2012年中考复习一轮材料征集：第21课时 直角三角形

第21课时　直角三角形
西安市西光中学 贾文 陈伟伦
第一部分
一 讲解
1 了解认识直角三角形的概念（基本特征，直角等）
2 理解掌握直角三角形的判断与其性质（勾股定理，斜边与直角边关系等）
3 灵活运用勾股定理解决简单问题
4 体验勾股定理的探索过程
5探索直角三角形的判断与其性质（尝试自己推导有关直角三角形的性质）
二 知识点
知识点一 直角三角形的基本性质
1直角三角形的两个锐角互余
可表示如下：∠C=90°∠A+∠B=90°
2在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
∠A=30°
可表示如下： BC=AB
∠C=90°
3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
∠ACB=90°
可表示如下： CD=AB=BD=AD
D为AB的中点
4、勾股定理
直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即
5、母子相似定理（射影定理）
在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项
∠ACB=90°
CD⊥AB
6、常用关系式
由三角形面积公式可得：
ABCD=ACBC
知识点二 直角三角形的判定
1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。
2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
3、勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a，b，c有关系，那么这个三角形是直角三角形。
知识点三 锐角三角函数的概念
1、如图，在△ABC中，∠C=90°
①锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记为sinA，即
②锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记为cosA，即
③锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记为tanA，即
④锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记为cotA，即
2、锐角三角函数的概念
锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的锐角三角函数
3、一些特殊角的三角函数值
三角函数 0° 30° 45° 60° 90°
sinα 0 1
cosα 1 0
tanα 0 1 不存在
cotα 不存在 1 0
4、各锐角三角函数之间的关系
（1）互余关系
sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A)
tanA=cot(90°—A)，cotA=tan(90°—A)
（2）平方关系
（3）倒数关系
tanAtan(90°—A)=1
（4）弦切关系
tanA=
知识点四 勾股定理中的方程思想
1．水中草问题
水深EB ,芦苇CB高出水一尺，被风吹倒后芦苇恰好浮在水面，请问水深多少？
解 设：水深x尺 在Rt△BED用勾股定理列出一个方程，求出水深.
2．矩形折叠
已知，在矩形FGJK中，FG=10 FK=8，将△FGH沿FH折叠，G落在KJ边上，记为点I，.求HJ长 .
解 设HJ长x先在Rt△FKI中求出KI，再求出IJ，再在Rt△HJI中用勾股定理求出HJ.
知识点五 勾股定理中的分类思想
1.Rt△ABC的两边分别为3cm和5cm，求以第三边为边长的正方形的面积
解①当以5cm为斜边时：
②当以未知边为斜边：
已知在△ABC中，AD为BC边上的高AB=15cm， AC=13cm ，AD=12cm ，求.
解①当△ABC为锐角三角形时，分别在Rt△ABD、Rt ADC中分别算出BD、DC ，再求出=84
②当△ABC为钝角三角形时，分别在Rt△ABD、Rt ACD中算出BD、CD， 再求出=24
知识点六 三维空间中的勾股定理
1 蚂蚁怎样走最近，如图蚂蚁在长方体A处，请问怎样走到达C’处最近？ 请设计方案.
