1.1.1变化率问题-2020-2021学年人教A版高中数学选修2-2课件（24张PPT）

1.1.1 变化率问题
丰富多彩的变化率问题随处可见. 让我们从其中的两个问题，开始变化率与导数的学习吧！
1.1 变化率与导数
问题1 气球膨胀率
我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?
我们来分析一下：
气球的体积V(单位:L)与半径r单位:(dm)
之间的函数关系是
如果将半径r表示为体积V的函数,那么
我们来分析一下：
当V从0增加到1时,气球半径增加
气球的平均膨胀率为
当V从1增加到2时,气球半径增加
气球的平均膨胀率为
显然0.62>0.16
思考
当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?
问题2 高台跳水
想想运动员跳水的过程？
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系
h(t)=-4.9t2+6.5t+10.
如何用运动员在某一时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?
请计算
思考
当时间从t1增加到t2时,运动员的平均平均速度是多少?
h(t)=-4.9t2+6.5t+10
总结
以上两个问题都是求变化率，
我们可以用函数关系式y=f(x)来表
示. 那么变化率为
若设Δx=x2－x1, Δy=f(x2)－f(x1)
上述问题中的变化率可用式子 表示
我们称之为函数f(x)从x1到x2的平均变化率
1.平均变化率的定义
这里Δx是x1的一个“增量” ：x2＝x1+Δx ;
Δy是ｆ(x1)的一个“增量” : f(x2)=f(x1) +Δy .
则平均变化率为
注意！
2. 是一个整体符号，而不是 与 相乘.
1．Δx是自变量x的改变量，它可以为正，也可以为负，但不能等于零，而Δy是相应函数值的改变量，它可以为正，可以为负，也可以等于零，特别是当函数为常数函数时，Δy＝0.
例题1
1 、已知函数f(x)=-x2的图象上的一点A(-1,-1)及临近一点B(0,0),则Δy/Δx=( )
A. 3 B. 4 C. 1 D. -1
c
解：
=0-(-1)=1；
=0-（-1）=1；
思考
观察函数f(x)的图象
平均变化率
表示什么?
O
A
B
x
y
Y=f(x)
x1
x2
f(x1)
f(x2)
X2-x1
f(x2)-f(x1)
割线AB的斜率
2.平均变化率的几何意义
例2 (1) 计算函数 f (x) = 2 x +1在区间[ –3 , –1]上的平均变化率 ；
(2) 求函数f (x) = x2 +1的平均变化率。
(1)解：
△y=f (-1)- f (-3)=4
△x=-1- (-3)=2
(2)解：
△y=f (x+△x)- f (x)
=2△x ·x+(△x )2

求函数的平均变化率的步骤：
（1）求函数的增量Δy=f(x2)-f(x1);
（2）计算平均变化率
1．已知函数f(x)，当自变量由x0变化到x1时函数值的增量与相应的自变量的增量比是函数(　)
A．在区间[x0，x1]上的平均变化率
B．在x0处的变化率
C．在x1处的变化率
D．以上结论都不对
随堂练习
A
2 、函数 在区间 上的平均变化率是（ ）
A.4 B.2
C.
D.
B
3．质点运动规律为s(t)＝t2＋3，则从3到3＋Δt的平均速度为 (　　)
[答案]　A
4.求y=x2在x=x0附近的平均变化率.
[解析]　∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)3－1
＝(Δx)3＋3(Δx)2＋3Δx，
5、过曲线y=f(x)=x3上两点P（1，1）和Q （1+Δx,1+Δy）作曲线的割线，求出当Δx=0.1时割线的斜率.
作 业

求y=1/x在x=x0附近的平均变化率.