2012年中考数学专题复习(二)圆
图片预览
文档简介
专题二：圆
知识要点扫描归纳
一 圆的基本概念
（1）圆的定义：在平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。定点叫做圆心，定长叫半径。
（2）确定圆的条件；
①已知圆心和半径，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；
②不在同一条直线上的三点确定一个圆；
③已知圆的直径的位置和长度可确定一个圆；
（3）点和圆的位置关系 设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则点与圆的位置关系有三种。
①点在圆外d＞r； ②点在圆上d=r； ③点在圆内 d＜r；
（4）弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直线。直径是圆中最大的弦。圆心到弦的距离叫做弦心距。
（5）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。弧分为半圆，优弧、劣弧三种。
（6）等圆、等弧：能够重合的两个圆叫做等圆。同圆或等圆的半径相等。在同圆或等圆中，能够互相重合的两条弧叫做等弧。
（7） 圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。圆心是它的对称中心。圆绕圆心旋转任何角度，都能够与原来的图形重合，因此圆还具有旋转不变性。
二 圆中的重要定理
1．垂径定理及其推论：
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧．
推论1：一条直线，如果具有①过圆心；②垂直于弦；③平分弦（非直径）；④平分弦所对的劣弧；⑤平分弦所对的优弧．这五个性质中的任何两个性质这条直线就具有其余的三条性质．
推论2：圆的平行弦所夹的弧相等．
2．圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系、定理及推论．
在同圆或等圆中，四组量：①两个圆心角；②两条弧；③两条弦；④两条弦心距．其中任一组量相等，则其余三组量也分别相等．即在同圆或等圆中：
圆心角相等
3．圆周角
①定义：顶点在圆上，且两边与圆相交的角．
②定理及推论
定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90o的圆周角所对的弦是直径．
推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
推论4：圆内接四边形定理：圆的内接四边形对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角．
三、直线和圆的位置关系：
1．直线和圆的位置关系的定义及有关概念
（1）直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交（图1），这时直线叫圆的割线．
（2）直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切（图2）
这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点．
（3）直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离（图3）
2．直线和圆的位置关系性质和判定
如果⊙O的半径，圆心O割直线的距离为，那么（1）直线和⊙O相交（图
1）；（2）直线和⊙O相切（图2）；（3）直线和⊙O相离（图3）．
四、切线的判定和性质：
（一）切线的判定
1．切线判定定理：经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；
2．和圆心距离等于半径的直线是圆的切线；
3．经过半径外端点且与半径垂直的直线是圆的切线．
（二）切线的性质
1．切线的性质定理，圆的切线垂直于经过切点的半径；
推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；
推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
2．切线的性质：
（1）切线和圆只有一个公共点；
（2）切线和圆心的距离等于圆的半径；
（3）切线垂直于过切点的半径；
（4）经过圆心垂直于切线的直线过切点；
（5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心．
五、三角形的内切圆
1．三角形的外接圆
过三角形三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆，三条边中垂线的交点，叫做三角形的外心。三角形的外心到各顶点的距离相等．
2．外心的位置
锐角三角形的外心在三角形内部，钝角三角形的外心在三角形的外部，直角三角形的外心在斜边中点，外接圆半径(C为斜边长)
3．三角形的内切圆
到三角形三条边距离都相等的圆，叫三角形的内切圆，三角形中，三个内角平分线的交点，叫三角形的内心，三角形内心到三条边的距离相等，内心都在三角形的内部．若三角形的面积为，周长为a+b+c,则内切圆半径为:，当为直角三角形的直角边，为斜边时，内切圆半径或.
4．圆内接四边形的性质
（1）圆内接四边形的对角互补；
（2）圆内接四边形的任何一个外角等于它的对角．
注意：①圆内接平行四边形为矩形；②圆内接梯形为等腰梯形．
六、切线长定理：
1．切线长概念：
在经过圆外一点的切线上，这点和切点之间的线段的R，叫做这点到圆的切线长．
2．切线长和切线的区别
切线是直线，不可度量；而切线长是切线上一条线段的长，而圆外一已知点到切点之间的距离，可以度量．
3．切线长定理：
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．
要注意：此定理包含两个结论，如图，PA、PB切⊙O于A、B两点，①PA=PB②PO平分．
4．两个结论：
圆的外切四边形对边和相等；
圆的外切等腰梯形的中位线等于腰长．
七、弦切角定理：
1．弦切角概念：
理解体弦切角要注意两点：①角的顶点在圆上；②角的一边是过切点的弦，角的边一边是以切点为端点的一条射线．
2．弦切角定理：
弦切角等于它所夹的弦对的圆周角，该定理也可以这样说：弦切角的度数等于它所夹弧的度数的一半．
3．弦切角定理的推论：
推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角相等．
八 与比例线段相关的定理（了解）
1．相交弦定理及其推论：
（1）定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．
如图，AB，CD相交余E，则AE·EB=CE·DE
（2），推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成
的两条线段的比例中项．如上右图，有AE·EB=CE成立
2，切割线定理及其推论
定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆
交点的两条线段长的比例中项． 如上左图，PT切⊙O,PAB是⊙O的一条
割线，则有PT=PA·PB成立．
推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点
的两条线段长的积相等．
如上右图，有PA·PB=PC·PD成立．
九 圆中的相关计算
弧长公式：半径为R的圆，其周长是，将圆周分成360份，每一份弧就是1o的弧，1o弧的弧长应是圆周长的，而为，因此，的弧的弧长就是，于是得到公式：。
（1）扇形的定义：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径组成的图形叫做扇形（如图）。
（2）扇形的周长：
（3）扇形的面积：如图，阴影部分的面积即为扇形OAB的面积。
S扇形=
由上面两公式可知S扇形=．可据已知条件灵活选用公式。
弓形的面积
（1）由弦及其所对的劣弧组成的图形，S弓形=S扇形-S△OAB。
（2）由弦及其所对的优弧组成的弓形，S弓形=S扇形+S△OAB。
十．两圆的位置关系：
1 圆与圆的位置关系
外 离 外 切 相 交 内 切 内 含
图形
公共点 0个 1个 2个 1个 0个
d、r、R的关系 d>R+r d=R+r R-r外公切线 2条 2条 2条 1条 0条
内公切线 2条 1条 0条 0条 0条
2．两圆连心线的性质
（1）如果两圆相切,那么切点位于这两个圆的连心线上．
（2）相交两圆的连心线垂直平分这两个圆的公共弦．
3．两圆的公切线
（1）与两圆都相切的直线,叫做这两个圆的公切线,两个圆在公切线的同旁时,这条公切线叫做这两个圆的外公切线;两个圆在公切线的两旁时,这条公切线叫做这两个圆的内公切线;公切线上两个切点间的距离,叫做这条公切线(段)的长;
（2）两圆的两条外公切线长相等;
（3）两圆的两条内公切线长相等，且交点位于这两个圆的连心线上；
（4）两圆相切可以运用于弧与弧的平浓连接．
考点扫描归纳
1 角度的计算
1．（2010年山东省青岛市）如图，点A、B、C在⊙O上，若∠BAC = 24°，则∠BOC = °．
2、(2010年安徽省B卷)13．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(图中的弧)，点O是这段弧的圆心，C是弧AB上一点，OC⊥AB，垂足为D， AB=300m，CD=50m，则这段弯路的半径是 m．
3、（2010福建德化）如图，点B、C在⊙上，且BO=BC，则圆周角等于（ ）
A． B． C． D．
第2题图 第3题图
4．(2010年北京崇文) 是圆O的直径，是圆O的弦，=48,则= ．
5．（2010年门头沟区）如图，于，若，则 度．
第4题图
6.（2010年重庆潼南县）如图，已知AB为⊙O的直径，点C在⊙O上,∠C=15°,则∠BOC的度数为（ ）
A．15° B. 30° C. 45° D．60°
7. (2010年兰州市) 有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有
A．4个 B．3个 C． 2个 D． 1个
8. （2010年安徽中考） 如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，∠ACB＝500，点D是BAC上一点，则∠D＝_______________
第8题 第9题 第10题
9．(2010重庆市)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若∠ABC＝70°，则∠AOC的度数等于（ ）
A．140° B．130° C．120° D．110°
10.（2010年四川省眉山市）如图，∠A是⊙O的圆周角，∠A=40°，则∠OBC的度数为_______．
11.（2010年福建省晋江市）如图， 、、是⊙上的三点，且是优弧上与点、点不同的一点，若是直角三角形，则必是( ) .
A.等腰三角形 B.锐角三角形
C.有一个角是的三角形 D.有一个角是的三角形
12.(2010年浙江省绍兴市)如图,⊙O是正三角形的外接圆,点在劣弧上,=22°,则的度数为_____________.
13.（2010年宁德市）如图，在⊙O中，∠ACB＝34°，则∠AOB的度数是（ ）．
A.17° B.34° C.56° D.68°
14．（2010年山东省青岛市）如图，点A、B、C在⊙O上，若∠BAC = 24°，则∠BOC = °．
15．（2010江苏泰州，18，3分）如图⊙O的半径为1cm，弦AB、CD的长度分别为，则弦AC、BD所夹的锐角＝ ．
第15题图 第16题图
16．(2010年安徽芜湖市)如图所示，在圆⊙O内有折线OABC，其中OA＝8，AB＝12，∠A＝∠B＝60°，则BC的长为（）
A．19 B．16 C．18 D．20
17．（2010浙江省喜嘉兴市）如图，A、B、C是⊙O上的三点，已知∠O＝60 ，则∠C＝（ ）
A．20 B．25 C．30 D．45
18.(2010年浙江省金华). 如图，△ABC内接于⊙O，∠A=40°，则∠BOC的度数为（ ）
A. 20° B. 40°
C. 60° D. 80°
19. (2010年兰州市) 将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在
半圆上．点A、B的读数分别为86°、30°，则∠ACB的大小为
A．15 B．28 C．29 D．34
( http: / / )
20. (2010年兰州市)（本题满分6分）小明家的房前有一块矩形的空地，
空地上有三棵树A、B、C，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛
的边上．
（1）（本小题满分4分）请你帮小明把花坛的位置画出来（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
（2）（本小题满分2分））若△ABC中AB=8米，AC=6米，∠BAC=，试求小明家圆形花坛的面积．
21（2010江苏宿迁）（本题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，每个小方格的边长为1个单位长度．在第一象限内有横、纵坐标均为整数的A、B两点，且OA= OB=．
（1）写出A、B两点的坐标；
（2）画出线段AB绕点O旋转一周所形成的图形，并求其面积（结果保留π）．
22．（2010江西）如图，以点P为圆心的圆弧与X轴交于A，B；两点，点P的坐标为（4，2）点A的坐标为（2，0）则点B的坐标为 ．
第21题图
2 垂径定理的相关计算与证明
1.（2010年台湾省）如图(1)，AB为圆O的直径，C、D两点均在圆上，其中OD
与AC交于E点，且ODAC。若OE=4，ED=2，则BC长度为
(A) 6 (B) 7 (C) 8 (D) 9 。
2（2010年毕节地区）如图，AB为⊙O的弦，⊙O的半径为5，OC⊥AB于点D，
交⊙O于点C，且CD＝l，则弦AB的长是 ．
3(2010年浙江绍兴)已知⊙O的半径为5,弦AB的弦心距为3,则AB的长是( )
A.3 B.4 C.6 D.8
4.(2010年浙江省绍兴市)如图,已知△ABC,分别以A,C为圆心,BC,AB长为半径画弧,两弧在直线BC上方交于点D,连结AD,CD.则有( )
A.∠ADC与∠BAD相等
B.∠ADC与∠BAD互补
C.∠ADC与∠ABC互补
D.∠ADC与∠ABC互余
5（2010年宁德市）如图，在直径AB＝12的⊙O中，弦CD⊥AB于M，且M是半径OB的中点，则弦CD的长是_______（结果保留根号）.
