2012年中考数学专题复习(八)：数形结合

数形结合
【知识要点】
数学家华罗庚说得好：“数形结合百般好，隔离分家万事休，几何代数统一体，永远联系莫分离”．几何图形的形象直观，便于理解，代数方法的一般性，解题过程的机械化，可操作性强，便于把握，因此数形结合思想是数学中重要的思想方法．
所谓数形结合就是根据数学问题的题设和结论之间的内在联系，既分析其数量关系，又揭示其几何意义使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并充分地利用这种结合，探求解决问题的思路，使问题得以解决的思考方法．
数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：Ⅰ、借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；Ⅱ、借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质
【历年考卷形势分析及中考预测】
数形结合思想是历年来中考和竞赛的必考内容，纵观近6年广州市的中考试题，分值分布大约在15分左右，其中简单的题目大约占9分，主要考察不等式组的解法，绝对值的化简，勾股定理的应用等等，其余的6分较难，主要出现在后面的压轴题目中，经常和实际问题，动点问题及函数问题结合，难度较大，应引起同学们的高度重视。
【考点精析】
考点1. 借助数轴解不等式及根式的化简：
例1．（2010浙江金华）如图，若A是实数a在数轴上对应的点，则关于a，－a，1的大小关系表示正确的是（ ）
A．a＜1＜－a B．a＜－a＜1
C．1＜－a＜a D．－a＜a＜1
例2．如果不等式的整数解仅为1，2，3，那么适合不等式组的整数的有序数对 有多少对？
【举一反三】
1.（2010湖北宜昌）如图，数轴上A,B两点分别对应实数a，b，则下列结论正确的是（ ）。
A. |a|>|b| B. a+b>0
C. ab<0 D. |b|=b
2.如果关于x的不等式组的解 有解，求m的取值范围
考点2. 借助平面直角坐标系解函数问题：
例3．（2010 浙江台州市）类比学习：一动点沿着数轴向右平移3个单位，再向左平移2个单位，相当于向右平移1个单位．用实数加法表示为 3+（）=1．
　　若坐标平面上的点作如下平移：沿x轴方向平移的数量为a（向右为正，向左为负，平移个单位），沿y轴方向平移的数量为b（向上为正，向下为负，平移个单位），则把有序数对{a，b}叫做这一平移的“平移量”；“平移量”{a，b}与“平移量”{c，d}的加法运算法则为．
解决问题：（1）计算：{3，1}+{1，2}；{1，2}+{3，1}．
（2）①动点P从坐标原点O出发，先按照“平移量”{3，1}平移到A，再按照“平移量”
{1，2}平移到B；若先把动点P按照“平移量”{1，2}平移到C，再按照“平移量”
{3，1}平移，最后的位置还是点B吗 在图1中画出四边形OABC.
②证明四边形OABC是平行四边形.
（3）如图2，一艘船从码头O出发，先航行到湖心岛码头P（2，3），再从码头P航行到码头Q（5，5），最后回到出发点O. 请用“平移量”加法算式表示它的航行过程．
例4．（2010 山东省德州）某游泳池的横截面如图所示，用一水管向池内持续注水，若单位时间内注入的水量保持不变，则在注水过程中，下列图象能反映深水区水深h与注水时间t关系的是
（Ａ） （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ）
【举一反三】
1．（2010重庆市潼南县）如图，四边形ABCD是边长为1 的正方形，四边形EFGH是边长为2的正方形，点D与点F重合，点B，D（F），H在同一条直线上，将正方形ABCD沿F→H方向平移至点B与点H重合时停止，设点D、F之间的距离为x，正方形ABCD与正方形EFGH重叠部分的面积为y，则能大致反映y与 x之间函数关系的图象是（ ）
2．（2010 甘肃）已知关于的函数图象如图所示，则当时，自变量的取值范围是（ ）
A．
B．或
C．
D．或
考点3. 利用图形理解代数恒等式
例5．（2010辽宁丹东市） 图①是一个边长为的正方形，小颖将图①中的阴影部分拼成图②的形状，由图①和图②能验证的式子是（ ）
A．
B．
C．
D．
例6．（2010 浙江衢州）如图，边长为(m+3)的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后余部分又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，若拼成的矩形一边长为3，则另一边长是（　　）
A．2m+3　　　　
B．2m+6
C．m+3
D．m+6
例7．（2010广东佛山）新知识一般有两类：第一类是不依赖于其他知识的新知识，如“数”、“字母表示数”这样的初始性的知识；第二类是在某些就只是的基础上进行联系、拓广等方式产生的知识，大多数知识是这样的知识。
（1）多项式乘以多项式的法则，是第几类知识？
（2）在多项式乘以多项式之前，你已拥有的有关知识是哪些？（写出三条即可）
（3）请你用已拥有的有关知识，通过数和形两个方面说明多项式乘以多项式的法则时如何获得的 (用（a+b）（c+d）来说明)
【举一反三】
1．（2010四川达州）如图1，在边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形（a＞b）,将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a、b的恒等式为
