2020-2021学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册第八章8.4空间点、直线、平面的平行同步习题

2020-2021学年必修第二册数学高一下第八章8.4空间直线、平面的平行同步习题
一、单选题
1．如图所示，在长方体AC1中，E，F分别是B1O和C1O的中点，则长方体的各棱中与EF平行的有（ ）
A．3条 B．4条
C．5条 D．6条
2．平面与平面平行的条件可以是（ ）
A．内有无穷多条直线与平行
B．内的任何直线都与平行
C．直线在平面内，直线在平面内，且，
D．直线，直线
3．如图所示，在三棱锥中，、、、分别为、、、上的点，，则与（ ）
A．平行 B．相交 C．异面 D．以上皆有可能
4．若直线a平面α，A?α，且直线a与点A位于α的两侧，B，C∈a，AB，AC分别交平面α于点E，F，若BC＝4，CF＝5，AF＝3，则EF的值为（ ）
A．3 B． C． D．
5．如图所示，四边形EFGH为四面体ABCD的一个截面，若，则与平面EFGH平行的直线有（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
6．如图，在三棱锥中，，分别为AB，AD的中点，过EF的平面截三棱锥得到的截面为EFHG.则下列结论中不一定成立的是（ ）
A． B．
C．平面 D．平面
7．已知是三条不同的直线，是三个不同的平面，有下列命题：
①
②若则
③则
④直线，直线，那么
⑤若，则
⑥若，则，
其中所有正确命题数（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知E，F，G分别是线段A1C1上的点，且A1E＝EF＝FG＝GC1.则下列直线与平面A1BD平行的是（ ）
A．CE B．CF C．CG D．CC1
9．如图，在下列四个正方体中，P，R，Q，M，N，G，H为所在棱的中点，则在这四个正方体中，阴影平面与PRQ所在平面平行的是（ ）
A． B．
C． D．
10．点，分别是棱长为2的正方体中棱，的中点，动点在正方形(包括边界)内运动.若面，则的长度范围是
A． B． C． D．
二、多选题
11．下列说法正确的是（ ）
A．一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，必与另外一个平面平行
B．两个平面有一个公共点，则它们相交或重合
C．平行于同一个平面的两平面平行
D．夹在两个平行平面间的平行线段相等
12．已知，表示直线，，，表示平面，则下列推理不正确的是（ ）
A．， B．，，且
C．，，， D．，，
13．下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形是（ ）
A． B．
C． D．
14．（多选题）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，给出下列四个推断：
其中推断正确的序号是（ ）
A．FG∥平面AA1D1D； B．EF∥平面BC1D1；
C．FG∥平面BC1D1； D．平面EFG∥平面BC1D1
15．如图是一几何体的平面展开图,其中四边形ABCD为正方形E,F,G,H分别为的中点.在此几何体中,给出下列结论,其中正确的结论是（ ）
A．平面平面 B．直线平面
C．直线平面 D．直线平面
三、填空题
16．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D为AA1中点，点P在侧面BCC1B1上运动，当点P满足条件___________时，A1P平面BCD(答案不唯一，填一个满足题意的条件即可)
17．如图，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是平行直线的图是________(填序号).
18．下列条件中，能判定平面与平面平行的条件可以是___________.(写出所有正确条件的序号)
①内有无穷多条直线都与平行；
②内的任何一条直线都与平行；
③直线，直线，且，；
④，，.
19．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为的中点，为的中点，则与平面的关系是________．
20．如图所示，ABCD—A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M，N分别是下底面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝________.
四、解答题
21．如图，在三棱柱中，，，，分别是，，，的中点，求证：
（1），，，四点共面；
（2）平面平面.
22．如图所示，已知是所在平面外一点，，分别是，的中点.
（1）求证：平面；
（2）设平面平面，求证：.
23．如图，在多面体ABCDEF中，ABCD是正方形，AB=2，DE=BF=4，BFDE，M为棱AE的中点.求证：平面BMD平面EFC.