6.(2010年聊城冠县实验中学二模)如下图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为（ ）
A．2cm B．cm C．cm D．cm
7.（2010年广西桂林适应训练）如图，圆弧形桥拱的跨度AB＝12米，拱高CD＝4米，则拱桥的半径为（ ）．
A.6.5米 B.9米 C.13米 D.15米
8.（2010年广州市中考六模）、如图：AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB＝10， CD＝8，那么AE的长为 .
9.（2010年 河南模拟）如图，是一张电脑光盘的表面，两个圆心都是O,大圆的弦AB所在的直线是小圆的切线，切点为C，已知大圆的半径为5cm，小圆的半径为1cm，则弦AB的长是多少？
10（2010日照市）．(本题满分10分)如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC与E，交BC与D．求证：
（1）D是BC的中点；
（2）△BEC∽△ADC；
（3）BC2=2AB·CE．
11（2010珠海）21.如图，△ABC内接于⊙O，AB＝6,AC＝4,D是AB边上一点，P是优弧BAC的中点，连结PA、PB、PC、PD.
(1)当BD的长度为多少时，△PAD是以AD为底边的等腰三角形？并证明；
（2）若cos∠PCB=，求PA的长.
12．（2010年山东省济宁市）如图，为外接圆的直径，，垂足为点，的平分线交于点，连接，.
(1) 求证：；
(2) 请判断，，三点是否在以为圆心，以为半径的圆上？并说明理由.
13、（2010年宁波）如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，弦DF与半径OB相交于点P，连结EF、EO，若，。
（1）求⊙O的半径;
（2）求图中阴影部分的面积。
3 圆与多边形
1.（2010年山东省济南市）如图，正六边形螺帽的边长是2cm，这个扳手的开口a的值应是（ ）
A． cm B．cm
C． cm D．1cm
2. （2010年台湾省）如图(2)，有一圆内接正八边形ABCDEFGH，若△ADE
的面积为10，则正八边形ABCDEFGH的面积为
(A) 40 (B) 50
(C) 60 (D) 80 。
3（2010年毕节地区）如图,两正方形彼此相邻且内接于半圆,若小正方形的面积为
16cm2,则该半圆的半径为（ ）
A. cm B. 9 cm
C. cm D. cm
4. (2010年兰州市)如图，正三角形的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为
A． B． C． D．
5．(2010年安徽省芜湖市)一个正多边形的每个外角都是36°，这个正多边形的边数是__________．
6．（2010山东德州）粉笔是校园中最常见的必备品．图1是一盒刚打开的六角形粉笔，总支数为50支．图2是它的横截面（矩形ABCD），已知每支粉笔的直径为12mm，由此估算矩形ABCD的周长约为_______ mm．(，结果精确到1 mm)
7．（2010浙江省喜嘉兴市）如图，已知⊙O的半径为1，PQ是⊙O的直径，n个相同的正三角形沿PQ排成一列，所有正三角形都关于PQ对称，其中第一个△A1B1C1的顶点A1与点P重合，第二个△A2B2C2的顶点A2是B1C1与PQ的交点，…，最后一个△AnBnCn的顶点Bn、Cn在圆上．
（1）如图1，当n＝1时，求正三角形的边长a1；
（2）如图2，当n＝2时，求正三角形的边长a2；
（3）如题图，求正三角形的边长an （用含n的代数式表示）．
4 弧长与面积的相关计算
1．（2010年福建省晋江市）已知圆锥的高是，母线长是，则圆锥的侧面积是 .
2、（2010福建德化）已知圆锥的底面半径是3cm，母线长为6cm，则侧面积为________cm2．（结果保留π）
3、已知圆锥的底面半径为3，侧面积为15，则这个圆锥的高为 ▲
4.（2010年台湾省）如图(十三)，扇形AOB中，=10， AOB=36。若固定B点，将此扇形依
顺时针方向旋转，得一新扇形A’O’B， 其中A点在上，
如图(十四)所示， 则O点旋转至O’点所经过的轨迹长度为
(A) (B) 2
(C) 3 (D) 4 。
5.(2010福建泉州市惠安县)已知圆锥的底面半径是3，母线长是4，则圆锥的侧面积是 .
6. (2010年兰州市) 现有一个圆心角为，半径为的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计）.该圆锥底面圆的半径为
A． B． C． D．
7.（2010年广东省广州市）一个扇形的圆心角为90°．半径为2，则这个扇形的弧长为________． (结果保留)
8.（2010年四川省眉山市）已知圆锥的底面半径为4cm，高为3cm，则这个圆锥的侧面积为__________cm2．
9.（2010年福建省晋江市）已知圆锥的高是，母线长是，则圆锥的侧面积是 .
10. (2010年浙江省绍兴市)水管的外部需要包扎,包扎时用带子缠绕在管道外部.若要使带子全部包住管道且不重叠（不考虑管道两端的情况）,需计算带子的缠绕角度（指缠绕中将部分带子拉成图中所示的平面ABCD时的∠ABC,其中AB为管道侧面母线的一部分）.若带子宽度为1,水管直径为2,则的余弦值为 .
11．（2010江苏泰州，12，3分）已知扇形的圆心角为120°，半径为15cm，则扇形的弧长为 cm（结果保留）．
12．（2010年山东省济宁市）如图，如果从半径为9cm的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为
A．6cm B．cm C．8cm D．cm
13.（2010珠海）如图，⊙O的半径等于1，弦AB和半径OC互相平分于点M.求扇形OACB的面积（结果保留π）
14、 (2010年滨州) (本题满分8分)如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且AB=12，BC=6．
(1) 求的值；
(2)如果OD⊥AC，垂足为D，求AD的长；
(3)求图中较大阴影部分的面积是较小阴影部分的面积的几倍(精确到0.1) ．
15．（2010年浙江台州市）如图，菱形ABCD中，AB=2 ，
∠C=60°,菱形ABCD在直线l上向右作无滑动的翻滚，
每绕着一个顶点旋转60°叫一次操作，则经过36次这
样的操作菱形中心O所经过的路径总长为 ．(结果保留π)
16.（2010年山东省济南市）如图，四边形OABC为菱形，点
B、C在以点O为圆心的上，若OA=1，∠1=∠2，
则扇形OEF的面积为 （ ）
A. B. C. D.
17.（2010年浙江省东阳市）在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，的三个顶点 都在格点上（每个小方格的顶点叫格点）．
（1）如果建立直角坐标系，使点B的坐标为（－5，2），点C的坐标为（－2，2），则点A的坐标为 ▲ ；
(2) 画出绕点Ｐ顺时针旋转后的△Ａ１Ｂ１Ｃ１，并求线段BC扫过的面积.
18、（2010年门头沟区）．如图，有一块半圆形钢板，直径AB=20cm，计划将此钢板切割成下底为AB的等腰梯形，上底CD的端点在圆周上，且CD=10cm．求图中阴影部分的面积.
19. （2010年福建省晋江市）已知：如图，有一块含的直角三角板的直角边长的长恰与另一块等腰直角三角板的斜边的长相等，把该套三角板放置在平面直角坐标系中，且.
(1)若双曲线的一个分支恰好经过点，求双曲线的解析式；
(2)若把含的直角三角板绕点按顺时针方向旋转后，斜边恰好与轴重叠，点落在点，试求图中阴影部分的面积(结果保留).
.
20（2010辽宁省丹东市）．如图，已知在⊙O中，AB=4，AC是⊙O的直径，AC⊥BD于F，∠A=30°．
（1）求图中阴影部分的面积；
（2）若用阴影扇形OBD围成一个圆锥侧面，请求出这个圆锥的底面圆的半径．
5切线的性质与判定
1（宣武一模）.已知：如图，⊙O是的外接圆，为⊙O直径，且于点，于点
（1）求证：是⊙O的切线；
（2）当，时，求的长。
2.（崇文一模）如图，AB是半圆⊙O的直径，过点O作弦AD的垂线交半圆⊙O于点E，交AC于点C，使
（1）判断直线AC与圆O的位置关系，并证明你的结论。
（2）若，，求AD的长。
3．(延庆一模)如图，为⊙的直径，平分交⊙于点，
的延长线于点，交的延长
线于点，
（1）求证：是⊙的切线；
（2）若⊙的半径为5，求的长．
4(西城一模)．如图，内接于，．点在上，于点，与交于点，点在的延长线上，．
（1）求证：是的切线；（2）若，，求的长．
5．(顺义一模)如图，⊙O的直径AB=4，C、D为圆周上两点，且四边形OBCD是菱形，过点D的直线EF∥AC，交BA、BC的延长线于点E、F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）求DE的长．
6(门头沟一模). 已知：如图，BE是⊙O的直径，CB与⊙O相切于点B，OC∥DE交⊙O于点D，CD的延长线与BE的延长线交于A点.
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若AD＝4，CD＝6，求tan∠ADE的值.
7(丰台一模)．已知：如图，AB为⊙O的直径，⊙O过AC的中点D，DE⊥BC于点E．
（1）求证：DE为⊙O的切线；
（2）若DE=2，，求⊙O的直径．
8(石景山一模)．已知：如图，为⊙的直径，弦,切⊙于,联结．
（1）判断是否为⊙的切线，若是请证明；若不是请说明理由．
（2）若,,求⊙的半径．
9(房山一模)． 已知：如图，在△ABC中，AB=BC，D是AC中点，BE平分∠ABD交AC于点E，点O是AB上一点，⊙O过B、E两点, 交BD于点G，交AB于点F．
（1）求证：AC与⊙O相切；
（2）当BD=2，时，求⊙O的半径．
10(平谷一模). 已知，如图，直线MN交⊙O于A,B两点，AC是直径，AD平分CAM交⊙O于D，过D作DE⊥MN于E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若cm，cm，求⊙O的半径.
11(大兴一模)．如图7，已知是⊙O的直径，⊙O过的中点，且．
（1）求证：是⊙O的切线；
（2）若，，求⊙O的半径．
12(密云一模)．如图，等腰三角形ABC中，AC＝BC＝6，AB＝8．以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，DF⊥AC，垂足为F，交CB的延长线于点E．
（1）求证：直线EF是⊙O的切线；
（2）求sin∠E的值．
13(通州一模)．如图，平行四边形ABCD中，以A为圆心，AB为半径的圆交AD于F，交BC于G，延长BA交圆于E.
（1）若ED与⊙A相切，试判断GD与
⊙A的位置关系，并证明你的结论；
（2）在（1）的条件不变的情况下，若
GC＝CD＝5，求AD的长.
14(海淀一模). 已知：如图，⊙O为的外接圆，为⊙O的直径，作射线，使得平分，过点作于点.
(1)求证：为⊙O的切线；
(2)若，，求⊙O的半径.
15(昌平一模)．已知：如图，点是⊙的直径延长线上一点，点在⊙上，且
（1）求证：是⊙的切线；
（2）若点是劣弧上一点，与相交
于点，且，，
求⊙的半径长.
16(朝阳一模)．如图，点B、C、D都在⊙O上，过点C作AC∥BD交OB延长线于点A，连接CD，
且∠CDB=∠OBD=30°，DB=6cm．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）求⊙O的半径长；
（3）求由弦CD、BD与弧BC所围成的阴影部分的面积
（结果保留）．
17(东城一模)．如图，在⊙O中，AB是直径，AD是弦，∠ADE = 60°，∠C = 30°．
（1）判断直线CD是否为⊙O的切线，并说明理由；
（2）若CD = ，求BC的长．
18（2010年毕节地区）（本题12分）如图，已知CD是△ABC中AB边上的高，以CD为直径的⊙O分别交CA、CB于点E、F，点G是AD的中点．求证：GE是⊙O的切线．
6点与圆，直线与圆，圆和圆的位置关系的判定
1、（2010年浙江省东阳县）已知相内含的两圆半径为6和2，则两圆的圆心距是（ ）
A、8 B、 4 C、2 D 5
2.（2010年山东省济南市）已知两圆的半径分别是3和2，圆心的坐标分别是（0，2）和（0，-4），那么两圆的位置关系是 （ ）
A.内含 B.相交 C.相切 D.外离
3、（2010年宁波）两圆的半径分别为3和5，圆心距为7，则两圆的位置关系是（ ）
A、内切 B、相交 C、外切 D、外离
4．(2010年山东聊城)，小圆的圆心在原点，半径为3，大圆的心坐标为（a，0）
半径为5．如果两圆内含，那么a的取值范围是______________.
