《不等式运用》说课稿
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《不等式运用》说课稿
曹 新
《不等式应用》说课稿一
（1）教材分析
①教材地位和作用：
不等式的应用是《不等式》一章的重要内容，是中学数学知识的重要交汇点，在高等数学中应用广泛。它以不等式的性质、不等式的解法、均值不等式为基础，与函数、方程等知识相结合，在概括知识体系与培养学生综合运用能力方面有着重要的价值。
②教学内容：
不等式的应用是广泛的，一节课不可能全部展开，考虑到均值不等式既是教材的重点又是难点，因此选择利用均值不等式求最值的问题作为本节的内容。数学知识的应用包括在数学中的应用和在实践中的应用，本节课通过探讨利用一块长方形铁皮制作一个尽可能大的长方体鱼盒的问题展开教学，力图通过引导学生观察和思考，抽出其中的数学问题，并联系均值不等式予以解决，从而使有关的基础知识在理解与应用中得到深化。
③教学重点、难点、关键：
本节课的教学重点是均值不等式的应用、对数学模型的评价；难点是数学模型的建立、完善过程以及将均值不等式用于求最值时应该注意的条件；关键在于引导学生展开探究活动。
（2）教学目标的确定：
根据这节课的内容和教学大纲确定的教学要求，结合学生身心发展的需要，确定教学目标如下：
①掌握均值不等式，能在实际背景中运用均值不等式解决问题。会根据实际情况恰当地评价数学模型。
②通过探究数学模型的完善过程，进行高认知水平的思考，发展数学思维能力、数学探究能力以及数学应用能力。
③经历教师师生、生生交流、合作与探究，在对建立的数学模型的批判、反思、完善、评价的过程中，体会数学知识运用的价值，促进批判性思维习惯的养成，并获得成功的体验。
（3）教学方法的选择：
学生已学完不等式的性质、解法、均值不等式，但对应用了解不多。在这节课之前，刚学过：把一个长方形截去四角小正方形后折成一个长方体，问截去的小正方形的边长为多少时长方体的体积最大？这个问题对本节课的思考有一定的帮助，但思维定势带来的负面影响也不可忽视。因此，本节课采用“问题驱动、启发探究”的教学方法，在教学中重点突出以下几个方面：
①重视内隐性素材资源的利用：利用学生的思维定势所带来的“负面效应”作为课堂教学资源，关注课堂的动态生成，强调过程性知识的学习。
②由学生的特点确立自主探索式的学习方法。在教学过程中通过教师创设问题情境，启发引导学生进行自主探究；注意将学生的独立思考、自主探究、交流讨论等探索活动贯穿于课堂教学的全过程，突出学生的主体地位。
③除使用常规的教学手段外，还用多媒体辅助教学。多媒体的应用一方面为师生交流与讨论提供了平台，另一方面通过演示模型的制作过程有助于学生建模和化解难点。
（4）教学过程的设计：
为了实现本课的教学目标，把教学过程设计为如下几个阶段：
①创设问题情景
上课开始，教师利用多媒体展示一个现实问题：同学们一定去过菜场，菜场里卖鱼的地方用来盛放鱼的容器是我们常见的长方体盒，因为我经常去买菜，卖鱼的老板知道我是一位数学教师，又一次向我请教了一个他认为跟数学有关的问题，今天这堂课，我们想从这个问题开始进行一些探讨，请大家看题板。他根据需要要添置一只无盖的长方体盒，用一张长8cm，宽50cm的长方形铁皮，做一只无盖长方体铁皮盒（焊接处厚度与损耗不记），问这只铁皮盒尽可能大的体积是多少？（用幻灯片出示题目和长方形铁皮）他希望越大越好，下面请大家思考以下。
