2012年中考数学专题复习(三)：二次函数
文档属性
| 名称 | 2012年中考数学专题复习(三)：二次函数 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 2.6MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 新人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2012-03-03 18:37:03 | ||
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文档简介
专题三：二次函数
知识要点扫描归纳
一 二次函数的基本概念
1．二次函数的概念：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：二次项系数，而可以为零．二次函数的定义域是全体实数．
2. 二次函数的结构特征：
⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2．
⑵ 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项．
二 二次函数的基本形式
二次函数基本形式：的性质：
结论：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
向上 轴 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
向下 轴 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
2. 的性质：
结论：上加下减。
总结：
的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
向上 轴 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
向下 轴 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
3. 的性质：
结论：左加右减。
的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
向上 X=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
向下 X=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
4. 的性质：
总结：
的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
向上 X=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
向下 X=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
三 二次函数图象的平移
1. 平移步骤：
⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；
⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：
2. 平移规律
在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．
概括成八个字“左加右减，上加下减”．
四 二次函数与的比较
请将利用配方的形式配成顶点式。请将配成。
总结：
从解析式上看，与是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即，其中．
五 二次函数图象的画法
五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.
画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.
六 二次函数的性质
1. 当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为．
当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，有最小值．
2. 当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为．当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值．
七、二次函数解析式的表示方法
1. 一般式：（，，为常数，）；
2. 顶点式：（，，为常数，）；
3. 两根式：（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）.
注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.
二次函数解析式的确定：
根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：
1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
3. 已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；
4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．
八、二次函数的图象与各项系数之间的关系
1. 二次项系数
二次函数中，作为二次项系数，显然．
⑴ 当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越大；
⑵ 当时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越大．
总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小．
2. 一次项系数
在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴．
⑴ 在的前提下，
当时，，即抛物线的对称轴在轴左侧；
当时，，即抛物线的对称轴就是轴；
当时，，即抛物线对称轴在轴的右侧．
⑵ 在的前提下，结论刚好与上述相反，即
当时，，即抛物线的对称轴在轴右侧；
当时，，即抛物线的对称轴就是轴；
当时，，即抛物线对称轴在轴的左侧．
总结起来，在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置．
总结：
3. 常数项
⑴ 当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正；
⑵ 当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为；
⑶ 当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负．
总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置．
总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．
九、二次函数图象的对称
二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达
1. 关于轴对称
关于轴对称后，得到的解析式是；
关于轴对称后，得到的解析式是；
2. 关于轴对称
关于轴对称后，得到的解析式是；
关于轴对称后，得到的解析式是；
3. 关于原点对称
关于原点对称后，得到的解析式是；
关于原点对称后，得到的解析式是；
4. 关于顶点对称
关于顶点对称后，得到的解析式是；
关于顶点对称后，得到的解析式是．
5. 关于点对称
关于点对称后，得到的解析式是
根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．
十 二次函数与一元二次方程：
1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与轴交点情况）：
一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况.
图象与轴的交点个数：
① 当时，图象与轴交于两点，其中的是一元二次方程的两根．这两点间的距离.
② 当时，图象与轴只有一个交点；
③ 当时，图象与轴没有交点.
当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有；
当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有．
2. 抛物线的图象与轴一定相交，交点坐标为，；
3. 二次函数常用解题方法总结：
⑴ 求二次函数的图象与轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；
⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；
⑶ 根据图象的位置判断二次函数中，，的符号，或由二次函数中，，的符号判断图象的位置，要数形结合；
⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.
考点回放
1 二次函数的解析式
1. （2010年杭州月考）将二次函数的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是 。
2．( 2010年山东菏泽全真模拟1)请写出一个开口向上，与y轴交点纵坐标为-1，且经过点(1，3)的抛物线的解析式 .
3.（2010年河南中考模拟题3）将抛物线y=﹣3x2向上平移一个单位后，得到的抛物线解析式是 。
4.（2010教育联合体）二次函数y＝x2的图象向下平移2个单位，得到新图象的二次函数表达式是（ ）
A．y＝x2－2 B．y＝(x－2)2 C．y＝x2＋2 D．y＝(x＋2)2
5.(2010三亚).抛物线y=x2 向左平移8个单位，再向下平移9个单位后，所得抛物线的表达式是（ ）
A. y=(x+8)2-9 B. y=(x-8)2+9 C. y=(x-8)2-9 D. y=(x+8)2+9
6.（2010山东新泰）二次函数y＝x2的图象向下平移2个单位，得到新图象的二次函数表达式是（ ）
A．y＝x2－2 B．y＝(x－2)2 C．y＝x2＋2 D．y＝(x＋2)2
7．(2010年山东宁阳一模)在平面直角坐标系中，先将抛物线关于x轴作轴对称变换，再将所得抛物线关于y轴作轴对称变换，经过两次变换后所得的新抛物线解析式为（ ）
A． B． C． D．
8．(2010年江西省统一考试样卷)若抛物线y=2x2向左平移1个单位，则所得抛物线是（ ）
A．y=2x2＋1 B．y=2x2－1 C．y=2（x＋1）2 D．y=2（x－1）2
9．（2010年金华）(本题8分)已知二次函数y=ax2＋bx－3的图象经过点A（2，－3），B（－1，0）．
（1）则二次函数的解析式为
（2）填空：要使该二次函数的图象与x轴只有一个交点，应把图象沿y轴向上平移 个单位．
10．（2010年郴州市）将抛物线y=x2 +1向下平移2个单位，则此时抛物线的解析式是_____________
（2010年成都）5．把抛物线向右平移1个单位，所得抛物线的函数表达式为（ ）
（A） （B）
（C） （D）
11（北京2010）将二次函数y=x22x3化为y=(xh)2k的形式，结果为
(A) y=(x1)24 (B) y=(x1)24 (C) y=(x1)22 (D) y=(x1)22。
12（毕节2010）．把抛物线y=x+bx+c的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为y=x－3x＋5，则（ ）
A．b=3，c=7 B．b=6，c=3
C．b=9，c=5 D．b=9，c=21
13.（2010年天津市）（16）已知二次函数()中自变量和函数值的部分对应值如下表：
… 0 1 …
… 0 …
则该二次函数的解析式为 ．
14.（2010宁夏）．把抛物线向左移1个单位，再向上移3个单位，则平移后抛物线的表达式（ ）
A． B． C． D．
15. （2010株洲市）．已知二次函数（为常数），
当取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．下图分别是当，
，，时二次函数的图象.它们的顶点在一条直线上，这
条直线的解析式是 .
16.（2010年安徽）. 若二次函数配方后为则、的值分别为…（ ）
A .5 B .1 C 4.5 D—4.1
17（2010重庆市綦江中学模拟1）抛物线y=（x—1）2+3的顶点坐标为 ．
18（2010年 湖里区 二次适应性考试）抛物线的顶点坐标是 .
2.二次函数表征量a,b,,c及函数对称轴
1（2010福建模拟）抛物线的对称轴是直线 ．
2（2010年杭州月考）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，给出以下
结论：① ②当时，函数有最大值。③当时，函数y
的值都等于0. ④其中正确结论的个数是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
3（2010年厦门湖里模拟)如图，二次函数 的图像与轴有一个交点在０和１之间（不含０和１），则的取值范围是（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
4(2010年厦门湖里模拟)如图，抛物线
对称轴是直线，且经过点（3，0），则的值为
A. 0 B. －1 C. 1 D. 2
5．（2010年河南中考模拟题4）二次函数（）的图象如图所示，则正确的是( )
A．a＜0 B．b＜0 C．c＞0 D．以答案上都不正确
6.（2010年河南中考模拟题3）已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，则下列条件正确的是（ ）
A．ac＜0 B.b2 －4ac＜0
C. b＞0 D. a＞0、b＜0、c＞0
x … －3 －2 －1 0 1 …
y … －6 0 4 6 6 …
6．(2010年江苏省泰州市济川实验初中中考模拟题)抛物线y＝ax2＋bx＋c上部分点的横坐标x，纵坐标y 的对应值如表所示．
给出下列说法：①抛物线与y轴的交点为(0，6)；
②抛物线的对称轴是在y轴的右侧；
③抛物线一定经过点(3，0)； ④在对称轴左侧，y随x增大而减小．
从表中可知，下列说法正确的个数有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7.（2010天水模拟）二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，则关于此二次函数
的下列四个结论①a<0②a>0③b2-4ac>0④中，正确的结论有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
8．（2010年贵州毕节）函数在同一直角坐标系内的图象大致是( )
9.（2010年兰州）15. 抛物线图像如图所示，则一次函数与反比例函数 在同一坐标系内的图像大致为
第15题图
10. （2010莱芜）二次函数的图象如图所示，则一次函
数的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
11（2010安徽芜湖）二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，反比例函数y=与正比例函数y=(b+c)x在同一坐标系中的大致图像可能是（ ）
12.（2010天水模拟）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，图象经过点（-1，2）和（1，0），且与y轴相交于负半轴。
第（1）问：给出四个结论：①a>0；②b>0；③c>0；④a+b+c=0；
其中正确结论的序号（答对得3分，少选、错选均不得分）
第（2）问：给出四个结论：①abc<0②2a+b>0③a+c=1④a>1.
其中正确结论的序号（答对得5分，少选、错选均不得分）
13.（2010年天津市）（10）已知二次函数()的图象如图所示，有下列结论：（ ）
①； ②； ③； ④．
其中，正确结论的个数是
（A）1 （B）2
（C）3 （D）4
14. (2010年江苏省泰州市济川实验初中中考模拟题)已知抛物线的部分图象如图所示.
(1)求b、c的值；
(2)求y的最大值；
(3)写出当时，x的取值范围.
15．（2010湖北鄂州）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论
①a、b异号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0，④当y=4时，x的取
值只能为0．结论正确的个数有（ ） 个
A．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4
16．（2010四川乐山）.设a、b是常数，且b＞0，抛物线y=ax2+bx+a2-5a-6为下图中四个图象之一，则a的值为（ ）
A. 6或－1 B. －6或1 C. 6 D. －1
17．（2010 山东东营） 二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致为（ ）
SHAPE \* MERGEFORMAT
3.二次函数增减性问题
1．（2010湖北荆门）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论错误的是
A．ab＜0
B．ac＜0
C．当x＜2时，函数值随x的增大而增大；当x＞2时，函数值随x的增大而减小 D．二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0的根。
2．（2010山东潍坊）已知函数y1＝x2与函数y2＝－x＋3的图象大致如图，若y1＜y2，
则自变量x的取值范围是（ ）．
A．－＜x＜2 B．x＞2或x＜－
C．－2＜x＜ D． x＜－2或x＞
3．（2010湖北省咸宁）已知抛物线（＜0）过A（，0）、O（0，0）、
B（，）、C（3，）四点，则与的大小关系是
A．＞ B． C．＜ D．不能确定
4．（2010山东泰安）下列函数：①；②；③；④，其中的值随值增大而增大的函数有（ ）
A、4个 B、3个 C、2个 D、1个
5．（2010江苏盐城）给出下列四个函数：①；②；③；④．时，y随x的增大而减小的函数有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2010 浙江衢州）下列四个函数图象中，当x＞0时，y随x的增大而增大的是（ ）
7．（2010 湖北咸宁）已知抛物线（＜0）过A（，0）、O（0，0）、
B（，）、C（3，）四点，则与的大小关系是
A．＞ B． C．＜ D．不能确定
8．（2010鄂尔多斯）已知二次函数中函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示，点A(x1，y1) ，B(x2，y2)在函数的图象上，当0A. y1≥y2 B. y1＞y2
C. y1＜y2 D. y1≤y2
9．（2010广西柳州）抛物线y=-x2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x … -2 -1 0 1 2 …
y … 0 4 6 6 4 …
从上表可知，下列说法正确的个数是
①抛物线与x轴的一个交点为（-2，0） ②抛物线与y轴的交点为（0，6）
③抛物线的对称轴是：x=1 ④在对称轴左侧y随x的增大而增大
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（2010广西百色）二次函数的图象如图所示，下列几个结论：
①对称轴为; ②当≤0时,＜0或＞4；③函数解析式为；
④当≤0时，随的增大而增大. 其中正确的结论有（ ）
A. ①②③④ B. ①②③ C. ①③④ D. ①③
11．（2010江苏泰州）下列函数中，y随x增大而增大的是（ ）
A. B. C. D.
12．（2010山东日照）如图，是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为直线x=1，若其与x轴一交点为A（3，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c＜0的解集是 .
13．（2010 云南玉溪）如图13是二次函数在平面直角坐标系中的图象，
根据图形判断 ① ＞0； ② ++＜0；
③ 2-＜0； ④ 2+8＞4
中正确的是（填写序号） ．
14．（2010新疆维吾尔自治区新疆建设兵团）抛物线y=-x2+bx+c
的部分图象如图所示， 若y＞0，则x的取值范围是_______。 图15
15．（2010辽宁本溪）如图所示，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过原点和点（-2，0），则2a-3b 0.(＞、＜或＝)
16．（2010湖北省咸宁市）已知抛物线（＜0）过A（，0）、O（0，0）、
B（，）、C（3，）四点，则与的大小关系是
A．＞ B． C．＜ D．不能确定
17．（ 2010红河自治州）．（本小题满分11分）二次函数的图像如图8所示，请将此图像向右平移1个单位，再向下平移2个单位. （1）画出经过两次平移后所得到的图像，并写出函数的解析式.
（2）求经过两次平移后的图像与x轴的交点坐标，指出当x满足什么条件时，函数值大于0？
4. 二次函数与一次函数综合
1（2010年安徽芜湖）如图，在平面直角坐标系中放置一矩形ABCO，其顶点为A（0，1）、B（－3，1）、C（－3，0）、O（0，0）．将此矩形沿着过E（－，1）、F（－，0）的直线EF向右下方翻折，B、C的对应点分别为B′、C′．
（1）求折痕所在直线EF的解析式；
（2）一抛物线经过B、E、B′三点，求此二次函数解析式；
（3）能否在直线EF上求一点P，使得△PBC周长最小？如能，求出点P的坐标；若不能，说明理由．
解：
2.（2010北京市朝阳区模拟）定义为一次函数的特征数．
（1）若特征数是的一次函数为正比例函数，求的值；
（2）设点分别为抛物线与轴、轴的交点，其中，且的面积为4，为坐标原点，求图象过、两点的一次函数的特征数．
3.（2010山东新泰）如图，直线与x轴，y轴分别交于B，C两点，抛物线经过点B和点C，点A是抛物线与x轴的另一个交点.
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）若点Q在抛物线的对称轴上，能使△QAC的周长最小，请求出Q点的坐标；
（3）在直线BC上是否存在一点P，且，若存在，求P点的坐标，若不存在，请说明理由.
4.（2010福建模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点A，与y轴交于点C. 抛物线经过A、C两点，且与x轴交于另一点B(点B在点A右侧).
（1）求抛物线的解析式及点B坐标；
（2）若点M是线段BC上一动点，过点M的直线EF平行y轴交轴于点F，交抛物线于点E.求ME长的最大值；
（3）试探究当ME取最大值时，在抛物线x轴下方是否存在点P，使以M、F、B、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试说明理由.