5、（2010年宁波市）两圆的半径分别为3和5，圆心距为7，则两圆的位置关系是（ ）
A、内切 B、相交 C、外切 D、外离
6. (2010年兰州市) 已知两圆的半径R、r分别为方程的两根，两圆的圆心距为1，两圆的位置关系是
A．外离 B．内切 C．相交 D．外切
7.（2010年四川省眉山市）⊙O1的半径为3cm，⊙O2的半径为5cm，圆心距O1O2=2cm，这两圆的位置关系是
A．外切 B．相交 C．内切 D．内含
8. (2010年浙江省绍兴市)如图为某机械装置的截面图,相切的两圆⊙O1,
⊙O2均与⊙O的弧AB相切,且O1O2∥l1( l1为水
平线)，⊙O1,⊙O2的半径均为30 mm,弧AB的
最低点到l1的距离为30 mm,公切线l2与l1间的
距离为100 mm.则⊙O的半径为( )
A.70 mm B.80 mm
C.85 mm D.100 mm
9．（2010江苏泰州，16，3分）如图在的网格图（每个小正方形的边长均为1个单位长度）中，⊙A的半径为2个单位长度，⊙B的半径为1个单位长度，要使运动的⊙B与静止的⊙A内切，应将⊙B由图示位置向左平移 个单位长度．
10 (2010年浙江省金华). 如果半径为3cm的⊙O1与半径为4cm的⊙O2
内切，那么两圆的圆心距O1O2＝ cm.
11. （2010年益阳市）如图5，分别以A、B为圆心，线段AB的长
为半径的两个圆相交于C、D两点，则∠CAD的度数为 ．
12．（2010年门头沟区）如图，已知⊙是以数轴的原点为圆心，半径
为1的圆， ,点在数轴上运动，若过点且与平行的
直线与⊙有公共点, 设，则的取值范围是
A．－1≤≤1 B．≤≤ C．0≤≤ D．＞
13、（2010年宁波）如图，已知⊙P的半径为2，圆心P在抛物线
上运动，当⊙P与轴相切时，圆心P的坐标为___________。
14（2010年重庆市潼南县） 如图，在矩形ABCD中，AB=6 ， BC=4， ⊙O是
以AB为直径的圆，则直线DC与⊙O的位置关系是 .
15．(2010重庆市)已知⊙O的半径为3cm，圆心O到直线l的距离是4cm，则直线l与⊙O的位置关系是_____________.
15．（2010年山东省青岛市）如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，
∠B = 30°，BC = 4 cm，以点C为圆心，以2 cm的长为半径作圆，
则⊙C与AB的位置关系是（ ）．
A．相离 B．相切
C．相交 D．相切或相交
16．（2010山东德州）已知三角形的三边长分别为3,4,5，则它的边与半径为1的圆的公共点个数所有可能的情况是
(A)0，1，2，3 (B)0，1，2，4 (C)0，1，2，3，4 (D)0，1，2，4，5
17（2010年四川省眉山）下列命题中，真命题是
A．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
B．等腰梯形既是轴对称图形又是中心对称图形
C．圆的切线垂直于经过切点的半径
D．垂直于同一直线的两条直线互相垂直
18．（2010江西）“6”字形图中，FM是大圆的直径，BC与大圆相切于B，OB与小圆相交于A，BC∥AD，CD∥BＨ∥ＦＭ，BC∥DG，ＤＨ∥ＢＨ于H，设，
（１）求证：AD是小圆的切线；
（２）在图中找出一个可用表示的角，并说明你这样表示的理由；
（３）当，求DH的长
7 圆中综合题目
1．（2010广东广州，24，14分）如图，⊙O的半径为1，点P是⊙O上一点，弦AB垂直平分线段OP，点D是弧APB上任一点（与端点A、B不重合），DE⊥AB于点E，以点D为圆心、DE长为半径作⊙D，分别过点A、B作⊙D的切线，两条切线相交于点C．
（1）求弦AB的长；
（2）判断∠ACB是否为定值，若是，求出∠ACB的大小；否则，请说明理由；
（3）记△ABC的面积为S，若＝4，求△ABC的周长.
2.（2010年浙江湖州）如图，已知在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，P是线段AD边上的任意一点（不含端点A、D），连结PC， 过点P作PE⊥PC交AB于E
（1）在线段AD上是否存在不同于P的点Q，使得QC⊥QE？若存在，求线段AP与AQ之间的数量关系；若不存在，请说明理由；
（2）当点P在AD上运动时，对应的点E也随之在AB上运动，求BE的取值范围．
3．（2010年福建泉州）如图所示，已知抛物线的图象与轴相交于点，点在该抛物线图象上，且以为直径的⊙恰好经过顶点.
（1）求的值;（2）求点的坐标；
（3）若点的纵坐标为，且点在该抛物线的对称轴上运动，试探索：
①当时，求的取值范围（其中：为△的面积，为△的面积，为四边
形OACB的面积）；
②当取何值时，点在⊙上.（写出的值即可）
4．（2010年福建福州）如图1，在平面直角坐标系中，点B在直线上，过点B作轴的垂线，垂足为A，OA=5。若抛物线过点O、A两点。
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若A点关于直线的对称点为C，判断点C是否在该抛物线上，并说明理由；
（3）如图2，在（2）的条件下，⊙O1是以BC为直径的圆。过原点O作O1的切线OP，P为切点（P与点C不重合），抛物线上是否存在点Q，使得以PQ为直径的圆与O1相切？若存在，求出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由。
5.（2010年云南楚雄州）已知：如图，⊙A与轴交于C、D两点，圆心A的坐标为（1，0），
⊙A的半径为，过点C作⊙A的切线交于点B（－4，0）。
（1）求切线BC的解析式；
（2）若点P是第一象限内⊙A上一点，过点P作⊙A的切线与直线BC相交于点G，且∠CGP=120°，求点G的坐标；
（3）向左移动⊙A（圆心A始终保持在上），与直线BC交于E、F，在移动过程中是否存在点A，使得△AEF是直角三角形？若存在，求出点A 的坐标，若不存在，请说明理由。
6.（2010年湖北十堰）如图，已知⊙O1与⊙O2都过点A，AO1是⊙O2的切线，⊙O1交O1O2于点B，连结AB并延长交⊙O2于点C，连结O2C.
（1）求证：O2C⊥O1O2；
（2）证明：AB·BC=2O2B·BO1；
（3）如果AB·BC=12，O2C=4，求AO1的长.
7.(2010年上海市)如图9，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°.半径为1的圆A与边AB相交于点D，与边AC相交于点E，连结DE并延长，与线段BC的延长线交于点P.
（1）当∠B＝30°时，连结AP，若△AEP与△BDP相似，求CE的长；
（2）若CE=2，BD=BC，求∠BPD的正切值；
（3）若，设CE=x，△ABC的周长为y，求y关于x的函数关系式.
图9 图10(备用) 图11(备用)
8.(2010年山东日照)如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC与E，交BC与D．求证：
（1）D是BC的中点；
（2）△BEC∽△ADC；
（3）BC2=2AB·CE．
9.(2010年江苏泰州)如图，⊙O是O为圆心，半径为的圆，直线交坐标轴于A、B两点。
(1)若OA=O,①求k,②若b=4，点P为直线AB上一点，过P点作⊙O的两条切线，切点分别这C、D，若∠CPD=90°，求点P的坐标；
(2)若，且直线分⊙O的圆周为1：2两部分，求b.
10.(2010年湖南湘潭)如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，以线段AB为直径作⊙C，抛物线过A、C、O三点．
求点C的坐标和抛物线的解析式；
过点B作直线与x轴交于点D，且OB2=OA·OD，求证：DB是⊙C的切线；
抛物线上是否存在一点P， 使以P、O、C、A为顶点的四边形为直角梯形，如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
11.（2010年四川成都市）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，点的坐标为，若将经过两点的直线沿轴向下平移3个单位后恰好经过原点，且抛物线的对称轴是直线．
（1）求直线及抛物线的函数表达式；
（2）如果P是线段上一点，设、的面积分别为、，且，求点P的坐标；
（3）设⊙Q的半径为l，圆心在抛物线上运动，则在运动过程中是否存在⊙Q与坐标轴相切的情况？若存在，求出圆心的坐标；若不存在，请说明理由．并探究：若设⊙Q的半径为，圆心在抛物线上运动，则当取何值时，⊙Q与两坐轴同时相切？
1．（2010广东广州，24，14分）
【分析】（1）连接OA，OP与AB的交点为F，则△OAF为直角三角形，且OA＝1，OF＝，借助勾股定理可求得AF的长；
（2）要判断∠ACB是否为定值，只需判定∠CAB＋∠ABC的值是否是定值，由于⊙D是△ABC的内切圆，所以AD和BD分别为∠CAB和∠ABC的角平分线，因此只要∠DAE＋∠DBA是定值，那么CAB＋∠ABC就是定值，而∠DAE＋∠DBA等于弧AB所对的圆周角，这个值等于∠AOB值的一半；
（3）由题可知＝DE (AB＋AC＋BC)，又因为，所以，所以AB＋AC＋BC＝，由于DH＝DG＝DE，所以在Rt△CDH中，CH＝DH＝DE，同理可得CG＝DE，又由于AG＝AE，BE＝BH，所以AB＋AC＋BC＝CG＋CH＋AG＋AB＋BH＝DE＋，可得＝DE＋，解得：DE＝，代入AB＋AC＋BC＝，即可求得周长为．
【解答】解：（1）连接OA，取OP与AB的交点为F，则有OA＝1．
∵弦AB垂直平分线段OP，∴OF＝OP＝，AF＝BF．
在Rt△OAF中，∵AF＝＝＝，∴AB＝2AF＝．
（2）∠ACB是定值.
理由：由（1）易知，∠AOB＝120°，
因为点D为△ABC的内心，所以，连结AD、BD，则∠CAB＝2∠DAE，∠CBA＝2∠DBA，
因为∠DAE＋∠DBA＝∠AOB＝60°，所以∠CAB＋∠CBA＝120°，所以∠ACB＝60°；
（3）记△ABC的周长为l，取AC，BC与⊙D的切点分别为G，H，连接DG，DC，DH，则有DG＝DH＝DE，DG⊥AC，DH⊥BC.
∴
＝AB DE＋BC DH＋AC DG＝(AB＋BC＋AC) DE＝l DE．
∵＝4，∴＝4，∴l＝8DE.