设计这个问题的意图是：一是创设一个能引起学生思考的情景，这个情景不论在生活上还是在数学上都是为学生所熟悉的；二是提供均值不等式的实际背景，开展“数学建模”的学习活动，力求使学生体验数学在解决某些实际问题中的作用；三是刚学过的一个例题既为今天要探究的问题作了铺垫，但也有可能把学生的思路引向旁路，成为新的、生成的教学资源，进而为教学实施创造更为广阔的空间；四是由此引出对思维定势负效应的分析，使学生认识到对问题了解的重要性。
②建立、求解模型
这一阶段具体安排下面几个环节：
1）学生独立建构模型、求解。问题提出以后，给出3～4分钟的时间由学生自主建模。教师巡视，了解学生所建立的模型与解答情况。
2）课堂交流。让一位学生讲述自己的制作方法与相应的数学模型： 以及对它的求解（即截去四角小正方形做成长方体，得到的数学模型称为模型1），的表达式变形后得：，由均值不等式得： 。教师将学生的制作方法利用投影展示，并将学生的想法进一步明确、引申，但不进行直接评价，目的在于让全体学生明确回答者的想法。通过“这就是最大值吗？”、“同意他（她）的话吗？不同意？这个解法有问题吗？大家看看应该怎么办？”等问题并引导学生进行反思和再思考，并找出上述解法的错误。
3）探究模型1的解法。模型1 的建立不难，但要求出最大值，需要一定的技巧和变形能力。因为要取得最大值，需要四个条件同时满足：一是各项为正；二是和为定值；三是各部分相等；四是与现实相吻合。对的表达式变形后得，要满足前面两个条件不难，但不成立。为此，先由学生探究模型1的解法，然后交流。如果学生探究困难，则由教师一边启发，学生或师生一起探究，通过对 变形 ：
（）。当且仅当满足：（）时（）取得等号。解方程（）得到
或者（但此时，制作方法不存在），把代入（）得，从而得。由此完成对模型1的求解。
③探究、完善模型
解出模型1后，引导学生反思：“它的体积尽可能大吗？”以此为切入点，引发新的探究。
1）质疑，引导反思。提出问题：刚才求出的结果是不是所求的尽可能大的体积？让学生进行讨论。
2）师生交流。通过讨论，得出结论：要使体积尽可能大，必须不浪费材料。由此引出新的探究问题：长方体鱼盒应该怎样做？这一步的目的是要引导学生走出课本例题带给学生的思维定势，并引发新一轮的探究活动。
3）探究新的模型。围绕“是不是尽可能大？”这个中心问题，引导学生不断深入思考，得出不同的、新的方法：加高；重新裁剪铁皮，让底面方一些；理想化方法，即假设鱼盒已经做好，直接利用均值不等式求解等，不断完善所建立的模型。同时教师利用动画，演示各种不同的制作方法，反映相应的数学模型，并组织学生求出其解。
4）引导归纳。总结出不同模型中共同的要素：数学模型——均值不等式，以及利用均值不等式求解具有现实背景的最值问题应该注意的四个方面，即一正、二定、三等、四合。
④评价模型
任何模型的建立，都有一定的合理性。因此引导学生对不同模型进行比较，了解它们在使用、制作等方面的特点，让学生体验数学在解决实际问题中的作用、数学与日常生活及其他学科的联系，这有利于促进学生逐步形成和发展数学应用意识，进而提高他们的实践能力。为此，通过下列问题引导学生进行模型评价：1）刚才我们在讨论尽可能大的过程中产生了这么多结果，你最喜欢哪一种？为什么？2）有没有喜欢第一种的？3）如果你是卖水产的老板（或者是工厂生产），你觉得他们会采用哪种制作方法？4）如果不限制形状，做成哪一种形状可能体积还要大？
⑤总结反思
引导学生回顾，并由教师小结：对模型的评价；数学思想方法的渗透；实际问题背景下均值不等式的应用要点。布置课后作业。
《不等式应用》说课稿二
（1）教材分析
①教材地位和作用：