5．(2010年厦门湖里模拟)一次函数y＝x－3的图象与x轴，y轴分别交于点A，B．一个二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过点A，B．
（1）求点A，B的坐标，并画出一次函数y＝x－3的图象；
（2）求二次函数的解析式及它的最小值．
6．（2010年河南中考模拟题4）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点B的坐标为（4，3）．平行于对角线AC的直线m从原点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m与矩形OABC的两边分别交于点M、N，直线m运动的时间为t（秒）．
（1）点A的坐标是__________，点C的坐标是__________；
（2）设△OMN的面积为S，求S与t的函数关系式；
（3）探求（2）中得到的函数S有没有最大值？若有，求出最大值；若没有，说明理由．
．
7.(2010年山东宁阳一模)某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不超过45%，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数，且时，；时，．
（1）若该商场获利为w元，试写出利润w与销售单价x之间的关系式，售价定为多少元时，商场可以获利最大，最大利润为多少元？
（2）若该商场获利不低于500元，试确定销售单价x的范围．
8.（2010年无锡）24．（本题满分10分）如图，矩形ABCD的顶点A、B的坐标分别为（-4,0）和（2,0），BC=．设直线AC与直线x=4交于点E．
（1）求以直线x=4为对称轴，且过C与原点O的抛物线的函数关系式,并说明此抛物线一定过点E
（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为N， M是该抛物线上位于C、N之间的一动点，求△CMN面积的最大值．
9．（2010年长沙）已知：二次函数的图象经过点（1，0），一次函数图象经过原点和点（1，－b），其中且、为实数．
（1）求一次函数的表达式（用含b的式子表示）；
（2）试说明：这两个函数的图象交于不同的两点；
（3）设（2）中的两个交点的横坐标分别为x1、x2，求| x1－x2 |的范围．
10.(2010湖北省荆门市)24．(本题满分12分)已知：如图一次函数y＝x＋1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B；二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与一次函数y＝x＋1的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点且D点坐标为(1，0)
(1)求二次函数的解析式；
(2)求四边形BDEC的面积S；
(3)在x轴上是否存在点P，使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点P，若不存在，请说明理由．
5.二次函数动点问题
1．（2010年长沙）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上， cm， OC=8cm，现有两动点P、Q分别从O、C同时出发，P在线段OA上沿OA方向以每秒 cm的速度匀速运动，Q在线段CO上沿CO方向以每秒1 cm的速度匀速运动．设运动时间为t秒．
（1）用t的式子表示△OPQ的面积S；
（2）求证：四边形OPBQ的面积是一个定值，并求出这个定值；
（3）当△OPQ与△PAB和△QPB相似时，抛物线经过B、P两点，过线段BP上一动点M作轴的平行线交抛物线于N，当线段MN的长取最大值时，求直线MN把四边形OPBQ分成两部分的面积之比．
2．（2010年浙江义乌）如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）．
（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标；
（2）将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图2的梯形O1A1B1C1．设梯形O1A1B1C1的面积为S，A1、 B1的坐标分别为 (x1，y1)、(x2，y2)．用含S的代数式表示－，并求出当S=36时点A1的坐标；
（3）在图1中，设点D坐标为(1，3)，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动．P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线AB、轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
3．（2010湖北恩施自治州） 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点， A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点.
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）连结PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POPC， 那么是否存在点P，使四边形POPC为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）当点P运动到什么位置时，四边形 ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.
4．（2010北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴的交点分别为原点O和点A，点B（2，n）在这条抛物线上．
（1）求B点的坐标；
（2）点P在线段OA上，从O点出发向A点运动，过P点作x轴的垂线，与直线OB交与点E，延长PE到点D，使得ED=PE，以PD为斜边，在PD右侧做等等腰直角三角形PCD（当P点运动时，C点、D点也随之运动）．
① 当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此抛物线上时，求OP的长；
② 若P点从O点出发向A点作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA上另一个点Q从A点出发向O点作匀速运动，速度为每秒2个单位（当Q点到达O点时停止运动，P点也同时停止运动）．过Q点做x轴的垂线，与直线AB交与点F，延长QF到点M，使得FM=QF，以QM为斜边，在QM的左侧作等腰直角三角形QMN（当Q点运动时，M点、N点也随之运动）．若P点运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻t的值．
5．（2010湖北鄂州）如图，在直角坐标系中，A（-1，0），B（0，2），一动点P沿过B点且垂直于AB的射线BM运动，P点的运动速度为每秒1个单位长度，射线BM与x轴交与点C．
（1）求点C的坐标．
（2）求过点A、B、C三点的抛物线的解析式．
（3）若P点开始运动时，Q点也同时从C出发，以P点相同的速度沿x轴负方向向点A运动，t秒后，以P、Q、C为顶点的三角形为等腰三角形．（点P到点C时停止运动，点Q也同时停止运动）求t的值．
（4）在（2）（3）的条件下，当CQ=CP时，求直线OP与抛物线的交点坐标．
6．二次函数极值问题
1．（2010湖南常德）如图9, 已知抛物线与轴交于A (－4，0) 和B(1，0)两点，与轴交于C点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）设E是线段AB上的动点，作EF//AC交BC于F，连接CE，当△CEF的面积是△BEF面积的2倍时，求E点的坐标;
（3）若P为抛物线上A、C两点间的一个动点，过P作轴的平行线，交AC于Q，当P点运动到什么位置时，线段PQ的值最大，并求此时P点的坐标．
2.（2010河南）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(4，0)，B(0，一4)，C(2，0)三点.
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S.求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；
(3)若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=－x上的动点，判断有几个位置能使以点P、Q、B、0为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标.
7. 二次函数面积问题
1.（2010宁波市）．如图，已知二次函数y＝— x2＋bx＋c的图象经过A（2，0）、B（0，—6）两点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）设该二次函数图象的对称轴与x轴交于点C，连结BA、BC，求△ABC的面积．
2. （2010年怀化市）图2是二次函数的图象，其顶点坐标为M(1,-4).
（1）求出图象与轴的交点A,B的坐标；
（2）在二次函数的图象上是否存在点P，使,若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）将二次函数的图象在轴下方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线与此图象有两个公共点时，的取值范围.
3.（2010四川乐山）如图(13.1)，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C(0，2)，连接AC，若tan∠OAC＝2．
(1)求抛物线对应的二次函数的解析式；
(2)在抛物线的对称轴l上是否存在点P，使∠APC＝90°，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图(13.2)所示，连接BC，M是线段BC上(不与B、C重合)的一个动点，过点M作直线l′∥l，交抛物线于点N，连接CN、BN，设点M的横坐标为t．当t为何值时，△BCN的面积最大？最大面积为多少？
4. （2010山西23．（本题10分）已知二次函数y＝x2－2x－3的图象与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．
（1）求点A、B、C、D的坐标，并在下面直角坐标系中画出该二次函数的大致图象；
（2）说出抛物线y＝x2－2x－3可由抛物线y＝x2如何平移得到？
（3）求四边形OCDB的面积．
8. 二次函数与四边形问题
1、（2010年杭州市）在平面直角坐标系xOy中，抛物线的解析式是y =+1，点C的坐标为(–4，0)，平行四边形OABC的顶点A，B在抛物线上，AB与y轴交于点M，已知点Q(x，y)在抛物线上，点P(t，0)在x轴上.
(1) 写出点M的坐标；
(2) 当四边形CMQP是以MQ，PC为腰的梯形时.
① 求t关于x的函数解析式和自变量x的取值范围；
② 当梯形CMQP的两底的长度之比为1：2时，求t的值.
2.（2010陕西省）24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线A（-1,0），B（3,0）C（0，-1）三点。
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形求所有满足条件点P的坐标。
9. 二次函数与圆问题
1.（2010年成都）28．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，点的坐标为，若将经过两点的直线沿轴向下平移3个单位后恰好经过原点，且抛物线的对称轴是直线．
（1）求直线及抛物线的函数表达式；
（2）如果P是线段上一点，设、的面积分别为、，且，求点P的坐标；
（3）设的半径为l，圆心在抛物线上运动，则在运动过程中是否存在与坐标轴相切的情况？若存在，求出圆心的坐标；若不存在，请说明理由．并探究：若设⊙Q的半径为，圆心在抛物线上运动，则当取何值时，⊙Q与两坐轴同时相切？
2．（2010山东济南 ）
如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，直线BD的函数表达式为，抛物线的对称轴l与直线BD交于点C、与x轴交于点E．
⑴求A、B、C三个点的坐标．
⑵点P为线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），以点A为圆心、以AP为半径的圆弧与线段AC交于点M，以点B为圆心、以BP为半径的圆弧与线段BC交于点N，分别连接AN、BM、MN．
①求证：AN=BM．
②在点P运动的过程中，四边形AMNB的面积有最大值还是有最小值？并求出该最大值或最小值.
3．（2010昆明）在平面直角坐标系中，抛物线经过O（0，0）、A（4，0）、B（3，）三点.
（1）求此抛物线的解析式；
（2）以OA的中点M为圆心，OM长为半径作⊙M，在（1）中的抛物线上是否存在这样的点P，过点P作⊙M的切线l ，且l与x轴的夹角为30°，若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由.（注意：本题中的结果可保留根号）
4. （2008乌鲁木齐）．如图4，在平面直角坐标系中，以点为圆心，2为半径作圆，交轴于两点，开口向下的抛物线经过点，且其顶点在上．
（1）求的大小；
（2）写出两点的坐标；
（3）试确定此抛物线的解析式；
（4）在该抛物线上是否存在一点，使线段与互相平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
5. (2008年西宁市) 28．如图5，已知半径为1的与轴交于两点，为的切线，切点为，圆心的坐标为，二次函数的图象经过两点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求切线的函数解析式；
（3）线段上是否存在一点，使得以为顶点的三角形与相似．若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
6. (2008年益阳) (本题12分)我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线.
如图12，点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点D的坐标为(0，-3)，AB为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为(1,0)，半圆半径为2.
请你求出“蛋圆”抛物线部分的解析式，并写出自变量
的取值范围；
(2)你能求出经过点C的“蛋圆”切线的解析式吗？
试试看；
(3)开动脑筋想一想，相信你能求出经过点D的
“蛋圆”切线的解析式.
7.（2010年浙江湖州）如图，已知在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，P是线段AD边上的任意一点（不含端点A、D），连结PC， 过点P作PE⊥PC交AB于E
（1）在线段AD上是否存在不同于P的点Q，使得QC⊥QE？若存在，求线段AP与AQ之间的数量关系；若不存在，请说明理由；
（2）当点P在AD上运动时，对应的点E也随之在AB上运动，求BE的取值范围．
8.．（2010年福建福州）如图1，在平面直角坐标系中，点B在直线上，过点B作轴的垂线，垂足为A，OA=5。若抛物线过点O、A两点。
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若A点关于直线的对称点为C，判断点C是否在该抛物线上，并说明理由；
（3）如图2，在（2）的条件下，⊙O1是以BC为直径的圆。过原点O作O1的切线OP，P为切点（P与点C不重合），抛物线上是否存在点Q，使得以PQ为直径的圆与O1相切？若存在，求出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由。
9.（2010年云南楚雄州）已知：如图，⊙A与轴交于C、D两点，圆心A的坐标为（1，0），
⊙A的半径为，过点C作⊙A的切线交于点B（－4，0）。
（1）求切线BC的解析式；
（2）若点P是第一象限内⊙A上一点，过点P作⊙A的切线与直线BC相交于点G，且∠CGP=120°，求点G的坐标；
（3）向左移动⊙A（圆心A始终保持在上），与直线BC交于E、F，在移动过程中是否存在点A，使得△AEF是直角三角形？若存在，求出点A 的坐标，若不存在，请说明理由。
10.（2010年云南红河州）如图9，在直角坐标系xoy中，O是坐标原点，点A在x正半轴上，OA=cm，点B在y轴的正半轴上，OB=12cm，动点P从点O开始沿OA以cm/s的速度向点A移动，动点Q从点A开始沿AB以4cm/s的速度向点B移动，动点R从点B开始沿BO以2cm/s的速度向点O移动.如果P、Q、R分别从O、A、B同时移动，移动时间为t（0＜t＜6）s.
（1）求∠OAB的度数.
（2）以OB为直径的⊙O‘与AB交于点M，当t为何值时，PM与⊙O‘相切？
（3）写出△PQR的面积S随动点移动时间t的函数关系式，并求s的最小值及相应的t值.
（4）是否存在△APQ为等腰三角形，若存在，求出相应的t值，若不存在请说明理由.
10. 二次函数与三角形问题
1. （2010年郴州市）如图（1），抛物线与y轴交于点A，E（0，b）为y轴上一动点，过点E的直线与抛物线交于点B、C.
（1）求点A的坐标；
（2)当b=0时（如图（2）），与的面积大小关系如何？当时，上述关系还成立吗，为什么？
（3）是否存在这样的b，使得是以BC为斜边的直角三角形，若存在，求出b；若不存在，说明理由.
2. （2010湖北随州）（15分）已知抛物线顶点为C（1，1）且过原点O.过抛物线上一点P（x，y）向直线作垂线，垂足为M，连FM（如图）.
（1）求字母a，b，c的值；
（2）在直线x＝1上有一点，求以PM为底边的等腰三角形PFM的P点的坐标，并证明此时△PFM为正三角形；
（3）对抛物线上任意一点P，是否总存在一点N（1，t），使PM＝PN恒成立，若存在请求出t值，若不存在请说明理由.
11. 二次函数与一元二次方程问题
1．（2010湖北省咸宁）已知二次函数的图象与轴两交点的坐标分别为（，0），（，0）（）．
（1）证明；
（2）若该函数图象的对称轴为直线，试求二次函数的最小值．
2．（2010湖南长沙）已知：二次函数的图象过点（1，0），一次函数图象经过原点和点（1，－b），其中a>b>0且a、b为实数．
（1）求一次函数的表达式（用含b的式子表示）；
（2）试说明：这两个函数的图象交于不同的两点；
（3）设（2）中的两个交点的横坐标分别为、，求的范围．
12. 二次函数与实际问题
1. (2010湖北省荆门市)．(本题满分10分)某商店经营一种小商品，进价为2.5元，据市场调查，销售单价是13.5元时平均每天销售量是500件，而销售价每降低1元，平均每天就可以多售出100件
(1)假定每件商品降价x元，商店每天销售这种小商品的利润是y元，请写出y与x间的函数关系式，并注明x的取值范围．
(2)每件小商品销售价是多少元时，商店每天销售这种小商品的利润最大？最大利润是多少？(注：销售利润＝销售收入－购进成本)
2、（2010年泉州南安市）某公园有一个抛物线形状的观景拱桥ABC，其横截面如图所示，在图中建立的直角坐标系中，抛物线的解析式为且过顶点C（0，5）（长度单位：m）
（1）直接写出c的值；
（2）现因搞庆典活动，计划沿拱桥的台阶表面铺设一条宽度为1.5 m的地毯，地毯的价格为20元 / ,求购买地毯需多少元？
（3）在拱桥加固维修时，搭建的“脚手架”为矩形EFGH（H、G分别在抛物线的左右侧上），并铺设斜面EG.已知矩形EFGH的周长为27.5 m，求斜面EG的倾斜角∠GEF的度数.（精确到0.1°）
3、（2010年桂林市）桂林红桥位于桃花江上，是桂林两江四湖的一道亮丽的风景线，该桥的部分横截面如图所示，上方可看作是一个经过Ａ、Ｃ、Ｂ三点的抛物线，以桥面的水平线为Ｘ轴，经过抛物线的顶点Ｃ与Ｘ轴垂直的直线为Ｙ轴，建立直角坐标系，已知此桥垂直于桥面的相邻两柱之间距离为２米（图中用线段ＡＤ、ＣＯ、ＢＥ等表示桥柱）ＣＯ＝１米，ＦＧ＝２米
求经过Ａ、Ｂ、Ｃ三点的抛物线的解析式。
求柱子ＡＤ的高度。
4、（2007山东日照）容积率t是指在房地产开发中建筑面积与用地面积之比，即，为充分利用土地资源，更好地解决人们的住房需求，并适当的控制建筑物的高度，一般地容积率t不小于1且不大于8.一房地产开发商在开发某小区时，结合往年开发经验知，建筑面积M（m2）与容积率t的关系可近似地用如图（1）中的线段l来表示；1 m2建筑面积上的资金投入Q（万元）与容积率t的关系可近似地用如图（2）中的一段抛物线段c来表示．
（Ⅰ）试求图（1）中线段l的函数关系式，并求出开发该小区的用地面积；
（Ⅱ）求出图（2）中抛物线段c的函数关系式.
