广东省连平县忠信高级中学校2020-2021学年高一下学期4月段考（一）数学试题 Word版含答案

忠信高级中学校2020-2021学年高一下学期4月段考（一）
数学试卷
考试时间120分钟，满分150分.
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列命题中正确的是(　　)
A．－＝　　 B．＋＝0
C．0·＝0　　 D．＋＋＝
2．如图，a－b等于(　　)
A．2e1－4e2
B．－4e1－2e2
C．e1－3e2
D．3e1－e2
3．已知向量，，，则的值是　　
A． B． C． D．
4．已知a、b、c分别是△ABC三个内角A、B、C的对边，b＝，c＝，B＝，那么a等于(　　)
A．1　　B．2　　 C．4　　 D．1或4
5．已知向量a＝(1,2)，b＝(－2,3)，c＝(4,5)，若(a＋λb)⊥c，则实数λ＝(　　)
A．－　　B．　 C．－2　　 D．2
6．已知，，为坐标原点，点在第二象限内，，且，设，则的值为　　
A． B． C． D．1
7.在△ABC中，已知sin2A＋sin2B－sinAsinB＝sin2C，且满足ab＝4，则该三角形的面积为(　　)
A．1　　B．2　 C．　　 D．
8．如图所示，半圆的直径AB＝4，O为圆心，C是半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则(＋)·的最小值是(　　)
A．2　　 B．0　　
C．－1　　 D．－2
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
9． 已知向量，，，若点，，能构成三角形，则实数可以为　　
A． B． C．1 D．
10．已知m，n是实数，a，b是向量，则下列命题中正确的为(　　)
A．m(a－b)＝ma－mb　　 B．(m－n)a＝ma－na
C．若ma＝mb，则a＝b　　 D．若ma＝na，则m＝n
11．对于△ABC，有如下命题，其中正确的有(　　)
A．若sin2A＝sin2B，则△ABC为等腰三角形
B．若sin A＝cos B，则△ABC为直角三角形
C．若sin2A＋sin2B＋cos2C<1，则△ABC为钝角三角形
D．若AB＝，AC＝1，B＝30°，则△ABC的面积为或
12．给出下列四个命题，其中正确的选项有(　　)
A．非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角是30°
B．若(＋)·(－)＝0，则△ABC为等腰三角形
C．若单位向量a，b的夹角为120°，则当|2a＋xb|(x∈R)取最小值时x＝1
D．若＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－3－m)，∠ABC为锐角，则实数m的取值范围是m>－
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知a，b为单位向量，且a·b＝0，若c＝2a－b，则cos〈a，c〉＝___.
14.已知向量，，若单位向量与平行，则　　．
15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝，b＝2，A＝60°，则sinB＝___，c＝____.
16．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知(a＋b－c)·(a＋b＋c)＝3ab，且c＝4，则△ABC面积的最大值为____.
四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．. (本小题满分10分)已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1，2).
(1)若|c|＝2，且c与a方向相反，求c的坐标；
(2)若|b|＝，且a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角θ.
18.(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝4，cosA＝，sinB＝，c>4．
(1)求b；
(2)求△ABC的周长.
19．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2,3)，
C(－2，－1).
(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；
(2)设实数t满足(－t)·＝0，求t的值.
20．(本小题满分12分)△ABC是等腰直角三角形，∠B＝90°，D是边BC的中点，BE⊥AD，垂足为E，延长BE交AC于F，连接DF，求证：∠ADB＝∠FDC.
21．(本小题满分12分)如图所示，甲船以每小时30 n mile的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20 n mile.当甲船航行20 min到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距10 n mile，问乙船每小时航行多少n mile?
22．(本小题满分12分)已知向量a＝(2＋sinx,1)，b＝(2，－2)，c＝(sinx－3,1)，d＝(1，k)，(x∈R，k∈R).
(1)若x∈[－，]，且a∥(b＋c)，求x的值；
(2)若函数f(x)＝a·b，求f(x)的最小值；
(3)是否存在实数k，使得(a＋d)⊥(b＋c)？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由.
忠信高级中学校2020-2021学年高一下学期4月段考（一）
数学答案
一、单选题：
1~4：DCAC 5~8:CADD
二、多选题:
9.ABD 10.AB 11.ACD 12.ABC
三、填空题
13.2/3 14.(3/5,-4/5)或(-3/5,4/5)
15. ___，c＝__3__ 16. __4__.
四、解答题：
17. 解：(1)设c＝(x，y)，由c∥a及|c|＝2，
可得所以或
因为c与a方向相反，所以c＝(－2，－4).