不等式的应用是《不等式》一章的重要内容，是中学数学知识的重要交汇点，在高等数学中应用广泛。它以不等式的性质、不等式的解法、均值不等式为基础，与函数、方程等知识相结合，在概括知识体系与培养学生综合运用能力方面有着重要的价值。
②教学内容：
不等式的应用是广泛的，一节课不可能全部展开，考虑到均值不等式既是教材的重点又是难点，因此选择利用均值不等式证明不等式与求最值两类问题作为本节的内容。数学知识的应用包括在数学中的应用和在实践中的应用，本节课探讨均值不等式在数学内部的应用，通过对设计题组问题的探讨、练习与反思，强化均值不等式的运用，从而优化学生不等式运用的知识结构，使有关的基础知识在梳理与应用中得到深化、系统化。
③教学重点、难点、关键：
本节课的教学重点是深入理解均值不等式的应用条件，灵活运用均值不等式；难点是均值不等式应用中的变形与应用条件的检验；关键在于引导学生理解变形的实质。
（2）教学目标的确定：
根据这节课的内容和课程标准要求，结合学生思维特点，确定教学目标如下：
①掌握均值不等式，能根据问题条件的需要灵活运用均值不等式解决相关问题。
②通过对相关知识的梳理，以及正例同化与反例顺应，优化认知结构，进一步发展恒等变形与转化划归的能力，发展思维的灵活性与创新性。
③经历知识的系统化过程，感受数学知识的内在联系，领悟数学知识的生长规律；经历师生、生生交流、合作与探究、批判与反思，增进理性思维的发展，并获得成功的体验。
（3）教学方法的选择：
学生已学过不等式的性质、解法、均值不等式，但对知识之间的联系缺乏系统整理，对于均值不等式应用过程中的恒等变形的把握，以及对于应用均值不等式求最值应注意的条件关注不够。因此，本节课采用“教师引导、变式教学”的教学方法，在教学中重点突出以下几个方面：
①重视认知结构的优化：通过画均值不等式的概念图，以及对概念图的比较、反思，引导学生将相关知识系统化，增加结点、联线，丰富层次。
②通过正例同化与反例顺应，帮助学生调整认知结构；注意将学生的独立思考与探究、交流与反思等探索活动贯穿于课堂教学的全过程，突出学生的主体地位。
③采用变式教学——题组训练，通过过程性变式与概念性变式相结合的措施发展学生的数学思维。
（4）教学过程的设计：（节略）
运用“大容量、高密度、快节奏”的复习课模式：将学习过的内容用一组数学题串起来，由浅入深、层层推进。利用十几道数学题，覆盖大片知识点，同时展现数学解题的技巧，使整堂课充满数学的灵气和魅力。教学实施的具体环节如下：
（1）揭示知识联系
学生画均值不等式概念图，并展示，经交流讨论，丰富所画的概念图。
（设计意图：引导学生总结梳理与均值不等式相关的知识结构，通过交流讨论，帮助学生完善知识结构。）
（2）通过正例同化
例1 如果 。
例2 已知 都是小于1的正数，求证 中至少有一个不大于。
（设计意图：利用上述两例，通过陈题新法、一题多解，激发学生加深领会基础知识、基本技能、基本方法，并引导学生把专题知识结构同化到原有的认知结构中去。）
（3）利用反例顺应
例3 求 的最小值。
（设计意图：通过例3剖析错解、引出正解的教学策略，把学生置于原有认知结构与新问题矛盾的冲突之中，引导他们顺应新问题、新体会，调整原有认知结构从而达到新平衡。）
（4）经过练习强化
练习题共三组，每组四道：第一组作为当堂练习，即时讲评；第二组为课堂作业，教师部分口头提示；第三组为自习作业，学生简答思路。
（设计意图：安排难易适当、有梯度的题组，利用变式教学引导学生在完善认知结构的同时回味、消化、强化所学知识。）