解: 三维空间中的勾股定理主要是在化归为二维空间，就是将A，C’两点放在同一个平面内，用勾股定理求出距离
解：设长方体长、宽、高分别为x、y、z，依题意，得：
①=
②=
③=
∵ 2xy＞2xz＞2yz
∴ ③＜②＜①
即走第三条路径最短。
2.在长宽高为a,b,c的电梯内放置一竿子的最长长度为
AC’=
知识点七 勾股定理的证明（等积法）
∵
∴
即，
三 考点精讲
例题一
如图所示，在△ABC中，角ACB为90，点O是△ABC内一点，且S△OAB=S△OBC=S△OCA,那么，OA +OB 与OC 的比值是多少
考点一 直角三角形三边关系（勾股定理）
分析 此题主要关于直角三角形面积与三边关系，所以辅助线应该做有关OA OB的垂线段。并且将垂线段与OC联系起来。
解 过点O分别作OM ON垂直于AC CB
OM ON 的平方和=OC的平方
ON=三分之一的AC OM=三分之一的CB
NB=2MO AM=2ON
OA +OB :OC =5:1
评注 1三角形勾股定理之间的转换，即某一边等于某一边就有其平方等于另一边的平方
2直角三角形面积比转换为边长或高的比
3从需证明结论出发，找到面积比与勾股定理之间的转化关系
例题二
（2009湖北武汉）如图1，在中，，于点，点是边上一点，连接交于，交边于点．
（1）求证：；
（2）当为边中点，时，如图2，求的值；
（3）当为边中点，时，请直接写出的值．
考点2 直角三角形两锐角互余
分析 此题中包含多个直角三角形，首先应梳理清楚关系。另外其中包含形似三角形对应线段成比例的问题，应通过成比例线段或直角三角形中的同角的余角相等，来推导出结论。
解 （1）∠ECO=∠BAF（摄影定理） ∠EOC=∠ABF（角BOA的两余角相等） 所以△ABF∽△COE
（2）于，
．．
设，则，
．
，
．
由（1）知，设，，．
在中，．
． ( http: / / www. / )
（3）n
评注 1在证明相似时同角的余角相等可以提供一种思路
2在做线段比例问题时不妨试着设出具体量，以便思考(但最终需还原为线段比例）
3 母子相似中蕴含的直角三角形与相似可以转化为三个相似的三角形
四 疑难点与易错点
直角三角形中的难点在于将其融入于多个图形中，转化为证明或解题中的一个重要环节。通过利用斜边中线，勾股定理，斜边与直角边，这些重难点，来证明全等相似或求出线段长度。还有特殊直角三角形三边与角的对应关系，从而找出角度或线段长度。直角三角形中的分类思想（以谁为斜边）
而直角三角形的易错点在于当在一个综合题中，勾股定理的平方有时会混淆为面积转化公式或相似比的转化公式。
五 真题演练
1. （2011四川广安，28，10分）某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造．测得两直角边长为6m、8m.现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形．求扩建后的等腰三角形花圃的周长．
2. （2011山东枣庄，15，4分）将一副三角尺如图所示叠放在一起，若=14cm，则阴影部分的面积是________cm2.
3. （2011江苏无锡，16，2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，若CD = 5cm，
则EF = _________cm．
4. （2011贵州安顺，16，4分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6cm，AC=8cm，按图中所示方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在AB边的C′点，那么△ADC′的面积是 ．
5. (2011重庆綦江，16，4分) 一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示.正方形DEFH的边长为2米，坡角∠A＝30°,∠B＝90°,BC＝6米. 当正方形DEFH运动到什么位置,即当AE＝ 米时,有DC＝AE＋BC.
答案
1：由题意可得，花圃的周长=8+8+=16+
2：
3： 5
4： 6cm2
5：
第二部分
1.（2010年四川省眉山市）下列命题中，真命题是
A．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
B．等腰梯形既是轴对称图形又是中心对称图形
C．圆的切线垂直于经过切点的半径
D．垂直于同一直线的两条直线互相垂直
2．（2010年四川省眉山市）如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为
A．90° B．60° C．45° D．30°
3.（2010年辽宁省丹东市）图①是一个边长为的正方形，小颖将
图①中的阴影部分拼成图②的形状，由图①和图②
能验证的式子是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2010浙江省喜嘉兴市）如图，已知C是线段AB上的任意一点（端点除外），分别以AC、BC为斜边并且在AB的同一侧作等腰直角△ACD和△BCE，连结AE交CD于点M，连结BD交CE于点N，给出以下三个结论：①MN∥AB；②＝＋；③MN≤AB，其中正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5、 (2010福建泉州市惠安县)矩形纸片ABCD的边长AB=4，AD=2．将矩形纸片沿EF折叠，使点A与点C重合，折叠后在其一面着色（如图），则着色部分的面积为_____________.
6、(2010福建泉州市惠安县)如图，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm，高为6cm．
①如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，
那么所用细线最短需要__________cm；
②如果从点A开始经过4个侧面缠绕3圈到达点B，
那么所用细线最短需要__________cm．
7、(2010年燕山)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AC，
∠B＝45°, AD＝1，BC＝4，求DC的长．
8、（2010年宁德市）（本题满分13分）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM.
⑴ 求证：△AMB≌△ENB；
⑵ ①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；
②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；
⑶ 当AM＋BM＋CM的最小值为时，求正方形的边长.
9、（2010年广东省广州市）如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0），（0，1），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线＝－＋交折线OAB于点E．
（1）记△ODE的面积为S，求S与的函数关系式；
（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形OA1B1C1，试探究OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由.
