2012年中考数学专题复习(一)一元二次方程

专题一：一元二次方程
知识要点扫描归纳
一 基本概念
1. 方程定义：含有未知数 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "_blank )的等式 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "_blank )叫方程。
2. 方程的解 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "_blank )：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。
3. 解方程：求方程的解的过程叫做解方程。
4.一元二次方程的定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.一般形式为 （）.
二、一元二次方程的解法
1．直接开方法
（1）用直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法.如果一个一元二次方程，左边是一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负数，就可以用直接开平方法求解.
2．配方法
（1）用配方法解方程是以配方为手段，以直接开平方法为基础的一种解题方法.是中学数学中常用的数学方法.
（2）配方的关键步骤是：在方程两边同时加上一次项系数的绝对值一半的平方.理论根据是：
（3）配方的结果是使方程的一边化为一个完全平方式，另一边为非负实数，再利用直接开平方法求解.
3．公式法
（1）用求根公式解一元二次方程的方法叫求根公式法.
（2）一元二次方程求根公式是：
（3）在解一元二次方程时，先把方程化为一般开式，确定的值，在的情况下：代入求根公式即可求解.
4.因式分解法
对于在一元二次方程的一边是0，而另一边易于分解成两个一次因式的积时，可用因式分解法来解这个方程。
理论依据：两个因式的积等于零，那么这两个因式中至少有一个等于零。例如：如果，那么x－1=0或x＋5=0。因式分解法简便易行，是解一元二次方程的最常用的方法。
因式分解法解一元二次方程的一般步骤
（1）将方程的右边化为零；
（2）将方程左边分解成两个一次因式的乘积；
（3）令每个因式分别为零，得两个一元一次方程；
（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。
4．形如的方程，可用提公因式法求方程的根：。
5．形如的方程，可用平方差公式把左边分解。
三、一元二次方程根的判别式：
一元二次方程的根的判别式：
（1）方程有两个不等实数根．
（2）方程有两个相等实数根．
（3）方程无实数根．
（4）方程有两个实数根．
※ 运用根的判别式时要注意：关于的方程有两个实数根和实数根的区别在于：若有两个实数根，则．若有实数根，则分两种情况：①；②
四、一元二次方程根与系数关系（韦达定理）
1．若一元二次方程的两个实数根为，则
2．以为根的一元二次方程可写成
3．使用一元二次方程的根的判别式解题的前提是二次项系数
4．不解方程，求关于一元二次方程的两个实数根的对称式的值的方法是先将式子化成只含，的形式，然后利用根与系数的关系代入求值．要特别注意如下公式：
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）；
（7）； （8）．
五、实际应用：
1、知识结构
2、知识要点归纳
由实际情景加工整理成抽象实际的问题，通过数学化变成数学问题.经过求解、检验、修正改进等进而产生的问题称为数学应用问题，数学应用题是经过加工的数学应用问题，是呈现在我们中学生面前的数学应用问题.
从数学应用问题到数学应用题作了以下几个方面的“加工”.
加工“背景”：让背景材料为学生所熟悉的材料；让背景材料较为简洁.
加工“数学”：让“数学化”的过程较为简单，让各环节中使用的数学思想、方法和知识都是学生所能接受的.
加工“检验”：在问题中的检验和讨论“实际化”即检验数学结果是否合乎实际问题，有验证的意识就可以了.
解一元二次方程的数学应用题的一般步骤
找——找出题中的等量关系
设——设未知数
列——列出方程，即根据找出的等量关系列出含有未知数的等式
解——解出所列的方程
验——将方程的解代入方程中检验，回到实际问题中检验
答——作答下结论
4、中考改革趋势
一元二次方程的应用是中考数学重点考查的内容之一，它的试题背景与二元一次方程组的应用、简单分式方程的应用、一元一次方程的应用一样，随着改革的继续而更富有时代的气息，更宣于生活化，更贴近学生的实际.
考点回放
考察一元二次方程概念
1．(2007年鄂尔多斯)下列方程不是整式方程的是（ ）
A、 B、 C、 D、
2．(2008年湖北随州)下列方程不是一元二次方程的是（ ）
A、 B、
C、 D、x2+x-1=x2
3．(2010年陕西西安)方程是关于的一元二次方程，则的值为（ ）
A、 B、 C、=-2 D、
4．(2010年武汉)一元二次方程，把二次项系数变为正数，且使方程的根不变的是（ ）
A、 B、 C、 D、
考察一元二次方程根的概念
1.(2010江苏苏州)若一元二次方程x2－(a+2)x+2a=0的两个实数根分别是3、b，则a+b= ．
2．（2010 河北）已知x = 1是一元二次方程的一个根，则 的值为 ．
3.（2010 广东珠海）已知x1=-1是方程的一个根，求m的值及方程的另一根x2。
考察一元二次方程解法
1．（2010四川眉山）一元二次方程的解为___________________．
2．（2010江苏无锡）方程的解是 ．
3．（2010年上海）方程 = x 的根是____________.