（5）教学设计反思：
上述教学设计，基本符合教学要求、学生实际，反映了新课程的基本理念。而且，教学过程设计比较具体，可操作性强，能保证教学目标的实现。但有两个环节容易产生变数：一是对知识结构梳理；二是通过反例顺应。这两个环节也是引导学生进行高水平认知活动的重要环节，对于学生的不同想法，教师只应引申和明确，不能限制学生的思路，要给教学的动态生成以充分的空间和时间。
《不等式应用》说课稿三（供练习）
将下述教学设计改为说课稿：
教师准备从一个实际的问题来展开复习课：“学习数学知识，要着力寻找所学知识和以往知识的联系与区别，挖掘共性，分离个性、解剖个性，则会事半功倍。应注意从均值不等式的使用条件、结论、不等式的结构特征看能否与以前所学的内容建立联系？先看一个实际问题”。
教师话音刚落，一位学生站起来，说道：“老师，均值不等式的使用要求 都为正数，说明；有明显的几何意义，好象与圆中的线段有关。”
怎么办？看到同学们渴望的眼神，教师决定与同学们一起历一次险。于是问：“怎样构造圆呢？”这是问学生，也是问自己。师生开始共同探索和尝试，如右图：
令，以为直径作圆，圆心为。过圆上任一点，则由相交弦定理可知：
这既体现了均值不等式的几何意义，也是用相交弦定理证明均值不等式的新的途径。
这时老师想回到原来的设计，不料又一位学生说：“对于均值不等式，课本中只提到：当时取等号。当，与2相差多少呢？这个问题好象可以从刚才的图形中得到结论。”“刚才这个图形有一个隐含条件，即为定值”另一位学生说。老师索性彻底放弃原来的设计，继续学生的话题：观察线段的运动，让。若为定值，的值是不断变化的：从增加到[6]。看到时间不多了，老师布置了两个作业：一是画出本节课的知识结构图，二是将原本课堂处理的例题作为课外练习。
A
B
D
C
O
F
E
P
曹 新
《不等式应用》说课稿一
（1）教材分析
①教材地位和作用：
不等式的应用是《不等式》一章的重要内容，是中学数学知识的重要交汇点，在高等数学中应用广泛。它以不等式的性质、不等式的解法、均值不等式为基础，与函数、方程等知识相结合，在概括知识体系与培养学生综合运用能力方面有着重要的价值。
②教学内容：
不等式的应用是广泛的，一节课不可能全部展开，考虑到均值不等式既是教材的重点又是难点，因此选择利用均值不等式求最值的问题作为本节的内容。数学知识的应用包括在数学中的应用和在实践中的应用，本节课通过探讨利用一块长方形铁皮制作一个尽可能大的长方体鱼盒的问题展开教学，力图通过引导学生观察和思考，抽出其中的数学问题，并联系均值不等式予以解决，从而使有关的基础知识在理解与应用中得到深化。
③教学重点、难点、关键：
本节课的教学重点是均值不等式的应用、对数学模型的评价；难点是数学模型的建立、完善过程以及将均值不等式用于求最值时应该注意的条件；关键在于引导学生展开探究活动。
（2）教学目标的确定：
根据这节课的内容和教学大纲确定的教学要求，结合学生身心发展的需要，确定教学目标如下：
①掌握均值不等式，能在实际背景中运用均值不等式解决问题。会根据实际情况恰当地评价数学模型。
②通过探究数学模型的完善过程，进行高认知水平的思考，发展数学思维能力、数学探究能力以及数学应用能力。
③经历教师师生、生生交流、合作与探究，在对建立的数学模型的批判、反思、完善、评价的过程中，体会数学知识运用的价值，促进批判性思维习惯的养成，并获得成功的体验。
（3）教学方法的选择：