∵CG，CH是⊙D的切线，∴∠GCD＝∠ACB＝30°，
∴在Rt△CGD中，CG＝＝＝DE，∴CH＝CG＝DE．
又由切线长定理可知AG＝AE，BH＝BE，
∴l＝AB＋BC＋AC＝2＋2DE＝8DE，解得DE＝，
∴△ABC的周长为．
【涉及知识点】垂径定理 勾股定理 内切圆 切线长定理 三角形面积
【点评】本题巧妙将垂径定理、勾股定理、内切圆、切线长定理、三角形面积等知识综合在一起，需要考生从前往后按顺序解题，前面问题为后面问题的解决提供思路，是一道难度较大的综合题
2.（2010年浙江湖州）
3（2010年福建泉州）.（本小题14分）
解：（1）∵点B（0，1）在的图象上，∴………………（2分）
∴k=1………………（3分）
（2）由（1）知抛物线为：
∴顶点A为（2，0） …………（4分）
∴OA=2，OB=1
过C（m，n）作CD⊥x轴于D，则CD=n，OD=m，∴AD=m-2
由已知得∠BAC=90° …………………（5分）
∴∠CAD+∠BAO=90°，又∠BAO+∠OBA=90°∴∠OBA=∠CAD
∴Rt△OAB∽Rt△DCA
∴(或tan∠OBA= tan∠CAD )…（6分）
∴n=2(m-2)；
又点C（m,n）在上，∴
∴，即
∴m=2或m=10；当m=2时，n=0, 当m=10时，n=16；…………………（7分）
∴符合条件的点C的坐标为（2，0）或（10，16）…（8分）
（3）①依题意得，点C（2，0）不符合条件，∴点C为（10，16）
此时
……………………………… （9分）
又点P在函数图象的对称轴x=2上，∴P（2,t），AP=
∴= ……………………………（10分）
∵
∴当t≥0时，S=t，∴1﹤t﹤21. ………………（11分）
∴当t﹤0时，S=-t，∴-21﹤t﹤-1
∴t的取值范围是：1﹤t﹤21或-21﹤t﹤-1 …………（12分）
②t=0，1，17. ……………………………………（14分）
4（2010年福建福州）
5.（2010年云南楚雄州）
解：（1）如图1所示，连接AC，则AC=
在Rt△AOC中，AC= ，OA=1 ，则OC=2
∴点C的坐标为（0，2）
设切线BC的解析式为，它过点C（0，2），B（ 4，0），则有
解之得
∴ ………………………………………………4分
（2）如图1所示，设点G的坐标为（a,c）,过点G作GH⊥轴，垂足为H点，
则OH=a, GH=c=a + 2 ……………………………………………………5分
连接AP, AG
因为AC=AP , AG=AG , 所以Rt△ACG≌Rt△APG (HL)
所以∠AGC=×1200=600
在Rt△ACG中 ，∠AGC= 600，AC=
∴Sin600= ∴AG =…………………6分
在Rt△AGH中, AH=OH－OA=a－1 ，GH=a+ 2
+=
∴+=
解之得：= ,= (舍去) …………………………………………7分
点G的坐标为（,+ 2 ） …………………………………………………8分
(3) 如图2所示，在移动过程中，存在点A，使△AEF为直角三角形. ………………9分
要使△AEF为直角三角形
AE=AF
∴∠AEF=∠AFE 900
∴只能是∠EAF=900
当圆心A在点B的右侧时，过点A作
AM⊥BC,垂足为点M.
在Rt△AEF中 ，AE=AF=,
则EF=， AM=EF=
在Rt△OBC中,OC=2 , OB=4,则BC=2
∠BOC= ∠BMA=900 ，∠OBC= ∠OBM
∴△BOC∽△BMA
∴=
∴AB=
∴OA=OB－AB=4－
∴点A的坐标为（－4+，0） ………………………………………………11分
当圆心A在点B的左侧时，设圆心为A′，过点A′作A′M′⊥BC于点M′，可得
△A′M′B≌△AMB
A′B＝AB＝
∴O A′=OB+ A′B =4 +
∴点A′的坐标为（－4－，0）
综上所述，点A的坐标为（－4+，0）或（－4－，0） ……………13分
6.（2010年湖北十堰）
解：（1）∵AO1是⊙O2的切线，∴O1A⊥AO2 ∴∠O2AB+∠BAO1=90°
又O2A=O2C，O1A=O1B，∴∠O2CB=∠O2AB，∠O2BC=∠ABO1=∠BAO1
∴∠O2CB+∠O2BC=∠O2AB+∠BAO1=90°，∴O2C⊥O2B，即O2C⊥O1O2
（2）延长O2O1交⊙O1于点D，连结AD.
∵BD是⊙O1直径，∴∠BAD=90°
又由（1）可知∠BO2C=90°
∴∠BAD=∠BO2C，又∠ABD=∠O2BC
∴△O2BC∽△ABD
∴ ， ∴AB·BC=O2B·BD 又BD=2BO1 ， ∴AB·BC=2O2B·BO1
（3）由（2）证可知∠D=∠C=∠O2AB，即∠D=∠O2AB，又∠AO2B=∠DO2A
∴△AO2B∽△DO2A， ∴ ， ∴AO22=O2B·O2D ， ∵O2C=O2A
∴O2C2=O2B·O2D ① 又由（2）AB·BC=O2B·BD ②
由①－②得，O2C2－AB·BC= O2B2 即42－12=O1B2
∴O2B=2，又O2B·BD=AB·BC=12 ， ∴BD=6，∴2AO1=BD=6 ∴AO1=3
7 (2010年上海市)
（1）解：∵∠B＝30°∠ACB＝90°∴∠BAC＝60°
∵AD=AE ∴∠AED＝60°=∠CEP
∴∠EPC＝30°
∴三角形BDP为等腰三角形
∵△AEP与△BDP相似
∴∠EAP=∠EPA=∠DBP=∠DPB=30°
∴AE=EP=1
∴在RT△ECP中，EC=EP=
（2）过点D作DQ⊥AC于点Q，且设AQ=a，BD=x
∵AE=1,EC=2
∴QC=3-a
∵∠ACB＝90°
∴△ADQ与△ABC相似
∴
即，∴
∵在RT△ADQ中
∵
∴
解之得x=4，即BC=4
过点C作CF//DP
∴△ADE与△AFC相似，
∴，即AF=AC，即DF=EC=2,
∴BF=DF=2
∵△BFC与△BDP相似，∴，即：BC=CP=4，∴tan∠BPD=
(3)过D点作DQ⊥AC于点Q，则△DQE与△PCE相似,设AQ=a，则QE=1-a
∴且，∴
∵在Rt△ADQ中，据勾股定理得：
即：，解之得
∵△ADQ与△ABC相似，∴，∴
∴三角形ABC的周长，即：，其中x>0
8 (2010年山东日照)．（本题满分10分）
（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90° ，
即AD是底边BC上的高． ………………………………………1分
又∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形，
∴D是BC的中点；………… ……………………………………………3分
(2) 证明：∵∠CBE与∠CAD是同弧所对的圆周角，
∴ ∠CBE=∠CAD．…………………………………………………5分
又∵ ∠BCE=∠ACD，
∴△BEC∽△ADC；…………………………………………………6分
（3）证明：由△BEC∽△ADC，知，
即CD·BC=AC·CE． …………………………………………………8分
∵D是BC的中点，∴CD=BC．
又 ∵AB=AC，∴CD·BC=AC·CE=BC ·BC=AB·CE
即BC=2AB·CE．……………………………………………………10分
9.(2010年江苏泰州)
.解：⑴①根据题意得：B的坐标为（0，b），∴OA=OB=b，∴A的坐标为（b，0），代入y＝kx＋b得k＝－1.
②过P作x轴的垂线，垂足为F，连结OD.
∵PC、PD是⊙O的两条切线，∠CPD=90°，
∴∠OPD=∠OPC=∠CPD=45°，
∵∠PDO=90°，，∠POD=∠OPD＝45°，
∴OD＝PD＝，OP=.
∵P在直线y＝－x＋4上，设P（m，－m＋4），则OF=m，PF=－m＋4，
∵∠PFO=90°， OF2＋PF2＝PO2，
∴ m2＋ (－m＋4)2＝（）2，
解得m=1或3，
∴P的坐标为（1，3）或（3，1）
(2)分两种情形，y＝－x＋，或y＝－x－。
直线将圆周分成两段弧长之比为1∶2，可知其所对圆心角为120°，如图，画出弦心距OC，可得弦心距OC=，又∵直线中∴直线与x轴交角的正切值为，即，∴AC=，进而可得AO=，即直线与与x轴交于点（，0）．所以直线与y轴交于点（，0），所以b的值为．
当直线与x轴、y轴的负半轴相交，同理可求得b的值为．
综合以上得：b的值为或．
10．(2010年湖南湘潭)（本题满分10分）
解：（1）A（6，0），B（0，6） ……………………1分
连结OC,由于∠AOB=90o，C为AB的中点，则，
所以点O在⊙C上（没有说明不扣分）．
过C点作CE⊥OA，垂足为E，则E为OA中点,故点C的横坐标为3．
又点C在直线y=－x+6上，故C（3，3） ……………………2分
抛物线过点O，所以c=0,
又抛物线过点A、C，所以，解得：
所以抛物线解析式为 …………………3分
（2）OA=OB=6代入OB2=OA·OD，得OD=6 ……………………4分
所以OD=OB=OA，∠DBA=90o． ……………………5分
又点B在圆上，故DB为⊙C的切线 ……………………6分
（通过证相似三角形得出亦可）
（3）假设存在点P满足题意．因C为AB中点,O在圆上,故∠OCA=90o,
要使以P、O、C、A为顶点的四边形为直角梯形，
则 ∠CAP=90o或 ∠COP=90o, ……………………7分
若∠CAP=90o,则OC∥AP，因OC的方程为y=x,设AP方程为y=x+b．
又AP过点A（6，0），则b=－6, ……………………8分
方程y=x－6与联立解得：，，
故点P1坐标为（－3，－9） ……………………9分
若∠COP=90o,则OP∥AC，同理可求得点P2（9，－9）
(用抛物线的对称性求出亦可)
故存在点P1坐标为（－3，－9）和P2（9，－9）满足题意．……10分
11（2010年四川成都市）.
（1）解：（1）∵沿轴向下平移3个单位后恰好经过原点，
∴，。
将 代入，得。解得。
∴直线AC的函数表达式为。
∵抛物线的对称轴是直线
∴解得
∴抛物线的函数表达式为。
（2）如图，过点B作BD⊥AC于点D。
∵，
∴
∴。
过点P作PE⊥x轴于点E，
∵PE∥CO，∴△APE∽△ACO，
∴， ∴
∴，解得x= ，∴点P的坐标为
（3）（Ⅰ）假设⊙Q在运动过程中，存在与坐标轴相切的情况。
设点Q的坐标为。
当⊙Q与y轴相切时，有，即。
当时，得，∴
当时，得，∴
当⊙Q与x轴相切时，有，即
当时，得，即，解得，∴
当时，得，即，解得，∴，。
综上所述，存在符合条件的⊙Q，其圆心Q的坐标分别为，，，，。
（Ⅱ）设点Q的坐标为。
当⊙Q与两坐标轴同时相切时，有。
由，得，即，
∵△=
∴此方程无解。
由，得，即，
解得
∴当⊙Q的半径时，⊙Q与两坐标轴同时相切。
·
O
图2
·
O
图2
·
O
图1
·
O
图2
·
O
图3
·
O
图1
·
A A
O A
C A
D A
B A
P A
P
A
B
C
D
P
A
B
C
D
·
O
P
A
B
T
·
·
O
P
A
B
C
D
·
A
B
O
m
·
A
B
O
m
·
O
A
B
·
·
O1
O2
·
O1
·
O2
O1
·
O2
·
O2
O1
·
·
·
O2
·
O1
O
A
B
C
第1题图
·
第5题
第12题图
A
O
B
C
第11题
O
A
B
C
第14题图
·
第13题图
A
O
C
B
（第17题）
（第18题）
A
B
O
C
D
A
B
C
D
E
O
图(1)
第4题图
B
A
C
第6题图
C
A
B
E
D
O
.
