2020-2021学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册8.6空间直线、平面的垂直 基础练习

2020-2021学年必修第二册数学高一下第八章空间直线、平面垂直基础练
一、单选题
1．已知直线m，n是平面α，β外的两条直线，且mα，nβ，αβ，则（ ）
A．mn B．mn C．nα D．nα
2．已知，分别是正方体的棱，上的动点（不与顶点重合），则下列结论错误的是（ ）
A．
B．平面平面
C．四面体的体积为定值
D．平面
3．、、表示平面，、表示直线，若，且与相交但不垂直，则（ ）
A．， B．， C．， D．，
4．若是等边三角形ABC所在平面外一点，且，，，分别是AB，BC，CA的中点，则下列结论中不正确的是（ ）
A．平面 B．平面
C．平面平面 D．平面平面
5．如图，在三棱锥P?-ABC中，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，则下列结论中错误的是（ ）
A．AP⊥AC
B．AP⊥AB
C．AP⊥平面ABC
D．AP与BC所成的角为45°
6．已知，，为空间里不重合的三条直线，，为空间里不重合的两个平面，则下列判断正确的是（ ）
A．若，，，则
B．若，，，，则
C．若，，，，则
D．若，，，，，则
7．下列命题正确的是（ ）
A．平面α内的一条直线a垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β
B．若平面α⊥β，则α内的直线垂直于平面β
C．若平面α⊥β，且α∩β＝l，则过α内一点P与l垂直的直线垂直于平面β
D．若直线a与平面α内的无数条直线都垂直，则不能说一定有a⊥α
8．如图，在四棱锥中，平面，底面为平行四边形，且，为的中点，则下列说法不正确的是（ ）
A．平面
B．平面平面
C．若为的中点，则平面
D．若，则直线与平面所成角为
9．三棱锥的各棱长都相等，分别是的中点，下列四个结论中不成立的是（ ）
A．平面 B．平面
C．平面平面 D．平面平面
10．如图，在矩形中，，，和交于点，将沿直线翻折，则错误的是（ ）
A．存在，在翻折过程中存在某个位置，使得
B．存在，在翻折过程中存在某个位置，使得
C．存在，在翻折过程中存在某个位置，使得平面
D．存在，在翻折过程中存在某个位置，使得平面
二、多选题
11．已知圆锥的母线长是底面半径的2倍，P为顶点，正六边形内接于底面圆，是圆的直径，且，则下列说法正确的是（ ）
A．平面
B．平面
C．圆锥的侧面积为
D．直线与平面所成角的余弦值为
12．如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，，截面与直线平行，与交于点，则下列判断正确的是（ ）
A．为的中点
B．与所成的角为
C．平面平面
D．点与点到平面的距离相等
13．如图，在三棱锥A-BCD中，，，平面平面BCD，则下列判断中正确的有（ ）
A． B．平面BCD
C． D．图中恰有三对平面互相垂直
14．若m、n是两条不重合的直线，、为两个不重合的平面，下列说法正确的有（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
15．如图所示，AB是半圆O的直径，VA垂直于半圆O所在的平面，VA=，点C是圆周上不同于A，B的点，CA=3，CB=4，M，N分别为VA，VC的中点，则下列结论正确的有（ ）
A．MN//平面ABC
B．平面VAC⊥平面VBC
C．二面角V-BC-A的大小为30°
D．三棱锥O-VAC的体积为
三、填空题
16．已知?是两条不同的直线，?是两个不同的平面，在下列命题①；②；③；④中，正确的命题是___________(只填序号).
17．如图，在四棱锥P?ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足______时，PC⊥平面BDM(只填写一个认为正确的条件即可)．
18．已知是两个平面，是两条直线．有下列命题：
①如果，那么； ②如果，那么；
③如果，那么； ④如果，那么．
其中所有真命题的序号是__________．
19．如图，已知在正方体中，，点为棱上的一个动点，平面与棱交于点，给出下列命题：
①无论在如何移动，四棱锥的体积恒为定值；
②截面四边形的周长的最小值是；
③当点不与，重合时，在棱上恒存在点，使得平面；
④存在点，使得平面；其中正确的命题是______．
四、解答题
20．如图，在直三棱柱中，、分别为棱、的中点，且
（1）求证：平面平面；
（2）求证：平面.
