2012年中考复习一轮材料征集：第5课　因式分解

第5课　因式分解
第一部分 讲解部分
（一）课标要求
会用提公因式法、公式法（直接用公式不超过二次）进行因式分解（指数是正整数）。
（二）知识要点
1．因式分解：把一个多项式化为几个整式的乘积的形式，叫做因式分解，也叫分解因式。
2.因式分解的常用方法：
(1)提公因式法：ma+mb+mc=m(a+b+c) ；
(2)公式法：a2-b2=(a+b)(a-b)；a2±2ab+b2=(a±b)2 ；a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) ；a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)
(3)十字相乘法：
口诀：一提二套三十字
注意：
①因式分解必须分解到不能再分解为止！
②因式分解时必须注意“给定的数域”，即是在“什么范围内分解的”！
（三）考点精讲
考点一 ： 因式分解的概念
例1下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ）
A． B．
C． D．
分析：因式分解就是把一个多项式分成几个整式的积的形式，
解： A、是整式的乘法；B、等式的右边不是整式的积的形式；D、等式的右边不是整式的积的形式；
故本题答案是：D.
评注： 解决本题要牢牢抓住因式分解的本质: 把一个多项式分成几个整式的积的形式.
考点二 ：提公因式法分解因式
例2 （2011 泰州，10，3分）分解因式：2a2﹣4a= ．
分析：观察原式，找到公因式2a，提出即可得出答案．
解：2a2﹣4a=2a（a﹣2）．
评注：本题考查了因式分解的基本方法一提公因式法．本题只要将原式的公因式2a提出即可．
考点三 ：公式法分解因式
例3分解因式：8a2－2．
分析：先提取公因式2，再根据平方差公式进行二次分解即可求得答案．
解： 8a2－2=2（4a2－1）=2（2a+1）（2a－1）．故答案为：2（2a+1）（2a－1）．
评注：本题考查了提公因式法，公式法分解因式．注意分解要彻底．
例4（2011天水，4，4）多项式2a2﹣4ab+2b2分解因式的结果正确的是（　　）
A、2（a2﹣2ab+b2） B、2a（a﹣2b）+2b2
C、2（a﹣b）2 D、（2a﹣2b）2
分析：先提取公因式2，再根据完全平方公式进行二次分解可得答案．
完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2．
解：2a2﹣4ab+2b2=2（a2﹣2ab+b2）=2（a﹣b）2． 故选C．
评注：本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注
意分解要彻底．
考点四 ：十字相乘法分解因式
例5 （2011，台湾省，25,5分）若多项式33x2﹣17x﹣26可因式分解成（ax+b）（cx+d），其中a、b、
c、d均为整数，则|a+b+c+d|之值为何？（　　）
A、3 B、10 C、25 D、29
分析：首先利用因式分解，即可确定a，b，c，d的值，即可求解．
解： 33x2﹣17x﹣26=（11x﹣13）（3x+2）
∴|a+b+c+d|=|11+（﹣13）+3+2|=3
故选A
评注：本题主要考查了利用十字交乘法做因式分解，解题技巧：能了解ac=33，bd=﹣26，ad+bc=﹣17．
考点五 ：因式分解综合应用
例6因式分解：
（1）（2011山东省潍坊）分解因式：________________．
分析：当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解．本题应采用两两分组，然后提取公因式a+1，注意分解要彻底．
解：a3+a2－a－1=（a3+a2）－（a+1）=a2（a+1）－（a+1）=（a+1）（a2－1）=（a+1）（a+1）（a－1）=（a－1）（a+1）2．
故答案为：（a－1）（a+1）2．
评注：本题考查了分组分解法分解因式，难点是采用两两分组还是三一分组．注意分解要彻底．
（2）（2011年山东省威海市）分解因式：16–8（x–y）+（x–y）2=（4–x+y）2．
分析：将（x–y）看作整体，利用完全平方公式分解，即可求得答案．
解：16–8（x–y）+（x–y）2 =[4–（x–y）]2 =（4–x+y）2．
故答案为：（4–x+y）2．
评注：此题考查了利用完全平方公式法分解因式．注意整体思想的应用是解题的关键．
例7（2011黑龙江大庆，9，3分）已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足a3+ab2+bc2=b3+a2b+ac2，则△ABC的形状是（　　）
A、等腰三角形 B、直角三角形C、等腰三角形或直角三角形 　D、等腰直角三角形
分析：把所给的等式a3+ab2+bc2=b3+a2b+ac2能进行因式分解的要因式分解，整理为非负数相加得0的
形式，求出三角形三边的关系，进而判断三角形的形状．
解：∵a3+ab2+bc2=b3+a2b+ac2，
∴a3﹣b3﹣a2b+ab2﹣ac2+bc2=0，
（a3﹣a2b）+（ab2﹣b3）﹣（ac2﹣bc2）=0，
a2（a﹣b）+b2（a﹣b）﹣c2（a﹣b）=0，
（a﹣b）（a2+b2﹣c2）=0，
所以a﹣b=0或a2+b2﹣c2=0．
所以a=b或a2+b2=c2．
故△ABC的形状是等腰三角形或直角三角形．
故选C．
评注：本题考查了分组分解法分解因式，利用因式分解最后整理成多项式的乘积等于0的形式是解题
的关键．
※小结：根据课标和中考要求因式分解的题目可以分为以下几个类型：
（1）两项型：分解方法是先考虑提公因式，再考虑平方差公式，如例2、例3；
（2）三项型：分解方法是先考虑提公因式，再考虑完全平方公式，最后考虑十字相乘法如例4；
（3）四项型：先进行分组：3+1型，1+3型，2+2型,如例6(1).