(第8题)
·
A
B
C
D
O
M
第5题图
7题图
第3题
(第19题)
y
C
O
P
B
F
E
D
第13题
B
A
C
D
E
F
G
H
图(2)
第6题图2
第6题图1
A
B
C
D
A
B
O
A
B
O
A’
O’
图(十三)
图(十四)
O
A
B
C
(第15题)
l
D
Ｐ
O
E
B
A
C
D
A
OA
B
C
D
A’
xA
yxA
F
第22题图
A
E
D
O
B
C
（图7）
（第23题图）
O
B
C
D
E
A
第10题图
A
B
单位：mm
l1
l2
P
A
O
B
第12题
x
O
P
y
B
C
A
第15题图
C
P
D
O
B
A
E
A
B
C
第25题
D
P
E
O1
O2
A
B
C
F
C
P
D
O
B
A
E
H
G
F
C
P
D
O
B
A
E
H
G
t
t
O
A
C
B
D
x
y
G
P
H
图1
O1
O2
A
B
C
D
知识要点扫描归纳
一 圆的基本概念
（1）圆的定义：在平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。定点叫做圆心，定长叫半径。
（2）确定圆的条件；
①已知圆心和半径，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；
②不在同一条直线上的三点确定一个圆；
③已知圆的直径的位置和长度可确定一个圆；
（3）点和圆的位置关系 设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则点与圆的位置关系有三种。
①点在圆外d＞r； ②点在圆上d=r； ③点在圆内 d＜r；
（4）弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直线。直径是圆中最大的弦。圆心到弦的距离叫做弦心距。
（5）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。弧分为半圆，优弧、劣弧三种。
（6）等圆、等弧：能够重合的两个圆叫做等圆。同圆或等圆的半径相等。在同圆或等圆中，能够互相重合的两条弧叫做等弧。
（7） 圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。圆心是它的对称中心。圆绕圆心旋转任何角度，都能够与原来的图形重合，因此圆还具有旋转不变性。
二 圆中的重要定理
1．垂径定理及其推论：
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧．
推论1：一条直线，如果具有①过圆心；②垂直于弦；③平分弦（非直径）；④平分弦所对的劣弧；⑤平分弦所对的优弧．这五个性质中的任何两个性质这条直线就具有其余的三条性质．
推论2：圆的平行弦所夹的弧相等．
2．圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系、定理及推论．
在同圆或等圆中，四组量：①两个圆心角；②两条弧；③两条弦；④两条弦心距．其中任一组量相等，则其余三组量也分别相等．即在同圆或等圆中：
圆心角相等
3．圆周角
①定义：顶点在圆上，且两边与圆相交的角．
②定理及推论
定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90o的圆周角所对的弦是直径．
推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
推论4：圆内接四边形定理：圆的内接四边形对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角．
三、直线和圆的位置关系：
1．直线和圆的位置关系的定义及有关概念
（1）直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交（图1），这时直线叫圆的割线．
（2）直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切（图2）
这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点．
（3）直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离（图3）
2．直线和圆的位置关系性质和判定
如果⊙O的半径，圆心O割直线的距离为，那么（1）直线和⊙O相交（图
1）；（2）直线和⊙O相切（图2）；（3）直线和⊙O相离（图3）．
四、切线的判定和性质：
（一）切线的判定
1．切线判定定理：经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；
2．和圆心距离等于半径的直线是圆的切线；
3．经过半径外端点且与半径垂直的直线是圆的切线．
（二）切线的性质
1．切线的性质定理，圆的切线垂直于经过切点的半径；
推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；
推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
2．切线的性质：
（1）切线和圆只有一个公共点；
（2）切线和圆心的距离等于圆的半径；
（3）切线垂直于过切点的半径；
（4）经过圆心垂直于切线的直线过切点；
（5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心．
五、三角形的内切圆
1．三角形的外接圆
过三角形三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆，三条边中垂线的交点，叫做三角形的外心。三角形的外心到各顶点的距离相等．
2．外心的位置
锐角三角形的外心在三角形内部，钝角三角形的外心在三角形的外部，直角三角形的外心在斜边中点，外接圆半径(C为斜边长)
3．三角形的内切圆
到三角形三条边距离都相等的圆，叫三角形的内切圆，三角形中，三个内角平分线的交点，叫三角形的内心，三角形内心到三条边的距离相等，内心都在三角形的内部．若三角形的面积为，周长为a+b+c,则内切圆半径为:，当为直角三角形的直角边，为斜边时，内切圆半径或.
4．圆内接四边形的性质
（1）圆内接四边形的对角互补；
（2）圆内接四边形的任何一个外角等于它的对角．
注意：①圆内接平行四边形为矩形；②圆内接梯形为等腰梯形．
六、切线长定理：
1．切线长概念：
在经过圆外一点的切线上，这点和切点之间的线段的R，叫做这点到圆的切线长．
2．切线长和切线的区别
切线是直线，不可度量；而切线长是切线上一条线段的长，而圆外一已知点到切点之间的距离，可以度量．
3．切线长定理：
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．
要注意：此定理包含两个结论，如图，PA、PB切⊙O于A、B两点，①PA=PB②PO平分．
4．两个结论：
圆的外切四边形对边和相等；
圆的外切等腰梯形的中位线等于腰长．
七、弦切角定理：
1．弦切角概念：
理解体弦切角要注意两点：①角的顶点在圆上；②角的一边是过切点的弦，角的边一边是以切点为端点的一条射线．
2．弦切角定理：
弦切角等于它所夹的弦对的圆周角，该定理也可以这样说：弦切角的度数等于它所夹弧的度数的一半．
3．弦切角定理的推论：
推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角相等．
八 与比例线段相关的定理（了解）
1．相交弦定理及其推论：
（1）定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．
如图，AB，CD相交余E，则AE·EB=CE·DE
（2），推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成
的两条线段的比例中项．如上右图，有AE·EB=CE成立
2，切割线定理及其推论
定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆
交点的两条线段长的比例中项． 如上左图，PT切⊙O,PAB是⊙O的一条
割线，则有PT=PA·PB成立．
推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点
的两条线段长的积相等．
如上右图，有PA·PB=PC·PD成立．
九 圆中的相关计算
弧长公式：半径为R的圆，其周长是，将圆周分成360份，每一份弧就是1o的弧，1o弧的弧长应是圆周长的，而为，因此，的弧的弧长就是，于是得到公式：。
（1）扇形的定义：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径组成的图形叫做扇形（如图）。
（2）扇形的周长：
（3）扇形的面积：如图，阴影部分的面积即为扇形OAB的面积。
S扇形=
由上面两公式可知S扇形=．可据已知条件灵活选用公式。
弓形的面积
（1）由弦及其所对的劣弧组成的图形，S弓形=S扇形-S△OAB。
（2）由弦及其所对的优弧组成的弓形，S弓形=S扇形+S△OAB。
十．两圆的位置关系：
1 圆与圆的位置关系
外 离 外 切 相 交 内 切 内 含
图形
公共点 0个 1个 2个 1个 0个
d、r、R的关系 d>R+r d=R+r R-r
内公切线 2条 1条 0条 0条 0条
2．两圆连心线的性质
（1）如果两圆相切,那么切点位于这两个圆的连心线上．
（2）相交两圆的连心线垂直平分这两个圆的公共弦．
3．两圆的公切线
（1）与两圆都相切的直线,叫做这两个圆的公切线,两个圆在公切线的同旁时,这条公切线叫做这两个圆的外公切线;两个圆在公切线的两旁时,这条公切线叫做这两个圆的内公切线;公切线上两个切点间的距离,叫做这条公切线(段)的长;
（2）两圆的两条外公切线长相等;
（3）两圆的两条内公切线长相等，且交点位于这两个圆的连心线上；
（4）两圆相切可以运用于弧与弧的平浓连接．
考点扫描归纳
1 角度的计算
1．（2010年山东省青岛市）如图，点A、B、C在⊙O上，若∠BAC = 24°，则∠BOC = °．
2、(2010年安徽省B卷)13．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(图中的弧)，点O是这段弧的圆心，C是弧AB上一点，OC⊥AB，垂足为D， AB=300m，CD=50m，则这段弯路的半径是 m．
3、（2010福建德化）如图，点B、C在⊙上，且BO=BC，则圆周角等于（ ）
A． B． C． D．
第2题图 第3题图
4．(2010年北京崇文) 是圆O的直径，是圆O的弦，=48,则= ．
5．（2010年门头沟区）如图，于，若，则 度．
第4题图
6.（2010年重庆潼南县）如图，已知AB为⊙O的直径，点C在⊙O上,∠C=15°,则∠BOC的度数为（ ）
A．15° B. 30° C. 45° D．60°
7. (2010年兰州市) 有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有
A．4个 B．3个 C． 2个 D． 1个
8. （2010年安徽中考） 如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，∠ACB＝500，点D是BAC上一点，则∠D＝_______________
第8题 第9题 第10题
9．(2010重庆市)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若∠ABC＝70°，则∠AOC的度数等于（ ）
A．140° B．130° C．120° D．110°
10.（2010年四川省眉山市）如图，∠A是⊙O的圆周角，∠A=40°，则∠OBC的度数为_______．
11.（2010年福建省晋江市）如图， 、、是⊙上的三点，且是优弧上与点、点不同的一点，若是直角三角形，则必是( ) .
A.等腰三角形 B.锐角三角形
C.有一个角是的三角形 D.有一个角是的三角形
12.(2010年浙江省绍兴市)如图,⊙O是正三角形的外接圆,点在劣弧上,=22°,则的度数为_____________.
13.（2010年宁德市）如图，在⊙O中，∠ACB＝34°，则∠AOB的度数是（ ）．
A.17° B.34° C.56° D.68°
14．（2010年山东省青岛市）如图，点A、B、C在⊙O上，若∠BAC = 24°，则∠BOC = °．
15．（2010江苏泰州，18，3分）如图⊙O的半径为1cm，弦AB、CD的长度分别为，则弦AC、BD所夹的锐角＝ ．
第15题图 第16题图
16．(2010年安徽芜湖市)如图所示，在圆⊙O内有折线OABC，其中OA＝8，AB＝12，∠A＝∠B＝60°，则BC的长为（）
A．19 B．16 C．18 D．20
17．（2010浙江省喜嘉兴市）如图，A、B、C是⊙O上的三点，已知∠O＝60 ，则∠C＝（ ）
A．20 B．25 C．30 D．45
18.(2010年浙江省金华). 如图，△ABC内接于⊙O，∠A=40°，则∠BOC的度数为（ ）
A. 20° B. 40°
C. 60° D. 80°
19. (2010年兰州市) 将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在
半圆上．点A、B的读数分别为86°、30°，则∠ACB的大小为
A．15 B．28 C．29 D．34
( http: / / )
20. (2010年兰州市)（本题满分6分）小明家的房前有一块矩形的空地，
空地上有三棵树A、B、C，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛
的边上．
（1）（本小题满分4分）请你帮小明把花坛的位置画出来（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
（2）（本小题满分2分））若△ABC中AB=8米，AC=6米，∠BAC=，试求小明家圆形花坛的面积．
21（2010江苏宿迁）（本题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，每个小方格的边长为1个单位长度．在第一象限内有横、纵坐标均为整数的A、B两点，且OA= OB=．
（1）写出A、B两点的坐标；
（2）画出线段AB绕点O旋转一周所形成的图形，并求其面积（结果保留π）．
22．（2010江西）如图，以点P为圆心的圆弧与X轴交于A，B；两点，点P的坐标为（4，2）点A的坐标为（2，0）则点B的坐标为 ．
第21题图
2 垂径定理的相关计算与证明
1.（2010年台湾省）如图(1)，AB为圆O的直径，C、D两点均在圆上，其中OD
与AC交于E点，且ODAC。若OE=4，ED=2，则BC长度为
(A) 6 (B) 7 (C) 8 (D) 9 。
2（2010年毕节地区）如图，AB为⊙O的弦，⊙O的半径为5，OC⊥AB于点D，
交⊙O于点C，且CD＝l，则弦AB的长是 ．
3(2010年浙江绍兴)已知⊙O的半径为5,弦AB的弦心距为3,则AB的长是( )
A.3 B.4 C.6 D.8
4.(2010年浙江省绍兴市)如图,已知△ABC,分别以A,C为圆心,BC,AB长为半径画弧,两弧在直线BC上方交于点D,连结AD,CD.则有( )
A.∠ADC与∠BAD相等
B.∠ADC与∠BAD互补
C.∠ADC与∠ABC互补
D.∠ADC与∠ABC互余
5（2010年宁德市）如图，在直径AB＝12的⊙O中，弦CD⊥AB于M，且M是半径OB的中点，则弦CD的长是_______（结果保留根号）.