4．（2010湖南常德）方程的两根为( )
A． 6和-1 B．-6和1 C．-2和-3 D．2和3
5．（2010云南楚雄）一元二次方程x2－4＝0的解是（ ）
A．x1＝2，x2＝－2 B．x＝－2 C．x＝2 D． x1＝2，x2＝0
6．（2010河南）方程的根是
(A) (B)
(C) （D）
7．（2010四川内江）方程x(x－1)＝2的解是
A．x＝－1 B．x＝－2 C．x1＝1，x2＝－2　　　　　D．x1＝－1，x2＝2
8．(2010江苏苏州)解方程：．
考察一元二次方程判别式
1．（2010甘肃兰州） 已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是 ．
2．（2010 江苏连云港）若关于x的方程x2－mx＋3＝0有实数根，则m的值可以为___________．(任意给出一个符合条件的值即可)
3．（2010湖北荆门）如果方程ax2+2x+1=0有两个不等实数根，则实数a的取值范围是
4．（2010江苏苏州）下列四个说法中，正确的是
A．一元二次方程有实数根； B．一元二次方程有实数根；
C．一元二次方程有实数根； D．一元二次方程x2+4x+5=a(a≥1)有实数根．
5．（2010安徽芜湖）关于x的方程(a －5)x2－4x－1＝0有实数根，则a满足（）
A．a≥1 B．a＞1且a≠5 C．a≥1且a≠5 D．a≠5
6．（10湖南益阳）一元二次方程有两个不相等的实数根，则满足（ ）
Ａ．＝0 Ｂ．＞0
Ｃ．＜0 Ｄ．≥0
7．（2010年上海）已知一元二次方程 x2 + x ─ 1 = 0，下列判断正确的是（ ）
A.该方程有两个相等的实数根 B.该方程有两个不相等的实数根
C.该方程无实数根 D.该方程根的情况不确定
8．（2010山东潍坊）关于x的一元二次方程x2－6x＋2k＝0有两不等实根，则实数k的取值范围是（ ）．
A．k≤ B．k＜ C．k≥ D．k＞
9．（2010四川攀枝花）下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ）
A．x+1=0 B．9 x—6x+1=0 C．x—ｘ＋２＝０ D．x－２ｘ－２＝０
10．（2010北京）已知关于x的一元二次方程x -4x+m-1=0有两个相等实数根，求的m值及方程的根．
11．（2010广东中山）已知一元二次方程．
（1）若方程有两个实数根，求m的范围；
（2）若方程的两个实数根为，，且+3=3，求m的值。
12．（2010 四川成都）若关于的一元二次方程有两个实数根，求的取值范围及的非负整数值.
13．（2010年贵州毕节）已知关于的一元二次方程有两个实数根和．
（1）求实数的取值范围；
（2）当时，求的值．
14．（2010 四川南充）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围．
（2）请选择一个k的负整数值，并求出方程的根．
15．（2010广东广州，19，10分）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，求的值。
16．（2010 广西玉林、防城港）（6分）当实数k为何值时，关于x的方程x－4x＋3－k＝0有两个相等的实数根？并求出这两个相等的实数根。
考察一元二次方程根与系数关系
1．（2010安徽芜湖）已知x1、x2为方程x2＋3x＋1＝0的两实根，则x13＋8x2＋20＝__________．
2．（2010 四川成都）设，是一元二次方程的两个实数根，则的值为__________________．
3．（2010湖北鄂州）已知α、β是一元二次方程x2-4x-3=0的两实数根，则代数式（α-3）（β-3）= ．
4．（2010江苏南通）设x1、x2 是一元二次方程x2+4x－3=0的两个根， 2x1(x22+5x2－3)+a =2，则a= ．
5．（2010山东烟台）方程x2-2x-1=0的两个实数根分别为x1，x2，则（x1-1）（x1-1）=_________。
6．（2010四川 泸州）已知一元二次方程的两根为、,则_____________.
7．（2010 云南玉溪）一元二次方程x2-5x+6=0 的两根分别是x1,x2, 则x1+x2等于
　 A. 5 B. 6 C. -5 D. -6
8．（2010湖南娄底）阅读材料：
若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实根为x1、x2，则两根与方程系数之间有如下关系：
x1+x2= －，x1x2=
根据上述材料填空：
已知x1、x2是方程x2+4x+2=0的两个实数根，则 +=_________.
9．（2010广西百色）方程-1的两根之和等于 .