21．如图，在三棱锥中，平面，，，，分别是，，的中点.求证：
（1）平面；
（2）；
（3）平面平面.
22．如图所示，在四棱锥中，底面为菱形，侧面为等边三角形，且侧面垂直底面，，分别为，的中点.
（1）求证：；
（2）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，请找出点的位置，若不存在，请说明理由.
23．如图，在三棱柱中，侧面底面ABC，，且，O为的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）若点E在上，且平面，求三棱锥的体积.
24．如图，在四棱锥P－ABCD中，∠ADB＝90°，CB＝CD，点E为棱PB的中点．
（1）若PB＝PD，求证：PC⊥BD；
（2）求证：CE∥平面PAD.
25．如图1，在直角梯形 ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝，AB＝BC＝AD＝a，E是AD的中点，O是AC与BE的交点.将△ABE沿BE折起到图2中△A1BE的位置，得到四棱锥A1－BCDE.
（1）证明：CD⊥平面A1OC；
（2）当平面A1BE⊥平面BCDE时，四棱锥A1－BCDE的体积为，求a的值.
参考答案
1．C
如图，做出长方体ABCD﹣A1B1C1D1，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，令面ADD1A1为α，面ABCD为β，
对于A，若直线CB1为m，则mα，若CC1为n，则nβ，显然mn是假命题；
对于B，此命题和上一命题是一样的，所以也是假命题；
对于C. 设，在平面内任取一点（），在平面内，过点作直线 ，
则由，可得，又，则
由，所以 ，故C正确.
对于D，若直线CB1为m，则mα，若CC1为n，则nβ，显然nα是假命题；
故选：C.
2．C
如图所示：
，分别是正方体的棱，上的动点（不与顶点重合），
对于A，，，，、平面，
平面，平面，，故A正确；
对于B，∵平面平面，平面与平面重合，∴平面平面，故B正确；
对于C，到平面的距离为定值，到的距离为定值，的长不是定值，∴四面体的体积不为定值，故C错误；
对于D，∵平面平面，平面，平面，故D正确．
3．D
设，根据面面垂直的性质定理，只有内且与垂直的直线才与垂直．故A错误．
内且与垂直的直线与相交，与不平行．B错误．
假若，，根据面面垂直的判定定理，可以得出，与且与相交但不垂直矛盾．C错误．
设与相交于，则在内与平行的直线与平行．D正确．
故选：D．
4．D
是等边三角形所在平面外一点，且，
，，分别是，，的中点，
，
平面，平面，平面，故正确；
，是中点，
，，
，平面，平面，
，平面，故B正确；
平面，平面，
平面平面，故C正确；
设，连结，不是等边三角形的重心，与平面不垂直，
平面与平面不垂直，故D错误．
故选：D．
5．D
如图所示：
在中，任取一点E，作，，
因为平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，
平面PAB平面ABC，平面PAC平面ABC，
所以平面PAB，平面PAC，
由平面PAB，平面PAC，
所以，又，
所以PA⊥平面ABC，
又平面PAB，
所以AP⊥AC，AP⊥AB，
故ABC正确D错误
故选：D
6．D
A有可能是，故A不对；B不知道，是否是相交的位置关系,故B不正确；C可能是，故C不正确；根据面面垂直性质定理和线面垂直的性质，可知D正确.
故选：D.
7．D
A项，如图平面α内的一条直线a垂直于平面β内的无数条直线，但αβ，故A错误；
B项，如图平面α⊥β，但α内的直线不垂直于平面β，故B错误；
C项，平面α⊥β，且α∩β＝l，则过α内一点P与l垂直的直线，只有当此直线在α内时才垂直于β，故C错误；
D项，a与平面α内的任意一条直线都垂直可以推出a⊥α，故D正确.
8．D
选项A. 设底面平行四边形的对角线相交于点.