6.(2010年聊城冠县实验中学二模)如下图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为（ ）
A．2cm B．cm C．cm D．cm
7.（2010年广西桂林适应训练）如图，圆弧形桥拱的跨度AB＝12米，拱高CD＝4米，则拱桥的半径为（ ）．
A.6.5米 B.9米 C.13米 D.15米
8.（2010年广州市中考六模）、如图：AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB＝10， CD＝8，那么AE的长为 .
9.（2010年 河南模拟）如图，是一张电脑光盘的表面，两个圆心都是O,大圆的弦AB所在的直线是小圆的切线，切点为C，已知大圆的半径为5cm，小圆的半径为1cm，则弦AB的长是多少？
10（2010日照市）．(本题满分10分)如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC与E，交BC与D．求证：
（1）D是BC的中点；
（2）△BEC∽△ADC；
（3）BC2=2AB·CE．
11（2010珠海）21.如图，△ABC内接于⊙O，AB＝6,AC＝4,D是AB边上一点，P是优弧BAC的中点，连结PA、PB、PC、PD.
(1)当BD的长度为多少时，△PAD是以AD为底边的等腰三角形？并证明；
（2）若cos∠PCB=，求PA的长.
12．（2010年山东省济宁市）如图，为外接圆的直径，，垂足为点，的平分线交于点，连接，.
(1) 求证：；
(2) 请判断，，三点是否在以为圆心，以为半径的圆上？并说明理由.
13、（2010年宁波）如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，弦DF与半径OB相交于点P，连结EF、EO，若，。
（1）求⊙O的半径;
（2）求图中阴影部分的面积。
3 圆与多边形
1.（2010年山东省济南市）如图，正六边形螺帽的边长是2cm，这个扳手的开口a的值应是（ ）
A． cm B．cm
C． cm D．1cm
2. （2010年台湾省）如图(2)，有一圆内接正八边形ABCDEFGH，若△ADE
的面积为10，则正八边形ABCDEFGH的面积为
(A) 40 (B) 50
(C) 60 (D) 80 。
3（2010年毕节地区）如图,两正方形彼此相邻且内接于半圆,若小正方形的面积为
16cm2,则该半圆的半径为（ ）
A. cm B. 9 cm
C. cm D. cm
4. (2010年兰州市)如图，正三角形的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为
A． B． C． D．
5．(2010年安徽省芜湖市)一个正多边形的每个外角都是36°，这个正多边形的边数是__________．
6．（2010山东德州）粉笔是校园中最常见的必备品．图1是一盒刚打开的六角形粉笔，总支数为50支．图2是它的横截面（矩形ABCD），已知每支粉笔的直径为12mm，由此估算矩形ABCD的周长约为_______ mm．(，结果精确到1 mm)
7．（2010浙江省喜嘉兴市）如图，已知⊙O的半径为1，PQ是⊙O的直径，n个相同的正三角形沿PQ排成一列，所有正三角形都关于PQ对称，其中第一个△A1B1C1的顶点A1与点P重合，第二个△A2B2C2的顶点A2是B1C1与PQ的交点，…，最后一个△AnBnCn的顶点Bn、Cn在圆上．
（1）如图1，当n＝1时，求正三角形的边长a1；
（2）如图2，当n＝2时，求正三角形的边长a2；
（3）如题图，求正三角形的边长an （用含n的代数式表示）．
4 弧长与面积的相关计算
1．（2010年福建省晋江市）已知圆锥的高是，母线长是，则圆锥的侧面积是 .
2、（2010福建德化）已知圆锥的底面半径是3cm，母线长为6cm，则侧面积为________cm2．（结果保留π）
3、已知圆锥的底面半径为3，侧面积为15，则这个圆锥的高为 ▲
4.（2010年台湾省）如图(十三)，扇形AOB中，=10， AOB=36。若固定B点，将此扇形依
顺时针方向旋转，得一新扇形A’O’B， 其中A点在上，
如图(十四)所示， 则O点旋转至O’点所经过的轨迹长度为
(A) (B) 2
(C) 3 (D) 4 。
5.(2010福建泉州市惠安县)已知圆锥的底面半径是3，母线长是4，则圆锥的侧面积是 .
6. (2010年兰州市) 现有一个圆心角为，半径为的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计）.该圆锥底面圆的半径为
A． B． C． D．
7.（2010年广东省广州市）一个扇形的圆心角为90°．半径为2，则这个扇形的弧长为________． (结果保留)
8.（2010年四川省眉山市）已知圆锥的底面半径为4cm，高为3cm，则这个圆锥的侧面积为__________cm2．
9.（2010年福建省晋江市）已知圆锥的高是，母线长是，则圆锥的侧面积是 .
10. (2010年浙江省绍兴市)水管的外部需要包扎,包扎时用带子缠绕在管道外部.若要使带子全部包住管道且不重叠（不考虑管道两端的情况）,需计算带子的缠绕角度（指缠绕中将部分带子拉成图中所示的平面ABCD时的∠ABC,其中AB为管道侧面母线的一部分）.若带子宽度为1,水管直径为2,则的余弦值为 .
11．（2010江苏泰州，12，3分）已知扇形的圆心角为120°，半径为15cm，则扇形的弧长为 cm（结果保留）．
12．（2010年山东省济宁市）如图，如果从半径为9cm的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为
A．6cm B．cm C．8cm D．cm
13.（2010珠海）如图，⊙O的半径等于1，弦AB和半径OC互相平分于点M.求扇形OACB的面积（结果保留π）
14、 (2010年滨州) (本题满分8分)如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且AB=12，BC=6．
(1) 求的值；
(2)如果OD⊥AC，垂足为D，求AD的长；
(3)求图中较大阴影部分的面积是较小阴影部分的面积的几倍(精确到0.1) ．
15．（2010年浙江台州市）如图，菱形ABCD中，AB=2 ，
∠C=60°,菱形ABCD在直线l上向右作无滑动的翻滚，
每绕着一个顶点旋转60°叫一次操作，则经过36次这
样的操作菱形中心O所经过的路径总长为 ．(结果保留π)
16.（2010年山东省济南市）如图，四边形OABC为菱形，点
B、C在以点O为圆心的上，若OA=1，∠1=∠2，
则扇形OEF的面积为 （ ）
A. B. C. D.
17.（2010年浙江省东阳市）在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，的三个顶点 都在格点上（每个小方格的顶点叫格点）．
（1）如果建立直角坐标系，使点B的坐标为（－5，2），点C的坐标为（－2，2），则点A的坐标为 ▲ ；
(2) 画出绕点Ｐ顺时针旋转后的△Ａ１Ｂ１Ｃ１，并求线段BC扫过的面积.
18、（2010年门头沟区）．如图，有一块半圆形钢板，直径AB=20cm，计划将此钢板切割成下底为AB的等腰梯形，上底CD的端点在圆周上，且CD=10cm．求图中阴影部分的面积.
19. （2010年福建省晋江市）已知：如图，有一块含的直角三角板的直角边长的长恰与另一块等腰直角三角板的斜边的长相等，把该套三角板放置在平面直角坐标系中，且.
(1)若双曲线的一个分支恰好经过点，求双曲线的解析式；
(2)若把含的直角三角板绕点按顺时针方向旋转后，斜边恰好与轴重叠，点落在点，试求图中阴影部分的面积(结果保留).
.
20（2010辽宁省丹东市）．如图，已知在⊙O中，AB=4，AC是⊙O的直径，AC⊥BD于F，∠A=30°．
（1）求图中阴影部分的面积；
（2）若用阴影扇形OBD围成一个圆锥侧面，请求出这个圆锥的底面圆的半径．
5切线的性质与判定
1（宣武一模）.已知：如图，⊙O是的外接圆，为⊙O直径，且于点，于点
（1）求证：是⊙O的切线；
（2）当，时，求的长。
2.（崇文一模）如图，AB是半圆⊙O的直径，过点O作弦AD的垂线交半圆⊙O于点E，交AC于点C，使
（1）判断直线AC与圆O的位置关系，并证明你的结论。
（2）若，，求AD的长。
3．(延庆一模)如图，为⊙的直径，平分交⊙于点，
的延长线于点，交的延长
线于点，
（1）求证：是⊙的切线；
（2）若⊙的半径为5，求的长．
4(西城一模)．如图，内接于，．点在上，于点，与交于点，点在的延长线上，．
（1）求证：是的切线；（2）若，，求的长．
5．(顺义一模)如图，⊙O的直径AB=4，C、D为圆周上两点，且四边形OBCD是菱形，过点D的直线EF∥AC，交BA、BC的延长线于点E、F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）求DE的长．
6(门头沟一模). 已知：如图，BE是⊙O的直径，CB与⊙O相切于点B，OC∥DE交⊙O于点D，CD的延长线与BE的延长线交于A点.
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若AD＝4，CD＝6，求tan∠ADE的值.
7(丰台一模)．已知：如图，AB为⊙O的直径，⊙O过AC的中点D，DE⊥BC于点E．
（1）求证：DE为⊙O的切线；
（2）若DE=2，，求⊙O的直径．
8(石景山一模)．已知：如图，为⊙的直径，弦,切⊙于,联结．
（1）判断是否为⊙的切线，若是请证明；若不是请说明理由．
（2）若,,求⊙的半径．
9(房山一模)． 已知：如图，在△ABC中，AB=BC，D是AC中点，BE平分∠ABD交AC于点E，点O是AB上一点，⊙O过B、E两点, 交BD于点G，交AB于点F．
（1）求证：AC与⊙O相切；
（2）当BD=2，时，求⊙O的半径．
10(平谷一模). 已知，如图，直线MN交⊙O于A,B两点，AC是直径，AD平分CAM交⊙O于D，过D作DE⊥MN于E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若cm，cm，求⊙O的半径.
11(大兴一模)．如图7，已知是⊙O的直径，⊙O过的中点，且．
（1）求证：是⊙O的切线；
（2）若，，求⊙O的半径．
12(密云一模)．如图，等腰三角形ABC中，AC＝BC＝6，AB＝8．以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，DF⊥AC，垂足为F，交CB的延长线于点E．
（1）求证：直线EF是⊙O的切线；
（2）求sin∠E的值．
13(通州一模)．如图，平行四边形ABCD中，以A为圆心，AB为半径的圆交AD于F，交BC于G，延长BA交圆于E.
（1）若ED与⊙A相切，试判断GD与
⊙A的位置关系，并证明你的结论；
（2）在（1）的条件不变的情况下，若
GC＝CD＝5，求AD的长.
14(海淀一模). 已知：如图，⊙O为的外接圆，为⊙O的直径，作射线，使得平分，过点作于点.
(1)求证：为⊙O的切线；
(2)若，，求⊙O的半径.
15(昌平一模)．已知：如图，点是⊙的直径延长线上一点，点在⊙上，且
（1）求证：是⊙的切线；
（2）若点是劣弧上一点，与相交
于点，且，，
求⊙的半径长.
16(朝阳一模)．如图，点B、C、D都在⊙O上，过点C作AC∥BD交OB延长线于点A，连接CD，
且∠CDB=∠OBD=30°，DB=6cm．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）求⊙O的半径长；
（3）求由弦CD、BD与弧BC所围成的阴影部分的面积
（结果保留）．
17(东城一模)．如图，在⊙O中，AB是直径，AD是弦，∠ADE = 60°，∠C = 30°．
（1）判断直线CD是否为⊙O的切线，并说明理由；
（2）若CD = ，求BC的长．
18（2010年毕节地区）（本题12分）如图，已知CD是△ABC中AB边上的高，以CD为直径的⊙O分别交CA、CB于点E、F，点G是AD的中点．求证：GE是⊙O的切线．
6点与圆，直线与圆，圆和圆的位置关系的判定
1、（2010年浙江省东阳县）已知相内含的两圆半径为6和2，则两圆的圆心距是（ ）
A、8 B、 4 C、2 D 5
2.（2010年山东省济南市）已知两圆的半径分别是3和2，圆心的坐标分别是（0，2）和（0，-4），那么两圆的位置关系是 （ ）
A.内含 B.相交 C.相切 D.外离
3、（2010年宁波）两圆的半径分别为3和5，圆心距为7，则两圆的位置关系是（ ）
A、内切 B、相交 C、外切 D、外离
4．(2010年山东聊城)，小圆的圆心在原点，半径为3，大圆的心坐标为（a，0）
半径为5．如果两圆内含，那么a的取值范围是______________.
