2012年中考数学专题复习(五)：四边形

四边形
【知识要点】
一 一般四边形
1．四边形的内角和与外角和定理：
（1）四边形的内角和等于360°；（2）四边形的外角和等于360°.
2．多边形的内角和与外角和定理：
（1）n边形的内角和等于(n-2)180°；（2）任意多边形的外角和等于360°.
3．若n是多边形的边数，则对角线条数公式是：.
二 平行四边形的判定与性质
1. 平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
2. 平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点。
3．平行四边形的性质：
因为ABCD是平行四边形
4.平行四边形的判定：
.
5.平行线之间的距离及特征
平行线之间的距离定义：若两条直线互相平行，则其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离。
平行线之间的距离特征1：平行线之间的距离处处相等。
平行线之间的距离特征2：夹在两条平行线之间的平行线段相等。
三 矩形的判定与性质
1. 矩形定义1：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
2. 矩形定义2：有三个角是直角的四边形叫做矩形
3. 矩形既是中心对称图形又是轴对称图形，对称中心是两条对角线的交点，对称轴是各边的垂直平分线。
4.矩形的性质：
因为ABCD是矩形
5. 矩形的判定：
四边形ABCD是矩形.
四 菱形的判定与性质
1. 菱形定义1：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
2. 菱形定义2：四条边都相等的四边形叫做菱形。
3. 菱形既是中心对称图形又是轴对称图形，对称中心是两条对角线的交点，对称轴是对角线所在的直线。
4．菱形的性质：
因为ABCD是菱形
5．菱形的判定：
四边形四边形ABCD是菱形.
五 正方形的判定与性质
1. 正方形定义1：有一组邻边相等的矩形叫做正方形。
2. 正方形定义2：有一个角是直角的菱形叫做正方形。
3. 正方形定义3：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
4. 正方形既是中心对称图形又是轴对称图形，对称中心是两条对角线的交点，对称轴是各边的垂直平分线和对角线所在的直线。
5．正方形的性质：
因为ABCD是正方形
（1） （2）（3）
6．正方形的判定：
四边形ABCD是正方形.
(3)∵ABCD是矩形
又∵AD=AB
∴四边形ABCD是正方形
六 梯形的判定与性质
1. 梯形定义：只有一组对边平行的四边形叫做梯形。
2. 梯形判定1：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形是梯形。
3. 梯形判定2：一组对边平行且不相等的四边形是梯形。
4. 直角梯形定义：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形。
5. 等腰梯形定义：两腰相等的梯形叫做等腰梯形。
6. 等腰梯形是轴对称图形，只有一条对称轴，一底的垂直平分线是它的对称轴。
7．等腰梯形的性质：
因为ABCD是等腰梯形
8．等腰梯形的判定：
四边形ABCD是等腰梯形
(3)∵ABCD是梯形且AD∥BC
∵AC=BD
∴ABCD四边形是等腰梯形
9. 梯形辅助线的添法
（图一） （图二） （图三） （图四）
（图五） （图六） （图七） （图八）
七 中位线的判定与性质
1. 三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。（三角形有三条中位线）
2. 三角形中位线性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
3. 梯形中位线定义：连接梯形两腰中点的线段，叫做梯形的中位线。（梯形的中位线有且只有一条）
4. 梯形中位线性质：梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。
5. 梯形面积：梯形面积等于中位线与高的乘积。
八． 几个常见公式：
1．S菱形 =ab=ch.（a、b为菱形的对角线 ,c为菱形的边长 ，h为c边上的高）
2．S平行四边形 =ah. a为平行四边形的边，h为a上的高）
3．S梯形 =（a+b）h=Lh.（a、b为梯形的底，h为梯形的高,L为梯形的中位线）
九． 四边形知识脉络图
【历年考卷形势分析及中考预测】
四边形是历年来中考的必考内容，题型分布较为灵活，经常以选择、填空、计算和证明题出现，难度跨度较大，有简单的的送分题，也有作为压轴题出现；就近几年广州市中考题目来看，分值大约在15分左右，09、10年均以奥赛知识为背景，出现在压轴题目中，难度较大，方法较活，为此，希望能在复习的过程中，引起同学们的足够重视，尤其是矩形和正方形与动点问题结合，与函数结合，以及隐圆问题，经常作为压轴的素材出现于试卷中。
【考点精析】
考点1.一般多边形角度﹑对角线和面积的相关计算.：
例1．（2010安徽芜湖）一个正多边形的每个外角都是36°，这个正多边形的边数是__________．
例2． 3．（2010 山东莱芜）一个边长为2的正多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个正多边形的半径是
A．2 B． C．1 D．
例3（2010 贵州贵阳）如图1，方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点连线为边的多边形称为“格点多边形”.图1中四边形ABCD就是一个格点四边形.
