2020-2021学年高二人教A版数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程单元同步基础考点训练卷

2020-2021学年人教A版数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程单元同步基础考点训练卷
一、单选题
1．已知点，直线，点是直线上的一个动点，若是RA的中点，则点的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
2．椭圆的焦点坐标为(﹣5，0)和(5，0），椭圆上一点与两焦点的距离和是26，则椭圆的方程为（ ）
A．＝1 B．+＝1 C．+＝1 D．+＝1
3．在平面直角坐标系xOy中，双曲线C：的渐近线l2：y＝﹣x的倾斜角是渐近线l1：y＝x的倾斜角的2倍，第二象限内一点P在渐近线l2上，且与双曲线C的右焦点F，点O构成底边长为2的等腰三角形，则双曲线C的标准方程为（ ）
A．x2﹣＝1 B．x2﹣＝1 C．﹣y2＝1 D．﹣y2＝1
4．在平面直角坐标系xOy中，点A(1，0)，动点M满足以MA为直径的圆与y轴相切，已知B(2，1)，则|MA|+|MB|的最小值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
5．已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点在椭圆上，且轴，直线交轴于点，若，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
6．在直角坐标系xOy中，F1(-c，0)，F2(c，0)分别是双曲线C：的左、右焦点，位于第一象限上的点P(x0,y0)是双曲线C上的一点，△PF1F2的外心M的坐标为，△PF1F2的面积为2a2，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A．y＝±x B．y＝x C．y＝x D．y＝±x
7．已知椭圆与双曲线有相同的左焦点、右焦点，点是两曲线的一个交点，且.过作倾斜角为45°的直线交于，两点（点在轴的上方），且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．过曲线：()的左焦点做曲线：的切线，设切点为，延长交曲线：()于点，其中?有一个共同的焦点，若，则曲线的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
9．已知点为抛物线的焦点，，过点且斜率为的直线交抛物线于，两点，点为抛物线上任意一点，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，，过右焦点作平行于一条渐近线的直线交双曲线于点，若的内切圆半径为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
11．设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0可能的取值是（ ）
A．0 B．2
C．4 D．6
12．设为双曲线C：的左、右焦点，过左焦点且斜率为的直线l与在第一象限相交于一点P，则下列说法正确的是（ ）
A．直线l倾斜角的余弦值为
B．若，则的离心率
C．若，则的渐近线方程
D．不可能是等边三角形．
13．在平面直角坐标系xOy中，动点P与两个定点F1（，0）和F2（，0）连线的斜率之积等于，记点P的轨迹为曲线E，直线l：与E交于A，B两点，则（ ）
A．E的方程为（）
B．E的离心率为
C．E的渐近线与圆相切
D．满足的直线l有2条
14．已知双曲线的左右焦点分别为，，为双曲线右支上的点，若，且，则（ ）
A．离心率为 B．渐近线方程为
C．若，则的最小值为 D．若，则的最小值为
15．已知双曲线的离心率为，其中，是双曲线的左右顶点，是双曲线上位于第一象限上的动点，记，的斜率分别是，.则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的渐近线方程为
B．为定值
C．双曲线上存在点，使得
D．设，是双曲线的左、右焦点，若，则
三、填空题
16．设F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，O为坐标原点，点P是椭圆上的动点，过点F2作∠F1PF2的角平分线PT的垂线，交PT于M，交直线PF1于Q，则点M的横坐标的最小值为__．
17．已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A1，A2，点P是双曲线C上不同于A1，A2的任意一点，若与的面积之比为，则双曲线C的离心率为__．
18．抛物线y2=4x的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，当为等边三角形时，其面积为________.
19．给出下列命题：
①到定点与定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线；
②设，为两个定点，为常数且，若，则动点的轨迹是双曲线．
③对任意实数，直线总与某一个定圆相切．
④在平面内，到两定点的距离的和等于常数的点的轨迹是椭圆；
⑤方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率
其中真命题的序号是__________________（把你认为正确的命题的序号都填上）．
四、解答题
20．（1）求与双曲线有相同焦点，且经过点的双曲线的标准方程；
（2）已知椭圆的离心率，求的值．
21．已知双曲线C的中心在原点，抛物线的焦点是双曲线C的一个焦点，且双曲线经过点，又知直线与双曲线C相交于A、B两点.
（1）求双曲线C的方程；
（2）若，求实数k值.