5、（2010年宁波市）两圆的半径分别为3和5，圆心距为7，则两圆的位置关系是（ ）
A、内切 B、相交 C、外切 D、外离
6. (2010年兰州市) 已知两圆的半径R、r分别为方程的两根，两圆的圆心距为1，两圆的位置关系是
A．外离 B．内切 C．相交 D．外切
7.（2010年四川省眉山市）⊙O1的半径为3cm，⊙O2的半径为5cm，圆心距O1O2=2cm，这两圆的位置关系是
A．外切 B．相交 C．内切 D．内含
8. (2010年浙江省绍兴市)如图为某机械装置的截面图,相切的两圆⊙O1,
⊙O2均与⊙O的弧AB相切,且O1O2∥l1( l1为水
平线)，⊙O1,⊙O2的半径均为30 mm,弧AB的
最低点到l1的距离为30 mm,公切线l2与l1间的
距离为100 mm.则⊙O的半径为( )
A.70 mm B.80 mm
C.85 mm D.100 mm
9．（2010江苏泰州，16，3分）如图在的网格图（每个小正方形的边长均为1个单位长度）中，⊙A的半径为2个单位长度，⊙B的半径为1个单位长度，要使运动的⊙B与静止的⊙A内切，应将⊙B由图示位置向左平移 个单位长度．
10 (2010年浙江省金华). 如果半径为3cm的⊙O1与半径为4cm的⊙O2
内切，那么两圆的圆心距O1O2＝ cm.
11. （2010年益阳市）如图5，分别以A、B为圆心，线段AB的长
为半径的两个圆相交于C、D两点，则∠CAD的度数为 ．
12．（2010年门头沟区）如图，已知⊙是以数轴的原点为圆心，半径
为1的圆， ,点在数轴上运动，若过点且与平行的
直线与⊙有公共点, 设，则的取值范围是
A．－1≤≤1 B．≤≤ C．0≤≤ D．＞
13、（2010年宁波）如图，已知⊙P的半径为2，圆心P在抛物线
上运动，当⊙P与轴相切时，圆心P的坐标为___________。
14（2010年重庆市潼南县） 如图，在矩形ABCD中，AB=6 ， BC=4， ⊙O是
以AB为直径的圆，则直线DC与⊙O的位置关系是 .
15．(2010重庆市)已知⊙O的半径为3cm，圆心O到直线l的距离是4cm，则直线l与⊙O的位置关系是_____________.
15．（2010年山东省青岛市）如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，
∠B = 30°，BC = 4 cm，以点C为圆心，以2 cm的长为半径作圆，
则⊙C与AB的位置关系是（ ）．
A．相离 B．相切
C．相交 D．相切或相交
16．（2010山东德州）已知三角形的三边长分别为3,4,5，则它的边与半径为1的圆的公共点个数所有可能的情况是
(A)0，1，2，3 (B)0，1，2，4 (C)0，1，2，3，4 (D)0，1，2，4，5
17（2010年四川省眉山）下列命题中，真命题是
A．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
B．等腰梯形既是轴对称图形又是中心对称图形
C．圆的切线垂直于经过切点的半径
D．垂直于同一直线的两条直线互相垂直
18．（2010江西）“6”字形图中，FM是大圆的直径，BC与大圆相切于B，OB与小圆相交于A，BC∥AD，CD∥BＨ∥ＦＭ，BC∥DG，ＤＨ∥ＢＨ于H，设，
（１）求证：AD是小圆的切线；
（２）在图中找出一个可用表示的角，并说明你这样表示的理由；
（３）当，求DH的长
7 圆中综合题目
1．（2010广东广州，24，14分）如图，⊙O的半径为1，点P是⊙O上一点，弦AB垂直平分线段OP，点D是弧APB上任一点（与端点A、B不重合），DE⊥AB于点E，以点D为圆心、DE长为半径作⊙D，分别过点A、B作⊙D的切线，两条切线相交于点C．
（1）求弦AB的长；
（2）判断∠ACB是否为定值，若是，求出∠ACB的大小；否则，请说明理由；
（3）记△ABC的面积为S，若＝4，求△ABC的周长.
2.（2010年浙江湖州）如图，已知在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，P是线段AD边上的任意一点（不含端点A、D），连结PC， 过点P作PE⊥PC交AB于E
（1）在线段AD上是否存在不同于P的点Q，使得QC⊥QE？若存在，求线段AP与AQ之间的数量关系；若不存在，请说明理由；
（2）当点P在AD上运动时，对应的点E也随之在AB上运动，求BE的取值范围．
3．（2010年福建泉州）如图所示，已知抛物线的图象与轴相交于点，点在该抛物线图象上，且以为直径的⊙恰好经过顶点.
（1）求的值;（2）求点的坐标；
（3）若点的纵坐标为，且点在该抛物线的对称轴上运动，试探索：
①当时，求的取值范围（其中：为△的面积，为△的面积，为四边
形OACB的面积）；
②当取何值时，点在⊙上.（写出的值即可）
4．（2010年福建福州）如图1，在平面直角坐标系中，点B在直线上，过点B作轴的垂线，垂足为A，OA=5。若抛物线过点O、A两点。
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若A点关于直线的对称点为C，判断点C是否在该抛物线上，并说明理由；
（3）如图2，在（2）的条件下，⊙O1是以BC为直径的圆。过原点O作O1的切线OP，P为切点（P与点C不重合），抛物线上是否存在点Q，使得以PQ为直径的圆与O1相切？若存在，求出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由。
5.（2010年云南楚雄州）已知：如图，⊙A与轴交于C、D两点，圆心A的坐标为（1，0），
⊙A的半径为，过点C作⊙A的切线交于点B（－4，0）。
（1）求切线BC的解析式；
（2）若点P是第一象限内⊙A上一点，过点P作⊙A的切线与直线BC相交于点G，且∠CGP=120°，求点G的坐标；
（3）向左移动⊙A（圆心A始终保持在上），与直线BC交于E、F，在移动过程中是否存在点A，使得△AEF是直角三角形？若存在，求出点A 的坐标，若不存在，请说明理由。
6.（2010年湖北十堰）如图，已知⊙O1与⊙O2都过点A，AO1是⊙O2的切线，⊙O1交O1O2于点B，连结AB并延长交⊙O2于点C，连结O2C.
（1）求证：O2C⊥O1O2；
（2）证明：AB·BC=2O2B·BO1；
（3）如果AB·BC=12，O2C=4，求AO1的长.
7.(2010年上海市)如图9，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°.半径为1的圆A与边AB相交于点D，与边AC相交于点E，连结DE并延长，与线段BC的延长线交于点P.
（1）当∠B＝30°时，连结AP，若△AEP与△BDP相似，求CE的长；
（2）若CE=2，BD=BC，求∠BPD的正切值；
（3）若，设CE=x，△ABC的周长为y，求y关于x的函数关系式.
图9 图10(备用) 图11(备用)
8.(2010年山东日照)如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC与E，交BC与D．求证：
（1）D是BC的中点；
（2）△BEC∽△ADC；
（3）BC2=2AB·CE．
9.(2010年江苏泰州)如图，⊙O是O为圆心，半径为的圆，直线交坐标轴于A、B两点。
(1)若OA=O,①求k,②若b=4，点P为直线AB上一点，过P点作⊙O的两条切线，切点分别这C、D，若∠CPD=90°，求点P的坐标；
(2)若，且直线分⊙O的圆周为1：2两部分，求b.
10.(2010年湖南湘潭)如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，以线段AB为直径作⊙C，抛物线过A、C、O三点．
求点C的坐标和抛物线的解析式；
过点B作直线与x轴交于点D，且OB2=OA·OD，求证：DB是⊙C的切线；
抛物线上是否存在一点P， 使以P、O、C、A为顶点的四边形为直角梯形，如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
11.（2010年四川成都市）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，点的坐标为，若将经过两点的直线沿轴向下平移3个单位后恰好经过原点，且抛物线的对称轴是直线．
（1）求直线及抛物线的函数表达式；
（2）如果P是线段上一点，设、的面积分别为、，且，求点P的坐标；
（3）设⊙Q的半径为l，圆心在抛物线上运动，则在运动过程中是否存在⊙Q与坐标轴相切的情况？若存在，求出圆心的坐标；若不存在，请说明理由．并探究：若设⊙Q的半径为，圆心在抛物线上运动，则当取何值时，⊙Q与两坐轴同时相切？
1．（2010广东广州，24，14分）
【分析】（1）连接OA，OP与AB的交点为F，则△OAF为直角三角形，且OA＝1，OF＝，借助勾股定理可求得AF的长；
（2）要判断∠ACB是否为定值，只需判定∠CAB＋∠ABC的值是否是定值，由于⊙D是△ABC的内切圆，所以AD和BD分别为∠CAB和∠ABC的角平分线，因此只要∠DAE＋∠DBA是定值，那么CAB＋∠ABC就是定值，而∠DAE＋∠DBA等于弧AB所对的圆周角，这个值等于∠AOB值的一半；
（3）由题可知＝DE (AB＋AC＋BC)，又因为，所以，所以AB＋AC＋BC＝，由于DH＝DG＝DE，所以在Rt△CDH中，CH＝DH＝DE，同理可得CG＝DE，又由于AG＝AE，BE＝BH，所以AB＋AC＋BC＝CG＋CH＋AG＋AB＋BH＝DE＋，可得＝DE＋，解得：DE＝，代入AB＋AC＋BC＝，即可求得周长为．
【解答】解：（1）连接OA，取OP与AB的交点为F，则有OA＝1．
∵弦AB垂直平分线段OP，∴OF＝OP＝，AF＝BF．
在Rt△OAF中，∵AF＝＝＝，∴AB＝2AF＝．
（2）∠ACB是定值.
理由：由（1）易知，∠AOB＝120°，
因为点D为△ABC的内心，所以，连结AD、BD，则∠CAB＝2∠DAE，∠CBA＝2∠DBA，
因为∠DAE＋∠DBA＝∠AOB＝60°，所以∠CAB＋∠CBA＝120°，所以∠ACB＝60°；
（3）记△ABC的周长为l，取AC，BC与⊙D的切点分别为G，H，连接DG，DC，DH，则有DG＝DH＝DE，DG⊥AC，DH⊥BC.
∴
＝AB DE＋BC DH＋AC DG＝(AB＋BC＋AC) DE＝l DE．
∵＝4，∴＝4，∴l＝8DE.