（1）图1中四边形ABCD的面积为 ；（4分）
（2）在《答题卡》所给的方格纸中画一个格点三角形EFG，
使△EFG的面积等于四边形ABCD的面积.（4分）
【举一反三】
1．（2010江苏淮安）若一个多边形的内角和小于其外角和,则这个多边形的边数是
A．3 B．4 C．5 D．6
2．（2010湖南常德）四边形的内角和为( )
A．90° B．180° C．360° D．720°
3．（2010 四川自贡）一个多边形截取一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1620°，则原来多边形的边数是（ ）。
A．10 B．11 C．12 D．以上都有可能
4．（2010广东茂名）下列命题是假命题的是
A．三角形的内角和是180o．
B．多边形的外角和都等于360o．
C．五边形的内角和是900o．
D．三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
考点2. 平行四边形的判定和性质
例4.（2010宁夏回族自治区）点A、B、C是平面内不在同一条直线上的三点，点D是平面内任意一点，若A、B、C、D四点恰能构成一个平行四边形，则在平面内符合这样条件的点D有 （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
例5. （2010山东泰安）如图2，E是□ABCD的边AD的中点，CE与BA的延长
线交于点F，若∠FCD=∠D，则下列结论不成立的是（ ）
A、AD=CF B、BF=CF C、AF=CD D、DE=EF
例6. （2010福建宁德）如图3，在□ABCD中，AE＝EB，AF＝2，则FC等于_____． （图2）
例7. （2010 福建晋江）（8分）如图4，请在下列四个关系中，选出两个恰当的关
系作为条件，推出四边形是平行四边形，并予以证明．（写出一种即可）
关系：①∥，②，③，④．
已知：在四边形中，　　　　　，　　　　　；
求证：四边形是平行四边形．
【举一反三】
1.（2010 四川成都）已知四边形，有以下四个条件：①；②；③；④．从这四个条件中任选两个，能使四边形成为平行四边形的选法种数共有（ ）
（A）6种 （B）5种 （C）4种 （D）3种
2.（2010 河北）如图5，在□ABCD中，AC平分∠DAB，AB = 3，
则□ABCD的周长为
A．6 B．9
C．12 D．15
3．（2010江苏宿迁）（本题满分8分）如图6，在□ABCD中，点E、F是对角线AC上两点，且AE=CF．
求证：∠EBF=∠FDE．
4．（2010 浙江衢州）(本题6分)
已知：如图7，E，F分别是平行四边形ABCD的边AD，BC的中点．
求证：AF=CE．
5．（2010广东中山）如图8，分别以RtΔABC的直角边AC及斜边AB向外作等边ΔACD、等边ΔABE．已知∠BAC=，EF⊥AB，垂足为F，连结DF．
（1）试说明AC=EF；
（2）求证：四边形ADFE是平行四边形．
考点3.：矩形的判定和性质
例8.（2010山东聊城）如图9，点P是矩形ABCD的边AD的一个动点，
矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4，那么点P到矩形的两条对
角线AC和BD的距离之和是（ ）
A．　　 B．　 C．　　 D．不确定
例9.（2010江西）如图10，已知矩形纸片ABCD，点E 是AB的中点，点G是
BC上的一点，∠BEG>60°，现沿直线EG将纸片折叠，使点B落在纸片上
的点H处，连接AH，则与∠BEG相等的角的个数为( )
A．4 B．3 C．2 D．1
例10.（2010湖北随州）如图11,矩形纸片ABCD，AB＝5cm，BC＝10cm，
CD上有一点E，ED＝2cm，AD上有一点P，PD＝3cm，过P作
PF⊥AD交BC于F，将纸片折叠，使P点与E点重合，折痕与PF交
于Q点，则PQ的长是____________cm.