则为的中点,由,
在中，,
所以,所以
又平面，平面,所以
又,所以平面，故选项A正确.
选项B. 由上有，可知底面平行四边形为菱形.
由，则，又为的中点
所以,即
又平面，平面,所以
又,所以平面，
又平面，所以平面平面，故选项B正确.
选项C. 如图取的中点,连结
由为的中点，为的中点，则且
又,且，为的中点,所以且
所以四边形为平行四边形，则
又平面，平面,所以则平面，故选项C正确.
选项D. 连结, 由选项A的证明过程可知平面
所以直线在平面上的射影为
所以为直线与平面所成的角.
由，则, 由，则,所以
在直角中，,所以，故选项D不正确.
故选：D
9．C
对于A中，因为分别是的中点，可得,
因为平面，平面，所以平面，所以A正确；
对于B中，因为，所以，
同理可得，
又因为，所以平面，
又由，所以平面，所以B正确；
对于D中，由平面，因为平面，
所以平面平面，所以D正确；
综上可得A、B、D都正确，所以C不正确.
10．D
当时，所以此时矩形为正方形，则
将沿直线翻折，若使得面面时,
由，面，面面
所以面,又面,所以，故选项A正确.
又，,且
所以面,又面,所以，故选项B正确,
选项C. 在矩形中，,
所以将沿直线翻折时，总有,
取，当将沿直线翻折到时，有
即,且，则此时满足平面，故C正确.
选项D. 若平面，又平面，则
所以在中，为斜边，这与相矛盾.故D不正确.
11．AD
圆锥的底面直径为2，
所以半径，从而母线长.
由于六边形为正六边形，如图，
所以平面，平面，∴平面，故A对；
在中，，可知，故B错；
圆锥的侧面积为，故C错；
过点C作，垂足为M，连接，如图，
由于平面底面，为交线，则平面，所以为直线与平面所成的角，
可求得，所以，故D对.
12．ACD
对于A项，连接交于点，连接，如图所示，
//面，面，且面面，//，
又四边形是正方形，为的中点，
为的中点，故A正确；
对于B项，，为与所成的角，
面，面，，
在中，，，故B错误；
对于C项，面，面，，
又，，面
面，又平面，故C正确.
因为平面，且为线段的中点，
所以点与点到平面的距离相等，所以D正确；
13．ABD
解：对于选项A．因为平面平面BCD，
又因为平面平面，
因为平面BDC，
又，
所以平面ABC，
因为平面ABC，平面ABC，
所以，故A正确，
对于选项B．由上可知，，
因为，
又因为，
所以平面BCD，故B正确，
对于选项C．若，因为，
又因为，
所以平面ACD，
又因为平面ACD，
所以，
由上可知，那么，矛盾，故C错误．
对于选项D，因为平面BCD，
所以，
所以，，为直角三角形，故D正确．
故选：ABD．
14．CD
A. 若，则或，故A不正确；B.若都与；两平面的交线平行，也满足条件，但不能推出，故B不正确；C.两平行线中的一条垂直于平面，则另一条也垂直于平面，故C正确；D. 若，则，故D正确.
15．ABC
易知MN∥AC，又AC?平面ABC，MN?平面ABC，∴MN∥平面ABC，故A正确；
由题意得BC⊥AC，因为VA⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以VA⊥BC.因为AC∩VA＝A，所以BC⊥平面VAC.因为BC?平面VBC，所以平面VAC⊥平面VBC，故B正确；
BC⊥平面VAC，所以VA⊥BC，VC⊥BC，即为二面角V-BC-A的平面角，又，所以.故C正确；
因为＝＝,;所以，故D错误.
16．②④
①：与同一条直线平行的两个平面不一定平行，在本题的条件下，两平面可能相交，所以①是假命题；
②：根据直线与平面的位置关系可得：由，可得出，所以②是真命题.