24．如图，在三棱柱中，侧棱底面，，为的中点，，．求证：平面；
25．如图，在三棱柱中，侧棱底面，，为的中点，，．
（1）求证：平面；
（2）求三棱锥的体积．
26．如图所示，在直三棱柱中，，，是的中点.
（Ⅰ）求证：直线平面；
（Ⅱ）设为线段上的动点，求三棱锥的体积.
参考答案
1．B
由于E，F分别是B1O，C1O的中点，故EF∥B1C1，
因为与棱B1C1平行的棱还有3条：AD, BC，A1D1，所以共有4条.
2．B
若内有无穷多条直线与平行，则平面与平面相交或平行，故不正确；
若内的任何直线都与平行，则，故B正确；
若直线在平面内，直线在平面内，且，，则平面与平面相交或平行，故C不正确；
若直线，直线，则平面与平面相交或平行，故D不正确.
3．A
，平面，平面，平面，
平面，平面平面，因此，.
故选：A.
4．B
解：∵BC∥α，且平面ABC∩α＝EF，
∴EF∥BC，∴＝，即＝．
∴EF＝．
5．C
∵，∴EF//AB.
又EF?平面EFGH，AB?平面EFGH，
∴AB//平面EFGH.
同理，由，
可证CD//平面EFGH.
∴与平面EFGH平行的直线有2条.
6．D
对于，，分别为，的中点，，EF与平面BCD平行
过的平面截三棱锥得到的截面为，平面平面，
，，故AB正确；
对于，，平面，平面，平面，故正确；
对于，的位置不确定，与平面有可能相交，故错误.
故选:D.
7．B
对于①：根据平行的性质有，故①正确；
对于②：由得或相交，故②不正确；
对于③：由得，或异面，故③不正确；
对于④：由直线，直线，可得，异面，相交，故④不正确；
对于⑤：由，得或相交，故⑤不正确；
对于⑥：若，由面面平行的传递性得，故⑥正确，
所以正确的命题有①⑥，
8．B
如图，连接AC，使AC交BD于点O，连接A1O，CF，
在正方体ABCD?-A1B1C1D1中，由于，
又OC＝AC，可得：，即四边形A1OCF为平行四边形，
可得：A1O∥CF，又A1O?平面A1BD，CF?平面A1BD，
可得CF∥平面A1BD，
9．D
由题意可知经过P、Q、R三点的平面即为平面，如下图所示：
对选项：可知N在经过P、Q、R三点的平面上，所以B、C错误；
对：MC1与是相交直线，所以A不正确；
对：因为//，，//，
又容易知也相交，
平面；平面，
故平面//平面
10．B
取，中点，， 连接、 .
则∥.∥.又因为 .
所以平面∥平面.
又因为动点在正方形(包括边界)内运动，
所以点的轨迹为线段.
又因为正方体的棱长为2，
所以， .
所以为等腰三角形.
故当点在点或者在点处时，此时最大，最大值为.
当点为中点时，最小，最小值为 .
故选：B.
11．BCD
对于A选项，一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，
则该直线与另外一个平面平行或该直线在另外一个平面内，A选项错误；
对于B选项，两个平面有一个公共点，则它们相交或重合，B选项正确；
对于C选项，由面面平行的性质可知，平行于同一个平面的两平面平行，C选项正确；
对于D选项，如下图所示：
已知平面平面，、，、，，
那么直线、可确定平面，
，，，，则四边形为平行四边形，
所以，，D选项正确.
故选：BCD.
12．ABC
A. 因为，，则平行或相交，故错误；
B. 因为，，则或 ，或 ，故错误；
C. 因为，，，，则平行或相交，故错误；
D. 因为，，，由面面平行的性质定理得 ，故正确；
13．AD
解：在A中，连接AC，则AC∥MN，由正方体性质得到平面MNP∥平面ABC，
∴AB∥平面MNP，故A成立；
对于B，若下底面中心为O，则NO∥AB，NO∩面MNP＝N，
∴AB与面MNP不平行，故B不成立；
对于C，过M作ME∥AB，则E是中点，
则ME与平面PMN相交，则AB与平面MNP相交，
∴AB与面MNP不平行，故C不成立；
对于D，连接CE，则AB∥CE，NP∥CD，则AB∥PN，∴AB∥平面MNP，故D成立.