例11.（2010江苏泰州）如图12，四边形ABCD是矩形，∠EDC=∠CAB，
∠DEC=90°．
(1)求证：AC∥DE；
(2)过点B作BF⊥AC于点F，连结EF，试判断四边形BCEF的
形状，并说明理由．
【举一反三】
1．（2010黑龙江哈尔滨）如图13，将矩形纸片ABC（D）折叠，使点（D）与
点B重合，点C落在点处，折痕为EF，若，那么
的度数为 度。
2．（2010江苏盐城）小明尝试着将矩形纸片ABCD（如图①，AD>CD）沿过A点的直线折叠，使得B点落在AD边上的点F处，折痕为AE（如图②）；再沿过D点的直线折叠，使得C点落在DA边上的点N处，E点落在AE边上的点M处，折痕为DG（如图③）．如果第二次折叠后，M点正好在∠NDG的平分线上，那么矩形ABCD长与宽的比值为 ▲ ．
3．（2010吉林）如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点E、F分别在AB、
CD上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A、D分别落在矩形ABCD外部的点A’，
D’处，则整个阴影部分图形的周长为（ ）
A．18cm B．36cm C．40cm D．72cm
4．（2010辽宁丹东市） 如图，已知矩形ABCD中，E是AD上的一点，F是AB上的一点，EF⊥EC，且EF=EC，DE=4cm，矩形ABCD的周长为32cm，求AE的长．
考点4. 菱形的判定和性质：
例12.（2010甘肃兰州）如图所示，菱形ABCD的周长为20cm，DE⊥AB，垂足为E，
，则下列结论正确的个数有
① ②
③菱形的面积为 ④
A． 1个 B． 2个
C． 3个 D． 4个
例13.（2010江苏盐城）如图所示，在菱形ABCD中，两条对角线
AC＝6，BD＝8，则此菱形的边长为
A．5 B．6 C．8 D．10
例14.（2010陕西西安）若一个菱形的边长为2，则这个菱形两条对角线长的平方和为
A．16 B．8 C．4 D．1
例15.（2010 四川成都）已知：在菱形中，是对角线上的一动点．
（1）如图甲，为线段上一点，连接并延长交于点，当是的中点时，求证：；
（2）如图乙，连结并延长，与交于点，与的延长线交于点．若，求和的长．
【举一反三】
1．（2010安徽省中中考）如图，AD∥FE，点B、C在AD上，∠1＝∠2，BF＝BC
⑴求证：四边形BCEF是菱形
⑵若AB＝BC＝CD，求证：△ACF≌△BDE
2．（10湖南益阳）如图7，在菱形ABCD中，∠A=60°,=4,O为对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB，垂足为E．
(1) 求∠ABD 的度数；
(2)求线段的长．
3．（2010江苏苏州）如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，，BE=2，
则tan∠DBE的值是
A． B．2 C． D．
4．（2010四川眉山）如图，O为矩形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD．
（1）试判断四边形OCED的形状，并说明理由；
（2）若AB=6，BC=8，求四边形OCED的面积．
考点5. 正方形的判定和性质：
例16.（2010 重庆）已知：如图，在正方形外取一点，连接，，．过点作的垂线交于点．若， ．下列结论：
①△≌△；②点到直线的距离为；
③；④；⑤．
其中正确结论的序号是（ ）
A．①③④ B．①②⑤ C．③④⑤ D．①③⑤
例17.（2010 福建晋江）如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，得到
4个小正方形，称为第一次操作；然后，将其中的一个正方形再剪成四个
小正方形，共得到7个小正方形，称为第二次操作；再将其中的一个正方
形再剪成四个小正方形，共得到10个小正方形，称为第三次操作；...，根
据以上操作，若要得到2011个小正方形，则需要操作的次数是( ) .
