8.6.2直线与平面垂直-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册课件(共38张PPT)

(共38张PPT)
8.6.2
直线与平面垂直
高一数学必修第二册
第八章
立体几何初步
学习目标
1.领会直线与平面垂直的定义,了解直线与平面所成的角;
2.掌握直线与平面垂直的判定定理与性质定理;
3.会用相关定义、定理解决直线与平面垂直问题.
4.核心素养:直观想象,数学抽象,逻辑推理.
1.空间中直线与平面有几种位置关系？
线
面
位置关系
垂直
斜交
a
b
在平面内
平行
一、回顾旧知
旗杆与地面垂直
日常生活中的垂直问题
你还能举出生活中哪些直线与平面垂直的例子?
电线杆和地面垂直
路灯杆与地面垂直
二、探究新知
直线AB垂直于平面内的任意一条直线,
那么它就垂直于这个平面
1.旗杆所在的直线AB与其影子BC所在直线是否保持垂直?
垂直
如果一条直线
l
垂直于平面α
内的任意一条直线，我们就说直线
l
与平面
α
互相垂直
平面
的垂线
直线
l
的垂面
垂足
记作：
l
α
2.直线与平面垂直的定义：
线面垂直
线线垂直
l
α
过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条
过一点作垂直于已知平面的直线,则该点与垂足间的线段,叫做这个点到该平面的垂线段,
垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离.
3.点到平面的距离
如图，准备一块三角形的纸片，做一个试验：
实验：
过
的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD，DC与桌面接触）
4.如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直?
当且仅当折痕
AD
是
BC
边上的高时，AD
所在直线与桌面所在平面
垂直．
一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直.
线线垂直
　　　
线面垂直
判定定理
性质
垂直
内
相交
5.直线和平面垂直的判定定理
1.例1.
如图,已知
,求证:
根据直线与平面垂直的定义知
又因为
所以
又
是两条相交直线，
所以
证明：在平面
内作两条相交直线m，n
因为直线
，
三、巩固新知
如图，点P
是平行四边形ABCD
所在平面外一点，O
是对角线AC与BD的交点，且PA
=PC
，PB
=PD
.
求证：PO⊥平面ABCD
C
A
B
D
O
P
=
ABCD
PO
O
BD
AC
平面
又
^
\
I
Q
BD
PO
BD
O
PD
PB
的中点
是
点
又
^
\
=
Q
,
PC
PA
=
AC
PO
点O是AC的中点
证明
^
\
Q
,
2.变式训练1
3.变式训练2
A1
B1
C1
D1
A
B
C
D
如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,
O
M
4.变式训练3
如图,若一条直线PA和一个平面α相交,但不垂直，那么这条直线就叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足.
P
A
斜足
斜线
平面的斜线
5.我们知道，当直线和平面垂直时,该直线叫做平面的垂线。如果直线和平面不垂直,是不是也该给它取个名字呢？此时又该如何刻画直线和平面的这种关系呢?
如图,过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线PO,过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角。
斜线
斜足
射影
垂足
垂线
一条直线垂直于平面,我们说它所成的角是直角；一条直线和平面平行,或在平面内,我们说它所成的角是00的角.
规定:
想一想:直线与平面所成的角θ的取值范围是什么?
6.直线和平面所成的角
A1
B1
C1
D1
A
B
C
D
7.例2.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，求直线A1B和平面A1
DCB1所成的角.
O
找角、证角
求角
如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:
（1）AB1在面BB1D1D中的射影
A1
D1
C1
B1
A
D
C
B
O
线段B1O
8.变式训练4
如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:
（2）AB1在面A1B1CD中的射影
A1
D1
C1
B1
A
D
C
B
E
线段B1E
8.变式训练4
如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:
（3）AB1在面CDD1C1中的射影
A1
D1
C1
B1
A
D
C
B
线段C1D
8.变式训练4
如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:
（1）A1C1与面ABCD所成的角
A1
D1
C1
B1
A
D
C
B
0o
9.变式训练5
如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:
（2）
A1C1与面BB1D1D所成的角
A1
D1
C1
B1
A
D
C
B
90o
9.变式训练5
如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:
（3）
A1C1与面BB1C1C所成的角
A1
D1
C1
B1
A
D
C
B
45o
9.变式训练5
如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:
（4）A1C1与面ABC1D1所成的角
A1
D1
C1
B1
A
D
C
B
E
30o
9.变式训练5
10.如图,直四棱柱
中底面四边形
满足什么条件时,
？
底面四边形ABCD对角线相互垂直
(2)如图，已知直线a⊥?
、b⊥?,那么直线a、b
一定平行吗?我们能否证明这一事实的正确性呢？
a
b
?
11.(1)如图8.6-16，在长方体
中,
棱
所在的直线都垂直于平面ABCD，它们之间具有什么位置关系?
如图8.6-16
已知：
a⊥平面?，b⊥平面?，
求证：
a∥b．
a
?
b
a
?
b
O
已知：
a⊥平面?，b⊥平面?，
求证：
a∥b．
a
?
b
b'
O
证明:
已知：
a⊥平面?，b⊥平面?，
求证：
a∥b．
a
?
b
b'
?
O
已知：
a⊥平面?，b⊥平面?，
求证：
a∥b．
a
?
b
b'
c
?
O
已知：
a⊥平面?，b⊥平面?，
求证：
a∥b．
a
?
b
b'
c
?
O
(反证法)
显然不可能
已知：
a⊥平面?，b⊥平面?，
求证：
a∥b．
a
?
b
b'
c
?
O
(反证法)
垂直于同一个平面的两条直线平行
直线与平面垂直的性质定理：
已知：
a⊥平面?，b⊥平面?，
求证：
a∥b．
12.例3.
?
?
a
α
α
α∥β
β
一条直线与一个平面平行时,这条直线上任意一点到这个平面的距离,叫做这条直线到这个平面的距离.
如果两个平面平行,那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等,我们把它叫做这两个平行平面间的距离.
13.例4.
解:
14.变式训练6
四、课堂小结
1.直线和平面垂直的判定定理
3.直线与平面垂直的定义、直线与平面所成的角的概念、直线与其平行平面和两个平行平面的距离的定义.
2.直线与平面垂直的性质定理
一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直
垂直于同一个平面的两条直线平行
线线垂直
线面垂直
定理
性质
空间问题
平面问题
作业：课本P155
练习
2，3题