10．（2010山东日照）如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=2，x2=1，那么p，q的值分别是
（A）－3，2 （B）3，-2 （C）2，－3 （D）2，3
11．(2010四川眉山）已知方程的两个解分别为、，则的值为
A． B． C．7 D．3
12．（2010 嵊州市）已知是方程的两根，且，则的值等于 （ ）
A．－5 B.5 C.-9 D.9
13．（2010四川乐山）：若关于的一元二次方程有实数根．
求实数k的取值范围；
设，求t的最小值．
14．（2010 四川绵阳）已知关于x的一元二次方程x2 = 2（1－m）x－m2 的两实数根为x1，x2．
（1）求m的取值范围；
（2）设y = x1 + x2，当y取得最小值时，求相应m的值，并求出最小值
15．（2010 山东淄博）已知关于x的方程．
（1）若这个方程有实数根，求k的取值范围；
（2）若这个方程有一个根为1，求k的值；
（3）若以方程的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数的图象上，求满足条件的m的最小值．
实际应用
1. (2010年兰州市) 上海世博会的某纪念品原价168元，连续两次降价%后售价为128元. 下列所列方程中正确的是
A． B．
C． D．
2．（2009年铁岭市）为了美化环境，某市加大对绿化的投资．2007年用于绿化投资20万元，2009年用于绿化投资25万元，求这两年绿化投资的年平均增长率．设这两年绿化投资的年平均增长率为，根据题意所列方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2009年安徽）某市2008年国内生产总值（GDP）比2007年增长了12%，由于受到国际金融危机的影响，预计今年比2008年增长7%，若这两年GDP年平均增长率为x%，则x%满足的关系是………【 】
A． B．
C． D．
4（2009青海）在一幅长为80cm，宽为50cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图5所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为cm，那么满足的方程是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2009年甘肃庆阳）如图3，在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要551米2，则修建的路宽应为（　　）
A．1米 B．1.5米 C．2米 D．2.5米
6..(2009年鄂州)10、某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个.设该厂五、六月份 平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（ ）
A、 B．
C、50(1+2x)＝182 D．
7.（2009江西）为了让江西的山更绿、水更清，2008年省委、省政府提出了确保到2010年实现全省森林覆盖率达到63%的目标，已知2008年我省森林覆盖率为60.05%，设从2008年起我省森林覆盖率的年平均增长率为，则可列方程（ ）
A． B．
C． D．
8.(2009宁夏)．某旅游景点三月份共接待游客25万人次，五月份共接待游客64万人次，设每月的平均增长率为，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
9.（2009年兰州）2008年爆发的世界金融危机，是自上世纪三十年代以来世界最严重的一场金融危机。受金融危机的影响，某商品原价为200元，连续两次降价后售价为148元，下面所列方程正确的是
A． B．
C． D．
10．（2009山西省太原市）某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由3200元降到了2500元．设平均每月降价的百分率为，根据题意列出的方程是 ．
11.（2009年江苏省）某县2008年农民人均年收入为7 800元，计划到2010年，农民人均年收入达到9 100元．设人均年收入的平均增长率为，则可列方程 ．
12.某果农2006年的年收入为5万元，由于党的惠农政策的落实，2008年年收入增加到7.2万元，则平均每年的增长率是__________.
13.（2009年包头）将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是 cm2．
14.(2009年本溪)．由于甲型H1N1流感（起初叫猪流感）的影响，在一个月内猪肉价格两次大幅下降．由原来每斤16元下调到每斤9元，求平均每次下调的百分率是多少？设平均每次下调的百分率为，则根据题意可列方程为 ．
15．（2009临沂）某制药厂两年前生产1吨某种药品的成本是100万元，随着生产技术的进步，现在生产1吨这种药品的成本为81万元，．则这种药品的成本的年平均下降率为______________．
16．（2010安徽省中中考）在国家下身的宏观调控下，某市的商品房成交价由今年3月分的14000元/下降到5月分的12600元/
⑴问4、5两月平均每月降价的百分率是多少？（参考数据：）
⑵如果房价继续回落，按此降价的百分率，你预测到7月分该市的商品房成交均价是否会跌破10000元/？请说明理由。
17.(2010年浙江省绍兴市)某公司投资新建了一商场,共有商铺30间.据预测,当每间的年租金定为10万元时,可全部租出.每间的年租金每增加5 000元,少租出商铺1间.该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用1万元,未租出的商铺每间每年交各种费用5 000元.
（1）当每间商铺的年租金定为13万元时,能租出多少间？
（2）当每间商铺的年租金定为多少万元时,该公司的年收益（收益＝租金－各种费用）为275万元？
18.(2010年山东聊城)2009年我市实现国民生产总值为1376亿元，计划全市国民生产总值以后三年都以相同的增长率一实现，并且2011年全市国民生产总值要达到1726亿元．
（1）求全市国民生产总值的年平均增第率（精确到1%）
（2）求2010年至2012年全市三年可实现国民生产总值多少亿元？（精确到1亿元）
19（2009年包头）某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量（件）与销售单价（元）符合一次函数，且时，；时，．
（1）求一次函数的表达式；
（2）若该商场获得利润为元，试写出利润与销售单价之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？
（3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价的范围．
20. (2009年湖州)随着人民生活水平的不断提高，我市家庭轿车的拥有量逐年增加.据统计，某小区2006年底拥有家庭轿车64辆，2008年底家庭轿车的拥有量达到100辆.