5.(2008年安徽省)杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体(看成一点)的路线是抛物线的一部分，如图。
（1）求演员弹跳离地面的最大高度；
（2）已知人梯高BC＝3.4米，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由。
13. 二次函数与概率
1.（2010宁德）（本题满分12分）如图1，抛物线与x轴交于A、C两点，与y轴交于B点，与直线交于A、D两点。
⑴直接写出A、C两点坐标和直线AD的解析式；
⑵如图2，质地均匀的正四面体骰子的各个面上依次标有数字－1、1、3、4.随机抛掷这枚骰子两次，把第一次着地一面的数字m记做P点的横坐标，第二次着地一面的数字n记做P点的纵坐标.则点落在图1中抛物线与直线围成区域内（图中阴影部分，含边界）的概率是多少？
14. 二次函数存在性问题讨论
1 ．（2010湖南郴州）如图（1），抛物线与y轴交于点A，E（0，b）为y轴上一动点，过点E的直线与抛物线交于点B、C.
（1）求点A的坐标；
（2)当b=0时（如图（2）），与的面积大小关系如何？当时，上述关系还成立吗，为什么？
（3）是否存在这样的b，使得是以BC为斜边的直角三角形，若存在，求出b；若不存在，说明理由.
2．（2010湖南怀化）图3是二次函数的图象，其顶点坐标为M(1,-4).
（1）求出图象与轴的交点A,B的坐标；
（2）在二次函数的图象上是否存在点P，使,若存在，求出P点的
坐标；若不存在，请说明理由；
（3）将二次函数的图象在轴下方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变，
得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线与此
图象有两个公共点时，的取值范围.
2011年全国各地中考数学真题分类汇编
二次函数
一、选择题
1. （2011山东滨州，7，3分）抛物线可以由抛物线平移得到,则下列平移过程正确的是( )
A.先向左平移2个单位,再向上平移3个单位
B.先向左平移2个单位,再向下平移3个单位
C.先向右平移2个单位,再向下平移3个单位
D.先向右平移2个单位,再向上平移3个单位
【答案】B
【答案】D
2. （2011广东广州市，5，3分）下列函数中,当x>0时y值随x值增大而减小的是（ ）．
A．y = x2 B．y = x－１ C． y = x D．y =
【答案】D
3. （2011湖北鄂州，15，3分）已知函数，则使y=k成立的x值恰好有三个，则k的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4. （2011山东德州6,3分）已知函数（其中）的图象
如下面右图所示，则函数的图象可能正确的是
【答案】D
5. （2011山东菏泽，8，3分）如图为抛物线的图像，A、B、C 为抛物线与坐标轴的交点，且OA=OC=1，则下列关系中正确的是
A．a＋b=－1 B． a－b=－1 C． b<2a D． ac<0
【答案】B
6. （2011山东泰安，20 ，3分）若二次函数y=ax2+bx+c的x与y的部分对应值如下表：
X -7 -6 -5 -4 -3 -2
y -27 -13 -3 3 5 3
则当x=1时，y的值为
A.5 B.-3 C.-13 D.-27
【答案】D
7. （2011山东威海，7，3分）二次函数的图象如图所示．当y＜0时，自变量x的取值范围是（ ）．
A．－1＜x＜3 B．x＜－1 C． x＞3 D．x＜－1或x＞3
【答案】A
8. （2011山东烟台，10,4分）如图，平面直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，则下列关系正确的是（ ）
A．m＝n，k＞h B．m＝n ，k＜h
C．m＞n，k＝h D．m＜n，k＝h
【答案】A
9. （2011浙江温州，9，4分）已知二次函数的图象(0≤x≤3)如图所示．关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是( )
A．有最小值0，有最大值3 B．有最小值－1，有最大值0
C．有最小值－1，有最大值3 D．有最小值－1，无最大值
【答案】D
10．（2011四川重庆，7，4分）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中正确的是( )
A． a>0 B． b＜0 C． c＜0 D． a＋b＋c>0
【答案】D
11. （2011台湾台北，6）若下列有一图形为二次函数y＝2x2－8x＋6的图形，则此图为何？
【答案】A
12. （2011台湾台北，32）如图(十四)，将二次函数的图形画在坐标平面上，判断方程
式的两根，下列叙述何者正确？
A．两根相异，且均为正根 B．两根相异，且只有一个正根
C．两根相同，且为正根 D．两根相同，且为负根
【答案】A
13. （2011台湾全区，28）图(十二)为坐标平面上二次函数的图形，且此图形通（－1 ,
1）、（2 ,－1）两点．下列关于此二次函数的叙述，何者正确？
A ．y的最大值小于0 B．当x＝0时，y的值大于1
C．当x＝1时，y的值大于1 D．当x＝3时，y的值小于0
【答案】Ｄ
14. （2011甘肃兰州，5，4分）抛物线的顶点坐标是
A．（1，0） B．（－1，0） C．（－2，1） D．（2，－1）
【答案】A
15. （2011甘肃兰州，9，4分）如图所示的二次函数的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：（1）；（2）c>1；（3）2a－b<0；（4）a+b+c<0。你认为其中错误的有
A．2个 B．3个 C．4个 D．1个
【答案】D
16. （2011江苏宿迁,8,3分）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图，则下列结论中正确的是（▲）
A．a＞0 B．当x＞1时，y随x的增大而增大
C．c＜0 D．3是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根
【答案】D
17. （2011山东济宁，8，3分）已知二次函数中，其函数与自变量之间的部分对应值如下表所示：
x …… 0 1 2 3 4 ……
y …… 4 1 0 1 4 ……
点A（，）、B（，）在函数的图象上，则当时，与的大小关系正确的是
A． B． C． D．
【答案】B
18. （2011山东聊城，9，3分）下列四个函数图象中，当x<0时，函数值y随自变量x的增大而减小的是（ ）
【答案】D
19. （2011山东潍坊，12，3分）已知一元二次方程的两个实数根、满足和，那么二次函数的图象有可能是（ ）
【答案】C
20．（2011四川广安，10，3分）若二次函数．当≤l时，随的增大而减小，则的取值范围是（ ）
A．=l B．>l C．≥l D．≤l
【答案】C
21. （2011上海，4，4分）抛物线y＝－(x＋2)2－3的顶点坐标是（ ）．
(A) （2，－3）； (B) （－2，3）； (C) （2，3）； (D) （－2，－3） ．
【答案】D
22. （2011四川乐山5，3分）将抛物线向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是
A． B． C． D．
【答案】A
23. （2011四川凉山州，12，4分）二次函数的图像如图所示，反比列函数与正比列函数在同一坐标系内的大致图像是（ ）
【答案】B
24. （2011安徽芜湖，10,4分）二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是（ ）.
【答案】D
25. （2011江苏无锡，9，3分）下列二次函数中，图象以直线x = 2为对称轴，且经过点(0，1)的是 ( )
A．y = (x 2)2 + 1 B．y = (x + 2)2 + 1
C．y = (x 2)2 3 D．y = (x + 2)2 3
【答案】C
26. （2011江苏无锡，10，3分）如图，抛物线y = x2 + 1与双曲线y = 的交点A的横坐标是1，则关于x的不等式 + x2 + 1 < 0的解集是 ( )
A．x > 1 B．x < 1 C．0 < x < 1 D． 1 < x < 0
【答案】D
27. （2011湖北黄冈，15，3分）已知函数，则使y=k成立的x值恰好有三个，则k的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
28. （2011广东肇庆，10，3分）二次函数有
A． 最大值 B． 最小值 C． 最大值 D． 最小值
【答案】D
29. （2011湖北襄阳，12，3分）已知函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是
A. B. C.且 D.且
【答案】B
30. （2011湖南永州，13，3分）由二次函数，可知（ ）
A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为直线
C．其最小值为1 D．当时，y随x的增大而增大
【答案】C．
31. (20011江苏镇江,8,2分)已知二次函数,当自变量x取m时,对应的函数值大于0,当自变量x分别取m-1,m+1时对应的函数值、,则必值,满足 ( )
A. >0,>0 B. <0,<0 C.<0,>0 D.>0,<0
答案【B 】
32. （2011安徽芜湖，10，4分）二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是（ ）.
【答案】D
33. （2010湖北孝感，12，3分）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为，下列结论：①ac＜0；②a+b=0；③4ac－b2=4a；④a+b+c＜0.其中正确的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
34. （2011湖南湘潭市，8，3分）在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图像可能是
【答案】C
35.
二、填空题
1. （2011浙江省舟山，15，4分）如图，已知二次函数的图象经过点（－1，0），（1，－2），当随的增大而增大时，的取值范围是 ．
【答案】
2. （2011山东日照，17，4分）如图，是二次函数 y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象的一部分， 给出下列命题 ：①a+b+c=0；②b＞2a；③ax2+bx+c=0的两根分别为-3和1；④a-2b+c＞0．其中正确的命题是 ．（只要求填写正确命题的序号）
【答案】①③．
3. （2011 浙江杭州，23， 10)设函数 (k为实数)．
(1)写出其中的两个特殊函数，使它们的图象不全是抛物线，并在同一直角坐标系中，用描点法画出这两个特殊函数的图象；
(2)根据所画图象，猜想出：对任意实数K，函数的图象都具有的特征，并给予证明；
(3)对任意负实数k，当x【答案】(1)当k＝1时，，当k＝0时，，图略．
(2) 对任意实数k，函数的图象都经过点（－2，－1）和点（0，1）
证明：把x＝－2代入函数，得y＝－1，即函数的图象经过点（－2，－1）；把x＝0代入函数，得y＝1，即函数的图象经过点（0，1）．
(3) 当k为任意负实数，该函数的图象总是开口向下的抛物线，其对称轴为，当负数k所取的值非常小时，正数靠近0，所以靠近－1，所以只要M的值不大于－1即可．
4. (2011 浙江湖州，15，4)如图，已知抛物线经过点（0，－3），请你确定一个b的值，使该抛物线与x轴的一个交点在(1，0)和(3，0)之间你所确定的b的值是 ．
【答案】如（答案不唯一）
5. （2011宁波市，16，3分）将抛物线y＝x的图象向上平移1个单位，则平移后的抛物线的解析式为
【答案】y＝x2＋1
6. （2011浙江义乌，16，4分）如图，一次函数y=－2x的图象与二次函数y=－x2+3x图象的对称轴交于点B.
（1）写出点B的坐标 ▲ ；
（2）已知点P是二次函数y=－x2+3x图象在y轴右侧部分上的一
个动点，将直线y=－2x沿y轴向上平移，分别交x轴、y轴于
C、D两点. 若以CD为直角边的△PCD与△OCD相似，则点
P的坐标为 ▲ .
【答案】（1）（，-3）；（2）（2,2）、（，）、（，）、（，）
7. （2011浙江省嘉兴，15，5分）如图，已知二次函数的图象经过点（-1，0），（1，-2），该图象与x轴的另一个交点为C，则AC长为 ．
【答案】3
8. （2011山东济宁，12，3分）将二次函数化为的形式，则 ．
【答案】
9. （2011山东潍坊，14，3分）一个y关于x的函数同时满足两个条件：①图象过（2,1）点；②当x>0时，y随x的增大而减小.这个函数解析式为_________________________（写出一个即可）
【答案】如：等，写出一个即可.
10．（ 2011重庆江津， 18，4分）将抛物线y=x2－2x向上平移3个单位,再向右平移4个单位等到的抛物线是_______.
【答案】y=(x-5)2+2 或 y=x2-10x+27
11. （2011江苏淮安，14，3分）抛物线y=x2-2x-3的顶点坐标是 .
【答案】（1，-4）
12. （2011贵州贵阳，14，4分）写出一个开口向下的二次函数的表达式______．
【答案】y=-x2+2x+1
13. （2011广东茂名，15，3分）给出下列命题：
命题1．点(1，1)是双曲线与抛物线的一个交点．
命题2．点(1，2)是双曲线与抛物线的一个交 点．
命题3．点(1，3)是双曲线与抛物线的一个交点．
……
请你观察上面的命题,猜想出命题(是正整数):
【答案】点(1，n)是双曲线与抛物线的一个交点 ．
14. （2011山东枣庄，18，4分）抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表：
x … －2 －1 0 1 2 …
y … 0 4 6 6 4 …
从上表可知，下列说法中正确的是 ．（填写序号）
①抛物线与轴的一个交点为（3,0）； ②函数的最大值为6；
③抛物线的对称轴是； ④在对称轴左侧，随增大而增大．
【答案】①③④
15.
三、解答题
1. （2011广东东莞，15，6分）已知抛物线与x轴有交点．
(1)求c的取值范围；
(2)试确定直线y＝cx+l经过的象限，并说明理由．
【答案】（1）∵抛物线与x轴没有交点
∴⊿＜0，即1－2c＜0
解得c＞
(2)∵c＞
∴直线y=x＋1随x的增大而增大，
∵b=1
∴直线y=x＋1经过第一、二、三象限
2. （ 2011重庆江津， 25，10分）已知双曲线与抛物线y=zx2+bx+c交于A(2,3)、B(m,2)、c(－3,n)三点.
(1)求双曲线与抛物线的解析式;
(2)在平面直角坐标系中描出点A、点B、点C,并求出△ABC的面积,
【答案】(1)把点A(2,3)代入得 ：k=6·
∴反比例函数的解析式为：·
把点B(m,2)、C(－3,n)分别代入得： m=3,n=-2·
把A(2,3)、B(3,2)、C(-3,-2)分别代入y=ax2+bx+c得：
解之得
∴抛物线的解析式为：y=-·
(2)描点画图
S△ABC=(1+6)×5-×1×1-×6×4==5·
3. （2011江苏泰州，27，12分）已知：二次函数y=x2＋bx－3的图像经过点P（－2,5）．
（1）求b的值，并写出当1＜x≤3时y的取值范围；
（2）设点P1（m,y1）、P2（m+1,y2）、P3(m+2,y3)在这个二次函数的图像上．
①当m=4时，y1、y2、y3能否作为同一个三角形的三边的长？请说明理由；
②当m取不小于5的任意实数时，y1、y2、y3一定能作为同一个三角形三边的长，请说明理由．
【答案】解：（1）把点P代入二次函数解析式得5= （－2）2－2b－3，解得b=－2.
当1＜x≤3时y的取值范围为－4＜y≤0.
（2）①m=4时，y1、y2、y3的值分别为5、12、21，由于5+12＜21，不能成为三角形的三边长．
②当m取不小于5的任意实数时，y1、y2、y3的值分别为m2－2m－3、m2－4、m2＋2m－3，由于， m2－2m－3＋m2－4＞m2＋2m－3，（m－2）2－8＞0，
当m不小于5时成立，即y1＋y2＞y3成立．
所以当m取不小于5的任意实数时，y1、y2、y3一定能作为同一个三角形三边的长，
4. （2011广东汕头，15，6分）已知抛物线与x轴有交点．
(1)求c的取值范围；
(2)试确定直线y＝cx+l经过的象限，并说明理由．
【答案】（1）∵抛物线与x轴没有交点
∴⊿＜0，即1－2c＜0
解得c＞
(2)∵c＞
∴直线y=x＋1随x的增大而增大，
∵b=1
∴直线y=x＋1经过第一、二、三象限
5. （2011湖南怀化，22，10分）已知：关于x的方程
当a取何值时，二次函数的对称轴是x=-2；
求证：a取任何实数时，方程总有实数根.
【答案】
(1)解：∵二次函数的对称轴是x=-2
∴
解得a=-1
经检验a=-1是原分式方程的解.
所以a=-1时，二次函数的对称轴是x=-2；
（2）1）当a=0时，原方程变为-x-1=0，方程的解为x= -1；
2）当a≠0时，原方程为一元二次方程，，
当方程总有实数根，
∴
整理得，
∵a≠0时 总成立
所以a取任何实数时，方程总有实数根.
6. (2011江苏南京，24，7分)（7分）已知函数y=mx2－6x＋1（m是常数）．
⑴求证：不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点；
⑵若该函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值．
【答案】解：⑴当x=0时，．
所以不论为何值，函数的图象经过轴上的一个定点（0，1）．
⑵①当时，函数的图象与轴只有一个交点；
②当时，若函数的图象与轴只有一个交点，则方程有两个相等的实数根，所以，．
综上，若函数的图象与轴只有一个交点，则的值为0或9．
10．（2011四川绵阳24，12）已知抛物线:y=x -2x+m-1 与x轴只有一个交点，且与y轴交于A点,
如图，设它的顶点为B
(1)求m的值；
(2)过A作x轴的平行线，交抛物线于点C，求证是△ABC是等腰直角三角形；
(3)将此抛物线向下平移4个单位后，得到抛物线C'，且与x 轴的左半轴交于E点，与y轴交于F点，如图.请在抛物线C'上求点P，使得△EFP是以EF为直角边的直角三角形.