A. 669 B. 670　 C.671 D. 672
例18.（2010 四川泸州）如图1，四边形ABCD是正方形，E是边CD上一
点，若△AFB经过逆时针旋转角θ后与△AED重合，则θ的取值可能为（ ）
A．90° B．60° C．45° D．30°
例19.（2010 四川自贡）边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到
正方形AB′C′D′，两图叠成一个“蝶形风筝”（如图所示阴影部分），则这个
风筝的面积是（ ）。
A．2－ B．
C．2－ D．2
例20.（2010广西柳州）如图6，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，
将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的处，点A对应点为，且
=3，则AM的长是
A．1.5 B．2 C．2.25 D．2.5
例21.（2010 福建泉州南安）已知四边形中，，如果添加
一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（ ）．
A． B． C． D．
例22.（2010江苏南京）（8分）如图，正方形ABCD的边长是2，M是AD的中点，点E从点A出发，沿AB运动到点B停止，连接EM并延长交射线CD于点F，过M作EF的垂线交射线BC于点G，连结EG、FG。
（1）设AE=时，△EGF的面积为，求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）P是MG的中点，请直接写出点P的运动路线的长。
【举一反三】
1.（2010 湖南湘潭）下列说法中,你认为正确的是
A．四边形具有稳定性 B．等边三角形是中心对称图形
C．任意多边形的外角和是360o D．矩形的对角线一定互相垂直
2．（2010广西南宁）正方形、正方形和正方形
的位置如图所示，点在线段上，正方形的边长为4，则
EMBED Equation.3 的面积为：
（A）10 （B）12 （C）14 （D）16
3．（2010广东茂名）如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针
旋转45度后得到正方形，边与DC交于点O，则四
边形的周长是
A． B． C． D．
4．（2010广西柳州）如图4，在正方形ABCD的外侧作等边△ADE，
则∠AEB的度数为
A．10° B．12.5°
C．15° D．20°
5．（2010广东东莞）如图⑴，已知小正方形ABCD的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形A1B1C1D1；把正方形A1B1C1D1边长按原法延长一倍后得到正方形A2B2C2D2（如图⑵）；以此下去…，则正方形A4B4C4D4的面积为 ．
6．（2010山东青岛）已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE = AF．
（1）求证：BE = DF；
（2）连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM = OA，连接EM、FM．判断四边形AEMF是什么特殊四边形？并证明你的结论．
8分
7．（2010山东日照）如图，四边形ABCD是边长为a的正方形，点G，E分别是边AB，BC的中点，∠AEF=90o，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．
（1）证明：∠BAE=∠FEC；
（2）证明：△AGE≌△ECF；
（3）求△AEF的面积．
考点6. 梯形的判定和性质：
例23.（2010山东日照）已知等腰梯形的底角为45o，高为2，上底为2，则其面积为
（A）2 （B）6 （C）8 （D）12
例24.（2010山东烟台）如图，小区的一角有一块形状为等梯
形的空地，为了美化小区，社区居委会计划在空地上建一个四
边形的水池，使水池的四个顶点恰好在梯形各边的中点上，则
水池的形状一定是
A、等腰梯形 B、矩形 C、菱形 D、正方形
例25.（2010江苏盐城）（本题满分8分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD，BD⊥CD．
（1）求sin∠DBC的值；
（2）若BC长度为4cm，求梯形ABCD的面积．
例26.（2010年上海）已知梯形ABCD中，AD//BC，AB=AD（如图7所示），∠BAD的平分线AE交BC于点E，连结DE.
（1）在图7中，用尺规作∠BAD的平分线AE（保留作图痕迹，不写作法），并证明四边形ABED是菱形；
（2）∠ABC＝60°，EC=2BE，求证：ED⊥DC.
【举一反三】
1．（2010湖南娄底）下列说法中错误的是（ ）
A. 平行四边形的对角线互相平分
B. 矩形的对角线互相垂直
C. 菱形的对角线互相垂直平分
D. 等腰梯形的对角线相等
2．（2010广东广州，18，9分）如图5，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC．
求证：∠A＋∠C＝180°
3．（2010江苏盐城）（本题满分12分）如图1所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，∠DCB=75 ，以CD为一边的等边△DCE的另一顶点E在腰AB上．
（1）求∠AED的度数；
（2）求证：AB=BC；
（3）如图2所示，若F为线段CD上一点，∠FBC=30 ．
求 的值．
4．（2010广东东莞）已知两个全等的直角三角形纸片ABC、DEF，如图⑴放置，点B、D重合，点F在BC上，AB与EF交于点G．∠C＝∠EFB＝90°，∠E＝∠ABC＝30°，AB＝DE＝4．
⑴求证：△EGB是等腰三角形；
⑵若纸片DEF不动，问△ABC绕点F逆时针旋转最小 度时，四边形ACDE成为以ED为底的梯形（如图⑵）．求此梯形的高
考点7. 四边形的综合题目：
例27.（2010广东广州，25，14分）如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0），（0，1），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线＝－＋交折线OAB于点E．
（1）记△ODE的面积为S，求S与的函数关系式；
（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形OA1B1C1，试探究O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由.