22．已知直线l1，l2分别于抛物线y2＝x相切于A，B两点．
（1）若点A的坐标为（1，﹣1），求直线l1的方程；
（2）若直线l1与l2的交点为P，且点P在圆（x+2）2+y2＝1上，设直线l1，l2与y轴分别交于点M，N，求的取值范围．
23．如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点为坐标原点，点P(1，2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上．
（1）求抛物线的方程及其准线方程；
（2）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，证明：直线AB的斜率为定值．
24．如图，椭圆C:的右顶点为A，上顶点为B，动直线交椭圆C于M、N两点，且满足，过原点O作OH⊥MN，垂足为H.
（1）求点H的轨迹方程；
（2）求的取值范围.
参考答案
1．C
设，，，
已知，由是的中点，
，则①.
点是直线上的一个动点，②.
把①代入②得：，即.
点的轨迹方程为.
2．A
∵椭圆的焦点坐标为(﹣5，0)和(5，0)，椭圆上一点与两焦点的距离和是26，
∴椭圆的焦点在x轴上，c＝5，a＝13，∴＝12，
∴椭圆的方程为＝1．
3．A
解：双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的渐近线l2：的倾斜角是渐近线l1：的倾斜角的2倍，
设渐近线l1的倾斜角为α，则渐近线l2的倾斜角为2α，则α+2α＝π，
所以α＝，所以，
第二象限内一点P在渐近线l2上，且与双曲线C的右焦点F，∠POF＝，
点O构成底边长为2的等腰三角形，
所以|PF|＝2，∠OFP＝，所以l1⊥PF，所以c＝2，a2+b2＝4，解得a＝1，b＝，
所以双曲线方程为：x2﹣＝1．
4．C
设M(x，y)，以MA为直径的圆的圆心为，
又由动点M满足以MA为直径的圆与y轴相切，则有，
整理得：y2＝4x，
则M的轨迹是抛物线，其焦点为A(1，0)，准线l为x＝-1，
如图，过M作MD⊥l于D，|MA|=|MD|，
|MA|+|MB|=|MD|+|MB|≥|BD|，当且仅当B、M、D三点共线时取“=”，
|MA|+|MB|取得最小值为|BD|＝2-(-1)＝3．
5．B
由题意知：，，轴，，
设，，，
，.
6．D
由△PF1F2的外心M，知：，
∴在△中，，即，故∠F1PF2＝，
在△中，，而，
∴，即，
∴，而，
∴由题意知：，故双曲线的渐近线方程为：．
7．A
不妨设为椭圆与双曲线在第一象限内的交点，椭圆方程为，，
由双曲线定义可知：，又因为，所以，，
所以，所以，
所以，所以，所以，所以椭圆方程为，
又因为，所以，所以，
所以，所以，
又因为，所以，所以，解得，
8．B
设曲线右焦点为，又曲线与有一个公共焦点，则：，
连接?，
为中点，为中点，
为中位线，则，，
，，，
，，
设，则由抛物线的定义可得，
过点作轴的垂线，点到该垂线的距离为，
由勾股定理，
即，
得，
所以或(舍)，
9．A
由题可得，则直线的方程为，设，
设，则，，，
由可得，
则，两式相减得
则可得，则当时，取得最小值为.
10．A
设双曲线的左、右焦点分别为，，
设双曲线的一条渐近线方程为，
可得直线的方程为，与双曲线联立，
可得，，
设，，
由三角形的等面积法可得，
化简可得，①
由双曲线的定义可得，②
在三角形中，为直线的倾斜角），
由，，可得，
可得，③
由①②③化简可得，
即为，
可得，则．
11．CD
由抛物线C：x2＝8y知p＝4，所以焦点F(0，2)，准线方程y＝－2.
由抛物线定义，|MF|＝y0＋2，因为以F为圆心、|FM|为半径的圆与准线相交，且圆心F(0，2)到准线y＝－2的距离为4.所以4＜y0＋2，从而y0＞2.
故选：CD
12．ABD
对于选项A，设直线的倾斜角为α，则，
∵，∴是锐角，则，
∴，解得，故A正确；
对于选项B，由P在第一象限内，且，则，
∴，由余弦定理可得，
整理得，则，解得或（舍去），故B正确；
对于选项C，由选项B，可得，解得，
所以双曲线的渐近线方程为，故C错误；
对于选项D，由，可知不可能是等边三角形，故D正确.