学生已学完不等式的性质、解法、均值不等式，但对应用了解不多。在这节课之前，刚学过：把一个长方形截去四角小正方形后折成一个长方体，问截去的小正方形的边长为多少时长方体的体积最大？这个问题对本节课的思考有一定的帮助，但思维定势带来的负面影响也不可忽视。因此，本节课采用“问题驱动、启发探究”的教学方法，在教学中重点突出以下几个方面：
①重视内隐性素材资源的利用：利用学生的思维定势所带来的“负面效应”作为课堂教学资源，关注课堂的动态生成，强调过程性知识的学习。
②由学生的特点确立自主探索式的学习方法。在教学过程中通过教师创设问题情境，启发引导学生进行自主探究；注意将学生的独立思考、自主探究、交流讨论等探索活动贯穿于课堂教学的全过程，突出学生的主体地位。
③除使用常规的教学手段外，还用多媒体辅助教学。多媒体的应用一方面为师生交流与讨论提供了平台，另一方面通过演示模型的制作过程有助于学生建模和化解难点。
（4）教学过程的设计：
为了实现本课的教学目标，把教学过程设计为如下几个阶段：
①创设问题情景
上课开始，教师利用多媒体展示一个现实问题：同学们一定去过菜场，菜场里卖鱼的地方用来盛放鱼的容器是我们常见的长方体盒，因为我经常去买菜，卖鱼的老板知道我是一位数学教师，又一次向我请教了一个他认为跟数学有关的问题，今天这堂课，我们想从这个问题开始进行一些探讨，请大家看题板。他根据需要要添置一只无盖的长方体盒，用一张长8cm，宽50cm的长方形铁皮，做一只无盖长方体铁皮盒（焊接处厚度与损耗不记），问这只铁皮盒尽可能大的体积是多少？（用幻灯片出示题目和长方形铁皮）他希望越大越好，下面请大家思考以下。
设计这个问题的意图是：一是创设一个能引起学生思考的情景，这个情景不论在生活上还是在数学上都是为学生所熟悉的；二是提供均值不等式的实际背景，开展“数学建模”的学习活动，力求使学生体验数学在解决某些实际问题中的作用；三是刚学过的一个例题既为今天要探究的问题作了铺垫，但也有可能把学生的思路引向旁路，成为新的、生成的教学资源，进而为教学实施创造更为广阔的空间；四是由此引出对思维定势负效应的分析，使学生认识到对问题了解的重要性。
②建立、求解模型
这一阶段具体安排下面几个环节：
1）学生独立建构模型、求解。问题提出以后，给出3～4分钟的时间由学生自主建模。教师巡视，了解学生所建立的模型与解答情况。
2）课堂交流。让一位学生讲述自己的制作方法与相应的数学模型： 以及对它的求解（即截去四角小正方形做成长方体，得到的数学模型称为模型1），的表达式变形后得：，由均值不等式得： 。教师将学生的制作方法利用投影展示，并将学生的想法进一步明确、引申，但不进行直接评价，目的在于让全体学生明确回答者的想法。通过“这就是最大值吗？”、“同意他（她）的话吗？不同意？这个解法有问题吗？大家看看应该怎么办？”等问题并引导学生进行反思和再思考，并找出上述解法的错误。
3）探究模型1的解法。模型1 的建立不难，但要求出最大值，需要一定的技巧和变形能力。因为要取得最大值，需要四个条件同时满足：一是各项为正；二是和为定值；三是各部分相等；四是与现实相吻合。对的表达式变形后得，要满足前面两个条件不难，但不成立。为此，先由学生探究模型1的解法，然后交流。如果学生探究困难，则由教师一边启发，学生或师生一起探究，通过对 变形 ：
（）。当且仅当满足：（）时（）取得等号。解方程（）得到
或者（但此时，制作方法不存在），把代入（）得，从而得。由此完成对模型1的求解。
③探究、完善模型
解出模型1后，引导学生反思：“它的体积尽可能大吗？”以此为切入点，引发新的探究。
1）质疑，引导反思。提出问题：刚才求出的结果是不是所求的尽可能大的体积？让学生进行讨论。