例28.（2009广东广州，24、本小题满分14分）
如图12，边长为1的正方形ABCD被两条与边平行的线段EF、GH分割为四个小矩形，EF与GH交于点P。
（1）若AG=AE，证明：AF=AH；
（2）若∠FAH=45°，证明：AG+AE=FH；
（3）若RtΔGBF的周长为1，求矩形EPHD的面积。
例29.（2008广州）（14分）如图10，扇形OAB的半径OA=3，圆心角∠AOB=90°，点C是上异于A、B的动点，过点C作CD⊥OA于点D，作CE⊥OB于点E，连结DE，点G、H在线段DE上，且DG=GH=HE
（1）求证：四边形OGCH是平行四边形
（2）当点C在上运动时，在CD、CG、DG中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该线段的长度
（3）求证：是定值
【举一反三】
1．（2010 湖南湘潭）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠D=90o，AC⊥BC，AB=10cm,BC=6cm，F点以2cm／秒的速度在线段AB上由A向B匀速运动，E点同时以1cm／秒的速度在线段BC上由B向C匀速运动，设运动时间为t秒(0（1）求证：△ACD∽△BAC；
（2）求DC的长；
（3）设四边形AFEC的面积为y，求y 关于t的函数关系式，并求出y的最小值．
2. （2010广东东莞）如图（1），（2）所示，矩形ABCD的边长AB＝6，BC＝4，点F在DC上，DF＝2．动点M、N分别从点D、B同时出发，沿射线DA、线段BA向点A的方向运动（点M可运动到DA的延长线上），当动点N运动到点A时，M、N两点同时停止运动．连接FM、MN、FN，当F、N、M不在同一直线时，可得△FMN，过△FMN三边的中点作△PQW．设动点M、N的速度都是1个单位／秒，M、N运动的时间为x秒．试解答下列问题：
⑴说明△FMN ∽ △QWP；
⑵设0≤≤4（即M从D到A运动的时间段）．试问为何值时，△PQW为直角三角形？当在何范围时，△PQW不为直角三角形？
⑶问当为何值时，线段MN最短？求此时MN的值．
3．（2010江苏 镇江）探索发现（本小题满分9分）
如图，在直角坐标系的直角顶点A，C始终在x轴的正半轴上，B，D在第一象限内，点B在直线OD上方，OC=CD，OD=2，M为OD的中点，AB与OD相交于E，当点B位置变化时，
试解决下列问题：
（1）填空：点D坐标为 ；
（2）设点B横坐标为t，请把BD长表示成关于t的函数关系式，并化简；
（3）等式BO=BD能否成立？为什么？
（4）设CM与AB相交于F，当△BDE为直角三角形时，判断四边形BDCF的形状，并证明你的结论.
（图1）
图3
F
A E B
C
D
A
B
C
D
图4
D
图5
C
A
B
C
A
B
D
E
F
O
图6
图6
图7
A
D
E
F
B
C
A
D
E
F
B
C
图7
图8
图9
B
A
G
C
D
H
E
图10
图11
图12
图13
A
B
C
D
A
B
C
D
E
F
①
②
A
B
C
D
E
G
M
N
③
B
C
A
E
D
F
A
B
C
D
（第6题）
10题图
第7题图
A
BA
CA
D]
CA
MA
NA
图6
(第10题图)
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
第10题图（1）
C
D
A1
B1
C1
D1
A
B
A2
B2
C2
D2
第10题图（2）
B
A
C
D
图7
C
D
B
A
E
O
图10
25题图