【答案】（1）抛物线与x轴只有一个交点，说明△=0，∴m=2
（2）∵抛物线的解析式是y=x -2x+1,∴A（0，1），B（1，0）∴△AOB是等腰直角三角形，又AC∥OB,∴∠BAC=∠OAB=45°A，C是对称点，∴AB=BC，∴△ABC是等腰直角三角形。
（3）平移后解析式为y=x -2x-3,可知E(-1,0),F(0,-3)∴EF的解析式为：y=-3x-3,平面内互相垂直的两条直线的k值相乘=-1，所以过E点或F点的直线为y=x+b把E点和F点分别代入可得b=或-3，∴y=x+或y=x-3列方程得 EQ \B\lc\{(\a\al(y=x+, y=x -2x-3,)) 解方程x1=-1,x2=, x1 是E点坐标舍去，把x2=代入得y=,∴P1（，）同理 EQ \B\lc\{(\a\al(y=x-3, y=x -2x-3,)) 易得x1 = 0舍去，x2= 代入y=-,∴P2(,-)
11. （2011贵州贵阳，21，10分）
如图所示，二次函数y=-x2+2x+m的图象与x轴的一个交点为A（3，0），另一个交点为B，且与y轴交于点C．
（1）求m的值；（3分）
（2）求点B的坐标；（3分）
（3）该二次函数图象上有一点D（x，y）（其中x＞0，y＞0），使S△ABD=S△ABC，求点D的坐标．（4分）
（第21题图）
【答案】解：（1）将（3，0）代入二次函数解析式，得
-32+2×3+m=0．
解得，m=3．
（2）二次函数解析式为y=-x2+2x+3，令y=0，得
-x2+2x+3=0．
解得x=3或x=-1．
∴点B的坐标为（-1，0）．
（3）∵S△ABD=S△ABC，点D在第一象限，
∴点C、D关于二次函数对称轴对称．
∵由二次函数解析式可得其对称轴为x=1，点C的坐标为（0，3），
∴点D的坐标为（2，3）．
12. （2011广东省，15，6分）已知抛物线与x轴有交点．
(1)求c的取值范围；
(2)试确定直线y＝cx+l经过的象限，并说明理由．
【答案】（1）∵抛物线与x轴没有交点
∴⊿＜0，即1－2c＜0
解得c＞
(2)∵c＞
∴直线y=x＋1随x的增大而增大，
∵b=1
∴直线y=x＋1经过第一、二、三象限
13. （2011广东肇庆，25，10分）已知抛物线（0）与轴交于、两点．
（1）求证：抛物线的对称轴在轴的左侧；
（2）若（是坐标原点），求抛物线的解析式；
（3）设抛物线与轴交于点，若是直角三角形，求的面积．
【答案】（1）证明：∵0 ∴
∴抛物线的对称轴在轴的左侧
（2）解：设抛物线与轴交点坐标为A（，0），B（，0），
则， ， ∴与异号
又 ∴ 由（1）知：抛物线的对称轴在轴的左侧
∴， ∴,
代入得：
即，从而，解得：
∴抛物线的解析式是
（3）[解法一]：当时， ∴抛物线与轴交点坐标为（0，）
∵是直角三角形，且只能有AC⊥BC，又OC⊥AB，
∴∠CAB＝ 90°— ∠ABC，∠BCO＝ 90°— ∠ABC，∴∠CAB ＝∠BCO
∴Rt△AOC∽Rt△COB，
∴，即 ∴
即 解得：
此时＝ ，∴点的坐标为（0，—1）∴OC＝1
又
∵0，∴ 即AB＝ ∴的面积＝ABOC＝1＝
[解法二]：略解: 当时， ∴点（0，）
∵是直角三角形 ∴
∴
∴ ∴
解得：
∴
14. （2011江苏盐城，23，10分）已知二次函数y = - x2 - x + .
（1）在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象；
（2）根据图象，写出当y ＜ 0时，x的取值范围；
（3）若将此图象沿x轴向右平移3个单位，请写出平移后图象所对应的函数关系式．
【答案】（1）画图(如图)；
（2）当y ＜ 0时，x的取值范围是x＜-3或x＞1；
（3）平移后图象所对应的函数关系式为y=- （x-2）2+2（或写成y=- x2+2x）.
15. (20011江苏镇江,24,7分)如图,在△ABO中,已知点A(,3),B(-1,-1),O(0,0),正比例y=-x的图象是直线l,直线AC∥x轴交直线l于点C.
(1)C点坐标为_____;
(2)以点O为旋转中心,将△ABO顺时针旋转角a(0°①∠a=_____;
②画出△;
(3)写出所有满足△DOC∽△AOB的点D的坐标.
【答案】解：（1）C点坐标为（-3，3）；（2）①∠α=90°②略 （3）(9,-), (,-9).
16. （2011广东中山，15,6分）已知抛物线与x轴有两个不同的交点．
(1)求c的取值范围；
(2)抛物线与x轴两交点的距离为2，求c的值．
【解】（1）∵抛物线与x轴有两个不同的交点
∴⊿＞0，即1－2c＞0
解得c＜
(2)设抛物线与x轴的两交点的横坐标为，
∵两交点间的距离为2，
∴，
由题意，得
解得
∴c=
即c的值为0．
17. （2011贵州安顺，27，12分）如图，抛物线y=x2+bx－2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（一1，0）．
⑴求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
⑵判断△ABC的形状，证明你的结论；
⑶点M(m，0)是x轴上的一个动点，当CM+DM的值最小时，求m的值．
【答案】（1）∵点A（-1，0）在抛物线y=x2 + bx-2上，∴× (-1 )2 + b× (-1) –2 = 0，解得b =
∴抛物线的解析式为y=x2-x-2. y=x2-x-2 = ( x2 -3x- 4 ) =(x-)2-,
∴顶点D的坐标为 (, -).
（2）当x = 0时y = -2, ∴C（0，-2），OC = 2。
当y = 0时， x2-x-2 = 0， ∴x1 = -1, x2 = 4, ∴B (4,0)
∴OA = 1, OB = 4, AB = 5.
∵AB2 = 25, AC2 = OA2 + OC2 = 5, BC2 = OC2 + OB2 = 20,
∴AC2 +BC2 = AB2. ∴△ABC是直角三角形.
（3）作出点C关于x轴的对称点C′，则C′（0，2），OC′=2，连接C′D交x轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC + MD的值最小。
解法一：设抛物线的对称轴交x轴于点E.
∵ED∥y轴, ∴∠OC′M=∠EDM,∠C′OM=∠DEM
∴△C′OM∽△DEM.
∴
∴，∴m =．
解法二：设直线C′D的解析式为y = kx + n ,
则，解得n = 2, .
∴ .
∴当y = 0时， ，
. ∴.
18. （2010湖北孝感，25，2分）如图（1），矩形ABCD的一边BC在直角坐标系中x轴上，折叠边AD,使点D落在x轴上点F处，折痕为AE，已知AB=8，AD=10，并设点B坐标为（m,0），其中m＞0.
（1）求点E、F的坐标（用含m的式子表示）；（5分）
（2）连接OA，若△OAF是等腰三角形，求m的值；（4分）
（3）如图（2），设抛物线y=a(x－m－6)2+h经过A、E两点，其顶点为M，连接AM，若∠OAM=90°，求a、h、m的值. （5分）
【答案】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=10，AB=CD=8，∠D=∠DCB=∠ABC=90°.
由折叠对称性：AF=AD=10，FE=DE.
在Rt△ABF中，BF=.
∴FC=4.
在Rt△ECF中，42+（8-x）2=x2，解得x=5.
∴CE=8-x=3.
∵B（m，0）,∴E(m+10,3),F（m+6,0）.
（2）分三种情形讨论：
若AO=AF，∵AB⊥OF，∴OB=BF=6.∴m=6.
若OF=AF，则m+6=10，解得m=4.
若AO=OF，在Rt△AOB中，AO2=OB2+AB2=m2+64，
∴（m+6）2= m2+64，解得m=.
综合得m=6或4或.
（3）由（1）知A(m,8)，E(m+10,3).
依题意，得，
解得
∴M（m+6，﹣1）.
设对称轴交AD于G.
∴G（m+6,8），∴AG=6，GM=8－（﹣1）=9.
∵∠OAB+∠BAM=90°，∠BAM+∠MAG=90°，
∴∠OAB=∠MAG.
又∵∠ABO=∠MGA=90°，
∴△AOB∽△AMG.
∴，即.
∴m=12.
19. （2011湖南湘潭市，25，10分）（本题满分10分）
如图，直线交轴于A点，交轴于B点，过A、B两点的抛物线交轴于另一点C（3,0）.
⑴ 求抛物线的解析式;
⑵ 在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】解：（1）设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c。
∵直线交轴于A点，交轴于B点，
∴A点坐标为（-1,0）、B点坐标为（0,3）.
又∵抛物线经过A、B、C三点，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3．
（2）∵y=-x2+2x+3= ，∴该抛物线的对称轴为x=1．
设Q点坐标为（1，m），则，又.
当AB=AQ时， ，解得：，
∴Q点坐标为（1，）或（1，）；
当AB=BQ时，，解得：，
∴Q点坐标为（1，0）或（1，6）；
当AQ=BQ时，，解得：，
∴Q点坐标为（1，1）．
∴抛物线的对称轴上是存在着点Q（1，）、（1，）、（1，0）、（1，6）、（1，1），使△ABQ是等腰三角形．
20．（2011湖北荆州，22，9分）（本题满分9分）如图，等腰梯形ABCD的底边AD在x轴上，顶点C在y轴正半轴是，B（4,2），一次函数的图象平分它的面积，关于x的函数的图象与坐标轴只有两个交点，求m的值.
第22题图
【答案】 解：过B作BE⊥AD于E，连结OB、CE交于 点P，
∵P为矩形OCBE的对称中心，则过P点的直线平分矩形OCBE的面积.
∵P为OB的中点，而B（4，2） ∴P点坐标为（2，1）
在Rt△ODC与Rt△EAB中，OC＝BE，AB＝CD
∴Rt△ODC≌Rt△EAB（HL），
∴S△ODC?＝S△EBA?
∴过点（0，-1）与P（2，1）的直线即可平分等腰梯形面积，这条直线为y=kx-1
∴2k-1=1，∴k=1
又∵的图象与坐标轴只有两个交点，故
①当m＝0时，y＝-x+1,其图象与坐标轴有两个交点（0，1），（1，0）
②当m≠0时，函数的图象为抛物线，且与y轴总有一个交点（0，2m+1）
若抛物线过原点时，2m+1=0，即m=，此时△＝（3m+1）2-4m(2m+1)=＞0
∴抛物线与x轴有两个交点且过原点，符合题意.
若抛物线不过原点，且与x轴只有一个交点，也合题意，
此时△′＝（3m+1）2-4m(2m+1)=0
解之得：m1=m2=-1
综上所述，m的值为m=0或或-1.
21. （2011湖北宜昌，24，11分）已如抛物线y = ax2+bx+c 与直线y=m+n 相交于两点，这两点的坐标分别是(0，)和(m-b，m2 – mb + n，其中a，b,c,m，n为实数，且a，m不为0.
(1)求c的值；
(2)设抛物线y = ax2+bx+c与轴的两个交点是(，0)和(，0)，求的值；
(3)当时，设抛物线y = ax2+bx+c与轴距离最大的点为P（，），求这时的最小值.
【答案】解:(1)∵（0，）在y＝ax2＋bx＋c上，∴ ＝a×02＋b×0＋c，∴ c＝.(1分)
(2)又可得 n＝。∵ 点（m－b，m2－mb＋n）在y＝ax2＋bx＋c上，∴ m2－mb＝a（m－b）2＋b（m－b），∴（a－1）（m－b）2＝0， （2分）若（m－b）＝0，则（m－b， m2－mb＋n）与（0，）重合，与题意不合．∴ a＝1．（3分，只要求出a＝1，即评3分）
∴抛物线y＝ax2＋bx＋c，就是y＝x2＋bx．△＝b2－4ac＝b2－4×（）＞0，（没写出不扣分）∴抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的两个交点的横坐标就是关于x的二次方程0＝ax2＋bx＋c的两个实数根，∴由根与系数的关系，得x1x2＝．（4分）
(3)抛物线y＝x2＋bx的对称轴为x＝，最小值为．（没写出不扣分）设抛物线y＝x2＋bx在x轴上方与x轴距离最大的点的纵坐标为H，在x轴下方与x轴距离最大的点的纵坐标为h．
当<－1，即b＞2时，在x轴上方与x轴距离最大的点是（1，yo），∴｜H｜＝yo＝＋b＞， (5分)，在x轴下方与x轴距离最大的点是（－1，yo），∴｜h｜＝｜yo｜＝｜－b｜＝b－＞， (6分)，∴｜H｜＞｜h｜．∴这时｜yo｜的最小值大于 (7分)
② 当－1≤≤0，即0≤b≤2时，在x轴上方与x轴距离最大的点是（1，yo），∴｜H｜＝yo＝＋b≥，当b＝0时等号成立.在x轴下方与x轴距离最大点的是 （， ），∴｜h｜＝｜｜＝≥，当b＝0时等号成立.∴这时｜yo｜的最小值等于.(8分)
③ 当0＜≤1，即－2≤b＜0时,在x轴上方与x轴距离最大的点是（－1，yo），∴｜H｜＝yo＝1＋（－1）b－＝－b＞，在x轴下方与x轴距离最大的点是 （，），∴｜h｜＝｜yo｜＝｜｜＝＞12.
∴ 这 时 ｜yo｜的 最 小 值 大 于.(9分)
④ 当1＜，即b＜－2时，在x轴上方与x轴距离最大的点是（－1，yo），
∴｜H｜＝－b＞，在x轴下方与x轴距离最大的点是(1，yo)，∴｜h｜＝｜＋b｜＝－（b＋）＞，∴｜H｜＞｜h｜,∴这时｜yo｜的最小值大于 (10分)
综上所述，当b＝0，x0＝0时，这时｜yo｜取最小值，为｜yo｜＝. (11分)
图2
第3题
x
y
O
1
x
x
x
x
x
x
（第9题图）
y
O
第（13）题
y
x
O
y
x
O
y
x
O
y
x
O
1
－1
y
x
O
1
－1
y
x
O
(B)
y
x
O
(A)
y
x
O
(C)
y
x
O
(D)
1
O
x
y
（第17题图）
O
y
x
1
1
A．
O
y
x
1
1
C．
O
y
x
1
1
D．
O
y
x
1
1
B．
第13题
13
O
x
y
-2
1
2
1
2
3
4
A
B
第24题图
B
A
P
x
C
Q
O
y
第1题图
图2
O1
A1
O
y
x
B1
C1
D
M
－1
y
x
O
（第24题）
1
2
3
4
－2
－4
－3
3
－1
－2
－3
－4
4
1
2
x
y
O
B
C
A
图1
O
第1题
y
A
x
C
B
图2
D
C
M
N
O
A
B
P
l
第2题图
y
E
B
x
y
A
O
图4
D
图5
y
x
O
A
B
M
O1
A
O
B
M
D
C
y
x
E
A
B
C
第7题
D
P
E
第26题
图（1）
图（2）
y
x
0
D(5,-2)
C
B
A
图1
图2
-1
3
第26题
图（1）
图（2）
图3
第6题图
y
x
1
1
O
（A）
y
x
1
-1
O
（B）
y
x
-1
-1
O
（C）
1
-1
x
y
O
（D）
x
y
-1
1
O
1
第12题
O
x
y
O
y
x
A
O
y
x
B
O
y
x
D
O
y
x
C
（第10题）
x
y
A
（第15题）
（1,-2）
-1
O
B
C
D
（第15题）
（1,-2）
-1
A
B
C
·A(2,3)
y
x
1
1
o
第25题图
-1
-1
·B(2,3)
·C(-2,-3)
y
x
1
1
o
第25题图
-1
-1
第27题图
O
C
B
A
知识要点扫描归纳
一 二次函数的基本概念
1．二次函数的概念：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：二次项系数，而可以为零．二次函数的定义域是全体实数．
2. 二次函数的结构特征：
⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2．
⑵ 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项．
二 二次函数的基本形式
二次函数基本形式：的性质：
结论：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
向上 轴 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
向下 轴 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
2. 的性质：
结论：上加下减。
总结：
的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
向上 轴 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
向下 轴 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
3. 的性质：
结论：左加右减。
的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
向上 X=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
向下 X=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
4. 的性质：
总结：
的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
向上 X=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
向下 X=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
三 二次函数图象的平移
1. 平移步骤：
⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；
⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：
2. 平移规律
在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．
概括成八个字“左加右减，上加下减”．
四 二次函数与的比较
请将利用配方的形式配成顶点式。请将配成。
总结：
从解析式上看，与是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即，其中．
五 二次函数图象的画法
五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.