若该小区2006年底到2009年底家庭轿车拥有量的年平均增长率都相同，求该小区到2009年底家庭轿车将达到多少辆？
为了缓解停车矛盾，该小区决定投资15万元再建造若干个停车位.据测算，建造费用分别为室内车位5000元/个，露天车位1000元/个，考虑到实际因素，计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍，但不超过室内车位的2.5倍，求该小区最多可建两种车位各多少个？试写出所有可能的方案.
21．（2009年中山）某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？
22.（2009年宁波市）2009年4月7日，国务院公布了《医药卫生体制改革近期重点实施方案（2009~2011年》，某市政府决定2009年投入6000万元用于改善医疗卫生服务，比2008年增加了1250万元．投入资金的服务对象包括“需方”（患者等）和“供方”（医疗卫生机构等），预计2009年投入“需方”的资金将比2008年提高30%，投入“供方”的资金将比2008年提高20%．
（1）该市政府2008年投入改善医疗卫生服务的资金是多少万元？
（2）该市政府2009年投入“需方”和“供方”的资金各多少万元？
（3）该市政府预计2011年将有7260万元投入改善医疗卫生服务，若从2009~2011年每年的资金投入按相同的增长率递增，求2009~2011年的年增长率．
23.(2009年潍坊)要对一块长60米、宽40米的矩形荒地进行绿化和硬化．
（1）设计方案如图①所示，矩形P、Q为两块绿地，其余为硬化路面，P、Q两块绿地周围的硬化路面宽都相等，并使两块绿地面积的和为矩形面积的，求P、Q两块绿地周围的硬化路面的宽．
（2）某同学有如下设想：设计绿化区域为相外切的两等圆，圆心分别为和，且到的距离与到的距离都相等，其余为硬化地面，如图②所示，这个设想是否成立？若成立，求出圆的半径；若不成立，说明理由．
24.已知m,n是一元二次方程的两个根，求的值
2011年全国各地中考数学真题分类汇编
一元二次方程
一、选择题
1. （2011湖北鄂州，11，3分）下列说法中
①一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，则这两个角相等
②数据5，2，7，1，2，4的中位数是3，众数是2
③等腰梯形既是中心对称图形，又是轴对称图形
④Rt△ABC中，∠C=90°，两直角边a，b分别是方程x2－7x＋7=0的两个根，则AB边上的中线长为
正确命题有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
2. （2011湖北荆州，9，3分）关于的方程有两个不相等的实根、，且有，则的值是
A．1　　B．－1　　　C．1或－1　　　D．　2　
【答案】B
3. （2011福建福州，7，4分）一元二次方程根的情况是（ ）
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根 D.没有实数根
【答案】A
4. （2011山东滨州，3，3分）某商品原售价289元,经过连续两次降价后售价为256元,设平均每次降价的百分率为x,则下面所列方程中正确的是( )
A. B.
C. 289(1-2x)=256 D.256(1-2x)=289
【答案】A
5. （2011山东威海，9，3分）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】D
6. （2011四川南充市，6，3分） 方程(x+1)(x－2)=x+1的解是（ ）
（A）2 （B）3 （C）－1，2 （D）－1，3
【答案】D
7. （2011浙江省嘉兴，2，4分）一元二次方程的解是（　 　）
（A） （B） （C）或 （D）或
【答案】C
8. （2011台湾台北，20）若一元二次方程式 的两根为0、2，则
之值为何？
A．2 　　　B．5 　　　C．7　　　 D． 8
【答案】B
9. （2011台湾台北，31）如图(十三)，将长方形ABCD分割成1个灰色长方形与148个面积相等的小正方形。
根据右图，若灰色长方形之长与宽的比为5：3，则：＝？
A．5：3 B．7：5 C．23：14 D．47：29
【答案】D
10．（2011台湾全区，31）关于方程式的两根，下列判断何者正确？
A．一根小于1，另一根大于3 B．一根小于－2，另一根大于2
C．两根都小于0 D．两根都大于2
【答案】A
11. （2011江西，6，3分）已知x=1是方程x2+bx-2=0的一个根，则方程的另一个根是（ ）
A.1 B.2 C.-2 D.-1
【答案】C
12. （2011福建泉州，4，3分）已知一元二次方程x2－4x+3=0两根为x1、x2, 则x1·x2=（　　）.
