1.6 微积分基本定理-2020-2021学年人教A版高中数学选修2-2课件（36张PPT）

1.6 微积分基本定理
1．直观了解并掌握微积分基本定理的含义．
2．会利用微积分基本定理求函数的积分．
1．利用微积分基本定理求函数的定积分．(重点)
2．应用微积分基本定理解决综合问题．(难点)
【课标要求】
【核心扫描】
复习：定积分的概念
定积分的概念：
定义法求定积分的步骤：
定积分的几何意义：
x
y
o
y=f(x)
b
a
+
-
+
复习：定积分的性质
规定：
性质1：
性质2：
性质3：
性质4：
可推广到多项
如果连续函数f(x)是函数F(x)的导函数，即 ，通常称 是f(x)的一个原函数．
自学导引
1．函数的原函数
2．微积分基本定理
F′(x)＝f(x)
F(x)
F(b)－F(a)
思考：
被积函数f(x)的原函数唯一存在吗？它们之间有何关系？
提示：被积函数f(x)的原函数F(x)的表达式不唯一，可以写成F(x)＋C的形式．其中C为常数，根据导数的运算法则可知：(F(x)＋C)′＝F′(x)＝f(x)．
(1)当对应的曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值取正值，且等于曲边梯形的面积．
(2)当对应的曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值取负值，且等于曲边梯形的面积的相反数．
3．由微积分基本定理理解定积分的几何意义
利用积分性质，求原函数，进行计算即可得出结论．
题型一　求简单函数的定积分
[思路探索]
计算定积分的一般步骤：
(1)把被积函数能化简的先化简，不能化简的变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数、对数函数与常数的和或差；
(2)利用定积分的性质把所求的定积分化为若干个定积分的和与差；
(3)分别利用求导公式找到F(x)使得F′(x)＝f(x)；
(4)利用微积分基本定理求出各个定积分的值；
(5)计算所求定积分的值．
利用定积分求参数时，注意方程思想的应用．一般地，首先要弄清楚积分变量和被积函数．当被积函数中含有参数时，必须分清常数和变量，再进行计算；其次要注意积分下限不大于积分上限．
审题指导 用微积分基本定理求定积分，求被积函数的原函数是关键，需把握两点：(1)熟练掌握基本函数的导数及导数的运算法则，学会逆运算；(2)当被积函数较为复杂，不容易找原函数时，可适当变形后再求解．特别地，需注意弄清楚积分变量．
题型三　求较复杂函数的定积分
【例3】 (12分)求下列定积分：
【题后反思】 求较复杂函数的定积分的方法．
(1)掌握基本初等函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数．当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后再求解．具体方法是能化简的化简，不能化简的变为幂函数．正弦、余弦函数、指数、对数函数与常数的和或差．
(2)精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限．
训练2：求下列定积分的值.
根据定积分的定义及微积分基本定理，定积分可分解为多个区间上的定积分的和，所以求分段函数的定积分，根据被积函数定义，先在不同区间上求解，然后根据定积分的运算法则进行计算．
题型四 被积函数为分段函数的定积分计算
思考：
如何求
方法点评 求分段函数的定积分时，可利用积分性质将其表示为几段积分和的形式；对于带绝对值的解析式，先根据绝对值的意义找到分界点，去掉绝对值号，化为分段函数再求解.
微积分基本定理( 牛顿 - 莱布尼兹公式)
结合定积分性质计算定积分
先化简再求定积分
分段积分
易错题
换元积分
换元必须换限
设函数 f (x)在区间 [ a , b ]上连续；函数
在 上单调且有连续导数；当 时，
有 ，且
则
定积分的换元公式
定积分的分部积分公式

小结
通过这节课的学习，你学到了什么？有哪些疑惑？