画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.
六 二次函数的性质
1. 当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为．
当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，有最小值．
2. 当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为．当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值．
七、二次函数解析式的表示方法
1. 一般式：（，，为常数，）；
2. 顶点式：（，，为常数，）；
3. 两根式：（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）.
注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.
二次函数解析式的确定：
根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：
1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
3. 已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；
4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．
八、二次函数的图象与各项系数之间的关系
1. 二次项系数
二次函数中，作为二次项系数，显然．
⑴ 当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越大；
⑵ 当时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越大．
总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小．
2. 一次项系数
在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴．
⑴ 在的前提下，
当时，，即抛物线的对称轴在轴左侧；
当时，，即抛物线的对称轴就是轴；
当时，，即抛物线对称轴在轴的右侧．
⑵ 在的前提下，结论刚好与上述相反，即
当时，，即抛物线的对称轴在轴右侧；
当时，，即抛物线的对称轴就是轴；
当时，，即抛物线对称轴在轴的左侧．
总结起来，在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置．
总结：
3. 常数项
⑴ 当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正；
⑵ 当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为；
⑶ 当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负．
总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置．
总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．
九、二次函数图象的对称
二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达
1. 关于轴对称
关于轴对称后，得到的解析式是；
关于轴对称后，得到的解析式是；
2. 关于轴对称
关于轴对称后，得到的解析式是；
关于轴对称后，得到的解析式是；
3. 关于原点对称
关于原点对称后，得到的解析式是；
关于原点对称后，得到的解析式是；
4. 关于顶点对称
关于顶点对称后，得到的解析式是；
关于顶点对称后，得到的解析式是．
5. 关于点对称
关于点对称后，得到的解析式是
根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．
十 二次函数与一元二次方程：
1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与轴交点情况）：
一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况.
图象与轴的交点个数：
① 当时，图象与轴交于两点，其中的是一元二次方程的两根．这两点间的距离.
② 当时，图象与轴只有一个交点；
③ 当时，图象与轴没有交点.
当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有；
当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有．
2. 抛物线的图象与轴一定相交，交点坐标为，；
3. 二次函数常用解题方法总结：
⑴ 求二次函数的图象与轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；
⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；
⑶ 根据图象的位置判断二次函数中，，的符号，或由二次函数中，，的符号判断图象的位置，要数形结合；
⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.
考点回放
1 二次函数的解析式
1. （2010年杭州月考）将二次函数的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是 。
2．( 2010年山东菏泽全真模拟1)请写出一个开口向上，与y轴交点纵坐标为-1，且经过点(1，3)的抛物线的解析式 .
3.（2010年河南中考模拟题3）将抛物线y=﹣3x2向上平移一个单位后，得到的抛物线解析式是 。
4.（2010教育联合体）二次函数y＝x2的图象向下平移2个单位，得到新图象的二次函数表达式是（ ）
A．y＝x2－2 B．y＝(x－2)2 C．y＝x2＋2 D．y＝(x＋2)2
5.(2010三亚).抛物线y=x2 向左平移8个单位，再向下平移9个单位后，所得抛物线的表达式是（ ）
A. y=(x+8)2-9 B. y=(x-8)2+9 C. y=(x-8)2-9 D. y=(x+8)2+9
6.（2010山东新泰）二次函数y＝x2的图象向下平移2个单位，得到新图象的二次函数表达式是（ ）
A．y＝x2－2 B．y＝(x－2)2 C．y＝x2＋2 D．y＝(x＋2)2
7．(2010年山东宁阳一模)在平面直角坐标系中，先将抛物线关于x轴作轴对称变换，再将所得抛物线关于y轴作轴对称变换，经过两次变换后所得的新抛物线解析式为（ ）
A． B． C． D．
8．(2010年江西省统一考试样卷)若抛物线y=2x2向左平移1个单位，则所得抛物线是（ ）
A．y=2x2＋1 B．y=2x2－1 C．y=2（x＋1）2 D．y=2（x－1）2
9．（2010年金华）(本题8分)已知二次函数y=ax2＋bx－3的图象经过点A（2，－3），B（－1，0）．
（1）则二次函数的解析式为
（2）填空：要使该二次函数的图象与x轴只有一个交点，应把图象沿y轴向上平移 个单位．
10．（2010年郴州市）将抛物线y=x2 +1向下平移2个单位，则此时抛物线的解析式是_____________
（2010年成都）5．把抛物线向右平移1个单位，所得抛物线的函数表达式为（ ）
（A） （B）
（C） （D）
11（北京2010）将二次函数y=x22x3化为y=(xh)2k的形式，结果为
(A) y=(x1)24 (B) y=(x1)24 (C) y=(x1)22 (D) y=(x1)22。
12（毕节2010）．把抛物线y=x+bx+c的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为y=x－3x＋5，则（ ）
A．b=3，c=7 B．b=6，c=3
C．b=9，c=5 D．b=9，c=21
13.（2010年天津市）（16）已知二次函数()中自变量和函数值的部分对应值如下表：
… 0 1 …
… 0 …
则该二次函数的解析式为 ．
14.（2010宁夏）．把抛物线向左移1个单位，再向上移3个单位，则平移后抛物线的表达式（ ）
A． B． C． D．
15. （2010株洲市）．已知二次函数（为常数），
当取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．下图分别是当，
，，时二次函数的图象.它们的顶点在一条直线上，这
条直线的解析式是 .
16.（2010年安徽）. 若二次函数配方后为则、的值分别为…（ ）
A .5 B .1 C 4.5 D—4.1
17（2010重庆市綦江中学模拟1）抛物线y=（x—1）2+3的顶点坐标为 ．
18（2010年 湖里区 二次适应性考试）抛物线的顶点坐标是 .
2.二次函数表征量a,b,,c及函数对称轴
1（2010福建模拟）抛物线的对称轴是直线 ．
2（2010年杭州月考）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，给出以下
结论：① ②当时，函数有最大值。③当时，函数y
的值都等于0. ④其中正确结论的个数是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
3（2010年厦门湖里模拟)如图，二次函数 的图像与轴有一个交点在０和１之间（不含０和１），则的取值范围是（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
4(2010年厦门湖里模拟)如图，抛物线
对称轴是直线，且经过点（3，0），则的值为
A. 0 B. －1 C. 1 D. 2
5．（2010年河南中考模拟题4）二次函数（）的图象如图所示，则正确的是( )
A．a＜0 B．b＜0 C．c＞0 D．以答案上都不正确
6.（2010年河南中考模拟题3）已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，则下列条件正确的是（ ）
A．ac＜0 B.b2 －4ac＜0
C. b＞0 D. a＞0、b＜0、c＞0
x … －3 －2 －1 0 1 …
y … －6 0 4 6 6 …
6．(2010年江苏省泰州市济川实验初中中考模拟题)抛物线y＝ax2＋bx＋c上部分点的横坐标x，纵坐标y 的对应值如表所示．
给出下列说法：①抛物线与y轴的交点为(0，6)；
②抛物线的对称轴是在y轴的右侧；
③抛物线一定经过点(3，0)； ④在对称轴左侧，y随x增大而减小．
从表中可知，下列说法正确的个数有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7.（2010天水模拟）二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，则关于此二次函数
的下列四个结论①a<0②a>0③b2-4ac>0④中，正确的结论有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
8．（2010年贵州毕节）函数在同一直角坐标系内的图象大致是( )
9.（2010年兰州）15. 抛物线图像如图所示，则一次函数与反比例函数 在同一坐标系内的图像大致为
第15题图
10. （2010莱芜）二次函数的图象如图所示，则一次函
数的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
11（2010安徽芜湖）二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，反比例函数y=与正比例函数y=(b+c)x在同一坐标系中的大致图像可能是（ ）
12.（2010天水模拟）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，图象经过点（-1，2）和（1，0），且与y轴相交于负半轴。
第（1）问：给出四个结论：①a>0；②b>0；③c>0；④a+b+c=0；
其中正确结论的序号（答对得3分，少选、错选均不得分）
第（2）问：给出四个结论：①abc<0②2a+b>0③a+c=1④a>1.
其中正确结论的序号（答对得5分，少选、错选均不得分）
13.（2010年天津市）（10）已知二次函数()的图象如图所示，有下列结论：（ ）
①； ②； ③； ④．
其中，正确结论的个数是
（A）1 （B）2
（C）3 （D）4
14. (2010年江苏省泰州市济川实验初中中考模拟题)已知抛物线的部分图象如图所示.
(1)求b、c的值；
(2)求y的最大值；
(3)写出当时，x的取值范围.
15．（2010湖北鄂州）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论
①a、b异号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0，④当y=4时，x的取
值只能为0．结论正确的个数有（ ） 个
A．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4
16．（2010四川乐山）.设a、b是常数，且b＞0，抛物线y=ax2+bx+a2-5a-6为下图中四个图象之一，则a的值为（ ）
A. 6或－1 B. －6或1 C. 6 D. －1
17．（2010 山东东营） 二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致为（ ）
SHAPE \* MERGEFORMAT
3.二次函数增减性问题
1．（2010湖北荆门）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论错误的是
A．ab＜0
B．ac＜0
C．当x＜2时，函数值随x的增大而增大；当x＞2时，函数值随x的增大而减小 D．二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0的根。
2．（2010山东潍坊）已知函数y1＝x2与函数y2＝－x＋3的图象大致如图，若y1＜y2，
则自变量x的取值范围是（ ）．
A．－＜x＜2 B．x＞2或x＜－
C．－2＜x＜ D． x＜－2或x＞
3．（2010湖北省咸宁）已知抛物线（＜0）过A（，0）、O（0，0）、
B（，）、C（3，）四点，则与的大小关系是
A．＞ B． C．＜ D．不能确定
4．（2010山东泰安）下列函数：①；②；③；④，其中的值随值增大而增大的函数有（ ）
A、4个 B、3个 C、2个 D、1个
5．（2010江苏盐城）给出下列四个函数：①；②；③；④．时，y随x的增大而减小的函数有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2010 浙江衢州）下列四个函数图象中，当x＞0时，y随x的增大而增大的是（ ）
7．（2010 湖北咸宁）已知抛物线（＜0）过A（，0）、O（0，0）、
B（，）、C（3，）四点，则与的大小关系是
A．＞ B． C．＜ D．不能确定
8．（2010鄂尔多斯）已知二次函数中函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示，点A(x1，y1) ，B(x2，y2)在函数的图象上，当0
C. y1＜y2 D. y1≤y2
9．（2010广西柳州）抛物线y=-x2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x … -2 -1 0 1 2 …
y … 0 4 6 6 4 …
从上表可知，下列说法正确的个数是
①抛物线与x轴的一个交点为（-2，0） ②抛物线与y轴的交点为（0，6）
③抛物线的对称轴是：x=1 ④在对称轴左侧y随x的增大而增大
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（2010广西百色）二次函数的图象如图所示，下列几个结论：
①对称轴为; ②当≤0时,＜0或＞4；③函数解析式为；
④当≤0时，随的增大而增大. 其中正确的结论有（ ）
A. ①②③④ B. ①②③ C. ①③④ D. ①③
11．（2010江苏泰州）下列函数中，y随x增大而增大的是（ ）
A. B. C. D.
12．（2010山东日照）如图，是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为直线x=1，若其与x轴一交点为A（3，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c＜0的解集是 .
13．（2010 云南玉溪）如图13是二次函数在平面直角坐标系中的图象，
根据图形判断 ① ＞0； ② ++＜0；
③ 2-＜0； ④ 2+8＞4
中正确的是（填写序号） ．
14．（2010新疆维吾尔自治区新疆建设兵团）抛物线y=-x2+bx+c
的部分图象如图所示， 若y＞0，则x的取值范围是_______。 图15
15．（2010辽宁本溪）如图所示，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过原点和点（-2，0），则2a-3b 0.(＞、＜或＝)
16．（2010湖北省咸宁市）已知抛物线（＜0）过A（，0）、O（0，0）、
B（，）、C（3，）四点，则与的大小关系是
A．＞ B． C．＜ D．不能确定
17．（ 2010红河自治州）．（本小题满分11分）二次函数的图像如图8所示，请将此图像向右平移1个单位，再向下平移2个单位. （1）画出经过两次平移后所得到的图像，并写出函数的解析式.
（2）求经过两次平移后的图像与x轴的交点坐标，指出当x满足什么条件时，函数值大于0？
4. 二次函数与一次函数综合
1（2010年安徽芜湖）如图，在平面直角坐标系中放置一矩形ABCO，其顶点为A（0，1）、B（－3，1）、C（－3，0）、O（0，0）．将此矩形沿着过E（－，1）、F（－，0）的直线EF向右下方翻折，B、C的对应点分别为B′、C′．
（1）求折痕所在直线EF的解析式；
（2）一抛物线经过B、E、B′三点，求此二次函数解析式；
（3）能否在直线EF上求一点P，使得△PBC周长最小？如能，求出点P的坐标；若不能，说明理由．
解：
2.（2010北京市朝阳区模拟）定义为一次函数的特征数．
（1）若特征数是的一次函数为正比例函数，求的值；
（2）设点分别为抛物线与轴、轴的交点，其中，且的面积为4，为坐标原点，求图象过、两点的一次函数的特征数．
3.（2010山东新泰）如图，直线与x轴，y轴分别交于B，C两点，抛物线经过点B和点C，点A是抛物线与x轴的另一个交点.
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）若点Q在抛物线的对称轴上，能使△QAC的周长最小，请求出Q点的坐标；
（3）在直线BC上是否存在一点P，且，若存在，求P点的坐标，若不存在，请说明理由.
4.（2010福建模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点A，与y轴交于点C. 抛物线经过A、C两点，且与x轴交于另一点B(点B在点A右侧).
（1）求抛物线的解析式及点B坐标；
（2）若点M是线段BC上一动点，过点M的直线EF平行y轴交轴于点F，交抛物线于点E.求ME长的最大值；
（3）试探究当ME取最大值时，在抛物线x轴下方是否存在点P，使以M、F、B、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试说明理由.