A. 4 B. 3 C. －4 D. －3
【答案】B
13. （2011甘肃兰州，1，4分）下列方程中是关于x的一元二次方程的是
A． B．
C． D．
【答案】C
14. （2011甘肃兰州，10，4分）用配方法解方程时，原方程应变形为
A． B． C． D．
【答案】C
15. （2011江苏苏州，8,3分）下列四个结论中，正确的是
A.方程x＋=－2有两个不相等的实数根
B.方程x＋=1有两个不相等的实数根
C.方程x＋=2有两个不相等的实数根
D.方程x＋=a（其中a为常数，且|a|>2）有两个不相等的实数根
【答案】D
16. （2011江苏泰州，3，3分）一元二次方程x2=2x的根是
A．x=2 B．x=0 C．x1=0, x2=2 D．x1=0, x2=－2
【答案】C
17. （2011山东济宁，5，3分）已知关于x的方程x 2＋bx＋a＝0有一个根是－a(a≠0)，则a－b的值为
A．－１ B．0
C．1 D．2
【答案】A
18. （2011山东潍坊，7，3分）关于x的方程的根的情况描述正确的是（ ）
A . k 为任何实数，方程都没有实数根
B . k 为任何实数，方程都有两个不相等的实数根
C . k 为任何实数，方程都有两个相等的实数根
D. 根据 k 的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种
【答案】B
19. （2011四川成都，6,3分）已知关于的一元二次方程有两个实数根，则下列关于判别式 的判断正确的是 C
(A) (B)
(C) (D)
【答案】C
20．（ 2011重庆江津， 9，4分）已知关于x的一元二次方程(a－1)x2－2x+1=0有两个不相等的实数根,则a的取值范围是( )
A.a<2 B,a>2 C.a<2且a≠1 D.a<－2·
【答案】C·
21. （2011江西南昌，6，3分）已知x=1是方程x2+bx-2=0的一个根，则方程的另一个根是（ ）
A.1 B.2 C.-2 D.-1
【答案】C
22. （2011江苏南通，7，3分）已知3是关于x的方程x2－5x＋c＝0的一个根，则这个方程的另一个根是
－2 B. 2 C. 5 D. 6
【答案】B
23. （2011四川绵阳12，3）若x1,x2(x1 ＜x2)是方程(x -a)(x-b) = 1(a < b)的两个根，则实数x1,x2,a,b的大小关系为
A．x1＜x2＜a＜b
B．x1＜a＜x2＜b
C．x1＜a＜b＜x2
D．a＜x1＜b＜x2
【答案】B
24. （2011四川凉山州，6，4分）某品牌服装原价173元，连续两次降价后售价价为127元，下面所列方程中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
25. （2011湖北武汉市，5，3分）若x1，x2是一元二次方程x2＋4x＋3=0的两个根，则x1x2的值是
A．4． B．3． C．－4． D．－3．
【答案】B
26. （2011湖北黄冈，11，3分）下列说法中
①一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，则这两个角相等
②数据5，2，7，1，2，4的中位数是3，众数是2
③等腰梯形既是中心对称图形，又是轴对称图形
④Rt△ABC中，∠C=90°，两直角边a，b分别是方程x2－7x＋7=0的两个根，则AB边上的中线长为
正确命题有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
27. （2011湖北黄石，9，3分）设一元二次方程（x-1）（x-2）=m(m>0)的两实根分别为α，β，则α，β满足
A. 1<α<β<2 B. 1<α<2 <β C. α<1<β<2 D.α<1且β>2
【答案】D
28. （2011安徽，8，4分）一元二次方程x（x－2）=2－x的根是（ ）
A．－1 B．2 C．1和2 D．－1和2
【答案】D
29. （2011湖南湘潭市，7，3分）一元二次方程的两根分别为
A. 3, －5 B. －3，－5 C. －3,5 D.3，5
【答案】D
30. （2011浙江省舟山，2，3分）一元二次方程的解是（　 　）
（A） （B） （C）或 （D）或
【答案】C
二、填空题
1. （2011江苏扬州，14,3分）某公司4月份的利润为160万元，要使6月份的利润达到250万元，则平均每月增长的百分率是
【答案】25%
2. （2011山东滨州，14，4分）若x=2是关于x的方程的一个根，则a 的值为______.
【答案】
3. （2011山东德州14,4分）若，是方程的两个根，则=__________．
【答案】3
4. （2011山东泰安，21 ，3分）方程2x2+5x-3=0的解是 。
【答案】x1= -3,x2=
5. （2011浙江衢州，11,4分）方程的解为 .
【答案】
6. （2011福建泉州，附加题1，5分）一元二次方程的解是
【答案】或
7. （2011甘肃兰州，19，4分）关于x的方程的解是x1=－2，x2=1（a，m，b均为常数，a≠0），则方程的解是 。
【答案】x1=－4，x2=－1
8. （2011广东株洲，13，3分）孔明同学在解一元二次方程x2-3x+c=0时，正确解得x1=1，x2=2，则c的值为 ．
【答案】2
9. （2011江苏苏州，15,3分）已知a、b是一元二次方程x2－2x－1=0的两个实数根，则代数式（a－b）（a＋b－2）＋ab的值等于________.