(2)因为(a＋2b)⊥(2a－b)，
所以(a＋2b)·(2a－b)＝0，即2a2＋3a·b－2b2＝0，
所以2|a|2＋3a·b－2|b|2＝0，
所以2×5＋3a·b－2×＝0，
所以a·b＝－，所以cos θ＝＝－1.
又因为θ∈[0，π]，所以θ＝π.
18. 解：　(1)因为a＝4，cosA＝，sinB＝，
所以sinA＝＝，
所以由正弦定理可得：
b＝＝＝5．
(2)因为由余弦定理可得：
a2＝b2＋c2－2bccosA，
可得：16＝25＋c2－2×5×c×，
整理可得：2c2－15c＋18＝0，
解得：c＝6或(由c>4，舍去)，
所以△ABC的周长＝a＋b＋c＝4＋5＋6＝15．
19.解：
(1)＝(3,5)，＝(－1,1)，
由＋＝(2,6)，得|＋|＝2，
由－＝(4,4)，得|－|＝4.
(2)＝(－2，－1)，
∵(－t)·＝·－t2，∴·＝－11，2＝5，
∴由(－t)·＝0得t＝－.
20．解：
[解析]　如图，B为原点，BC所在直线为x轴建立直角坐标系，设A(0,2)，C(2,0)，则D(1,0)，＝(2，－2).
设＝λ，则＝＋＝(0,2)＋(2λ，－2λ)＝(2λ，2－2λ).
又＝(－1,2)，⊥，∴·＝0，∴－2λ＋2(2－2λ)＝0，∴λ＝.
∴＝(，)，＝－＝(，).
又＝(1,0)，∴cos∠ADB＝＝，
cos∠FDC＝＝，
又∠ADB，∠FDC∈(0，π)，∴∠ADB＝∠FDC.
21．解：
　解法一：如图，连接A1B2，
由题意知A2B2＝10 n mile，A1A2＝30×＝10 n mile.
所以A1A2＝A2B2．
又∠A1A2B2＝180°－120°＝60°，
所以△A1A2B2是等边三角形.
所以A1B2＝A1A2＝10 n mile.
由题意知，A1B1＝20 n mile，∠B1A1B2＝105°－60°＝45°，
在△A1B2B1中，由余弦定理，得B1B＝A1B＋A1B－2A1B1·A1B2·cos45°＝202＋(10)2－2×20×10×＝200．
所以B1B2＝10 n mile.
因此，乙船速度的大小为×60＝30(n mile/h).
答：乙船每小时航行30 n mile.
解法二：如下图所示，连接A2B1，
由题意知A1B1＝20 n mile，A1A2＝30×
＝10 n mile，∠B1A1A2＝105°，
又cos105°＝cos(45°＋60°)
＝cos45°cos60°－sin45°sin60°＝，
sin105°＝sin(45°＋60°)＝sin45°cos60°＋cos45°sin60°
＝，
在△A2A1B1中，由余弦定理，得A2B＝A1B＋A1A－2A1B1·A1A2·cos105°＝202＋(10)2－2×20×10×＝100(4＋2)，
所以A2B1＝10(1＋)n mile
由正弦定理，得sin∠A1A2B1＝·sin∠B1A1A2＝×＝，
所以∠A1A2B1＝45°，即∠B1A2B2＝60°－45°＝15°，cos15°＝sin105°＝.
在△B1A2B2中，由题知A2B2＝10 n mile，
由余弦定理，得B1B＝A2B＋A2B－2A2B1·A2B2·cos15°＝102(1＋)2＋(10)2－2×10(1＋)×10×＝200，
所以B1B2＝10 n mile，故乙船速度的大小为×60＝30(n mile/h).
答：乙船每小时航行30 n mile.
22．解：
　(1)∵b＋c＝(sinx－1，－1)，又a∥(b＋c)，
∴－(2＋sinx)＝sinx－1，即sinx＝－.
又x∈[－，]，
∴x＝－.
(2)∵a＝(2＋sinx,1)，b＝(2，－2)，
∴f(x)＝a·b＝2(2＋sinx)－2＝2sinx＋2．
又x∈R，
∴当sinx＝－1时，f(x)有最小值，且最小值为0．
(3)∵a＋d＝(3＋sinx,1＋k)，b＋c＝(sinx－1，－1)，
若(a＋d)⊥(b＋c)，则(a＋d)·(b＋c)＝0，
即(3＋sinx)(sinx－1)－(1＋k)＝0，
∴k＝sin2x＋2sinx－4＝(sinx＋1)2－5．
由sinx∈[－1,1]，
∴－5≤(sinx＋1)2－5≤－1，得k∈[－5，－1].
∴存在k∈[－5，－1]，使得(a＋d)⊥(b＋c).