ABD，
∴AD＝AB，
∵AB＝BC，
∴AD＝BC，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵DE⊥BC，CE＝，
∴CD=，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=CD=，
∵四边形ABCD的面积为4，
∴?DE=4，即：，
∴，
∴DE=或DE=-（舍去），
∴DE=．
30．（1）证明见解析；（2）24．
解：（1）∵平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，
∴AO＝CO，
又∵点M，N分别为OA、OC的中点，
∴AM＝CN，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠BAM＝∠DCN，
∴△AMB≌△CND（SAS）；
（2）∵△AMB≌△CND，
∴BM＝DN，∠ABM＝∠CDN，
又∵BM＝EM，
∴DN＝EM，
∵AB∥CD，
∴∠ABO＝∠CDO，
∴∠MBO＝∠NDO，
∴ME∥DN．
∴四边形DEMN是平行四边形，
∵BD＝2AB，BD＝2BO，
∴AB＝OB，
又∵M是AO的中点，
∴BM⊥AO，
∴∠EMN＝90°，
∴四边形DEMN是矩形，
∵AB＝5，DN＝BM＝4，
∴AM＝3＝MO，
∴MN＝6，
∴矩形DEMN的面积＝6×4＝24．
31．(1)证明见解析，(2)
28．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AFE＝∠FEC，
由折叠的性质，可得：∠AEF＝∠CEF，AE＝CE，AF＝CF，
∴∠AEF＝∠AFE，
∴AF＝AE，
∴AF＝CF＝CE＝AE，
∴四边形AFCE为菱形．
(2)设AE=x，则BE=7-
x，
，
解得，，（舍去），
平行四边形ABCD的面积为：4×7=28．
(
2
)
(
1
)