【答案】-1
10．（2011江苏宿迁,16,3分）如图，邻边不等的矩形花圃ABCD，它的一边AD利用已有的围墙，另外三边所围的栅栏的总长度是6m．若矩形的面积为4m2，则AB的长度是 ▲ m（可利用的围墙长度超过6m）．
【答案】1
11. （2011四川宜宾,12,3分）已知一元二次方程的两根为a、b，则的值是____________．
【答案】
12. （2011四川宜宾,15,3分）某城市居民最低生活保障在2009年是240元，经过连续两年的增加，到2011年提高到元，则该城市两年来最低生活保障的平均年增长率是_______________．
【答案】20%
13. （2011江苏淮安，13，3分）一元二次方程x2-4=0的解是 .
【答案】±2
14. （2011上海，9，4分）如果关于x的方程（m为常数）有两个相等实数根，那么m＝______．
【答案】1
15. （2011上海，14，4分）某小区2011年屋顶绿化面积为2000平方米，计划2012年屋顶绿化面积要达到2880平方米．如果每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是_________．
【答案】20%
16. (20011江苏镇江,12,2分)已知关于x的方程的一个根为2,则m=_____,另一根是_______.
答案：1，-3
17.
三、解答题
1. （2011安徽芜湖，20，8分）如图，用两段等长的铁丝恰好可以分别围成一个正五边形和一个正六边形，其中正五边形的边长为（）cm，正六边形的边长为（）cm.求这两段铁丝的总长.
【答案】
解: 由已知得，正五边形周长为5（）cm，正六边形周长为6（）cm.…2分
因为正五边形和正六边形的周长相等，所以. ………………3分
整理得, 配方得，解得(舍去).………6分
故正五边形的周长为(cm). …………………………………………7分
又因为两段铁丝等长，所以这两段铁丝的总长为420cm.
答：这两段铁丝的总长为420cm. ……………………………………………8分
2. （2011山东日照，20，8分）为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度．2011年市政府共投资2亿元人民币建设了廉租房8万平方米，预计到2012年底三年共累计投资9.5亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．
(1)求每年市政府投资的增长率；
(2)若这两年内的建设成本不变，求到2012年底共建设了多少万平方米廉租房．
【答案】（1）设每年市政府投资的增长率为x，
根据题意，得：2+2（1+x）+2（1+x）2=9.5，
整理，得：x2+3x-1.75=0， 解之，得：x=，
∴x1=0.5 x2=-0.35（舍去），答：每年市政府投资的增长率为50%；
（2）到2012年底共建廉租房面积=9.5÷（万平方米）．
3. （2011四川南充市，18，8分）关于的一元二次方程x2+2x+k+1=0的实数解是x1和x2。
（1）求k的取值范围；
（2）如果x1+x2－x1x2＜－1且k为整数，求k的值。
【答案】解：∵（1）方程有实数根 ∴⊿=22-4（k+1）≥0
解得 k≤0
K的取值范围是k≤0
（2）根据一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=-2, x1x2=k+1
x1+x2-x1x2=-2,+ k+1
由已知，得 -2,+ k+1＜-1 解得 k＞-2
又由（1）k≤0
∴ -2＜k≤0
∵ k为整数 ∴k的值为-1和0.
4. （2011浙江衢州，21,8分）某花圃用花盆培育某种花苗，经过实验发现每盆的盈利于每盆的株数构成一定的关系.每盆植入3株时，平均单株盈利3圆；以同样的栽培条件，若每盆没增加1株，平均单株盈利就减少0.5元.要使每盆的盈利达到10元，每盆应该植多少株？
小明的解法如下：
解：设每盆花苗增加株，则每盆花苗有株，平均单株盈利为元，由题意，
得.
化简，整理，的.
解这个方程，得
答：要使得每盆的盈利达到10元，每盆应该植入4株或5株.
本题涉及的主要数量有每盆花苗株数，平均单株盈利，每盆花苗的盈利等，请写出两个不同的等量关系：
请用一种与小明不相同的方法求解上述问题。
【答案】解：（1）平均单株盈利株数=每盆盈利
平均单株盈利=每盆增加的株数
每盆的株数=3+每盆增加的株数
（2）解法1（列表法）
平均植入株数 平均单株盈利（元） 每盆盈利（元）
3 3 9
4 2.5 10
5 2 10
6 1.5 9
7 1 7
… … …
答：要使每盆的盈利达到10元，每盆应该植入4株或5株。
解法2（图像法）
如图，纵轴表示平均单株盈利，横坐标表示株数，则相应长方形面积表示每一盆盈利.
从图像可知，每盆植入4株或5株时，相应长方形面积都是10.
答：要使每盆的盈利达到10元，每盆应该植入4株或5株。
解法3(函数法)
解：设每盆花苗增加株时，每盆盈利10元，根据题意，得
解这个方程，得
经验证，是所列方程的解.
