推理与证明练习题（答案）
图片预览
文档简介
推理与证明练习题
分析法证明数学问题
1.在锐角△ABC中，求证：tanA·tanB>1.
【证明】 要证tan Atan B>1，只需证>1，
∵A、B均为锐角，
∴cos A>0，cos B>0.
即证sin Asin B>cos Acos B，
即cos Acos B－sin Asin B<0，
只需证cos(A＋B)<0.
∵△ABC为锐角三角形，
∴90°∴cos(A＋B)<0，因此tan Atan B>1.
2. 若a>0，证明 －≥a＋－2.
证明：要证 －≥a＋－2，
只需证 ＋2≥a＋＋.
只需证2≥2，
即证a2＋＋4＋4≥a2＋＋2＋2＋2，
只需证 ≥，
只需证a2＋≥，
即证a2＋≥2，
即2≥0，显然成立，
所以原不等式成立．
3.在△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C＝4∶2∶1，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，求证：＋＝.
【证明】 设∠C＝α，则∠B＝2α，∠A＝4α，
且α＋2α＋4α＝7α＝π.欲证＋＝，
可证bc＋ac＝ab，即ab－bc＝ac.因而只需证a－c＝.
在BC上取一点D，使AD＝AB，如图．由角的关系并注意到7α＝π，可有DC＝AD＝AB＝c.
故BD＝a－c.因而只需证BD＝即可．
在△ABD中，由正弦定理＝，
从而BD＝.又7α＝π，故sin3α＝sin4α.
故BD＝＝2ccos2α(因sin4α＝2sin2αcos2α)．
只需证cos2α＝即可．
由于a、b的出现，需考虑△ABC，由正弦定理有
＝，由于sin4α＝2sin2αcos2α.
即有cos2α＝，即原等式成立．
本题采用分析法与综合法交错使用，当然我们可只用综合法将证明过程叙述出来，那样会更加简捷，但这必须在分析完之后．
4.已知函数f(x)＝lg(－1)，x∈(0，)，若x1，x2∈(0，)且x1≠x2.
求证：[f(x1)＋f(x2)]＞f()．
证明：要证[f(x1)＋f(x2)]＞f()，
只需证：lg(－1)＋lg(－1)＞2lg(－1)，
只需证：(－1)(－1)＞(－1)2.
∵(－1)(－1)－(－1)2
＝.
由于x1，x2∈(0，)且x1≠x2，
∴＞0，
即(－1)(－1)＞(－1)2，
∴[f(x1)＋f(x2)]＞f()．
用反证法证明否定性命题
1.如图，设SA、S
B是圆锥的两条母线，O是底面圆心，C是SB上一点．
求证：AC与平面SOB不垂直．
【证明】 假设AC⊥平面SOB，
因为直线SO在平面SOB内，
所以AC⊥SO.
又SO⊥底面，所以SO⊥AB.
因为AB∩AC＝A，
所以SO⊥平面SAB.
故平面SAB∥底面．
这与已知条件矛盾，所以假设不成立．
即AC与平面SOB不垂直．
2.求证：函数f(x)＝cos不是周期函数．
证明：假设f(x)＝cos是周期函数，则存在常数T(T≠0)使得对任意x∈R，都有cos＝cos成立．
上式中含x＝0，则有cos＝cos0＝1，
∴＝2mπ，(m∈Z且m≠0)．①
再令x＝T，则有cos＝cos＝1，
∴＝2nπ(n∈Z且n≠0)．②
②÷①得：＝.
这时，m、n为非零整数，故为有理数，而是无理数，二者不可能相等．因此f(x)＝cos不是周期函数．
3.已知函数y＝f(x)在区间(a，b)上是增函数．求证：函数y＝f(x)在区间(a，b)上至多有一个零点．
【证明】 假设函数y＝f(x)在区间(a，b)上至少有两个零点，设x1，x2(x1≠x2)为函数y＝f(x)在区间(a，b)上的两个零点，且x1因为函数y＝f(x)在区间(a，b)上为增函数，
x1，x2∈(a，b)且x1∴f(x1)∴假设不成立，故原命题正确．
4.若a、b、c均为实数，且a＝x2－2y＋，b＝y2－2z＋，c＝z2－2x＋，求证：a、b、c中至少有一个大于0．
证明：(用反证法)假设a、b、c都不大于0，
即a≤0，b≤0，c≤0，则有a＋b＋c≤0.
而a＋b＋c＝(x2－2y＋)＋(y2－2z＋)＋(z2－2x＋)＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋(＋＋)－3
＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3.
∵(x－1)2，(y－1)2，(z－1)2均大于等于0，π－3>0.
∴a＋b＋c>0，这与假设a＋b＋c≤0矛盾，故a、b、c中至少有一个大于0，原命题成立．
5. 若下列方程：x＋4ax－4a＋3＝0，x＋(a－1)x＋a＝0，x＋2ax－2a＝0至少有一个方程有实根，试求实数a的取值范围．
【解】 设三个方程均无实根，则有：
解得
即－＜a＜－1，所以当a≥－1或a≤－时，三个方程至少有一个方程
有实根．
6.对于定义在实数集R上的函数f(x)，如果存在实数x0，使f(x0)＝x0，那么x0叫做函数
f(x)的一个好点．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋1不存在好点，那么a的取值范围是( )
A．(－，)
B．(－，)
C．(－1,1)
D．(－∞，1)∪(1，＋∞)
解析：选A.由题意知f(x)＝x，即x2＋2ax＋1＝x，
即x2＋(2a－1)x＋1＝0，无实数解，
∴Δ＝(2a－1)2－4＝4a2－4a－3＜0，
∴－＜a＜.