③：根据直线与平面的位置关系可得：与可以是任意的位置关系，所以③是假命题；
④：垂直于同一个平面的两条直线平行，所以④是真命题；
17．DM⊥PC(或BM⊥PC)
连接BD，AC．
∵四边形ABCD各边都相等，即四边形ABCD为菱形，
∴BD⊥AC．又PA⊥平面ABCD，∴BD⊥PA．
∵PA∩AC＝A，
∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC．
∴当DM⊥PC或BM⊥PC时，PC⊥平面BDM．
故答案为：（或）
18．②③
①如果，那么或，故①不正确；
②如果，那么，这就是线面平行推得线线平行的性质定理，故②正确；
③如果，那么，这就是利用面面平行推线面平行的性质定理，故③正确；
④缺少这个条件，故④不正确.
故答案为：②③
19．①②④
解:①由题意可得∥，∥，如图建立坐标系:
，四边形为平行四边形
又（ 为到平面距离）且
上点到平面距离相等
无论在上何处，不变
不变
不变
故①正确
②由①知：四边形的周长
设，则，
等价于上点到与距离
此时
周长最小为
故②正确
③在上寻找一点，使到的距离为距离
∥，且在平面中
但当时，，与矛盾
故③错误;
④当与重合时，显然，
平面
故④正确
综上可得:正确为①②④.
故答案为:①②④.
20．
（1）因为为棱的中点，，所以，
因为三棱柱是直三棱柱，所以平面，
因为平面，所以，
因为、平面，，所以平面，
因为平面，所以平面平面.
（2）如图，作的中点，连接和，
因为、为棱、的中点，所以，且，
因为为棱的中点，，，
所以，，四边形是平行四边形，，
因为平面，平面，所以平面.
21．
证明：（1）三棱锥中，
，，分别是，，的中点，
，
平面，平面，
平面.
（2）平面，平面，，
，，平面，
平面，
平面，.
（3），，分别是，，的中点，
，平面，
平面，平面平面.
22．
（1）证明：连接，
四边形为菱形，
，
，分别为，的中点，即，
∴，
面为等边三角形，且为的中点，
，又面面，面，
面面，
面，又面，
，又， 面，
面，又面，
.
（2）解：设交于，交于，
则为的中点，为的中点，
在中，过点作交于点，则点即为所求.
理由如下：
，分别为，的中点，
，面， 面，
面，同理面，
，?面，
面面，即面面，
面，面.
，，
故点在棱上靠近点的三等分点处.
23
（1），
在中，，O是的中点，，
又平面平面，平面平面，
平面.
平面.
平面，平面，
又平面，平面平面.
（2）如图，
连接，设与交于点E，连接，
利用三角形中位线定理易得，
平面平面，平面，
满足条件的E为的中点.
，
故三棱锥的体积为.
24．
（1）取BD的中点O，连接CO，PO，
因为CD＝CB，
所以△CBD为等腰三角形，
所以BD⊥CO
因为PB＝PD，
所以△PBD为等腰三角形，所以BD⊥PO
又PO∩CO＝O，PO，CO?平面PCO，
所以BD⊥平面PCO
因为PC?平面PCO，所以PC⊥BD；
（2）由E为PB的中点，连接EO，则EO∥PD，
又EO?平面PAD，PD?平面PAD，
所以EO∥平面PAD.
由∠ADB＝90°及BD⊥CO，可得CO∥AD，
又CO?平面PAD，AD?平面PAD，
所以CO∥平面PAD.
又CO∩EO＝O，CO，EO?平面COE，
所以平面CEO∥平面PAD，
而CE?平面CEO，所以CE∥平面PAD．
25．
（1）在图1中，因为，E是AD的中点，，所以BE⊥AC，
即在图2中，BE⊥A1O，BE⊥OC，，从而BE⊥平面A1OC.
又CD∥BE，所以CD⊥平面A1OC.
（2）由已知，平面A1BE⊥平面BCDE，平面A1BE平面BCDE，
又由（1）知，OA1⊥BE，平面A1BE，所以A1O⊥平面BCDE，
即A1O是四棱锥A1－BCDE的高，
由图1可知，，平行四边形BCDE的面积，
从而四棱锥A1－BCDE的体积为.
由，得a＝6.