答：要使每盆的盈利达到10元，每盆应该植入4株或5株。
5. （2011浙江义乌，19，6分）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元. 为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施. 经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出 2件．设每件商品降价x元. 据此规律，请回答：
（1）商场日销售量增加 ▲ 件，每件商品盈利 ▲ 元（用含x的代数式表示）；
（2）在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？
【答案】（1） 2x 50－x
（2）由题意得：（50－x）（30＋2x）=2100
化简得：x2－35x+300=0
解得：x1=15， x2=20
∵该商场为了尽快减少库存，则x=15不合题意，舍去. ∴x=20
答：每件商品降价20元，商场日盈利可达2100元.
6. （2011江苏苏州，22,6分）已知|a-1|+=0，求方程+bx=1的解.
【答案】解：由|a-1|+=0，得a=1，b=-2.
由方程-2x=1得2x2+x-1=0
解之，得x1=-1，x2=.
经检验，x1=-1，x2=是原方程的解.
7. （2011山东聊城，18，7分）解方程：
【答案】(x－2)(x＋1)＝0，解得x＝2或x＝－1
8. （2011四川广安，27，9分）广安市某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4860元的均价开盘销售。
（1）求平均每次下调的百分率。
（2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米80元，试问哪种方案更优惠？
【答案】解：（1）设平均每次下调的百分率x，则
6000（1－x）2=4860
解得：x1=0.1 x2=1.9（舍去）
∴平均每次下调的百分率10%
（2）方案①可优惠：4860×100×（1－0.98）=9720元
方案②可优惠：100×80=8000元
∴方案①更优惠
9. (2011江苏南京，19，6分)解方程x2－4x＋1=0
【答案】解法一：移项，得．
配方，得，
由此可得
，
解法二：
，
，．
10．（2011四川乐山23，10分）选做题：从甲、乙两题中选做一题，如果两题都做，只以甲题计分。
题甲：已知关于x的方程的两根为、，且满足.求的值。
【答案】
解：∵关于的方程有两根
∴
即：
∵
∴
解得
∵
∴
把代入，得：
题乙：如图（12），在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，AD=2，BC=BD=3，AC=4.
求证:AC⊥BD
求△AOB的面积
我选做的是 题
【答案】
⑴．证明：如图，过点D作DE∥BC交BC的延长线于点E
∵AD∥CE,AC∥DE
∴四边形ACED为平行四边形
∴DE=AC=4，CE=AD=2
∵在ΔBDE中，BD=3，DE=4，BE=BC+CE=5
∴
∴ΔBED为直角三角形且∠BDE=90°
∵AC∥DE
∴∠BOC=∠BDE=90°
即AC⊥BD
11. （2011江苏无锡，20(1)，4分）解方程：x2 + 4x 2 = 0；
【答案】解：(1)方法一：由原方程，得(x + 2)2 = 6 …………(2分)
x + 2 = ±，……………(3分)
∴x = 2 ±． ………………………………………………………(4分)
方法二：△ = 24，……(1分) x = ，……(3分)
∴x = 2 ±．………………(4分)
12. （2011湖北武汉市，17，6分）（本题满分6分）解方程：x2＋3x＋1=0．
【答案】 ∵a=1,b=3,c=1
∴△=b2－4ac=9－4×1×1＝5＞0
∴x=－3±
∴x1=－3＋ ，x2=－3－
13. （2011湖北襄阳，22，6分）
汽车产业是我市支柱产业之一，产量和效益逐年增加.据统计，2008年我市某种品牌汽车的年产量为6.4万辆，到2010年，该品牌汽车的年产量达到10万辆.若该品牌汽车年产量的年平均增长率从2008年开始五年内保持不变，则该品牌汽车2011年的年产量为多少万辆？
【答案】
设该品牌汽车年产量的年平均增长率为x，由题意得
2分
解之，得. 4分
∵，故舍去，∴x＝0.25＝25%. 5分
10×（1＋25%）＝12.5
答：2011年的年产量为12.5万辆. 6分
14. （2011山东东营，22，10分）(本题满分10分) 随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展，汽车已越来越多的进入普通家庭，成为居民消费新的增长点。据某市交通部门统计，2008年底全市汽车拥有量为15万辆，而截止到2010年底，全市的汽车拥有量已达21.6万辆。
求2008年底至2010年底该市汽车拥有量的年平均增长率；
（2）为了保护环境，缓解汽车拥堵状况，从2011年起，该市交通部门拟控制汽车总量，要求到2012年底全市汽车拥有量不超过23.196万辆；另据估计，该市从2011年起每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%。假定在这种情况下每年新增汽车数量相同，请你计算出该市每年新增汽车数量最多不能超过多少万辆。
【答案】解：（1）设该市汽车拥有量的年平均增长率为x，根据题意，得
解得（不合题意，舍去）
（2）设全市每年新增汽车数量为y万辆，则2011年底全市的汽车拥有量为（21.6×90%+y）万辆，2012年底全市的汽车拥有量为（（21.6×90%+y）×90%+y）万辆。
根据题意得：（21.6×90%+y）×90%+y≤23.196
解得y≤3
答:该市每年新增汽车数量最多不能超过3万辆。
15. (20011江苏镇江,26,7分)某商店以6元/千克的价格购进某干果1140千克,并对其起先筛选分成甲级干果与乙级干果后同时开始销售,这批干果销售结束后,店主从销售统计中发现:甲级干果与乙级干果在销售过程中每都有销售量,且在同一天卖完;甲级干果从开始销售至销售的第x天的总销售量(千
克)与x的关系为;乙级干果从开始销售至销售的第t天的总销售量(千克)与t的关系为,且乙级干果的前三天的销售量的情况见下表:
t 1 2 3
21 44 69
(1)求a、b的值.