5．(2010年厦门湖里模拟)一次函数y＝x－3的图象与x轴，y轴分别交于点A，B．一个二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过点A，B．
（1）求点A，B的坐标，并画出一次函数y＝x－3的图象；
（2）求二次函数的解析式及它的最小值．
6．（2010年河南中考模拟题4）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点B的坐标为（4，3）．平行于对角线AC的直线m从原点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m与矩形OABC的两边分别交于点M、N，直线m运动的时间为t（秒）．
（1）点A的坐标是__________，点C的坐标是__________；
（2）设△OMN的面积为S，求S与t的函数关系式；
（3）探求（2）中得到的函数S有没有最大值？若有，求出最大值；若没有，说明理由．
．
7.(2010年山东宁阳一模)某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不超过45%，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数，且时，；时，．
（1）若该商场获利为w元，试写出利润w与销售单价x之间的关系式，售价定为多少元时，商场可以获利最大，最大利润为多少元？
（2）若该商场获利不低于500元，试确定销售单价x的范围．
8.（2010年无锡）24．（本题满分10分）如图，矩形ABCD的顶点A、B的坐标分别为（-4,0）和（2,0），BC=．设直线AC与直线x=4交于点E．
（1）求以直线x=4为对称轴，且过C与原点O的抛物线的函数关系式,并说明此抛物线一定过点E
（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为N， M是该抛物线上位于C、N之间的一动点，求△CMN面积的最大值．
9．（2010年长沙）已知：二次函数的图象经过点（1，0），一次函数图象经过原点和点（1，－b），其中且、为实数．
（1）求一次函数的表达式（用含b的式子表示）；
（2）试说明：这两个函数的图象交于不同的两点；
（3）设（2）中的两个交点的横坐标分别为x1、x2，求| x1－x2 |的范围．
10.(2010湖北省荆门市)24．(本题满分12分)已知：如图一次函数y＝x＋1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B；二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与一次函数y＝x＋1的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点且D点坐标为(1，0)
(1)求二次函数的解析式；
(2)求四边形BDEC的面积S；
(3)在x轴上是否存在点P，使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点P，若不存在，请说明理由．
5.二次函数动点问题
1．（2010年长沙）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上， cm， OC=8cm，现有两动点P、Q分别从O、C同时出发，P在线段OA上沿OA方向以每秒 cm的速度匀速运动，Q在线段CO上沿CO方向以每秒1 cm的速度匀速运动．设运动时间为t秒．
（1）用t的式子表示△OPQ的面积S；
（2）求证：四边形OPBQ的面积是一个定值，并求出这个定值；
（3）当△OPQ与△PAB和△QPB相似时，抛物线经过B、P两点，过线段BP上一动点M作轴的平行线交抛物线于N，当线段MN的长取最大值时，求直线MN把四边形OPBQ分成两部分的面积之比．
2．（2010年浙江义乌）如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）．
（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标；
（2）将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图2的梯形O1A1B1C1．设梯形O1A1B1C1的面积为S，A1、 B1的坐标分别为 (x1，y1)、(x2，y2)．用含S的代数式表示－，并求出当S=36时点A1的坐标；
（3）在图1中，设点D坐标为(1，3)，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动．P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线AB、轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
3．（2010湖北恩施自治州） 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点， A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点.
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）连结PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POPC， 那么是否存在点P，使四边形POPC为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）当点P运动到什么位置时，四边形 ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.
4．（2010北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴的交点分别为原点O和点A，点B（2，n）在这条抛物线上．
（1）求B点的坐标；
（2）点P在线段OA上，从O点出发向A点运动，过P点作x轴的垂线，与直线OB交与点E，延长PE到点D，使得ED=PE，以PD为斜边，在PD右侧做等等腰直角三角形PCD（当P点运动时，C点、D点也随之运动）．
① 当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此抛物线上时，求OP的长；
② 若P点从O点出发向A点作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA上另一个点Q从A点出发向O点作匀速运动，速度为每秒2个单位（当Q点到达O点时停止运动，P点也同时停止运动）．过Q点做x轴的垂线，与直线AB交与点F，延长QF到点M，使得FM=QF，以QM为斜边，在QM的左侧作等腰直角三角形QMN（当Q点运动时，M点、N点也随之运动）．若P点运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻t的值．
5．（2010湖北鄂州）如图，在直角坐标系中，A（-1，0），B（0，2），一动点P沿过B点且垂直于AB的射线BM运动，P点的运动速度为每秒1个单位长度，射线BM与x轴交与点C．
（1）求点C的坐标．
（2）求过点A、B、C三点的抛物线的解析式．
（3）若P点开始运动时，Q点也同时从C出发，以P点相同的速度沿x轴负方向向点A运动，t秒后，以P、Q、C为顶点的三角形为等腰三角形．（点P到点C时停止运动，点Q也同时停止运动）求t的值．
（4）在（2）（3）的条件下，当CQ=CP时，求直线OP与抛物线的交点坐标．
6．二次函数极值问题
1．（2010湖南常德）如图9, 已知抛物线与轴交于A (－4，0) 和B(1，0)两点，与轴交于C点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）设E是线段AB上的动点，作EF//AC交BC于F，连接CE，当△CEF的面积是△BEF面积的2倍时，求E点的坐标;
（3）若P为抛物线上A、C两点间的一个动点，过P作轴的平行线，交AC于Q，当P点运动到什么位置时，线段PQ的值最大，并求此时P点的坐标．
2.（2010河南）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(4，0)，B(0，一4)，C(2，0)三点.
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S.求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；
(3)若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=－x上的动点，判断有几个位置能使以点P、Q、B、0为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标.
7. 二次函数面积问题
1.（2010宁波市）．如图，已知二次函数y＝— x2＋bx＋c的图象经过A（2，0）、B（0，—6）两点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）设该二次函数图象的对称轴与x轴交于点C，连结BA、BC，求△ABC的面积．
2. （2010年怀化市）图2是二次函数的图象，其顶点坐标为M(1,-4).
（1）求出图象与轴的交点A,B的坐标；
（2）在二次函数的图象上是否存在点P，使,若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）将二次函数的图象在轴下方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线与此图象有两个公共点时，的取值范围.
3.（2010四川乐山）如图(13.1)，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C(0，2)，连接AC，若tan∠OAC＝2．
(1)求抛物线对应的二次函数的解析式；
(2)在抛物线的对称轴l上是否存在点P，使∠APC＝90°，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图(13.2)所示，连接BC，M是线段BC上(不与B、C重合)的一个动点，过点M作直线l′∥l，交抛物线于点N，连接CN、BN，设点M的横坐标为t．当t为何值时，△BCN的面积最大？最大面积为多少？
4. （2010山西23．（本题10分）已知二次函数y＝x2－2x－3的图象与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．
（1）求点A、B、C、D的坐标，并在下面直角坐标系中画出该二次函数的大致图象；
（2）说出抛物线y＝x2－2x－3可由抛物线y＝x2如何平移得到？
（3）求四边形OCDB的面积．
8. 二次函数与四边形问题
1、（2010年杭州市）在平面直角坐标系xOy中，抛物线的解析式是y =+1，点C的坐标为(–4，0)，平行四边形OABC的顶点A，B在抛物线上，AB与y轴交于点M，已知点Q(x，y)在抛物线上，点P(t，0)在x轴上.
(1) 写出点M的坐标；
(2) 当四边形CMQP是以MQ，PC为腰的梯形时.
① 求t关于x的函数解析式和自变量x的取值范围；
② 当梯形CMQP的两底的长度之比为1：2时，求t的值.
2.（2010陕西省）24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线A（-1,0），B（3,0）C（0，-1）三点。
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形求所有满足条件点P的坐标。
9. 二次函数与圆问题
1.（2010年成都）28．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，点的坐标为，若将经过两点的直线沿轴向下平移3个单位后恰好经过原点，且抛物线的对称轴是直线．
（1）求直线及抛物线的函数表达式；
（2）如果P是线段上一点，设、的面积分别为、，且，求点P的坐标；
（3）设的半径为l，圆心在抛物线上运动，则在运动过程中是否存在与坐标轴相切的情况？若存在，求出圆心的坐标；若不存在，请说明理由．并探究：若设⊙Q的半径为，圆心在抛物线上运动，则当取何值时，⊙Q与两坐轴同时相切？
2．（2010山东济南 ）
如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，直线BD的函数表达式为，抛物线的对称轴l与直线BD交于点C、与x轴交于点E．
⑴求A、B、C三个点的坐标．
⑵点P为线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），以点A为圆心、以AP为半径的圆弧与线段AC交于点M，以点B为圆心、以BP为半径的圆弧与线段BC交于点N，分别连接AN、BM、MN．
①求证：AN=BM．
②在点P运动的过程中，四边形AMNB的面积有最大值还是有最小值？并求出该最大值或最小值.
3．（2010昆明）在平面直角坐标系中，抛物线经过O（0，0）、A（4，0）、B（3，）三点.
（1）求此抛物线的解析式；
（2）以OA的中点M为圆心，OM长为半径作⊙M，在（1）中的抛物线上是否存在这样的点P，过点P作⊙M的切线l ，且l与x轴的夹角为30°，若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由.（注意：本题中的结果可保留根号）
4. （2008乌鲁木齐）．如图4，在平面直角坐标系中，以点为圆心，2为半径作圆，交轴于两点，开口向下的抛物线经过点，且其顶点在上．
（1）求的大小；
（2）写出两点的坐标；
（3）试确定此抛物线的解析式；
（4）在该抛物线上是否存在一点，使线段与互相平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
5. (2008年西宁市) 28．如图5，已知半径为1的与轴交于两点，为的切线，切点为，圆心的坐标为，二次函数的图象经过两点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求切线的函数解析式；
（3）线段上是否存在一点，使得以为顶点的三角形与相似．若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
6. (2008年益阳) (本题12分)我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线.
如图12，点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点D的坐标为(0，-3)，AB为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为(1,0)，半圆半径为2.
请你求出“蛋圆”抛物线部分的解析式，并写出自变量
的取值范围；
(2)你能求出经过点C的“蛋圆”切线的解析式吗？
试试看；
(3)开动脑筋想一想，相信你能求出经过点D的
“蛋圆”切线的解析式.
7.（2010年浙江湖州）如图，已知在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，P是线段AD边上的任意一点（不含端点A、D），连结PC， 过点P作PE⊥PC交AB于E
（1）在线段AD上是否存在不同于P的点Q，使得QC⊥QE？若存在，求线段AP与AQ之间的数量关系；若不存在，请说明理由；
（2）当点P在AD上运动时，对应的点E也随之在AB上运动，求BE的取值范围．
8.．（2010年福建福州）如图1，在平面直角坐标系中，点B在直线上，过点B作轴的垂线，垂足为A，OA=5。若抛物线过点O、A两点。
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若A点关于直线的对称点为C，判断点C是否在该抛物线上，并说明理由；
（3）如图2，在（2）的条件下，⊙O1是以BC为直径的圆。过原点O作O1的切线OP，P为切点（P与点C不重合），抛物线上是否存在点Q，使得以PQ为直径的圆与O1相切？若存在，求出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由。
9.（2010年云南楚雄州）已知：如图，⊙A与轴交于C、D两点，圆心A的坐标为（1，0），
⊙A的半径为，过点C作⊙A的切线交于点B（－4，0）。
（1）求切线BC的解析式；
（2）若点P是第一象限内⊙A上一点，过点P作⊙A的切线与直线BC相交于点G，且∠CGP=120°，求点G的坐标；
（3）向左移动⊙A（圆心A始终保持在上），与直线BC交于E、F，在移动过程中是否存在点A，使得△AEF是直角三角形？若存在，求出点A 的坐标，若不存在，请说明理由。
10.（2010年云南红河州）如图9，在直角坐标系xoy中，O是坐标原点，点A在x正半轴上，OA=cm，点B在y轴的正半轴上，OB=12cm，动点P从点O开始沿OA以cm/s的速度向点A移动，动点Q从点A开始沿AB以4cm/s的速度向点B移动，动点R从点B开始沿BO以2cm/s的速度向点O移动.如果P、Q、R分别从O、A、B同时移动，移动时间为t（0＜t＜6）s.
（1）求∠OAB的度数.
（2）以OB为直径的⊙O‘与AB交于点M，当t为何值时，PM与⊙O‘相切？
（3）写出△PQR的面积S随动点移动时间t的函数关系式，并求s的最小值及相应的t值.
（4）是否存在△APQ为等腰三角形，若存在，求出相应的t值，若不存在请说明理由.
10. 二次函数与三角形问题
1. （2010年郴州市）如图（1），抛物线与y轴交于点A，E（0，b）为y轴上一动点，过点E的直线与抛物线交于点B、C.
（1）求点A的坐标；
（2)当b=0时（如图（2）），与的面积大小关系如何？当时，上述关系还成立吗，为什么？
（3）是否存在这样的b，使得是以BC为斜边的直角三角形，若存在，求出b；若不存在，说明理由.
2. （2010湖北随州）（15分）已知抛物线顶点为C（1，1）且过原点O.过抛物线上一点P（x，y）向直线作垂线，垂足为M，连FM（如图）.
（1）求字母a，b，c的值；
（2）在直线x＝1上有一点，求以PM为底边的等腰三角形PFM的P点的坐标，并证明此时△PFM为正三角形；
（3）对抛物线上任意一点P，是否总存在一点N（1，t），使PM＝PN恒成立，若存在请求出t值，若不存在请说明理由.
11. 二次函数与一元二次方程问题
1．（2010湖北省咸宁）已知二次函数的图象与轴两交点的坐标分别为（，0），（，0）（）．
（1）证明；
（2）若该函数图象的对称轴为直线，试求二次函数的最小值．
2．（2010湖南长沙）已知：二次函数的图象过点（1，0），一次函数图象经过原点和点（1，－b），其中a>b>0且a、b为实数．
（1）求一次函数的表达式（用含b的式子表示）；
（2）试说明：这两个函数的图象交于不同的两点；
（3）设（2）中的两个交点的横坐标分别为、，求的范围．
12. 二次函数与实际问题
1. (2010湖北省荆门市)．(本题满分10分)某商店经营一种小商品，进价为2.5元，据市场调查，销售单价是13.5元时平均每天销售量是500件，而销售价每降低1元，平均每天就可以多售出100件
(1)假定每件商品降价x元，商店每天销售这种小商品的利润是y元，请写出y与x间的函数关系式，并注明x的取值范围．
(2)每件小商品销售价是多少元时，商店每天销售这种小商品的利润最大？最大利润是多少？(注：销售利润＝销售收入－购进成本)
2、（2010年泉州南安市）某公园有一个抛物线形状的观景拱桥ABC，其横截面如图所示，在图中建立的直角坐标系中，抛物线的解析式为且过顶点C（0，5）（长度单位：m）
（1）直接写出c的值；
（2）现因搞庆典活动，计划沿拱桥的台阶表面铺设一条宽度为1.5 m的地毯，地毯的价格为20元 / ,求购买地毯需多少元？
（3）在拱桥加固维修时，搭建的“脚手架”为矩形EFGH（H、G分别在抛物线的左右侧上），并铺设斜面EG.已知矩形EFGH的周长为27.5 m，求斜面EG的倾斜角∠GEF的度数.（精确到0.1°）
3、（2010年桂林市）桂林红桥位于桃花江上，是桂林两江四湖的一道亮丽的风景线，该桥的部分横截面如图所示，上方可看作是一个经过Ａ、Ｃ、Ｂ三点的抛物线，以桥面的水平线为Ｘ轴，经过抛物线的顶点Ｃ与Ｘ轴垂直的直线为Ｙ轴，建立直角坐标系，已知此桥垂直于桥面的相邻两柱之间距离为２米（图中用线段ＡＤ、ＣＯ、ＢＥ等表示桥柱）ＣＯ＝１米，ＦＧ＝２米
求经过Ａ、Ｂ、Ｃ三点的抛物线的解析式。
求柱子ＡＤ的高度。
4、（2007山东日照）容积率t是指在房地产开发中建筑面积与用地面积之比，即，为充分利用土地资源，更好地解决人们的住房需求，并适当的控制建筑物的高度，一般地容积率t不小于1且不大于8.一房地产开发商在开发某小区时，结合往年开发经验知，建筑面积M（m2）与容积率t的关系可近似地用如图（1）中的线段l来表示；1 m2建筑面积上的资金投入Q（万元）与容积率t的关系可近似地用如图（2）中的一段抛物线段c来表示．
（Ⅰ）试求图（1）中线段l的函数关系式，并求出开发该小区的用地面积；
（Ⅱ）求出图（2）中抛物线段c的函数关系式.
5.(2008年安徽省)杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体(看成一点)的路线是抛物线的一部分，如图。
（1）求演员弹跳离地面的最大高度；
（2）已知人梯高BC＝3.4米，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由。
13. 二次函数与概率
1.（2010宁德）（本题满分12分）如图1，抛物线与x轴交于A、C两点，与y轴交于B点，与直线交于A、D两点。
⑴直接写出A、C两点坐标和直线AD的解析式；
⑵如图2，质地均匀的正四面体骰子的各个面上依次标有数字－1、1、3、4.随机抛掷这枚骰子两次，把第一次着地一面的数字m记做P点的横坐标，第二次着地一面的数字n记做P点的纵坐标.则点落在图1中抛物线与直线围成区域内（图中阴影部分，含边界）的概率是多少？
14. 二次函数存在性问题讨论
1 ．（2010湖南郴州）如图（1），抛物线与y轴交于点A，E（0，b）为y轴上一动点，过点E的直线与抛物线交于点B、C.