A. B.
C. D.
2．（2010浙江湖州）将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，你能根据两个图形的面积关系得到的数学公式是 ．
考点4.借助直角三角形解三角比问题
例8．(南京·2007中考)如图,A、B两地之间有一座山,汽车原来从A地到B地须经C地沿折线A—C—B行驶,现开通隧道后,汽车直接沿直线AB行驶.已知AC=10km,∠A=30°,∠B=45°,则隧道开通后,汽车从A地到B地比原来少走多少千米 (结果精确到0.1km)(参考数据:,)
考点5.借助勾股定理等几何图形的知识解实际问题
例9．(上海·2006中考)本市新建的滴水湖是圆形人工湖.为测量该湖的半径,小杰和小丽沿湖边选取A、B、C三根木柱,使得A、B之间的距离与A、C之间的距离相等,并测得BC长为240米,A到BC的距离为5米,如图1所示.请你帮他们求出滴水湖的半径.
【举一反三】
气象台发布的卫星云图显示，代号为W的台风在某海岛（设为点O）的南偏东45°方向的B点生成，测得OB=100√6km.台风中心从点B以40km/h的速度向正北方向移动，经5h后到达海面上的点C处.因受气旋影响，台风中心从点C开始以30km/h的速度向北偏西60°方向继续移动.以O为原点建立如图所示的直角坐标系.
（1）台风生成中心点B的坐标为 ______ ，台风中心转折点C的坐标为 _____ (结果保留根号）
（2）已知距台风中心20km的范围内均会受到台风的侵袭.如果某城市（设为点A）位于点O的正北方向且处于台风中心的移动路线上，那么台风从生成到最初侵袭该城要经过多长时间？
考点6.借助图形解决代数式或函数最值问题
例10．解关于x的方程
例11．已知,求S的最小值。
【举一反三】
1 解关于x的方程
考点7.借助图形解决函数解析式问题
例12 在同一坐标系内，直线l1：y=（k-2）x+k和l2：y=kx的位置可能为（ ）
例13．如果一次函数的图象经过第二、三、四象限，那么（ ）
（A）且 （B）且
（C）且 （D）且
例14．一次函数与，它们在同一坐标系内的大致图象是（ ）
【举一反三】
1 一次函数y=kx+b的图象经过点(m,1)和(-1,m)其中m>-1则k、b应满足（ ）
（A）k>0且b>0 （B）k>0且b<0
（C）k<0且b>0 （D）k<0且b<0
2 如果函数y=kx+b的图象在第一、二、三象限内，那么函数y=kx2+bx-1的图象大致是（ ）
3 当时，反比例函数和一次函数的图象大致是（ ）
考点8.借助图形解决实际问题
例15．（09年北京）如图，A、B两点在函数的图象上.
（1）求的值及直线AB的解析式；
（2）如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点.请直接写出图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数。
【举一反三】
1 某商业公司为指导某种应季商品的生产和销售，对二月份至七月份的该商品的销售和成本进行了调研，结果如下：每件商品的售价M（元）与时间t（月）的关系可用一条线段上的点来表示（如图），每件商品的成本Q（元）与时间t的关系可用一条抛物线的一部分上的点来表示（如图）（说明：图①、图②中的每一个实心黑点所对应的纵坐标，分别指相应月份的售价和成本）
请你根据图像提供的信息回答：
（1）每件商品在3月份出售时的利润（利润=售价－成本）是多少元？
（2）求图中表示的每件商品的成本Q（元）与时间t（月）之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）
（3）你能求出三月份至七月份每件商品的利润W（元）与时间t（月）之间的函数关系式吗？（请写出计算过程，不要求写自变量的取值范围）若该公司共有此种商品30000件，准备在一个月内全部售完，请你计算一下至少可获利多少元？
0
1
A
(第9题图)
（第4题）
y
O
图2
Q（5, 5）
P（2, 3）
y
O
图1
1
1
x
x
t
h
O
t
h
O
t
h
O
h
t
O
图1
A
B
C
30°
45°
3图
·
·
·
A
B
C
例4图2
·
O
D
A
B
C
D