2）师生交流。通过讨论，得出结论：要使体积尽可能大，必须不浪费材料。由此引出新的探究问题：长方体鱼盒应该怎样做？这一步的目的是要引导学生走出课本例题带给学生的思维定势，并引发新一轮的探究活动。
3）探究新的模型。围绕“是不是尽可能大？”这个中心问题，引导学生不断深入思考，得出不同的、新的方法：加高；重新裁剪铁皮，让底面方一些；理想化方法，即假设鱼盒已经做好，直接利用均值不等式求解等，不断完善所建立的模型。同时教师利用动画，演示各种不同的制作方法，反映相应的数学模型，并组织学生求出其解。
4）引导归纳。总结出不同模型中共同的要素：数学模型——均值不等式，以及利用均值不等式求解具有现实背景的最值问题应该注意的四个方面，即一正、二定、三等、四合。
④评价模型
任何模型的建立，都有一定的合理性。因此引导学生对不同模型进行比较，了解它们在使用、制作等方面的特点，让学生体验数学在解决实际问题中的作用、数学与日常生活及其他学科的联系，这有利于促进学生逐步形成和发展数学应用意识，进而提高他们的实践能力。为此，通过下列问题引导学生进行模型评价：1）刚才我们在讨论尽可能大的过程中产生了这么多结果，你最喜欢哪一种？为什么？2）有没有喜欢第一种的？3）如果你是卖水产的老板（或者是工厂生产），你觉得他们会采用哪种制作方法？4）如果不限制形状，做成哪一种形状可能体积还要大？
⑤总结反思
引导学生回顾，并由教师小结：对模型的评价；数学思想方法的渗透；实际问题背景下均值不等式的应用要点。布置课后作业。
《不等式应用》说课稿二
（1）教材分析
①教材地位和作用：
不等式的应用是《不等式》一章的重要内容，是中学数学知识的重要交汇点，在高等数学中应用广泛。它以不等式的性质、不等式的解法、均值不等式为基础，与函数、方程等知识相结合，在概括知识体系与培养学生综合运用能力方面有着重要的价值。
②教学内容：
不等式的应用是广泛的，一节课不可能全部展开，考虑到均值不等式既是教材的重点又是难点，因此选择利用均值不等式证明不等式与求最值两类问题作为本节的内容。数学知识的应用包括在数学中的应用和在实践中的应用，本节课探讨均值不等式在数学内部的应用，通过对设计题组问题的探讨、练习与反思，强化均值不等式的运用，从而优化学生不等式运用的知识结构，使有关的基础知识在梳理与应用中得到深化、系统化。
③教学重点、难点、关键：
本节课的教学重点是深入理解均值不等式的应用条件，灵活运用均值不等式；难点是均值不等式应用中的变形与应用条件的检验；关键在于引导学生理解变形的实质。
（2）教学目标的确定：
根据这节课的内容和课程标准要求，结合学生思维特点，确定教学目标如下：
①掌握均值不等式，能根据问题条件的需要灵活运用均值不等式解决相关问题。
②通过对相关知识的梳理，以及正例同化与反例顺应，优化认知结构，进一步发展恒等变形与转化划归的能力，发展思维的灵活性与创新性。
③经历知识的系统化过程，感受数学知识的内在联系，领悟数学知识的生长规律；经历师生、生生交流、合作与探究、批判与反思，增进理性思维的发展，并获得成功的体验。
（3）教学方法的选择：
学生已学过不等式的性质、解法、均值不等式，但对知识之间的联系缺乏系统整理，对于均值不等式应用过程中的恒等变形的把握，以及对于应用均值不等式求最值应注意的条件关注不够。因此，本节课采用“教师引导、变式教学”的教学方法，在教学中重点突出以下几个方面：
①重视认知结构的优化：通过画均值不等式的概念图，以及对概念图的比较、反思，引导学生将相关知识系统化，增加结点、联线，丰富层次。