∵CG，CH是⊙D的切线，∴∠GCD＝∠ACB＝30°，
∴在Rt△CGD中，CG＝＝＝DE，∴CH＝CG＝DE．
又由切线长定理可知AG＝AE，BH＝BE，
∴l＝AB＋BC＋AC＝2＋2DE＝8DE，解得DE＝，
∴△ABC的周长为．
【涉及知识点】垂径定理 勾股定理 内切圆 切线长定理 三角形面积
【点评】本题巧妙将垂径定理、勾股定理、内切圆、切线长定理、三角形面积等知识综合在一起，需要考生从前往后按顺序解题，前面问题为后面问题的解决提供思路，是一道难度较大的综合题
2.（2010年浙江湖州）
3（2010年福建泉州）.（本小题14分）
解：（1）∵点B（0，1）在的图象上，∴………………（2分）
∴k=1………………（3分）
（2）由（1）知抛物线为：
∴顶点A为（2，0） …………（4分）
∴OA=2，OB=1
过C（m，n）作CD⊥x轴于D，则CD=n，OD=m，∴AD=m-2
由已知得∠BAC=90° …………………（5分）
∴∠CAD+∠BAO=90°，又∠BAO+∠OBA=90°∴∠OBA=∠CAD
∴Rt△OAB∽Rt△DCA
∴(或tan∠OBA= tan∠CAD )…（6分）
∴n=2(m-2)；
又点C（m,n）在上，∴
∴，即
∴m=2或m=10；当m=2时，n=0, 当m=10时，n=16；…………………（7分）
∴符合条件的点C的坐标为（2，0）或（10，16）…（8分）
（3）①依题意得，点C（2，0）不符合条件，∴点C为（10，16）
此时
……………………………… （9分）
又点P在函数图象的对称轴x=2上，∴P（2,t），AP=
∴= ……………………………（10分）
∵
∴当t≥0时，S=t，∴1﹤t﹤21. ………………（11分）
∴当t﹤0时，S=-t，∴-21﹤t﹤-1
∴t的取值范围是：1﹤t﹤21或-21﹤t﹤-1 …………（12分）
②t=0，1，17. ……………………………………（14分）
4（2010年福建福州）
5.（2010年云南楚雄州）
解：（1）如图1所示，连接AC，则AC=
在Rt△AOC中，AC= ，OA=1 ，则OC=2
∴点C的坐标为（0，2）
设切线BC的解析式为，它过点C（0，2），B（ 4，0），则有
解之得
∴ ………………………………………………4分
（2）如图1所示，设点G的坐标为（a,c）,过点G作GH⊥轴，垂足为H点，
则OH=a, GH=c=a + 2 ……………………………………………………5分
连接AP, AG
因为AC=AP , AG=AG , 所以Rt△ACG≌Rt△APG (HL)
所以∠AGC=×1200=600
在Rt△ACG中 ，∠AGC= 600，AC=
∴Sin600= ∴AG =…………………6分
在Rt△AGH中, AH=OH－OA=a－1 ，GH=a+ 2
+=
∴+=
解之得：= ,= (舍去) …………………………………………7分
点G的坐标为（,+ 2 ） …………………………………………………8分
(3) 如图2所示，在移动过程中，存在点A，使△AEF为直角三角形. ………………9分
要使△AEF为直角三角形
AE=AF
∴∠AEF=∠AFE 900
∴只能是∠EAF=900
当圆心A在点B的右侧时，过点A作
AM⊥BC,垂足为点M.
在Rt△AEF中 ，AE=AF=,
则EF=， AM=EF=
在Rt△OBC中,OC=2 , OB=4,则BC=2
∠BOC= ∠BMA=900 ，∠OBC= ∠OBM
∴△BOC∽△BMA
∴=
∴AB=
∴OA=OB－AB=4－
∴点A的坐标为（－4+，0） ………………………………………………11分
当圆心A在点B的左侧时，设圆心为A′，过点A′作A′M′⊥BC于点M′，可得
△A′M′B≌△AMB
A′B＝AB＝
∴O A′=OB+ A′B =4 +
∴点A′的坐标为（－4－，0）
综上所述，点A的坐标为（－4+，0）或（－4－，0） ……………13分
6.（2010年湖北十堰）
解：（1）∵AO1是⊙O2的切线，∴O1A⊥AO2 ∴∠O2AB+∠BAO1=90°
又O2A=O2C，O1A=O1B，∴∠O2CB=∠O2AB，∠O2BC=∠ABO1=∠BAO1
∴∠O2CB+∠O2BC=∠O2AB+∠BAO1=90°，∴O2C⊥O2B，即O2C⊥O1O2
（2）延长O2O1交⊙O1于点D，连结AD.
∵BD是⊙O1直径，∴∠BAD=90°
又由（1）可知∠BO2C=90°
∴∠BAD=∠BO2C，又∠ABD=∠O2BC
∴△O2BC∽△ABD
∴ ， ∴AB·BC=O2B·BD 又BD=2BO1 ， ∴AB·BC=2O2B·BO1
（3）由（2）证可知∠D=∠C=∠O2AB，即∠D=∠O2AB，又∠AO2B=∠DO2A
∴△AO2B∽△DO2A， ∴ ， ∴AO22=O2B·O2D ， ∵O2C=O2A
∴O2C2=O2B·O2D ① 又由（2）AB·BC=O2B·BD ②
由①－②得，O2C2－AB·BC= O2B2 即42－12=O1B2
∴O2B=2，又O2B·BD=AB·BC=12 ， ∴BD=6，∴2AO1=BD=6 ∴AO1=3
7 (2010年上海市)
（1）解：∵∠B＝30°∠ACB＝90°∴∠BAC＝60°
∵AD=AE ∴∠AED＝60°=∠CEP
∴∠EPC＝30°
∴三角形BDP为等腰三角形
∵△AEP与△BDP相似
∴∠EAP=∠EPA=∠DBP=∠DPB=30°
∴AE=EP=1
∴在RT△ECP中，EC=EP=
（2）过点D作DQ⊥AC于点Q，且设AQ=a，BD=x
∵AE=1,EC=2
∴QC=3-a
∵∠ACB＝90°
∴△ADQ与△ABC相似
∴
即，∴
∵在RT△ADQ中
∵
∴
解之得x=4，即BC=4
过点C作CF//DP
∴△ADE与△AFC相似，
∴，即AF=AC，即DF=EC=2,
∴BF=DF=2
∵△BFC与△BDP相似，∴，即：BC=CP=4，∴tan∠BPD=
(3)过D点作DQ⊥AC于点Q，则△DQE与△PCE相似,设AQ=a，则QE=1-a
∴且，∴
∵在Rt△ADQ中，据勾股定理得：
即：，解之得
∵△ADQ与△ABC相似，∴，∴
∴三角形ABC的周长，即：，其中x>0
8 (2010年山东日照)．（本题满分10分）
（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90° ，
即AD是底边BC上的高． ………………………………………1分
又∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形，
∴D是BC的中点；………… ……………………………………………3分
(2) 证明：∵∠CBE与∠CAD是同弧所对的圆周角，
∴ ∠CBE=∠CAD．…………………………………………………5分
又∵ ∠BCE=∠ACD，
∴△BEC∽△ADC；…………………………………………………6分
（3）证明：由△BEC∽△ADC，知，
即CD·BC=AC·CE． …………………………………………………8分
∵D是BC的中点，∴CD=BC．
又 ∵AB=AC，∴CD·BC=AC·CE=BC ·BC=AB·CE
即BC=2AB·CE．……………………………………………………10分
9.(2010年江苏泰州)
.解：⑴①根据题意得：B的坐标为（0，b），∴OA=OB=b，∴A的坐标为（b，0），代入y＝kx＋b得k＝－1.
②过P作x轴的垂线，垂足为F，连结OD.
∵PC、PD是⊙O的两条切线，∠CPD=90°，
∴∠OPD=∠OPC=∠CPD=45°，
∵∠PDO=90°，，∠POD=∠OPD＝45°，
∴OD＝PD＝，OP=.
∵P在直线y＝－x＋4上，设P（m，－m＋4），则OF=m，PF=－m＋4，
∵∠PFO=90°， OF2＋PF2＝PO2，
∴ m2＋ (－m＋4)2＝（）2，
解得m=1或3，
∴P的坐标为（1，3）或（3，1）
(2)分两种情形，y＝－x＋，或y＝－x－。
直线将圆周分成两段弧长之比为1∶2，可知其所对圆心角为120°，如图，画出弦心距OC，可得弦心距OC=，又∵直线中∴直线与x轴交角的正切值为，即，∴AC=，进而可得AO=，即直线与与x轴交于点（，0）．所以直线与y轴交于点（，0），所以b的值为．
当直线与x轴、y轴的负半轴相交，同理可求得b的值为．
综合以上得：b的值为或．
10．(2010年湖南湘潭)（本题满分10分）
解：（1）A（6，0），B（0，6） ……………………1分
连结OC,由于∠AOB=90o，C为AB的中点，则，
所以点O在⊙C上（没有说明不扣分）．
过C点作CE⊥OA，垂足为E，则E为OA中点,故点C的横坐标为3．
又点C在直线y=－x+6上，故C（3，3） ……………………2分
抛物线过点O，所以c=0,
又抛物线过点A、C，所以，解得：
所以抛物线解析式为 …………………3分
（2）OA=OB=6代入OB2=OA·OD，得OD=6 ……………………4分
所以OD=OB=OA，∠DBA=90o． ……………………5分
又点B在圆上，故DB为⊙C的切线 ……………………6分
（通过证相似三角形得出亦可）
（3）假设存在点P满足题意．因C为AB中点,O在圆上,故∠OCA=90o,
要使以P、O、C、A为顶点的四边形为直角梯形，
则 ∠CAP=90o或 ∠COP=90o, ……………………7分
若∠CAP=90o,则OC∥AP，因OC的方程为y=x,设AP方程为y=x+b．
又AP过点A（6，0），则b=－6, ……………………8分
方程y=x－6与联立解得：，，
故点P1坐标为（－3，－9） ……………………9分
若∠COP=90o,则OP∥AC，同理可求得点P2（9，－9）
(用抛物线的对称性求出亦可)
故存在点P1坐标为（－3，－9）和P2（9，－9）满足题意．……10分
11（2010年四川成都市）.
（1）解：（1）∵沿轴向下平移3个单位后恰好经过原点，
∴，。
将 代入，得。解得。
∴直线AC的函数表达式为。
∵抛物线的对称轴是直线
∴解得
∴抛物线的函数表达式为。
（2）如图，过点B作BD⊥AC于点D。
∵，
∴
∴。
过点P作PE⊥x轴于点E，
∵PE∥CO，∴△APE∽△ACO，
∴， ∴
∴，解得x= ，∴点P的坐标为
（3）（Ⅰ）假设⊙Q在运动过程中，存在与坐标轴相切的情况。
设点Q的坐标为。
当⊙Q与y轴相切时，有，即。
当时，得，∴
当时，得，∴
当⊙Q与x轴相切时，有，即
当时，得，即，解得，∴
当时，得，即，解得，∴，。
综上所述，存在符合条件的⊙Q，其圆心Q的坐标分别为，，，，。
（Ⅱ）设点Q的坐标为。
当⊙Q与两坐标轴同时相切时，有。
由，得，即，
∵△=
∴此方程无解。
由，得，即，
解得
∴当⊙Q的半径时，⊙Q与两坐标轴同时相切。
·
O
图2
·
O
图2
·
O
图1
·
O
图2
·
O
图3
·
O
图1
·
A A
O A
C A
D A
B A
P A
P
A
B
C
D
P
A
B
C
D
·
O
P
A
B
T
·
·
O
P
A
B
C
D
·
A
B
O
m
·
A
B
O
m
·
O
A
B
·
·
O1
O2
·
O1
·
O2
O1
·
O2
·
O2
O1
·
·
·
O2
·
O1
O
A
B
C
第1题图
·
第5题
第12题图
A
O
B
C
第11题
O
A
B
C
第14题图
·
第13题图
A
O
C
B
（第17题）
（第18题）
A
B
O
C
D
A
B
C
D
E
O
图(1)
第4题图
B
A
C
第6题图
C
A
B
E
D
O
.
(第8题)
·
A
B
C
D
O
M
第5题图
7题图
第3题
(第19题)
y
C
O
P
B
F
E
D
第13题
B
A
C
D
E
F
G
H
图(2)
第6题图2
第6题图1
A
B
C
D
A
B
O
A
B
O
A’
O’
图(十三)
图(十四)
O
A
B
C
(第15题)
l
D
Ｐ
O
E
B
A
C
D
A
OA
B
C
D
A’
xA
yxA
F
第22题图
A
E
D
O
B
C
（图7）
（第23题图）
O
B
C
D
E
A
第10题图
A
B
单位：mm
l1
l2
P
A
O
B
第12题
x
O
P
y
B
C
A
第15题图
C
P
D
O
B
A
E
A
B
C
第25题
D
P
E
O1
O2
A
B
C
F
C
P
D
O
B
A
E
H
G
F
C
P
D
O
B
A
E
H
G
t
t
O
A
C
B
D
x
y
G
P
H
图1
O1
O2
A
B
C
D
同课章节目录