1.3.1函数的单调性与导数-2020-2021学年人教A版高中数学选修2-2课件（21张PPT）

§1.3.1 函数的单调性与导数
函数 y = f (x) 在给定区间 G 上，当 x 1、x 2 ∈G 且 x 1＜ x 2 时
函数单调性判定
单调函数的图象特征
y
x
o
a
b
y
x
o
a
b
1）都有 f ( x 1 ) ＜ f ( x 2 )，
则 f ( x ) 在G 上是增函数；
2）都有 f ( x 1 ) ＞ f ( x 2 )，
则 f ( x ) 在G 上是减函数；
若 f(x) 在G上是增函数或减函数，
增函数
减函数
则 f(x) 在G上具有严格的单调性。
G 称为单调区间
G = ( a , b )
定义法
图象法
单调性
导数的正负
函数及图象
x
y
o
x
y
o
切线斜率
的正负
x
y
o
函数单调性与导数的关系？
k>0
k>0
k<0
k<0
+
+
-
-
递增
递减
定理：
一般地，函数y＝f（x）在某个区间内可导：
如果恒有 f′(x)>0，则 f（x） 是增函数。
如果恒有 f′(x)<0，则f（x） 是减函数。
如果恒有 f′(x)=0，则f（x） 是常数。
函数单调性与导数正负的关系
注意：
应正确理解 “ 某个区间 ” 的含义， 它必是定义域内的某个区间。
例
1
已知导函数的下列信息：
试画出函数 图象的大致形状。
分析：
A
B
x
y
o
2
3
A
B
x
y
o
2
3
A
B
x
y
o
2
3
的大致形状如右图：
求函数的单调区间的一般步骤:
(1) 求出函数 f(x)的定义域A；
(2) 求出函f(x)数的导数 ；
(3)不等式组
的解集为f(x)的单调增区间；
(4)不等式组
的解集为f(x)的单调减区间；
例2 判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:
解:
(1) 因为 , 所以
因此, 函数 在 上单调递增.
(2) 因为 , 所以
当 , 即 时, 函数 单调递增;
当 , 即 时, 函数 单调递减.
例2 判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:
解:
(3) 因为 , 所以
因此, 函数 在 上单调递减.
(4) 因为 , 所以
当 , 即 时, 函数 单调递增;
当 , 即 时, 函数 单调递减.
知识点：
定理：
一般地，函数y＝f（x）在某个区间内可导：
如果恒有 ，则 f(x)在是增函数。
如果恒有 ，则 f(x)是减函数。
如果恒有 ，则 f(x)是常数。
步骤：
（1）求函数的定义域
（2）求函数的导数
（3）令f’(x)>0以及f’(x)<0,求自变量x的取值范围，即函数的单调区间。
f’(x)>0
f’(x)<0
f’(x)＝0
练习:判断下列函数的单调性
(1)f(x)=x3+3x;
(2)f(x)=sinx-x,x∈(0,π);
(3)f(x)=2x3+3x2-24x+1;
(4)f(x)=ex-x;
总结: 当遇到三次或三次以上的,或图象很难
画出的函数求单调性问题时，应考虑导数法。
纳
①求定义域
②求
③令
④作出结论
1°什么情况下，用“导数法” 求函数单调性、
单调区间较简便？
2°试总结用“导数法” 求单调区间的步骤？
归
1：(选填:“增” ,“减” ,“既不是增函数,也不是减函数”)
(1) 函数y=x－3在[－3，5]上为__________函数。
(2) 函数 y = x2－3x 在[2，+∞)上为_____函数，
在(－∞,1]上为______函数，在[1,2]上为__
__________________________________函数。
课堂练习
增
增
减
既不是增函数,也不是减函数
2：求函数 的单调区间。
解：
的单调递增区间为
单调递减区间为
变2：求函数 的单调区间。
巩固提高：
解：
的单调递增区间为
单调递减区间为
变1：求函数 的单调区间。
解:
变2：求函数 的单调区间。
巩固提高：
例3 如图, 水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中, 请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象.
(A)
(B)
(C)
(D)
h
t
O
h
t
O
h
t
O
h
t
O
（1）
（2）
（3）
（4）
（1）→（B），（2）→（A），（3）→（D），（4）→（C）
一般地, 如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大, 那么函数在这个范围内变化得快, 这时, 函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下); 反之, 函数的图象就“平缓”一些.
如图,函数 在 或 内的图象“陡峭”,在 或
内的图象平缓.
x
y
o
1
2
x
y
o
1
2
x
y
o
1
2
x
y
o
1
2
x
y
o
2
(A)
(B)
(C)
(D)
C
高
考
试
尝
设 是函数 的导函数， 的图象如
右图所示,则 的图象最有可能的是( )
求函数的单调区间的一般步骤
小 结:
函数的单调性与其导函数正负的关系
作业
P98 2