13．ACD
设点，由已知得，整理得，
所以点的轨迹为曲线的方程为，故A正确；
又离心率，故B不正确；
圆的圆心到曲线的渐近线为的距离为
，
又圆的半径为1，故C正确；
直线与曲线的方程联立整理得
，
设，
，且，
有，
所以，
要满足，则需，解得或或，
当,此时，
而曲线E上，所以满足条件的直线有两条，故D正确，
14．AC
，且，又，所以，，，，
由双曲线定义得，所以，A正确；
，B错误；
设，则，的最小值为，C正确；
的最小值是，D错．
15．BD
A.因为，解得，所以双曲线的渐近线方程为，故错误；
B. 设，则，故正确；
C. 设，则，因为点p在第一象限，则，所以 ，故错误；
D. 因为，所以，又 ，则 ，所以 ，即 ，所以，由余弦定理得，由，则，故正确；
故选：BD
16．．
设，因为点P在椭圆上，所以，
又由，
所以＝＝，
所以，
分别作轴于，轴于，则，所以＝，
所以＝，即，
由M是QF2的中点，
所以＝＝＝，
令，
故﹣＝，
当且仅当＝，即时，取等号，即点M的横坐标的最小值为．
故答案为：．
17．
设双曲线的半焦距为，因为与的面积之比为，
可得，即，所以.
18．
解析：如图，FPM是等边三角形.
由抛物线的定义知PM⊥l，，
在中，|QF|=2，∠QMF=30°，所以|MF|，即等边三角形边长为4，
故等边三角形面积为.
故答案为：.
19．③⑤
对于①，由于定点在定直线上，可得到定点与定直线的距离相等的点的轨迹是直线，不是抛物线，故①错误；
对于②，设，为两个定点，为常数且，若，只有当时，动点的轨迹是双曲线，故②错误；
对于③，由原点到直线的距离，故对任意实数，直线总与圆相切，故③正确；
对于④，在平面内，到两定点的距离的和等于常数的点的轨迹，只有当常数大于两定点间的距离时，才是椭圆，故④错误；
对于⑤，求出方程的两个根： ，，可分别作为椭圆和双曲线的离心率，故⑤正确；
20．
（1）双曲线与双曲线1有相同焦点，
可设所求双曲线方程为：，
双曲线过点，，解得：或（舍），
所求双曲线方程为.
（2）椭圆方程可化为:，
，即，，，
，
，解得：.
21．
（1）由题意，抛物线的焦点，可得双曲线的，
设双曲线方程为，可得，解得，
所以双曲线的方程为.
（2）由直线，联立方程组，可得，
当时，即，解得且，
由韦达定理：，
设，由，可得，
即，
代入可得，整理得，解得.
22．
（1）由题意知直线l1，l2的斜率一定存在，设直线l1：y+1＝k（x﹣1），与抛物线方程联立，得ky2﹣y﹣k﹣1＝0．
由△＝1+4k（k+1）＝0，得，则l1的方程为．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），设直线l1： ，与抛物线方程y2＝x联立，得．
由 ，解得，所以直线，同理得直线，则，．
设点P（x0，y0），代入可得，则直线AB方程为．
与抛物线方程联立，得y2﹣2y0y+x0＝0，则有y1+y2＝2y0，y1y2＝x0．
则，，所以．
又点P在圆（x+2）2+y2＝1上，所以，即，所以.
所以的取值范围为.
23
（1）由题意可设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，
则由点P(1，2)在抛物线上，得22＝2p×1，解得p＝2，
故所求抛物线的方程是y2＝4x，准线方程是x＝－1．
（2）证明：因为PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，
所以kPA＝－kPB，即＝－．
又A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，
所以x1＝，x2＝，
从而有，即，得y1＋y2＝－4，
故直线AB的斜率kAB＝．
24．（1）设，直线的方程为，与椭圆方程联立得，
所以，因为，所以，
即，所以，
整理得，
点到直线的距离为，
所以点的轨迹方程为.
（2）由椭圆C:，得，右顶点，上顶点，
设，则
，表示与的距离的平方减去5的差，
转化为求圆上的点到的距离的平方减去5的取值范围，
再转化为圆心到点距离加减半径的长的平方减去5的取值范围，
即为最大值为，最小值为
所以的取值范围.