10.（2010年山东省济南市）我市某乡镇学校教学楼后面靠近一座山坡，坡面上是一块平地，如图所示，BC∥AD，斜坡AB=40米，坡角∠BAD=600，为防夏季因瀑雨引发山体滑坡，保障安全，学校决定对山坡进行改造，经地质人员勘测，当坡角不超过450时，可确保山体不滑坡，改造时保持坡脚A 不动，从坡顶B 沿BC削进到E 处，问BE至少是多少米(结果保留根号)？
答案
1 C
2 C
3 B
4 D
5 5.5
6① 10， ②
7如图1，分别过点A、D作AE⊥BC于点E ，
DF⊥BC于点F． ………………………………1分
∴ AE // DF．又 AD // BC，
∴ 四边形AEFD是矩形．
∴ EF=AD=1． ……………………………………2分
∵ AB⊥AC，∠B=45°，BC= 4，
∴ AB=AC．
∴ AE=EC== 2． ……………………………3分
∴ DF=AE= 2，
CF=EC-EF= 1． ……………………………4分
在Rt△DFC中，∠DFC=90°，
∴DC=. …………………………5分
8解：⑴∵△ABE是等边三角形，
∴BA＝BE，∠ABE＝60°.
∵∠MBN＝60°，
∴∠MBN－∠ABN＝∠ABE－∠ABN.
即∠BMA＝∠NBE.
又∵MB＝NB，
∴△AMB≌△ENB（SAS）.
⑵①当M点落在BD的中点时，AM＋CM的值最小.
②如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，
AM＋BM＋CM的值最小. ………………9分
理由如下：连接MN.由⑴知，△AMB≌△ENB，
∴AM＝EN.
∵∠MBN＝60°，MB＝NB，
∴△BMN是等边三角形.
∴BM＝MN.
∴AM＋BM＋CM＝EN＋MN＋CM.
根据“两点之间线段最短”，得EN＋MN＋CM＝EC最短
∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小，即等于EC的长.
⑶过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，
∴∠EBF＝90°－60°＝30°.
设正方形的边长为x，则BF＝x，EF＝.
在Rt△EFC中，
∵EF2＋FC2＝EC2，
∴（）2＋（x＋x）2＝.
解得，x＝（舍去负值）.
∴正方形的边长为.
9（1）由题意得B（3，1）．
若直线经过点A（3，0）时，则b＝
若直线经过点B（3，1）时，则b＝
若直线经过点C（0，1）时，则b＝1
若直线与折线OAB的交点在OA上时，即1＜b≤，如图25-a，
此时E（2b，0）
∴S＝OE·CO＝×2b×1＝b
②若直线与折线OAB的交点在BA上时，即＜b＜，如图2
此时E（3，），D（2b－2，1）
∴S＝S矩－(S△OCD＋S△OAE ＋S△DBE )
＝ 3－[(2b－1)×1＋×(5－2b)·( HYPERLINK "http://" )＋×3()]＝
∴
（2）如图3，设O1A1与CB相交于点M，OA与C1B1相交于点N，则矩形OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积即为四边形DNEM的面积。
由题意知，DM∥NE，DN∥ME，∴四边形DNEM为平行四边形
根据轴对称知，∠MED＝∠NED
又∠MDE＝∠NED，∴∠MED＝∠MDE，∴MD＝ME，∴平行四边形DNEM为菱形．
过点D作DH⊥OA，垂足为H，
由题易知，tan∠DEN＝，DH＝1，∴HE＝2，
设菱形DNEM 的边长为a，
则在Rt△DHM中，由勾股定理知：，∴
∴S四边形DNEM＝NE·DH＝
∴矩形OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为．
10解：作BG⊥AD于G，作EF⊥AD于F，………………1’
∵Rt△ABG中，∠BAD=600，AB=40，
∴ BG =AB·sin600=20，AG = AB·cos600=20……………….3’
同理在Rt△AEF中，∠EAD=450，
∴AF=EF=BG=20，……………….3’
∴BE=FG=AF-AG=20()米. ……………….1’
B
B
A
A
C
O
E
D
D
E
C
O
F
图1
图2
F
A
C
B
E
F
D
（第16题）
第16题图
图①
图②
第4题图
（第10题）
A
B
C
D
E
G
第16题图
F
B
A
6cm
3cm
1cm
第6题图
B C
A D
E
A D
B C
N
M
C
D
B
A
E
O
D
A
B
C
E
图1
F
E
A D
B C
N
M
图2
图3