分析法证明数学问题
1.在锐角△ABC中，求证：tanA·tanB>1.
【证明】 要证tan Atan B>1，只需证>1，
∵A、B均为锐角，
∴cos A>0，cos B>0.
即证sin Asin B>cos Acos B，
即cos Acos B－sin Asin B<0，
只需证cos(A＋B)<0.
∵△ABC为锐角三角形，
∴90°
2. 若a>0，证明 －≥a＋－2.
证明：要证 －≥a＋－2，
只需证 ＋2≥a＋＋.
只需证2≥2，
即证a2＋＋4＋4≥a2＋＋2＋2＋2，
只需证 ≥，
只需证a2＋≥，
即证a2＋≥2，
即2≥0，显然成立，
所以原不等式成立．
3.在△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C＝4∶2∶1，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，求证：＋＝.
【证明】 设∠C＝α，则∠B＝2α，∠A＝4α，
且α＋2α＋4α＝7α＝π.欲证＋＝，
可证bc＋ac＝ab，即ab－bc＝ac.因而只需证a－c＝.
在BC上取一点D，使AD＝AB，如图．由角的关系并注意到7α＝π，可有DC＝AD＝AB＝c.
故BD＝a－c.因而只需证BD＝即可．
在△ABD中，由正弦定理＝，
从而BD＝.又7α＝π，故sin3α＝sin4α.
故BD＝＝2ccos2α(因sin4α＝2sin2αcos2α)．
只需证cos2α＝即可．
由于a、b的出现，需考虑△ABC，由正弦定理有
＝，由于sin4α＝2sin2αcos2α.
即有cos2α＝，即原等式成立．
本题采用分析法与综合法交错使用，当然我们可只用综合法将证明过程叙述出来，那样会更加简捷，但这必须在分析完之后．
4.已知函数f(x)＝lg(－1)，x∈(0，)，若x1，x2∈(0，)且x1≠x2.
求证：[f(x1)＋f(x2)]＞f()．
证明：要证[f(x1)＋f(x2)]＞f()，
只需证：lg(－1)＋lg(－1)＞2lg(－1)，
只需证：(－1)(－1)＞(－1)2.
∵(－1)(－1)－(－1)2
＝.
由于x1，x2∈(0，)且x1≠x2，
∴＞0，
即(－1)(－1)＞(－1)2，
∴[f(x1)＋f(x2)]＞f()．
用反证法证明否定性命题
1.如图，设SA、S
B是圆锥的两条母线，O是底面圆心，C是SB上一点．
求证：AC与平面SOB不垂直．
【证明】 假设AC⊥平面SOB，
因为直线SO在平面SOB内，
所以AC⊥SO.
又SO⊥底面，所以SO⊥AB.
因为AB∩AC＝A，
所以SO⊥平面SAB.
故平面SAB∥底面．
这与已知条件矛盾，所以假设不成立．
即AC与平面SOB不垂直．
2.求证：函数f(x)＝cos不是周期函数．
证明：假设f(x)＝cos是周期函数，则存在常数T(T≠0)使得对任意x∈R，都有cos＝cos成立．
上式中含x＝0，则有cos＝cos0＝1，
∴＝2mπ，(m∈Z且m≠0)．①
再令x＝T，则有cos＝cos＝1，
∴＝2nπ(n∈Z且n≠0)．②
②÷①得：＝.
这时，m、n为非零整数，故为有理数，而是无理数，二者不可能相等．因此f(x)＝cos不是周期函数．
3.已知函数y＝f(x)在区间(a，b)上是增函数．求证：函数y＝f(x)在区间(a，b)上至多有一个零点．
【证明】 假设函数y＝f(x)在区间(a，b)上至少有两个零点，设x1，x2(x1≠x2)为函数y＝f(x)在区间(a，b)上的两个零点，且x1
x1，x2∈(a，b)且x1
4.若a、b、c均为实数，且a＝x2－2y＋，b＝y2－2z＋，c＝z2－2x＋，求证：a、b、c中至少有一个大于0．
证明：(用反证法)假设a、b、c都不大于0，
即a≤0，b≤0，c≤0，则有a＋b＋c≤0.
而a＋b＋c＝(x2－2y＋)＋(y2－2z＋)＋(z2－2x＋)＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋(＋＋)－3
＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3.
∵(x－1)2，(y－1)2，(z－1)2均大于等于0，π－3>0.
∴a＋b＋c>0，这与假设a＋b＋c≤0矛盾，故a、b、c中至少有一个大于0，原命题成立．
5. 若下列方程：x＋4ax－4a＋3＝0，x＋(a－1)x＋a＝0，x＋2ax－2a＝0至少有一个方程有实根，试求实数a的取值范围．
【解】 设三个方程均无实根，则有：
解得
即－＜a＜－1，所以当a≥－1或a≤－时，三个方程至少有一个方程
有实根．
6.对于定义在实数集R上的函数f(x)，如果存在实数x0，使f(x0)＝x0，那么x0叫做函数
f(x)的一个好点．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋1不存在好点，那么a的取值范围是( )
A．(－，)
B．(－，)
C．(－1,1)
D．(－∞，1)∪(1，＋∞)
解析：选A.由题意知f(x)＝x，即x2＋2ax＋1＝x，
即x2＋(2a－1)x＋1＝0，无实数解，
∴Δ＝(2a－1)2－4＝4a2－4a－3＜0，
∴－＜a＜.