2020-2021学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册6.3.5 平面向量数量积的坐标表示 同步练习（Word含含解析）

2020-2021学年高一数学人教A版（2019）必修第二册
6.3.5
平面向量数量积的坐标表示
同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________学号：___________
一．选择题
已知向量，，则
A.
B.
C.
D.
已知两不共线的向量，，则下列说法一定正确的是?
???
A.
与的夹角为
B.
的最大值为1
C.
D.
已知，，，若点D满足，且，则点D的坐标是
A.
B.
C.
D.
已知向量，，，若，则
A.
B.
C.
D.
2
已知向量，若，则实数x的值为
A.
B.
C.
D.
2
已知，，，则向量在向量方向上的投影向量的模是?
?
?
A.
4
B.
C.
D.
已知向量，，，若是以O为直角顶点的等腰直角三角形，则的面积为?
?
A.
1
B.
2
C.
D.
已知平面向量，，若，则等于
A.
B.
C.
8
D.
已知的顶点在坐标原点O，始边与x轴的非负半轴重合，点P在的终边上，点且，则与的夹角的余弦值为
B.
C.
或
D.
或
二．填空题
若向量，，且，则
______
．
已知向量，，且，则向量与的夹角为_______．
在中，G是的重心，边AB，AC的长分别为2，1，，则____________．
如图，已知半圆O的直径，点P是弦包含端点A，上的动点，点Q在弧BC上．若是等边三角形，且满足，则的最小值为_______．
已知与，要使最小，则实数t的值为??????????．
三．解答题
已知，，是同一平面内的三个向量，其中．
若，且与相反，求的坐标；
若，且与垂直，求与的夹角
已知向量，．
设向量，试用向量与表示；
设t是实数，向量，与的夹角为，与的夹角为，若，求t的值．
在平面直角坐标系xoy，O为坐标原点，，，，C为平面内一点，且满足，设四边形OACB的面积为S，
Ⅰ若，求的值
Ⅱ记，求的取值范围．
答案和解析
一．选择题
1.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查向量数量积的坐标运算，根据向量坐标求向量长度的方法，以及向量夹角的余弦公式，向量夹角的范围，已知三角函数值求角．根据向量的坐标便可求出，及的值，从而根据向量夹角余弦公式即可求出的值，根据的范围便可得出的值．
【解答】
解：，；
；
又；
．
故选A．
2.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查平面向量的综合知识，考查平面向量积的运算用于判别向量间的关系．属于基础题．
求与满足的关系，先利用平面向量积的公式，判断与是否有垂直或者平行的关系，再判断各个选项中的关系是否满足．
【解答】
解：，，，，与不共线，????，则Z
对于A选项，由题意知，与的夹角的范围为，而R且Z，故A选项错误；对于B选项，，，不共线，，故B选项错误；
对于C选项，与不共线，由向量模的三角不等式可得，故C选项错误；
对于D选项，，，故D选项正确．
故选D．
3.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查平面向量的坐标运算，属于基础题．
设，根据，且，通过向量的平行以及垂直，建立方程组，解得x，y的值，即可得到答案．
【解答】
解：设，则，，，．
由题意可得解得
所以点D的坐标为．
故选D．
4.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查平面向量垂直的充要条件，以及向量加法、数乘和数量积的坐标运算．
可求出，根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出．
【解答】
解：；
又；
；
解得．
故选：C．
5.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查向量的数量积的坐标表示和性质，考查向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题．
将等式两边平方，运用向量的平方即为模的平方，结合向量的数量积的坐标表示，解x的方程，即可解出实数x的值．?
【解答】
解：若?，
则，?
即，?
即，
由向量，，
则，?，即，
解得?
故选C
6.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查投影向量的模，是基础题．
利用向量的坐标运算求解即可．
【解答】
解：因为，，，
所以，，，
所以向量在向量方向上的投影向量的模为，
故选C．
7.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查向量的数量积，以及向量的模，考查化简运算能力，属于基础题．
由等腰直角三角形的性质，可得，且，应用向量的平方即为模的平方，以及向量模的公式，可得，再由等腰直角三角形的面积公式，计算可得所求值．
【解答】
解：由是以O为直角顶点的等腰直角三角形，
可得，且，
由已知条件可得，，
化为，，
即，且，即，
可得，
则的面积为．
故选：B．
8.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查向量的坐标运算和向量的模的求法．要求能熟练应用向量的坐标运算法则．属简单题．
先由向量的坐标求出向量的坐标，再根据求模公式即可得解．
【解答】解：向量，
故选D．
9.【答案】C
【解析】解：由题意可得，
又，
的终边与单位圆的交点为或
可取或
当时，由夹角公式可得与的夹角的余弦值；
当时，由夹角公式可得与的夹角的余弦值；
故选：C．
由题意可得，由三角函数定义和向量的关系可得或，由夹角公式可求．
本题考查数量积与向量的夹角，涉及三角函数的运算和分类思想，属中档题．
二．填空题
10.【答案】5
【解析】解：向量，，且，
，
解得，；
，
，
．
故答案为：5．
先根据向量相等求出的坐标，再求出以及它的模长．
本题考查了平面向量的应用问题，解题时应用向量数量积求模长，是计算题．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查向量的夹角、向量的数量积，属于基础题．
求出t的值，代入夹角公式，即可求出结果．
【解答】
解：因为，，且，
所以，解得，
则，
故，
又，
故．
故答案为．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查平面向量的数量积关键是平面向量的基本定理的应用．
【解答】
解：设D，E是BC，AC的中点，
所以，
，
所以
．
故答案为．
13.【答案】8
【解析】
【分析】
本题考查了向量的数量积、向量的投影、向量的几何运用，考查推理能力和计算能力，属于中档题．
由题意得，结合向量数量积的几何意义可知，当P与C重合时，在上的投影最短，代入可求．
【解答】
解：半圆O的直径，是等边三角形，且边长为4，
由题意可得，
，
由数量积的几何意义可知，当P与C重合时，在上的投影最短，
此时．
故答案为8．
14.【答案】
【解析】
【分析】本题考查平面向量的坐标运算，向量的模，函数的最值，属于基础题．
由向量的模的坐标运算，可得，根据二次函数的性质求出有最小值时t的值．
【解答】
解：，
．
当时，有最小值．
三．解答题
15.【答案】解：设，由，且，与相反，
，
解得，
；
若，且与垂直，
则，
，
，
且，
与的夹角为．
【解析】设，根据题意列方程组求出的坐标；
根据与垂直列方程求出的值，再计算与的夹角．
本题考查了平面向量的共线定理与数量积应用问题，是中档题．
16.【答案】解：设，
，
，解得，
；
根据题意，，，且，
，
，解得．
【解析】本题考查了向量坐标的加法和数乘运算，相等向量的坐标关系，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题．
可设，代入向量的坐标即可得出，然后解出，即可；
根据题意即可得出，从而可得出，解出t即可．
17.【答案】解：由已知条件，
因为，所以，即，
，
又因为，所以
可得；
，
由，可知四边形OACB为平行四边形，
则，
所以，
，当时，，
即．
【解析】本题考查的是平面向量的坐标运算，数量积，辅助角公式，正弦型函数的性质，属于基础题．
由，所以，即，即可得出的值
由，可知四边形OACB为平行四边形，则，所以，即可得出的取值范围．
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