（四）易错点剖析
[易错点1] 分解不彻底
分解因式：
错解：
误区分析：含有还以分解的因式，因式分解必须分解到不能再分解为止！
正解：
[易错点2] 没有看考虑因式分解的范围
在实数范围内分解因式：
错解：
误区分析：没有注意到“在实数范围内”这个限制条件导致错误.
正解：
（五）真题演练
1. （2011泰安，5，3分）下列等式不成立的是（　　）
A．m2－16＝（m－4）（m＋4） B．m2＋4m＝m（m＋4）
C．m2－8m＋16＝（m－4）2 D．m2＋3m＋9＝（m＋3）2
2.（2011 丹东，4，3分）将多项式x3﹣xy2分解因式，结果正确的是（　　）
A、x（x2﹣y2） B、x（x﹣y）2
C、x（x+y）2 D、x（x+y）（x﹣y）
3. （2011福建龙岩，10，4分）现定义运算“★”，对于任意实数a、b，都有a★b=a2﹣3a+b，
如：3★5=33﹣3×3+5，若x★2=6，则实数x的值是（　　）
A.﹣4或﹣1 B.4或﹣1 C.4或﹣2 D.﹣4或2
4. （2011四川攀枝花，6，3分）一元二次方程x（x﹣3）=4的解是（　　）
A、x=1 B、x=4 C、x1=﹣1，x2=4 D、x1=1，x2=﹣4
5. （2011南昌，14，3分）因式分解：x3﹣x=　 ．
6.（2011陕西，13，3分）分解因式：ab2﹣4ab+4a=．
7. 因式分解：x2－9y2=
8. （2011四川凉山，14，4分）分解因式： .
9. （2011 南通）分解因式：3m(2x－y)2－3mn2＝
10. （2011四川遂宁，15，4分）阅读下列文字与例题：
将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．
例如：（1）am+an+bm+bn=（am+bm）+（an+bn）=m（a+b）+n（a+b）=（a+b）（m+n）
（2）x2﹣y2﹣2y﹣1=x2﹣（y2+2y+1）=x2﹣（y+1）2=（x+y+1）（x﹣y﹣1）
试用上述方法分解因式a2+2ab+ac+bc+b2=　 　．
第二部分 练习部分
1. （2011河北，3，2分）下列分解因式正确的是（　　）
A．－a＋a3＝－a（1＋a2） B．2a－4b＋2＝2（a－2b）
C．a2－4＝（a－2）2 D．a2－2a＋1＝（a－1）2
2. （2011浙江金华，3，3分）下列各式能用完全平方式进行分解因式的是（ ）
A．x2 +1 B.x2+2x－1 C.x2+x+1 D.x2+4x+4
3. （2011梧州，6，3分）因式分解x2y﹣4y的正确结果是（　　）
A、y（x+2）（x﹣2） B、y（x+4）（x﹣4） C、y（x2﹣4） D、y（x﹣2）2
4. （2011江苏镇江常州，10，3分）（1）计算：（x+1）2=　 　；（2）分解因式：x2﹣9=　 　．
5.（2011 宁夏，9，3分）分解因式：a3﹣a=　 　．
6. （2011湖北潜江，11，3分）因式分解：a2—6a＋9＝　 ．
7. （2011 青海）分解因式：﹣x3+2x2﹣x=　 ；
8. （2011云南保山7，3分）已知a+b=3， ab =2，则a2b +ab2 =__________．
9. （2011 莱芜）分解因式：（a+b）3﹣4（a+b）=　 　．
10. （2011 湖南张家界，11，3）因式分解：x3y2﹣x5=　 　．
11. （2011 株洲10,3分）当x=10，y=9时，代数式x2﹣y2的值是　 　．
12. （2011 包头，14，3分）如图，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，若将图1的阴影部分拼成一个长方形，如图2，比较图1和图2的阴影部分的面积，你能得到的公式是　 　．