（1）求点A的坐标；
（2)当b=0时（如图（2）），与的面积大小关系如何？当时，上述关系还成立吗，为什么？
（3）是否存在这样的b，使得是以BC为斜边的直角三角形，若存在，求出b；若不存在，说明理由.
2．（2010湖南怀化）图3是二次函数的图象，其顶点坐标为M(1,-4).
（1）求出图象与轴的交点A,B的坐标；
（2）在二次函数的图象上是否存在点P，使,若存在，求出P点的
坐标；若不存在，请说明理由；
（3）将二次函数的图象在轴下方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变，
得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线与此
图象有两个公共点时，的取值范围.
2011年全国各地中考数学真题分类汇编
二次函数
一、选择题
1. （2011山东滨州，7，3分）抛物线可以由抛物线平移得到,则下列平移过程正确的是( )
A.先向左平移2个单位,再向上平移3个单位
B.先向左平移2个单位,再向下平移3个单位
C.先向右平移2个单位,再向下平移3个单位
D.先向右平移2个单位,再向上平移3个单位
【答案】B
【答案】D
2. （2011广东广州市，5，3分）下列函数中,当x>0时y值随x值增大而减小的是（ ）．
A．y = x2 B．y = x－１ C． y = x D．y =
【答案】D
3. （2011湖北鄂州，15，3分）已知函数，则使y=k成立的x值恰好有三个，则k的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4. （2011山东德州6,3分）已知函数（其中）的图象
如下面右图所示，则函数的图象可能正确的是
【答案】D
5. （2011山东菏泽，8，3分）如图为抛物线的图像，A、B、C 为抛物线与坐标轴的交点，且OA=OC=1，则下列关系中正确的是
A．a＋b=－1 B． a－b=－1 C． b<2a D． ac<0
【答案】B
6. （2011山东泰安，20 ，3分）若二次函数y=ax2+bx+c的x与y的部分对应值如下表：
X -7 -6 -5 -4 -3 -2
y -27 -13 -3 3 5 3
则当x=1时，y的值为
A.5 B.-3 C.-13 D.-27
【答案】D
7. （2011山东威海，7，3分）二次函数的图象如图所示．当y＜0时，自变量x的取值范围是（ ）．
A．－1＜x＜3 B．x＜－1 C． x＞3 D．x＜－1或x＞3
【答案】A
8. （2011山东烟台，10,4分）如图，平面直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，则下列关系正确的是（ ）
A．m＝n，k＞h B．m＝n ，k＜h
C．m＞n，k＝h D．m＜n，k＝h
【答案】A
9. （2011浙江温州，9，4分）已知二次函数的图象(0≤x≤3)如图所示．关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是( )
A．有最小值0，有最大值3 B．有最小值－1，有最大值0
C．有最小值－1，有最大值3 D．有最小值－1，无最大值
【答案】D
10．（2011四川重庆，7，4分）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中正确的是( )
A． a>0 B． b＜0 C． c＜0 D． a＋b＋c>0
【答案】D
11. （2011台湾台北，6）若下列有一图形为二次函数y＝2x2－8x＋6的图形，则此图为何？
【答案】A
12. （2011台湾台北，32）如图(十四)，将二次函数的图形画在坐标平面上，判断方程
式的两根，下列叙述何者正确？
A．两根相异，且均为正根 B．两根相异，且只有一个正根
C．两根相同，且为正根 D．两根相同，且为负根
【答案】A
13. （2011台湾全区，28）图(十二)为坐标平面上二次函数的图形，且此图形通（－1 ,
1）、（2 ,－1）两点．下列关于此二次函数的叙述，何者正确？
A ．y的最大值小于0 B．当x＝0时，y的值大于1
C．当x＝1时，y的值大于1 D．当x＝3时，y的值小于0
【答案】Ｄ
14. （2011甘肃兰州，5，4分）抛物线的顶点坐标是
A．（1，0） B．（－1，0） C．（－2，1） D．（2，－1）
【答案】A
15. （2011甘肃兰州，9，4分）如图所示的二次函数的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：（1）；（2）c>1；（3）2a－b<0；（4）a+b+c<0。你认为其中错误的有
A．2个 B．3个 C．4个 D．1个
【答案】D
16. （2011江苏宿迁,8,3分）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图，则下列结论中正确的是（▲）
A．a＞0 B．当x＞1时，y随x的增大而增大
C．c＜0 D．3是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根
【答案】D
17. （2011山东济宁，8，3分）已知二次函数中，其函数与自变量之间的部分对应值如下表所示：
x …… 0 1 2 3 4 ……
y …… 4 1 0 1 4 ……
点A（，）、B（，）在函数的图象上，则当时，与的大小关系正确的是
A． B． C． D．
【答案】B
18. （2011山东聊城，9，3分）下列四个函数图象中，当x<0时，函数值y随自变量x的增大而减小的是（ ）
【答案】D
19. （2011山东潍坊，12，3分）已知一元二次方程的两个实数根、满足和，那么二次函数的图象有可能是（ ）
【答案】C
20．（2011四川广安，10，3分）若二次函数．当≤l时，随的增大而减小，则的取值范围是（ ）
A．=l B．>l C．≥l D．≤l
【答案】C
21. （2011上海，4，4分）抛物线y＝－(x＋2)2－3的顶点坐标是（ ）．
(A) （2，－3）； (B) （－2，3）； (C) （2，3）； (D) （－2，－3） ．
【答案】D
22. （2011四川乐山5，3分）将抛物线向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是
A． B． C． D．
【答案】A
23. （2011四川凉山州，12，4分）二次函数的图像如图所示，反比列函数与正比列函数在同一坐标系内的大致图像是（ ）
【答案】B
24. （2011安徽芜湖，10,4分）二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是（ ）.
【答案】D
25. （2011江苏无锡，9，3分）下列二次函数中，图象以直线x = 2为对称轴，且经过点(0，1)的是 ( )
A．y = (x 2)2 + 1 B．y = (x + 2)2 + 1
C．y = (x 2)2 3 D．y = (x + 2)2 3
【答案】C
26. （2011江苏无锡，10，3分）如图，抛物线y = x2 + 1与双曲线y = 的交点A的横坐标是1，则关于x的不等式 + x2 + 1 < 0的解集是 ( )
A．x > 1 B．x < 1 C．0 < x < 1 D． 1 < x < 0
【答案】D
27. （2011湖北黄冈，15，3分）已知函数，则使y=k成立的x值恰好有三个，则k的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
28. （2011广东肇庆，10，3分）二次函数有
A． 最大值 B． 最小值 C． 最大值 D． 最小值
【答案】D
29. （2011湖北襄阳，12，3分）已知函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是
A. B. C.且 D.且
【答案】B
30. （2011湖南永州，13，3分）由二次函数，可知（ ）
A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为直线
C．其最小值为1 D．当时，y随x的增大而增大
【答案】C．
31. (20011江苏镇江,8,2分)已知二次函数,当自变量x取m时,对应的函数值大于0,当自变量x分别取m-1,m+1时对应的函数值、,则必值,满足 ( )
A. >0,>0 B. <0,<0 C.<0,>0 D.>0,<0
答案【B 】
32. （2011安徽芜湖，10，4分）二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是（ ）.
【答案】D
33. （2010湖北孝感，12，3分）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为，下列结论：①ac＜0；②a+b=0；③4ac－b2=4a；④a+b+c＜0.其中正确的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
34. （2011湖南湘潭市，8，3分）在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图像可能是
【答案】C
35.
二、填空题
1. （2011浙江省舟山，15，4分）如图，已知二次函数的图象经过点（－1，0），（1，－2），当随的增大而增大时，的取值范围是 ．
【答案】
2. （2011山东日照，17，4分）如图，是二次函数 y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象的一部分， 给出下列命题 ：①a+b+c=0；②b＞2a；③ax2+bx+c=0的两根分别为-3和1；④a-2b+c＞0．其中正确的命题是 ．（只要求填写正确命题的序号）
【答案】①③．
3. （2011 浙江杭州，23， 10)设函数 (k为实数)．
(1)写出其中的两个特殊函数，使它们的图象不全是抛物线，并在同一直角坐标系中，用描点法画出这两个特殊函数的图象；
(2)根据所画图象，猜想出：对任意实数K，函数的图象都具有的特征，并给予证明；
(3)对任意负实数k，当x
(2) 对任意实数k，函数的图象都经过点（－2，－1）和点（0，1）
证明：把x＝－2代入函数，得y＝－1，即函数的图象经过点（－2，－1）；把x＝0代入函数，得y＝1，即函数的图象经过点（0，1）．
(3) 当k为任意负实数，该函数的图象总是开口向下的抛物线，其对称轴为，当负数k所取的值非常小时，正数靠近0，所以靠近－1，所以只要M的值不大于－1即可．
4. (2011 浙江湖州，15，4)如图，已知抛物线经过点（0，－3），请你确定一个b的值，使该抛物线与x轴的一个交点在(1，0)和(3，0)之间你所确定的b的值是 ．
【答案】如（答案不唯一）
5. （2011宁波市，16，3分）将抛物线y＝x的图象向上平移1个单位，则平移后的抛物线的解析式为
【答案】y＝x2＋1
6. （2011浙江义乌，16，4分）如图，一次函数y=－2x的图象与二次函数y=－x2+3x图象的对称轴交于点B.
（1）写出点B的坐标 ▲ ；
（2）已知点P是二次函数y=－x2+3x图象在y轴右侧部分上的一
个动点，将直线y=－2x沿y轴向上平移，分别交x轴、y轴于
C、D两点. 若以CD为直角边的△PCD与△OCD相似，则点
P的坐标为 ▲ .
【答案】（1）（，-3）；（2）（2,2）、（，）、（，）、（，）
7. （2011浙江省嘉兴，15，5分）如图，已知二次函数的图象经过点（-1，0），（1，-2），该图象与x轴的另一个交点为C，则AC长为 ．
【答案】3
8. （2011山东济宁，12，3分）将二次函数化为的形式，则 ．
【答案】
9. （2011山东潍坊，14，3分）一个y关于x的函数同时满足两个条件：①图象过（2,1）点；②当x>0时，y随x的增大而减小.这个函数解析式为_________________________（写出一个即可）
【答案】如：等，写出一个即可.
10．（ 2011重庆江津， 18，4分）将抛物线y=x2－2x向上平移3个单位,再向右平移4个单位等到的抛物线是_______.
【答案】y=(x-5)2+2 或 y=x2-10x+27
11. （2011江苏淮安，14，3分）抛物线y=x2-2x-3的顶点坐标是 .
【答案】（1，-4）
12. （2011贵州贵阳，14，4分）写出一个开口向下的二次函数的表达式______．
【答案】y=-x2+2x+1
13. （2011广东茂名，15，3分）给出下列命题：
命题1．点(1，1)是双曲线与抛物线的一个交点．
命题2．点(1，2)是双曲线与抛物线的一个交 点．
命题3．点(1，3)是双曲线与抛物线的一个交点．
……
请你观察上面的命题,猜想出命题(是正整数):
【答案】点(1，n)是双曲线与抛物线的一个交点 ．
14. （2011山东枣庄，18，4分）抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表：
x … －2 －1 0 1 2 …
y … 0 4 6 6 4 …
从上表可知，下列说法中正确的是 ．（填写序号）
①抛物线与轴的一个交点为（3,0）； ②函数的最大值为6；
③抛物线的对称轴是； ④在对称轴左侧，随增大而增大．
【答案】①③④
15.
三、解答题
1. （2011广东东莞，15，6分）已知抛物线与x轴有交点．
(1)求c的取值范围；
(2)试确定直线y＝cx+l经过的象限，并说明理由．
【答案】（1）∵抛物线与x轴没有交点
∴⊿＜0，即1－2c＜0
解得c＞
(2)∵c＞
∴直线y=x＋1随x的增大而增大，
∵b=1
∴直线y=x＋1经过第一、二、三象限
2. （ 2011重庆江津， 25，10分）已知双曲线与抛物线y=zx2+bx+c交于A(2,3)、B(m,2)、c(－3,n)三点.
(1)求双曲线与抛物线的解析式;
(2)在平面直角坐标系中描出点A、点B、点C,并求出△ABC的面积,
【答案】(1)把点A(2,3)代入得 ：k=6·
∴反比例函数的解析式为：·
把点B(m,2)、C(－3,n)分别代入得： m=3,n=-2·
把A(2,3)、B(3,2)、C(-3,-2)分别代入y=ax2+bx+c得：
解之得
∴抛物线的解析式为：y=-·
(2)描点画图
S△ABC=(1+6)×5-×1×1-×6×4==5·
3. （2011江苏泰州，27，12分）已知：二次函数y=x2＋bx－3的图像经过点P（－2,5）．
（1）求b的值，并写出当1＜x≤3时y的取值范围；
（2）设点P1（m,y1）、P2（m+1,y2）、P3(m+2,y3)在这个二次函数的图像上．
①当m=4时，y1、y2、y3能否作为同一个三角形的三边的长？请说明理由；
②当m取不小于5的任意实数时，y1、y2、y3一定能作为同一个三角形三边的长，请说明理由．
【答案】解：（1）把点P代入二次函数解析式得5= （－2）2－2b－3，解得b=－2.
当1＜x≤3时y的取值范围为－4＜y≤0.
（2）①m=4时，y1、y2、y3的值分别为5、12、21，由于5+12＜21，不能成为三角形的三边长．
②当m取不小于5的任意实数时，y1、y2、y3的值分别为m2－2m－3、m2－4、m2＋2m－3，由于， m2－2m－3＋m2－4＞m2＋2m－3，（m－2）2－8＞0，
当m不小于5时成立，即y1＋y2＞y3成立．
所以当m取不小于5的任意实数时，y1、y2、y3一定能作为同一个三角形三边的长，
4. （2011广东汕头，15，6分）已知抛物线与x轴有交点．
(1)求c的取值范围；
(2)试确定直线y＝cx+l经过的象限，并说明理由．
【答案】（1）∵抛物线与x轴没有交点
∴⊿＜0，即1－2c＜0
解得c＞
(2)∵c＞
∴直线y=x＋1随x的增大而增大，
∵b=1
∴直线y=x＋1经过第一、二、三象限
5. （2011湖南怀化，22，10分）已知：关于x的方程
当a取何值时，二次函数的对称轴是x=-2；
求证：a取任何实数时，方程总有实数根.
【答案】
(1)解：∵二次函数的对称轴是x=-2
∴
解得a=-1
经检验a=-1是原分式方程的解.
所以a=-1时，二次函数的对称轴是x=-2；
（2）1）当a=0时，原方程变为-x-1=0，方程的解为x= -1；
2）当a≠0时，原方程为一元二次方程，，
当方程总有实数根，
∴
整理得，
∵a≠0时 总成立
所以a取任何实数时，方程总有实数根.
6. (2011江苏南京，24，7分)（7分）已知函数y=mx2－6x＋1（m是常数）．
⑴求证：不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点；
⑵若该函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值．
【答案】解：⑴当x=0时，．
所以不论为何值，函数的图象经过轴上的一个定点（0，1）．
⑵①当时，函数的图象与轴只有一个交点；
②当时，若函数的图象与轴只有一个交点，则方程有两个相等的实数根，所以，．
综上，若函数的图象与轴只有一个交点，则的值为0或9．
10．（2011四川绵阳24，12）已知抛物线:y=x -2x+m-1 与x轴只有一个交点，且与y轴交于A点,
如图，设它的顶点为B
(1)求m的值；
(2)过A作x轴的平行线，交抛物线于点C，求证是△ABC是等腰直角三角形；
(3)将此抛物线向下平移4个单位后，得到抛物线C'，且与x 轴的左半轴交于E点，与y轴交于F点，如图.请在抛物线C'上求点P，使得△EFP是以EF为直角边的直角三角形.
