7.2.2 复数的乘、除运算-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第二册同步练习（Word含含解析）

2020-2021学年高一数学人教A版（2019）必修第二册
7.2.2
复数的乘、除运算
同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________学号：___________
一．选择题
已知复数，，且是实数，则实数t等于
A.
B.
C.
D.
设复数，在复平面内的对应点关于虚轴对称，，则???
A.
B.
5
C.
D.
已知i为虚数单位，a为实数，复数在复平面内对应的点为M，则“”是“点M在第四象限”的
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件
设集合R，，则?
???
A.
B.
C.
D.
i为虚数单位，?
???
A.
0
B.
2i
C.
D.
4i
已知实数m，n满足，则
A.
B.
C.
D.
定义运算，则符合条件为虚数单位的复数z在复平面内对应的点位于?
???
A.
第一象限
B.
第二象限
C.
第三象限
D.
第四象限
设，则集合的元素有?
???
A.
2
B.
0
C.
D.
1
若复数，其中a，R，i是虚数单位，则?
???
A.
B.
C.
D.
已知i为虚数单位，R，若为实数，则a等于?
???
A.
B.
C.
1
D.
3
已知i为虚数单位，复数z满足，是复数z的共轭复数，则下列关于复数z的说法正确的是?
???
A.
B.
C.
D.
复数z在复平面内对应的点在第四象限
设复数，，，在复平面内所对应的向量分别为，为原点，则?
?
B.
0
C.
D.
二．填空题
在复数范围内方程的根是_________．
定义运算若复数，，则??????????，??????????．
x，y互为共轭复数，且，则________．
设复数，在复平面内对应的点分别为A，B，点A与点B关于x轴对称，若复数满足，则_________．
三．解答题
计算下列各题：
；
；
．
已知复数R，且为纯虚数．
求复数z；
若，求复数w及复数w的模．
在复平面内，复数，，对应的点分别为，，．
求及的模；
求向量在向量上的投影向量，其中O为复平面的原点．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查复数的概念、共轭复数和复数的四则运算，考查推理能力和计算能力，属于基础题．
由为实数，得．
【解答】
解：为实数，
则，所以．
2.【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查复数的基本运算，利用复数的几何意义是解决本题的关键，比较基础．
根据复数的几何意义求出，即可得到结论．
【解答】解：由题意可知，所以．
故选A．
3.【答案】C
【解析】
【分析】本题考查复数的四则运算以及几何意义，考查充分不要条件的应用，属于基础题．
先通过复数的乘法运算以及点M在第四象限，得到，再根据充分、必要条件的定义判定，即可得到答案．
【解答】解：，
若其对应的点在第四象限，则，且，解得．
即“”是“点M在第四象限”的充要条件．
4.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查三角函数的二倍角公式、三角函数的有界性、复数的模的公式、集合的交集的定义，属于较易题通过三角函数的二倍角公式化简集合M，利用三角函数的有界性求出集合M；利用复数的模的公式化简集合N；利用集合的交集的定义求出交集．
【解答】
解：因为，所以．
由，得，
又因为R，所以，解得，即．
所以，
故选C．
5.【答案】A
【解析】
【分析】本题是基础题，考查复数的基本运算，i的幂的运算性质，考查计算能力，常考题型．
直接利用i的幂运算，化简表达式即可得到结果．
【解答】解：，．
6.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础的计算题．把已知等式坐标变形，利用复数相等的条件列式求得m，n的值，则答案可求．
【解答】
解：由，
得，解得，．
．
故选：A．
7.【答案】D
【解析】
【分析】
根据定义先计算z的值，结合复数的几何意义进行化简判断即可．
本题主要考查复数的几何意义，结合复数的运算进行化简是解决本题的关键．
【解答】
解：由得，
即，
得，
对应点的坐标为，位于第四象限，
故选：D．
8.【答案】ABC
【解析】
【分析】
本题考查复数代数形式的混合运算，虚数单位i的幂运算性质，体现了分类讨论的数学思想，分类讨论是解题的难点，属于基础题．依据两个复数代数形式的除法法则，化简
?和
，得到，分，，，这四种情况，分别求出的值，即得结论．
【解答】
解：，
，
，
根据i的性质当时，；
当时，；
当时，；
当时，．
所以集合中共有，0，2这3个元素．
故选ABC．
9.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查复数的代数形式的乘除运算，复数相等和复数的求模，
本题解题的关键是求出复数中的字母系数，本题是一个基础题．
【解答】
解：，
，
，，
，，??
，
故选C．
10.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查复数的四则运算以及复数的基本概念，属于基础题．
先化简已知复数，再根据其为实数，得到a的方程，求得a的值．
【解答】
解：为实数，
，即．
故选B．
11.【答案】C
【解析】
【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，属于基础题．
把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简求出z，然后逐一核对四个选项得答案．
【解答】解：由，
可得，故A错误；
，故B错误；
易知，则，故C正确；
复数z在复平面内对应的点为，位于第二象限，故D错误．
故选C．
12.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
利用复数代数形式的乘除运算化简，然后求得，，再由向量数量积的计算公式求解．
【解答】
解：，
，在复平面内所对应的向量分别为，，
，
则
故选B．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查复数范围内一元二次方程的求解，属于基础题．
运用配方法，并根据，即可得到答案．
【解答】
解：由得，所以．
故答案为．
14.【答案】1
【解析】
【分析】
本题考查了复数代数形式的除法运算，是基础的计算题．利用复数代数形式的除法运算化简x，代入后直接利用定义得答案．?
【解答】
解：，；
由定义可知，
；
故答案为1，．
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查复数的基本概念和复数相等，属于基础题．
由共轭复数和复数相等可得，，代入要求的式子化简即可．
【解答】
解：、y为共轭复数，
设，，a，，
则，，
由，
得，
即，且，
解得，，
，
故答案为．
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义、复数模的计算，是基础题．
把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简求得，进一步得到通过模的公式计算，即可得到答案．
【解答】
解：，
所以，
在复平面内的对应点的坐标为，
，在复平面内的对应点关于x轴对称，
则在复平面内的对应点，
．
所以，
故答案为．
17.【答案】解：原式
．
原式
．
方法1：原式
．
方法2：原式
．
【解析】本题考查复数的四则运算，属于基础题
根据复数的四则运算法则和i的幂运算的周期性，分母实数化，高次方变低次方依次计算即可．
18.【答案】解：复数，且为纯虚数．
即为纯虚数，
，，
解得．
．
，
复数w的模．
【解析】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．
利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．
19.【答案】解：由题意可知，，
，
；
由题意可知，，
设向量和的夹角为，?
则，
向量在向量上的投影向量是．
【解析】本题主要考查复数的除法运算及复数的模，平面向量的投影向量及数量积运算，属于基础题．
由题意可知，，根据复数的除法可得，根据求复数模的公式可得；
由题意可知及的坐标，设向量和的夹角为，根据数量积运算可得?
，即可求出向量在向量上的投影向量．
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