故选：AD.
14．AC
解：在正方体中，，，分别是，，的中点，
，，，
平面，平面，平面，故A正确；
，与平面相交，与平面相交，故B错误；
，，分别是，，的中点，
，平面，平面，
平面，故C正确；
与平面相交，平面与平面相交，故D错误．
故选：AC．
15．ABC
作出立体图形如图所示.连接四点构成平面.
对于A，因为E,F分别是的中点,所以.又平面，平面，所以平面.同理, 平面.又,平面,平面，所以平面平面，故A正确；
对于B，连接，设的中点为M，则M也是的中点，所以，又平面,平面，所以平面，故B正确；
对于C，由A中的分析知，，所以，因为平面，平面，所以直线平面，故C正确；
对于，根据C中的分析可知再结合图形可得，，则直线与平面不平行，故D错误.
16．P是CC1中点
取CC1中点P，连结A1P，
∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D为AA1中点，点P在侧面BCC1B1上运动，
∴当点P满足条件P是CC1中点时，A1PCD，
∵A1P?平面BCD，CD?平面BCD，
∴当点P满足条件P是CC1中点时，A1P平面BCD
17．①②
根据正方体的结构特征，可得①②中RS与PQ均是平行直线，④中RS和PQ是相交直线，③中RS和PQ是是异面直线.
故答案为：①②.
18．②④
当内有无穷多条直线都与平行，平面与平面可能平行，也可能相交，故①不正确.
当内的任何一条直线都与平行时，则平面内必有2条相交直线和平面平行，据面面平行的判定定理，平面与平面平行，故②正确.
当直线，直线，且，时，平面与平面可能平行，也可能相交，故③不正确.
当，，时，可证，这样，平面与平面都和直线垂直，故平面与平面平行，故④正确.
综上，②④正确，①③错误，
19．平行
取的中点，连接．
分别为中点，，
又四边形为平行四边形，为中点，，
，四边形为平行四边形，，
又平面，平面，平面.
故答案为：平行.
20．
∵MN//平面ABCD，平面PMNQ∩平面ABCD＝PQ，MN?平面PQNM，
∴MN//PQ，易知DP＝DQ＝，
故PQ＝.
故答案为：
21．
证明：（1）?分别为，中点，，
三棱柱中，，
???四点共面；
（2）?分别为?中点，，，
又不在平面BCHG中，平面 BCHG，所以平面BCHG
又?分别为三棱柱侧面平行四边形对边?中点，
四边形为平行四边形，，又不在平面BCHG，平面BCHG
平面中有两条直线?分别与平面平行
平面平面.
22．
证明：（1）如图，取的中点，连接，，
可以证得且，
所以四边形是平行四边形，所以.
又平面，平面，所以平面.
（2）因为，平面，平面，所以平面.
又因为平面平面，所以.
23
证明：如图，连接AC，交BD于点N，
∴N为AC的中点，连接MN，则MNEC.
∵面EFC，面EFC，
∴MN平面EFC.
∵BFDE，BF=DE，
∴四边形BDEF为平行四边形，
∴BDEF.
∵平面EFC，平面EFC，
∴BD平面EFC，又MN∩BD=N，
∴平面BMD平面EFC.
24．
如图所示：
连接与交于点O，连接OD，
因为O，D为中点，
所以，
又平面，平面，
所以平面.
25．
（1）如图所示：
连接与交于点O，连接OD，
因为O，D为中点，
所以，
又平面，平面，
所以平面；
（2）因为侧棱底面，
所以，即，
又，，
所以平面，
因为为的中点，
所以点D到平面的距离为1，
又，
所以.
26．
解：（Ⅰ）连接交于，连接，
∵四边形为正方形，∴为的中点，
又是的中点，∴在中，，
又平面，平面，
∴直线平面.
（Ⅱ）∵平面，∴，
∴，∴.