【答案】（1）抛物线与x轴只有一个交点，说明△=0，∴m=2
（2）∵抛物线的解析式是y=x -2x+1,∴A（0，1），B（1，0）∴△AOB是等腰直角三角形，又AC∥OB,∴∠BAC=∠OAB=45°A，C是对称点，∴AB=BC，∴△ABC是等腰直角三角形。
（3）平移后解析式为y=x -2x-3,可知E(-1,0),F(0,-3)∴EF的解析式为：y=-3x-3,平面内互相垂直的两条直线的k值相乘=-1，所以过E点或F点的直线为y=x+b把E点和F点分别代入可得b=或-3，∴y=x+或y=x-3列方程得 EQ \B\lc\{(\a\al(y=x+, y=x -2x-3,)) 解方程x1=-1,x2=, x1 是E点坐标舍去，把x2=代入得y=,∴P1（，）同理 EQ \B\lc\{(\a\al(y=x-3, y=x -2x-3,)) 易得x1 = 0舍去，x2= 代入y=-,∴P2(,-)
11. （2011贵州贵阳，21，10分）
如图所示，二次函数y=-x2+2x+m的图象与x轴的一个交点为A（3，0），另一个交点为B，且与y轴交于点C．
（1）求m的值；（3分）
（2）求点B的坐标；（3分）
（3）该二次函数图象上有一点D（x，y）（其中x＞0，y＞0），使S△ABD=S△ABC，求点D的坐标．（4分）
（第21题图）
【答案】解：（1）将（3，0）代入二次函数解析式，得
-32+2×3+m=0．
解得，m=3．
（2）二次函数解析式为y=-x2+2x+3，令y=0，得
-x2+2x+3=0．
解得x=3或x=-1．
∴点B的坐标为（-1，0）．
（3）∵S△ABD=S△ABC，点D在第一象限，
∴点C、D关于二次函数对称轴对称．
∵由二次函数解析式可得其对称轴为x=1，点C的坐标为（0，3），
∴点D的坐标为（2，3）．
12. （2011广东省，15，6分）已知抛物线与x轴有交点．
(1)求c的取值范围；
(2)试确定直线y＝cx+l经过的象限，并说明理由．
【答案】（1）∵抛物线与x轴没有交点
∴⊿＜0，即1－2c＜0
解得c＞
(2)∵c＞
∴直线y=x＋1随x的增大而增大，
∵b=1
∴直线y=x＋1经过第一、二、三象限
13. （2011广东肇庆，25，10分）已知抛物线（0）与轴交于、两点．
（1）求证：抛物线的对称轴在轴的左侧；
（2）若（是坐标原点），求抛物线的解析式；
（3）设抛物线与轴交于点，若是直角三角形，求的面积．
【答案】（1）证明：∵0 ∴
∴抛物线的对称轴在轴的左侧
（2）解：设抛物线与轴交点坐标为A（，0），B（，0），
则， ， ∴与异号
又 ∴ 由（1）知：抛物线的对称轴在轴的左侧
∴， ∴,
代入得：
即，从而，解得：
∴抛物线的解析式是
（3）[解法一]：当时， ∴抛物线与轴交点坐标为（0，）
∵是直角三角形，且只能有AC⊥BC，又OC⊥AB，
∴∠CAB＝ 90°— ∠ABC，∠BCO＝ 90°— ∠ABC，∴∠CAB ＝∠BCO
∴Rt△AOC∽Rt△COB，
∴，即 ∴
即 解得：
此时＝ ，∴点的坐标为（0，—1）∴OC＝1
又
∵0，∴ 即AB＝ ∴的面积＝ABOC＝1＝
[解法二]：略解: 当时， ∴点（0，）
∵是直角三角形 ∴
∴
∴ ∴
解得：
∴
14. （2011江苏盐城，23，10分）已知二次函数y = - x2 - x + .
（1）在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象；
（2）根据图象，写出当y ＜ 0时，x的取值范围；
（3）若将此图象沿x轴向右平移3个单位，请写出平移后图象所对应的函数关系式．
【答案】（1）画图(如图)；
（2）当y ＜ 0时，x的取值范围是x＜-3或x＞1；
（3）平移后图象所对应的函数关系式为y=- （x-2）2+2（或写成y=- x2+2x）.
15. (20011江苏镇江,24,7分)如图,在△ABO中,已知点A(,3),B(-1,-1),O(0,0),正比例y=-x的图象是直线l,直线AC∥x轴交直线l于点C.
(1)C点坐标为_____;
(2)以点O为旋转中心,将△ABO顺时针旋转角a(0°
②画出△;
(3)写出所有满足△DOC∽△AOB的点D的坐标.
【答案】解：（1）C点坐标为（-3，3）；（2）①∠α=90°②略 （3）(9,-), (,-9).
16. （2011广东中山，15,6分）已知抛物线与x轴有两个不同的交点．
(1)求c的取值范围；
(2)抛物线与x轴两交点的距离为2，求c的值．
【解】（1）∵抛物线与x轴有两个不同的交点
∴⊿＞0，即1－2c＞0
解得c＜
(2)设抛物线与x轴的两交点的横坐标为，
∵两交点间的距离为2，
∴，
由题意，得
解得
∴c=
即c的值为0．
17. （2011贵州安顺，27，12分）如图，抛物线y=x2+bx－2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（一1，0）．
⑴求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
⑵判断△ABC的形状，证明你的结论；
⑶点M(m，0)是x轴上的一个动点，当CM+DM的值最小时，求m的值．
【答案】（1）∵点A（-1，0）在抛物线y=x2 + bx-2上，∴× (-1 )2 + b× (-1) –2 = 0，解得b =
∴抛物线的解析式为y=x2-x-2. y=x2-x-2 = ( x2 -3x- 4 ) =(x-)2-,
∴顶点D的坐标为 (, -).
（2）当x = 0时y = -2, ∴C（0，-2），OC = 2。
当y = 0时， x2-x-2 = 0， ∴x1 = -1, x2 = 4, ∴B (4,0)
∴OA = 1, OB = 4, AB = 5.
∵AB2 = 25, AC2 = OA2 + OC2 = 5, BC2 = OC2 + OB2 = 20,
∴AC2 +BC2 = AB2. ∴△ABC是直角三角形.
（3）作出点C关于x轴的对称点C′，则C′（0，2），OC′=2，连接C′D交x轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC + MD的值最小。
解法一：设抛物线的对称轴交x轴于点E.
∵ED∥y轴, ∴∠OC′M=∠EDM,∠C′OM=∠DEM
∴△C′OM∽△DEM.
∴
∴，∴m =．
解法二：设直线C′D的解析式为y = kx + n ,
则，解得n = 2, .
∴ .
∴当y = 0时， ，
. ∴.
18. （2010湖北孝感，25，2分）如图（1），矩形ABCD的一边BC在直角坐标系中x轴上，折叠边AD,使点D落在x轴上点F处，折痕为AE，已知AB=8，AD=10，并设点B坐标为（m,0），其中m＞0.
（1）求点E、F的坐标（用含m的式子表示）；（5分）
（2）连接OA，若△OAF是等腰三角形，求m的值；（4分）
（3）如图（2），设抛物线y=a(x－m－6)2+h经过A、E两点，其顶点为M，连接AM，若∠OAM=90°，求a、h、m的值. （5分）
【答案】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=10，AB=CD=8，∠D=∠DCB=∠ABC=90°.
由折叠对称性：AF=AD=10，FE=DE.
在Rt△ABF中，BF=.
∴FC=4.
在Rt△ECF中，42+（8-x）2=x2，解得x=5.
∴CE=8-x=3.
∵B（m，0）,∴E(m+10,3),F（m+6,0）.
（2）分三种情形讨论：
若AO=AF，∵AB⊥OF，∴OB=BF=6.∴m=6.
若OF=AF，则m+6=10，解得m=4.
若AO=OF，在Rt△AOB中，AO2=OB2+AB2=m2+64，
∴（m+6）2= m2+64，解得m=.
综合得m=6或4或.
（3）由（1）知A(m,8)，E(m+10,3).
依题意，得，
解得
∴M（m+6，﹣1）.
设对称轴交AD于G.
∴G（m+6,8），∴AG=6，GM=8－（﹣1）=9.
∵∠OAB+∠BAM=90°，∠BAM+∠MAG=90°，
∴∠OAB=∠MAG.
又∵∠ABO=∠MGA=90°，
∴△AOB∽△AMG.
∴，即.
∴m=12.
19. （2011湖南湘潭市，25，10分）（本题满分10分）
如图，直线交轴于A点，交轴于B点，过A、B两点的抛物线交轴于另一点C（3,0）.
⑴ 求抛物线的解析式;
⑵ 在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】解：（1）设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c。
∵直线交轴于A点，交轴于B点，
∴A点坐标为（-1,0）、B点坐标为（0,3）.
又∵抛物线经过A、B、C三点，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3．
（2）∵y=-x2+2x+3= ，∴该抛物线的对称轴为x=1．
设Q点坐标为（1，m），则，又.
当AB=AQ时， ，解得：，
∴Q点坐标为（1，）或（1，）；
当AB=BQ时，，解得：，
∴Q点坐标为（1，0）或（1，6）；
当AQ=BQ时，，解得：，
∴Q点坐标为（1，1）．
∴抛物线的对称轴上是存在着点Q（1，）、（1，）、（1，0）、（1，6）、（1，1），使△ABQ是等腰三角形．
20．（2011湖北荆州，22，9分）（本题满分9分）如图，等腰梯形ABCD的底边AD在x轴上，顶点C在y轴正半轴是，B（4,2），一次函数的图象平分它的面积，关于x的函数的图象与坐标轴只有两个交点，求m的值.
第22题图
【答案】 解：过B作BE⊥AD于E，连结OB、CE交于 点P，
∵P为矩形OCBE的对称中心，则过P点的直线平分矩形OCBE的面积.
∵P为OB的中点，而B（4，2） ∴P点坐标为（2，1）
在Rt△ODC与Rt△EAB中，OC＝BE，AB＝CD
∴Rt△ODC≌Rt△EAB（HL），
∴S△ODC?＝S△EBA?
∴过点（0，-1）与P（2，1）的直线即可平分等腰梯形面积，这条直线为y=kx-1
∴2k-1=1，∴k=1
又∵的图象与坐标轴只有两个交点，故
①当m＝0时，y＝-x+1,其图象与坐标轴有两个交点（0，1），（1，0）
②当m≠0时，函数的图象为抛物线，且与y轴总有一个交点（0，2m+1）
若抛物线过原点时，2m+1=0，即m=，此时△＝（3m+1）2-4m(2m+1)=＞0
∴抛物线与x轴有两个交点且过原点，符合题意.
若抛物线不过原点，且与x轴只有一个交点，也合题意，
此时△′＝（3m+1）2-4m(2m+1)=0
解之得：m1=m2=-1
综上所述，m的值为m=0或或-1.
21. （2011湖北宜昌，24，11分）已如抛物线y = ax2+bx+c 与直线y=m+n 相交于两点，这两点的坐标分别是(0，)和(m-b，m2 – mb + n，其中a，b,c,m，n为实数，且a，m不为0.
(1)求c的值；
(2)设抛物线y = ax2+bx+c与轴的两个交点是(，0)和(，0)，求的值；
(3)当时，设抛物线y = ax2+bx+c与轴距离最大的点为P（，），求这时的最小值.
【答案】解:(1)∵（0，）在y＝ax2＋bx＋c上，∴ ＝a×02＋b×0＋c，∴ c＝.(1分)
(2)又可得 n＝。∵ 点（m－b，m2－mb＋n）在y＝ax2＋bx＋c上，∴ m2－mb＝a（m－b）2＋b（m－b），∴（a－1）（m－b）2＝0， （2分）若（m－b）＝0，则（m－b， m2－mb＋n）与（0，）重合，与题意不合．∴ a＝1．（3分，只要求出a＝1，即评3分）
∴抛物线y＝ax2＋bx＋c，就是y＝x2＋bx．△＝b2－4ac＝b2－4×（）＞0，（没写出不扣分）∴抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的两个交点的横坐标就是关于x的二次方程0＝ax2＋bx＋c的两个实数根，∴由根与系数的关系，得x1x2＝．（4分）
(3)抛物线y＝x2＋bx的对称轴为x＝，最小值为．（没写出不扣分）设抛物线y＝x2＋bx在x轴上方与x轴距离最大的点的纵坐标为H，在x轴下方与x轴距离最大的点的纵坐标为h．
当<－1，即b＞2时，在x轴上方与x轴距离最大的点是（1，yo），∴｜H｜＝yo＝＋b＞， (5分)，在x轴下方与x轴距离最大的点是（－1，yo），∴｜h｜＝｜yo｜＝｜－b｜＝b－＞， (6分)，∴｜H｜＞｜h｜．∴这时｜yo｜的最小值大于 (7分)
② 当－1≤≤0，即0≤b≤2时，在x轴上方与x轴距离最大的点是（1，yo），∴｜H｜＝yo＝＋b≥，当b＝0时等号成立.在x轴下方与x轴距离最大点的是 （， ），∴｜h｜＝｜｜＝≥，当b＝0时等号成立.∴这时｜yo｜的最小值等于.(8分)
③ 当0＜≤1，即－2≤b＜0时,在x轴上方与x轴距离最大的点是（－1，yo），∴｜H｜＝yo＝1＋（－1）b－＝－b＞，在x轴下方与x轴距离最大的点是 （，），∴｜h｜＝｜yo｜＝｜｜＝＞12.
∴ 这 时 ｜yo｜的 最 小 值 大 于.(9分)
④ 当1＜，即b＜－2时，在x轴上方与x轴距离最大的点是（－1，yo），
∴｜H｜＝－b＞，在x轴下方与x轴距离最大的点是(1，yo)，∴｜h｜＝｜＋b｜＝－（b＋）＞，∴｜H｜＞｜h｜,∴这时｜yo｜的最小值大于 (10分)
综上所述，当b＝0，x0＝0时，这时｜yo｜取最小值，为｜yo｜＝. (11分)
图2
第3题
x
y
O
1
x
x
x
x
x
x
（第9题图）
y
O
第（13）题
y
x
O
y
x
O
y
x
O
y
x
O
1
－1
y
x
O
1
－1
y
x
O
(B)
y
x
O
(A)
y
x
O
(C)
y
x
O
(D)
1
O
x
y
（第17题图）
O
y
x
1
1
A．
O
y
x
1
1
C．
O
y
x
1
1
D．
O
y
x
1
1
B．
第13题
13
O
x
y
-2
1
2
1
2
3
4
A
B
第24题图
B
A
P
x
C
Q
O
y
第1题图
图2
O1
A1
O
y
x
B1
C1
D
M
－1
y
x
O
（第24题）
1
2
3
4
－2
－4
－3
3
－1
－2
－3
－4
4
1
2
x
y
O
B
C
A
图1
O
第1题
y
A
x
C
B
图2
D
C
M
N
O
A
B
P
l
第2题图
y
E
B
x
y
A
O
图4
D
图5
y
x
O
A
B
M
O1
A
O
B
M
D
C
y
x
E
A
B
C
第7题
D
P
E
第26题
图（1）
图（2）
y
x
0
D(5,-2)
C
B
A
图1
图2
-1
3
第26题
图（1）
图（2）
图3
第6题图
y
x
1
1
O
（A）
y
x
1
-1
O
（B）
y
x
-1
-1
O
（C）
1
-1
x
y
O
（D）
x
y
-1
1
O
1
第12题
O
x
y
O
y
x
A
O
y
x
B
O
y
x
D
O
y
x
C
（第10题）
x
y
A
（第15题）
（1,-2）
-1
O
B
C
D
（第15题）
（1,-2）
-1
A
B
C
·A(2,3)
y
x
1
1
o
第25题图
-1
-1
·B(2,3)
·C(-2,-3)
y
x
1
1
o
第25题图
-1
-1
第27题图
O
C
B
A
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