13. 分解因式：a4－1=
14. （2011广州，19，10分）分解因式：8(x2－2y2)－x(7x+y)+xy
★“真题演练”答案★
1. 选D 由平方差公式，提公因式以及完全平方公式分解因式的知识求解即可求得答案．
2. 选D 先提取公因式x，再根据平方差公式进行二次分解．平方差公式：a2﹣b2=（a﹣b）（a+b）．
3. 选B 根据新定义a★b=a2﹣3a+b，将方程x★2=6转化为一元二次方程求解．
4. 选C 首先把方程化为右边为0的形式，然后把左边再分解因式，即可得到答案．
5. 答案: x（x+1）（x﹣1） 解：x3﹣x，=x（x2﹣1）=x（x+1）（x﹣1）
6. a（b﹣2）2 解：ab2﹣4ab+4a=a（b2﹣4b+4）=a（b﹣2）2．
7. 答案：（x+3y）（x－3y） 解：x2－9y2=（x+3y）（x－3y）
8. 答案：－a（a－b）2 解：原式＝－a（a2－ab＋b2）＝－a（a－b）2．
9. 答案：3m(2x－y＋n)(2x—y－n) 解：3m(2x－y)2－3mn2=3m(2x－y＋n)(2x—y－n)
10. 答案:（a+b）（a+b+c）．解：原式=（a2+2ab+b2）+（ac+bc）=（a+b）2++c（a+b）=（a+b）（a+b+c）．
★“练习部分”答案★
1. 选D 解：A．－a＋a3＝－a（1－a2）＝－a（1＋a）（1－a），故本选项错误；
B．2a－4b＋2＝2（a－2b＋1），故本选项错误；
C．a2－4＝（a－2）（a＋2），故本选项错误；
D．a2－2a＋1＝(a－1)2，故本选项正确．
2. 选D 解：根据完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2可得，选项A、B、C都不能用完全平方公式进分解因式．
3. 选A 解：x2y﹣4y=y（x2﹣4）=y（x+2）（x﹣2）．
4. 解：①（x+1）2=x2+2x+1； ②x2﹣9=（x﹣3）（x+3）．
5. 答案：a（a+1）（a﹣1） 解：a3﹣a，=a（a2﹣1），=a（a+1）（a﹣1）．
6. 答案：（a—3）2 解： a2—6a＋9＝（a—3）2．
7. 答案：﹣x（x﹣1）2 解：①﹣x3+2x2﹣x=﹣x（x2﹣2x+1）=﹣x（x﹣1）2；
8. 答案：6 解：a2b+ab2=ab（a+b）=2×3=6．
9. 答案：（a+b）（a+b+2）（a+b﹣2 解：（a+b）3﹣4（a+b）=（a+b）[（a+b）2﹣4]=（a+b）（a+b+2）（a+b﹣2）．
10. 答案：x3（y﹣x）（y+x） 解：x3y2﹣x5=x3（y2﹣x2）=x3（y﹣x）（y+x）．
11. 答案：19 解：x2﹣y2=（x+y）（x﹣y）当x=10，y=9时 原式=（10+9）×（10﹣9）=19
12. 答案：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）． 解：根据题意得：图1中阴影部分的面积为：a2﹣b2；图2中阴影部分的面积为：（a+b）（a﹣b）．∵两图形阴影面积相等，∴可以得到的结论是：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．
13. 答案：（a2+1）（a+1）（a－1） 解：a4－1，=（a2+1）（a2－1），=（a2+1）（a+1）（a－1）．．
14. 答案：（x+4y）（x－4y） 解：原式=8x2－16y2－7x2－xy+xy =x2－16y2 =（x+4y）（x－4y）．
a
b
a
b