(2)若甲级干果与乙级干果分别以元/千克和6元/千克的零售价出售,则卖完这批干果获得的毛利润为多少元
(3)此人第几天起乙级干果每 天的销售量比甲级干果每天的销售量至少多千克 (说明:毛利润=销售总金额-进货总金额.这批干果进货至卖完的过程中的损耗忽略不计.)
【答案】：（1）选取表中两组数据，求得a=1,b=20.
(2)甲级干果与乙级干果n天销完这批货。
则
即60n=1140,解之得n=19,
当n=19时，,=741.
毛利润=399×8+741×6-1140×6=798（元）
（3）第n天甲级干果的销售量为-2n+41,
第n天乙级干果的销售量为2n+19.
(2n+19)-(-2n+41)≥6
解之得n≥7.
16. （2011广东湛江26,12分）某工厂计划生产A,B两种产品共10件，其生产成本和利润如下表：
A种产品 B种产品
成本（万元/件） 2 5
利润（万元/件） 1 3
（1）若工厂计划获利14万元，问A,B两种产品应分别生产多少件？
（2）若工厂计划投入资金不多于44万元，且获利多于14万元，问工厂有哪几种生产方案？
（3）在（2）的条件下，哪种生产方案获利最大？并求出最大利润．
【答案】（1）设生产A种产品件，则生产B种产品有件，于是有
，解得，
所以应生产A种产品8件，B种产品2件；
（2）设应生产A种产品件，则生产B种产品有件，由题意有
，解得；
所以可以采用的方案有：
共6种方案；
（3）由已知可得，B产品生产越多，获利越大，所以当时可获得最大利润，其最大利润为万元。
17. （2010湖北孝感，22，10分）已知关于x的方程x2－2（k－1）x+k2=0有两个实数根x1，x2.
（1）求k的取值范围；（4分）
（2）若，求k的值. （6分）
【答案】解：（1）依题意，得即，解得.
（2）解法一：依题意，得.
以下分两种情况讨论：
①当时，则有，即
解得
∵
∴不合题意，舍去
②时，则有，即
解得
∵，∴
综合①、②可知k=﹣3.
解法二：依题意可知.
由（1）可知
∴，即
∴
解得
∵，∴
18. （2011湖北宜昌，22，10分）随着经济的发展，尹进所在的公司每年都在元月一次性的提高员工当年的月工资.尹进2008 年的月工资为2000 元，在2010 年时他的月工资增加到2420 元，他2011年的月工资按2008 到2010 年的月工资的平均增长率继续增长.
(1)尹进2o11年的月工资为多少
(2)尹进看了甲、乙两种工具书的单价，认为用自己2011年6 月份的月工资刚好购买若干本甲种工具书和一些乙种工具书，当他拿着选定的这些工具书去付书款时，发现自己计算书款时把这两种工具书的单价弄对换了，故实际付款比2o11年6月份的月工资少了242 元，于是他用这242 元又购买了甲、乙两种工具书各一本，并把购买的这两种工具书全部捐献给西部山区的学校.请问，尹进总共捐献了多少本工具书
【答案】解:（1）设尹进2008到2010年的月工资的平均增长率为x,则,2000（1＋x）2＝2420． (1分)
解 得 ，x1＝－2.1, x2＝0.1, (2分 )x1＝－2.1与题意不合，舍去.
∴尹进2011年的月工资为2420×(1＋0.1)=2662元. (3分)
（2）设甲工具书单价为m元，第一次选购y本.设乙工具书单价为n元，第一次选购z本.则由题意， 可列方程:
m＋n＝242， ① (4分)
ny＋mz＝2662， ② (6分)
my＋nz＝2662－242． ③ (7分)(②,③任意列对一个给2分;②,③全对也只给3分)
由②＋③，整理得，（m＋n）（y＋z）＝2×2662－242， (8分)
由①,∴242（y＋z）＝2×2662－242，∴ y＋z＝22－1＝21．(9分)
答：尹进捐出的这两种工具书总共有23本.(10分) (只要得出23本，即评1分)
图5