②通过正例同化与反例顺应，帮助学生调整认知结构；注意将学生的独立思考与探究、交流与反思等探索活动贯穿于课堂教学的全过程，突出学生的主体地位。
③采用变式教学——题组训练，通过过程性变式与概念性变式相结合的措施发展学生的数学思维。
（4）教学过程的设计：（节略）
运用“大容量、高密度、快节奏”的复习课模式：将学习过的内容用一组数学题串起来，由浅入深、层层推进。利用十几道数学题，覆盖大片知识点，同时展现数学解题的技巧，使整堂课充满数学的灵气和魅力。教学实施的具体环节如下：
（1）揭示知识联系
学生画均值不等式概念图，并展示，经交流讨论，丰富所画的概念图。
（设计意图：引导学生总结梳理与均值不等式相关的知识结构，通过交流讨论，帮助学生完善知识结构。）
（2）通过正例同化
例1 如果 。
例2 已知 都是小于1的正数，求证 中至少有一个不大于。
（设计意图：利用上述两例，通过陈题新法、一题多解，激发学生加深领会基础知识、基本技能、基本方法，并引导学生把专题知识结构同化到原有的认知结构中去。）
（3）利用反例顺应
例3 求 的最小值。
（设计意图：通过例3剖析错解、引出正解的教学策略，把学生置于原有认知结构与新问题矛盾的冲突之中，引导他们顺应新问题、新体会，调整原有认知结构从而达到新平衡。）
（4）经过练习强化
练习题共三组，每组四道：第一组作为当堂练习，即时讲评；第二组为课堂作业，教师部分口头提示；第三组为自习作业，学生简答思路。
（设计意图：安排难易适当、有梯度的题组，利用变式教学引导学生在完善认知结构的同时回味、消化、强化所学知识。）
（5）教学设计反思：
上述教学设计，基本符合教学要求、学生实际，反映了新课程的基本理念。而且，教学过程设计比较具体，可操作性强，能保证教学目标的实现。但有两个环节容易产生变数：一是对知识结构梳理；二是通过反例顺应。这两个环节也是引导学生进行高水平认知活动的重要环节，对于学生的不同想法，教师只应引申和明确，不能限制学生的思路，要给教学的动态生成以充分的空间和时间。
《不等式应用》说课稿三（供练习）
将下述教学设计改为说课稿：
教师准备从一个实际的问题来展开复习课：“学习数学知识，要着力寻找所学知识和以往知识的联系与区别，挖掘共性，分离个性、解剖个性，则会事半功倍。应注意从均值不等式的使用条件、结论、不等式的结构特征看能否与以前所学的内容建立联系？先看一个实际问题”。
教师话音刚落，一位学生站起来，说道：“老师，均值不等式的使用要求 都为正数，说明；有明显的几何意义，好象与圆中的线段有关。”
怎么办？看到同学们渴望的眼神，教师决定与同学们一起历一次险。于是问：“怎样构造圆呢？”这是问学生，也是问自己。师生开始共同探索和尝试，如右图：
令，以为直径作圆，圆心为。过圆上任一点，则由相交弦定理可知：
这既体现了均值不等式的几何意义，也是用相交弦定理证明均值不等式的新的途径。
这时老师想回到原来的设计，不料又一位学生说：“对于均值不等式，课本中只提到：当时取等号。当，与2相差多少呢？这个问题好象可以从刚才的图形中得到结论。”“刚才这个图形有一个隐含条件，即为定值”另一位学生说。老师索性彻底放弃原来的设计，继续学生的话题：观察线段的运动，让。若为定值，的值是不断变化的：从增加到[6]。看到时间不多了，老师布置了两个作业：一是画出本节课的知识结构图，二是将原本课堂处理的例题作为课外练习。
A
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